Racine carrée : définition et carrés parfaits

1. a)${24}^2=576$ ; $0,{13}^2=0,0169$ ($13\times 13=169$, avec $4$ chiffres après la virgule) ; ${300}^2=90000$ (1)
2. b)$100={10}^2$ et $144={12}^2$. Les autres ne sont pas des carrés parfaits : $81<96<100$, $121<125<144$ et $144<160<169$ (1)
3. c)Son chiffre des unités est $3$ ; or le chiffre des unités d’un carré parfait n’est jamais $2$, $3$, $7$ ou $8$ (1)
4. d)$5,5^2=5,5\times 5,5=30,25$ m² (1)

Repère — Pour reconnaître un carré parfait, on le place entre deux carrés de la table ; un chiffre des unités $2$, $3$, $7$ ou $8$ l’exclut tout de suite.

1. a)$\sqrt{0,0121}=0,11$ car $0,{11}^2=0,0121$ ; $\sqrt{5,76}=2,4$ car $2,4^2=5,76$ ; $\sqrt{250000}=500$ car ${500}^2=250000$ (1)
2. b)On calcule d’abord sous la racine : $\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. La racine carrée d’une somme n’est pas la somme des racines carrées (1)
3. c)Non : $(-9{)}^2=81$, pas $-81$, et aucun carré n’est négatif ; $\sqrt{-81}$ n’existe pas. C’est $-\sqrt{81}$ qui vaut $-9$ (1)
4. d)$2\sqrt{144}=2\times 12=24$ et $\sqrt{2\times 8}=\sqrt{16}=4$ : $A=24-4=20$ (1)

Méthode — On cherche le nombre positif dont le carré est le nombre sous la racine, après avoir calculé tout ce qui est sous la barre ; on vérifie en élevant au carré.

1. a)$144<150<169$, c’est-à-dire ${12}^2<150<{13}^2$, donc $12<\sqrt{150}<13$ (1)
2. b)$12,2^2=148,84$ et $12,3^2=151,29$ : $148,84<150<151,29$, donc $12,2<\sqrt{150}<12,3$ (1)
3. c)La calculatrice affiche $12,2474\dots$ : $\sqrt{150}\approx 12,25$ (1)
4. d)$8,2^2=67,24$ et $66<67,24<69$. Les racines carrées sont rangées dans le même ordre que les nombres : $\sqrt{66}<8,2<\sqrt{69}$ (1)

Méthode — Encadrer $\sqrt{a}$, c’est encadrer $a$ par des carrés : on essaie les entiers, puis les dixièmes.

1. a)Côté $=\sqrt{1225}=35$ m, car ${35}^2=1225$ (1)
2. b)Côté $=\sqrt{85}$ cm ; $81<85<100$, donc $9<\sqrt{85}<10$. Calculatrice : $\sqrt{85}\approx 9,2$ cm (1)
3. c)Les aires sont multipliées par $4^2=16$ : $15\times 16=240$ cm² (1)
4. d)Il faut $k^2=8$, donc $k=\sqrt{8}$ (valeur exacte), soit $k\approx 2,83$ (1)

Le point clé — Une aire se ramène à une longueur par une racine carrée ; un agrandissement de rapport $k$ multiplie les aires par $k^2$.

1. a)$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=576+100=676$, donc $BC=\sqrt{676}=26$ m (car ${26}^2=676$) (1)
2. b)$24+10+26=60$ m (1)
3. c)Aire : ${\displaystyle \frac{24\times 10}{2}}=120$ m². Côté du carré : $\sqrt{120}$ m ; $100<120<121$, donc $10<\sqrt{120}<11$ (1)
4. d)Calculatrice : $\sqrt{120}\approx 10,95$, soit $11,0$ m au dixième (1)

Méthode — On garde la valeur exacte ($\sqrt{120}$), on l’encadre pour contrôler l’ordre de grandeur, puis on arrondit à la fin.