Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

1. a)$9+3=12$ est dans la table de $3$ : $93=3\times 31$. $93$ n’est pas premier (1)
2. b)Ni par $2$ (impair), ni par $3$ ($8+9=17$), ni par $5$, ni par $7$ ($89=7\times 12+5$) ; $11\times 11=121$ dépasse $89$ : $89$ est premier (1)
3. c)Ni par $2$, ni par $3$ ($1+8+7=16$), ni par $5$, ni par $7$ ($187=7\times 26+5$) ; mais $187=11\times 17$ : $187$ n’est pas premier (1)
4. d)$1$ n’a qu’un seul diviseur, lui-même : il n’est pas premier. $2$ a exactement deux diviseurs, $1$ et $2$ : il est premier, c’est le seul nombre premier pair (1)

Méthode — On essaie $2$, $3$, $5$, $7$, $11$… avec les critères puis la division, et on s’arrête quand le carré du nombre essayé dépasse le nombre.

1. a)$132÷2=66$ ; $66÷2=33$ ; $33÷3=11$ ; $11÷11=1$ : $132=2^2\times 3\times 11$ ($4\times 3\times 11=132$) (1)
2. b)$196÷2=98$ ; $98÷2=49$ ; $49÷7=7$ ; $7÷7=1$ : $196=2^2\times 7^2$ ($4\times 49=196$) (1)
3. c)$3+7+5=15$ : $375÷3=125$ ; $125÷5=25$ ; $25÷5=5$ ; $5÷5=1$ : $375=3\times 5^3$ ($3\times 125=375$) (1)
4. d)$1000=10\times 10\times 10$ et $10=2\times 5$ : $1000=2^3\times 5^3$ ($8\times 125=1000$) (1)

Repère — Les critères de divisibilité disent par quel nombre premier commencer ; à la fin, tous les facteurs doivent être premiers.

1. a)Deux derniers chiffres : $82=4\times 20+2$, donc $5382$ n’est pas divisible par $4$. Il est pair et $5+3+8+2=18$ est dans la table de $3$ et de $9$ : il est divisible par $6$ ($6=2\times 3$) et par $9$ (1)
2. b)${36}^2=36\times 36=(2^2\times 3^2)\times (2^2\times 3^2)$ : quatre facteurs $2$ et quatre facteurs $3$, donc ${36}^2=2^4\times 3^4$ (1)
3. c)$2\times 3\times 5^2$ ($=150$) : il contient $2\times 5=10$, mais un seul facteur $2$, alors que $4=2^2$. Les deux autres contiennent $2^2$ ; et $2^2\times 3\times 7$ ne contient pas $5$ (1)
4. d)$5040=2^4\times 3^2\times 5\times 7$ (divisions successives : quatre fois par $2$ jusqu’à $315$, deux fois par $3$ jusqu’à $35$, puis $35=5\times 7$) ; vérification : $16\times 9\times 35=5040$ (1)

Le point clé — Un nombre divise une décomposition quand chacun de ses facteurs premiers y est, avec un exposant au moins aussi grand.

1. a)${\displaystyle \frac{150}{252}}={\displaystyle \frac{2\times 3\times 5^2}{2^2\times 3^2\times 7}}={\displaystyle \frac{5^2}{2\times 3\times 7}}={\displaystyle \frac{25}{42}}$ (1)
2. b)${\displaystyle \frac{495}{561}}={\displaystyle \frac{3^2\times 5\times 11}{3\times 11\times 17}}={\displaystyle \frac{3\times 5}{17}}={\displaystyle \frac{15}{17}}$ (1)
3. c)$12=2^2\times 3$ et $180=2^2\times 3^2\times 5$ : il manque $3\times 5=15$. ${\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{7\times 15}{12\times 15}}={\displaystyle \frac{105}{180}}$ (1)
4. d)Non : $46=2\times 23$ et $69=3\times 23$ ont le facteur commun $23$, donc ${\displaystyle \frac{46}{69}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ (1)

Méthode — On écrit les deux décompositions l’une au-dessus de l’autre et on supprime les facteurs présents des deux côtés : il ne doit plus en rester aucun en commun.

1. a)$420=2^2\times 3\times 5\times 7$ ; $350=2\times 5^2\times 7$ (1)
2. b)Le nombre de sachets doit diviser $420$ et $350$. Facteurs communs, plus petit exposant : $2\times 5\times 7=70$ sachets (1)
3. c)$420÷70=6$ sucettes et $350÷70=5$ caramels par sachet (1)
4. d)Non : $21=3\times 7$ divise $420$ ($420=21\times 20$), mais pas $350$, qui ne contient pas le facteur $3$ ($3+5+0=8$ n’est pas dans la table de $3$) (1)

Méthode — Partager sans reste, c’est chercher un diviseur commun : le plus grand garde les facteurs communs avec leur plus petit exposant.