Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

Rappels de 5e (multiples, diviseurs, critères de divisibilité), nombre premier, crible d’Ératosthène et nombres premiers inférieurs à 100, tester si un nombre est premier, décomposition en produit de facteurs premiers, fractions égales et simplification, diviseurs et multiples communs grâce à la décomposition.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés sur les nombres premiers et les décompositions : des boîtes de croissants à remplir sans reste, les nombres premiers entre 100 et 120, le dallage d’une terrasse, des proportions de demi-pensionnaires à comparer, deux bus qui repassent ensemble et un nombre mystère.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère ce qu’on cherche : un nombre premier, une décomposition, une fraction, un partage sans reste ou des événements qui se répètent.
Je décompose les nombres de l’énoncé en produits de facteurs premiers (divisions successives) et je vérifie en recalculant le produit.
Je choisis l’outil : partager sans reste → plus grand diviseur commun (facteurs communs, plus petit exposant) ; se retrouver ensemble → plus petit multiple commun (tous les facteurs, plus grand exposant) ; comparer des proportions → simplifier les fractions.
Je vérifie par une division ou une multiplication, puis je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Les boîtes de croissants★★★Facile

Un boulanger doit ranger

168

croissants dans des boîtes identiques, toutes complètes, sans qu’il en reste. On sait que

168 = 2^{3} \times 3 \times 7

1. Avec des boîtes de $6$ croissants, combien de boîtes remplit-il ?
$6 = 2 \times 3$ : ses facteurs sont dans la décomposition de $168$ . $168 \div 6 = 28$ boîtes.
2. Quel est le plus petit nombre de croissants par boîte, supérieur à $1$ , qui ne convient pas ?
$2$ , $3$ et $4 = 2^{2}$ sont dans la décomposition de $168$ , mais pas $5$ : $168 = 5 \times 33 + 3$ , il resterait $3$ croissants.
3. Avec des boîtes de $12$ , combien de boîtes remplit-il ?
$12 = 2^{2} \times 3$ ; il reste $2 \times 7 = 14$ : $168 = 12 \times 14$ , soit $14$ boîtes.
4. Combien de tailles de boîte possibles sont comprises entre $20$ et $50$ croissants ?
Il faut un diviseur de $168$ : $168 = 1 \times 168 = 2 \times 84 = 3 \times 56 = 4 \times 42 = 6 \times 28 = 7 \times 24 = 8 \times 21 = 12 \times 14$ . Entre $20$ et $50$ : $21$ , $24$ , $28$ et $42$ , soit $4$ tailles.

Problème 2 · Les nombres premiers de 100 à 120★★★Facile

On cherche les nombres premiers compris entre

100

120

1. Pour tester un nombre compris entre $100$ et $120$ , quel est le plus grand nombre premier qu’il suffit d’essayer comme diviseur ?
$7 \times 7 = 49$ ne dépasse aucun de ces nombres, mais $11 \times 11 = 121$ les dépasse tous : il suffit d’essayer $2$ , $3$ , $5$ et $7$ .
2. Le plus petit diviseur premier de $117$ :
$117$ est impair et $1 + 1 + 7 = 9$ : il est divisible par $3$ (et même par $9$ ). $117 = 3^{2} \times 13$ .
3. Le plus grand diviseur premier de $115$ :
$115$ se termine par $5$ : $115 = 5 \times 23$ , et $23$ est premier.
4. Combien y a-t-il de nombres premiers entre $100$ et $120$ ?
On écarte les nombres pairs, puis $105$ et $115$ (ils se terminent par $5$ ). Par $3$ : $111 = 3 \times 37$ et $117 = 3^{2} \times 13$ . Par $7$ : $119 = 7 \times 17$ . Restent $101$ , $103$ , $107$ , $109$ et $113$ : $5$ nombres premiers.

Problème 3 · La terrasse★★★Moyen

Une terrasse rectangulaire mesure

180

cm sur

126

cm. On veut la paver avec des dalles carrées identiques, sans découpe, les plus grandes possibles. On sait que

180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5

1. Dans la décomposition de $126$ , l’exposant de $3$ est
$126 = 2 \times 63 = 2 \times 3 \times 21 = 2 \times 3 \times 3 \times 7$ , soit $2 \times 3^{2} \times 7$ .
2. Côté de la plus grande dalle possible : cm
Le côté doit diviser $180$ et $126$ . Facteurs communs, plus petit exposant : $2 \times 3^{2} = 18$ cm.
3. Nombre de dalles nécessaires :
$180 \div 18 = 10$ et $126 \div 18 = 7$ : $10 \times 7 = 70$ dalles.
4. Avec des dalles de $9$ cm de côté, combien de dalles faudrait-il ?
$9 = 3^{2}$ divise $180$ et $126$ : $180 \div 9 = 20$ et $126 \div 9 = 14$ , soit $20 \times 14 = 280$ dalles, quatre fois plus qu’avec des dalles de $18$ cm.

Problème 4 · Les demi-pensionnaires★★★Moyen

Dans un collège A,

105

élèves sur

175

sont demi-pensionnaires ; dans un collège B,

132

élèves sur

220

le sont. Les fractions sont à donner sous la forme a/b, simplifiées au maximum.

1. Fraction des élèves demi-pensionnaires du collège A :
$\frac{105}{175} = \frac{3 \times 5 \times 7}{5^{2} \times 7} = \frac{3}{5}$ .
2. Fraction des élèves demi-pensionnaires du collège B :
$\frac{132}{220} = \frac{2^{2} \times 3 \times 11}{2^{2} \times 5 \times 11} = \frac{3}{5}$ : la même proportion que dans le collège A.
3. Un collège C de $450$ élèves a la même proportion de demi-pensionnaires. Combien en compte-t-il ?
$\frac{3}{5}$ de $450$ : $450 \div 5 = 90$ , puis $90 \times 3 = 270$ demi-pensionnaires.
4. Dans un collège D, $126$ élèves sur $216$ sont demi-pensionnaires. Fraction simplifiée au maximum :
$\frac{126}{216} = \frac{2 \times 3^{2} \times 7}{2^{3} \times 3^{3}} = \frac{7}{2^{2} \times 3} = \frac{7}{12}$ . Ce n’est pas la même proportion : $\frac{3}{5} = \frac{36}{60}$ et $\frac{7}{12} = \frac{35}{60}$ .

Problème 5 · Les deux bus★★★Difficile

À un arrêt, le bus A passe toutes les

24

minutes et le bus B toutes les

36

minutes. Les deux bus passent ensemble à

8

00

1. Au bout de combien de minutes les deux bus repassent-ils ensemble ? min
$24 = 2^{3} \times 3$ et $36 = 2^{2} \times 3^{2}$ . Plus petit multiple commun : tous les facteurs, plus grand exposant, $2^{3} \times 3^{2} = 72$ min.
2. À quelle heure repassent-ils ensemble pour la première fois ? (écris par exemple 10h05)
$72$ min $= 1$ h $12$ min : $8$ h $00 + 1$ h $12$ min, soit $9$ h $12$ .
3. Combien de fois passent-ils ensemble entre $8$ h $00$ et $12$ h $00$ ( $8$ h $00$ compris) ?
Toutes les $72$ min, soit toutes les $1$ h $12$ min : $8$ h $00$ , $9$ h $12$ , $10$ h $24$ et $11$ h $36$ ; le suivant serait à $12$ h $48$ . Soit $4$ fois.
4. Le bus B passe désormais toutes les $30$ minutes. Au bout de combien de minutes les deux bus repassent-ils ensemble ? min
$24 = 2^{3} \times 3$ et $30 = 2 \times 3 \times 5$ : $2^{3} \times 3 \times 5 = 120$ min, soit $2$ h. Le produit $24 \times 30 = 720$ est aussi un multiple commun, mais pas le plus petit.

Problème 6 · Le nombre mystère★★★Difficile

Un nombre mystère

n

est le produit de trois nombres premiers différents ; il est pair, divisible par

5

, et compris entre

100

120

1. On peut écrire $n = 2 \times 5 \times p$ avec $p$ premier. Quelle est la valeur de $p$ ?
$n = 10 \times p$ doit être compris entre $100$ et $120$ : $p$ est entre $10$ et $12$ . $10$ et $12$ ne sont pas premiers, donc $p = 11$ .
2. $n =$
$2 \times 5 \times 11 = 110$ .
3. Simplifie au maximum $\frac{n}{154}$ (forme a/b) :
$154 = 2 \times 7 \times 11$ : $\frac{2 \times 5 \times 11}{2 \times 7 \times 11} = \frac{5}{7}$ .
4. Plus petit multiple commun non nul de $n$ et de $154$ :
$110 = 2 \times 5 \times 11$ et $154 = 2 \times 7 \times 11$ : tous les facteurs, plus grand exposant, $2 \times 5 \times 7 \times 11 = 770$ . En effet $770 = 110 \times 7 = 154 \times 5$ .

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