Puissances : exposant positif et puissances de 10

Rappels de 5e (carré, cube, carrés parfaits, priorités), puissance aⁿ d’un nombre (base, exposant, a¹ et a⁰), signe d’une puissance d’un nombre négatif, produits et quotients de puissances d’un même nombre, puissances de 10 d’exposant positif ou négatif et écriture décimale, multiplier par 10ⁿ, préfixes de nano à giga.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés où les puissances servent vraiment : des bactéries qui doublent toutes les 20 minutes, une carte mémoire de 128 Go, un cheveu comparé à un virus, l’arête d’un cube et une feuille pliée 42 fois dont l’épaisseur dépasserait la distance de la Terre à la Lune.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère ce qui se répète : « double », « est multiplié par », « chaque pliage » → une puissance.
Je compte le nombre de répétitions : c’est l’exposant (par exemple $9$ doublements → $2^{9}$ ).
Je convertis les unités avec les préfixes : je remplace le préfixe par sa puissance de $10$ ( $1$ µm $= 10^{- 6}$ m).
Je calcule en regroupant les puissances de $10$ , puis je vérifie l’ordre de grandeur et je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Les bactéries★★★Facile

Une population de bactéries double toutes les

20

minutes.

1. Par combien la population est-elle multipliée en $1$ heure ?
$1$ h $= 3 \times 20$ min : trois doublements, $2^{3} = 8$ .
2. Par combien est-elle multipliée en $3$ heures ?
$3$ h $= 9 \times 20$ min : $9$ doublements, $2^{9} = 512$ .
3. On part de $250$ bactéries. Combien y en a-t-il au bout de $2$ heures ?
$2$ h : $6$ doublements. $250 \times 2^{6} = 250 \times 64 = 16 000$ bactéries.
4. Toujours à partir de $250$ bactéries, après combien de doublements dépasse-t-on un million de bactéries ?
Il faut $250 \times 2^{n} > 1 000 000$ , c’est-à-dire $2^{n} > 4 000$ . $2^{11} = 2 048$ ne suffit pas, $2^{12} = 4 096$ convient : $250 \times 4 096 = 1 024 000$ . Il faut $12$ doublements.
5. Cela fait combien d’heures ?
$12 \times 20$ min $= 240$ min $= 4$ h.

Problème 2 · La carte mémoire★★★Facile

La carte mémoire de l’appareil photo de Sami a une capacité de

128

Go. On rappelle :

1

= 10^{9}

octets et

1

= 10^{6}

octets.

1. Combien de mégaoctets (Mo) contient-elle ?
$1$ Go $= 10^{9}$ octets $= 10^{3}$ Mo $= 1 000$ Mo, donc $128$ Go $= 128 000$ Mo.
2. Une photo pèse $4$ Mo. Combien de photos la carte peut-elle contenir ?
$128 000 \div 4 = 32 000$ photos.
3. Un film pèse $2, 5$ Go. Combien de films entiers peut-elle contenir ?
$128 \div 2, 5 = 51, 2$ : $51$ films entiers (le 52ᵉ ne tient pas).
4. Combien d’octets la carte contient-elle ? Écris le nombre en entier :
$128 \times 10^{9} = 128 000 000 000$ octets (cent vingt-huit milliards).

Problème 3 · Du cheveu au virus★★★Moyen

Au microscope, Lou mesure l’épaisseur d’un de ses cheveux :

80

µm. Un virus observé dans une image du laboratoire mesure

120

nm.

1. Épaisseur du cheveu en mètres, en écriture décimale : m
$80$ µm $= 80 \times 10^{- 6}$ m $= 0, 000 08$ m.
2. Taille du virus en mètres, en écriture décimale : m
$120$ nm $= 120 \times 10^{- 9}$ m $= 0, 000 000 12$ m.
3. Combien de nanomètres y a-t-il dans $1$ µm ?
$1$ µm $= 10^{- 6}$ m $= 10^{3} \times 10^{- 9}$ m $= 1 000$ nm.
4. L’épaisseur du cheveu est environ combien de fois la taille du virus ? (arrondis à l’unité)
$80$ µm $= 80 000$ nm et $80 000 \div 120 \approx 666, 7$ : environ $667$ fois.

Problème 4 · Les cubes★★★Moyen

Le volume d’un cube d’arête

a

est

a^{3}

et son aire totale (les

6

faces) est

6 \times a^{2}

1. Un cube a un volume de $3, 375$ cm³. Longueur de son arête, en cm :
On cherche $a$ tel que $a^{3} = 3, 375$ . $1, 5^{2} = 2, 25$ et $2, 25 \times 1, 5 = 3, 375$ : $a = 1, 5$ cm.
2. Aire totale de ce cube, en cm² :
$6 \times 1, 5^{2} = 6 \times 2, 25 = 13, 5$ cm².
3. On double l’arête d’un cube. Par combien son volume est-il multiplié ?
$(2 a)^{3} = 2 a \times 2 a \times 2 a = 2^{3} \times a^{3} = 8 a^{3}$ : le volume est multiplié par $8$ .
4. Un autre cube a un volume de $100$ cm³. Son arête est comprise entre deux entiers consécutifs : et
$4^{3} = 64$ et $5^{3} = 125$ : $64 < 100 < 125$ , donc l’arête est comprise entre $4$ et $5$ cm.
5. Valeur approchée de cette arête au dixième près : cm
$4, 6^{3} = 97, 336$ et $4, 7^{3} = 103, 823$ : l’arête est entre $4, 6$ et $4, 7$ cm. Et $4, 65^{3} = 100, 544 625$ est plus grand que $100$ : l’arête est plus petite que $4, 65$ , donc plus proche de $4, 6$ .

Problème 5 · La feuille pliée★★★Difficile

Une feuille de papier a une épaisseur de

0, 1

mm. On la plie en deux, puis encore en deux, et ainsi de suite : chaque pliage double l’épaisseur.

1. L’épaisseur de départ, $0, 1$ mm, vaut $10^{n}$ m. Donne $n$ :
$0, 1$ mm $= 0, 1 \times 10^{- 3}$ m $= 0, 0001$ m $= 10^{- 4}$ m.
2. Épaisseur après $7$ pliages, en mm :
$0, 1 \times 2^{7} = 0, 1 \times 128 = 12, 8$ mm.
3. Épaisseur après $20$ pliages, en mètres, arrondie à l’unité ( $2^{20} = 1 048 576$ ) :
$0, 1 \times 1 048 576 = 104 857, 6$ mm $= 104, 857 6$ m, soit environ $105$ m.
4. On donne $2^{42} = 4 398 046 511 104$ . Épaisseur après $42$ pliages, en kilomètres, arrondie au kilomètre :
$2^{42} \times 10^{- 4}$ m $= 439 804 651, 110 4$ m $= 439 804, 651 110 4$ km (on divise par $10^{3}$ ), soit environ $439 805$ km.
5. La distance moyenne de la Terre à la Lune est d’environ $384 400$ km. De combien de kilomètres l’épaisseur la dépasse-t-elle ?
$439 805 - 384 400 = 55 405$ km : avec $42$ pliages (impossibles en vrai), on dépasserait la Lune.

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