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Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers
Rappels de 5e (multiples, diviseurs, critères de divisibilité), nombre premier, crible d’Ératosthène et nombres premiers inférieurs à 100, tester si un nombre est premier, décomposition en produit de facteurs premiers, fractions égales et simplification, diviseurs et multiples communs grâce à la décomposition.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Un nombre premier possède…
- A. un seul diviseur
- B. au moins trois diviseurs
- C. exactement deux diviseurs
- D. une infinité de diviseurs
Réponse
C. exactement deux diviseurs — Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même, et rien d’autre.
Le seul nombre premier pair est…
- A. 4
- B. 0
- C. il n’y en a pas
- D. 2
Réponse
D. 2 — 2 n’a que deux diviseurs, 1 et 2. Tout autre nombre pair est divisible par 1, par 2 et par lui-même : il a au moins trois diviseurs.
Le nombre 1…
- A. est le plus petit nombre premier
- B. n’est ni premier ni composé
- C. est un nombre composé
- D. est premier car divisible par lui-même
Réponse
B. n’est ni premier ni composé — 1 n’a qu’un seul diviseur, lui-même : il n’est pas premier (il en faudrait exactement deux) ; un nombre composé est un nombre plus grand que 1 qui n’est pas premier.
Lequel de ces nombres est divisible par 9 ?
- A. 4 371
- B. 4 581
- C. 4 621
- D. 4 512
Réponse
B. 4 581 — 4 + 5 + 8 + 1 = 18 est dans la table de 9. Les autres sommes, 15, 13 et 12, n’y sont pas (4 371 et 4 512 sont seulement divisibles par 3).
La décomposition en facteurs premiers de 12 est…
- A. 2² × 3
- B. 3 × 4
- C. 2 × 6
- D. 1 × 12
Réponse
A. 2² × 3 — 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3. Dans les autres écritures, 4, 6 et 12 ne sont pas premiers, et 1 n’apparaît jamais.
Parmi ces nombres, lequel est premier ?
- A. 21
- B. 25
- C. 27
- D. 23
Réponse
D. 23 — 21 = 3 × 7, 25 = 5² et 27 = 3³ ne sont pas premiers ; 23 n’a que deux diviseurs, 1 et 23.
2 × 2 × 2 × 5 s’écrit avec des exposants…
- A. 2³ × 5
- B. 2⁵
- C. 6 × 5
- D. 2 × 5³
Réponse
A. 2³ × 5 — Trois facteurs 2 et un facteur 5 : 2³ × 5 ( = 40). 2⁵ = 32 et 2 × 5³ = 250.
Combien y a-t-il de nombres premiers inférieurs à 100 ?
- A. 50
- B. 10
- C. 25
- D. 30
Réponse
C. 25 — Le crible d’Ératosthène en laisse 25, de 2 à 97.
15 n’est pas premier car…
- A. il est impair
- B. il est égal à 15 × 1
- C. il est plus grand que 10
- D. il est égal à 3 × 5
Réponse
D. il est égal à 3 × 5 — 15 = 3 × 5 : il a quatre diviseurs, 1, 3, 5 et 15. Tout nombre s’écrit « lui-même × 1 », cela ne prouve rien ; et 13 est impair et plus grand que 10, pourtant il est premier.
Le nombre premier qui suit 7 est…
- A. 11
- B. 8
- C. 9
- D. 13
Réponse
A. 11 — 8 = 2³, 9 = 3² et 10 = 2 × 5 sont composés ; 11 est premier. 13 est premier aussi, mais il vient après 11.
La décomposition de 50 en facteurs premiers est…
- A. 5 × 10
- B. 2 × 25
- C. 2² × 5
- D. 2 × 5²
Réponse
D. 2 × 5² — 50 = 2 × 25 = 2 × 5 × 5 = 2 × 5². 10 et 25 ne sont pas premiers, et 2² × 5 = 20.
2² × 3² vaut…
- A. 12
- B. 24
- C. 36
- D. 72
Réponse
C. 36 — 2² × 3² = 4 × 9 = 36.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
91 n’est pas premier car…
- A. il est divisible par 3
- B. 91 = 7 × 13
- C. il est divisible par 11
- D. il est impair
Réponse
B. 91 = 7 × 13 — 9 + 1 = 10 n’est pas dans la table de 3, et 91 = 11 × 8 + 3 ; mais 7 × 13 = 91. Être impair ne dit rien : 97 est impair et premier.
La décomposition de 280 en facteurs premiers est…
- A. 2² × 7 × 10
- B. 2 × 5 × 7²
- C. 2³ × 35
- D. 2³ × 5 × 7
Réponse
D. 2³ × 5 × 7 — 280 = 2 × 140 = 2 × 2 × 70 = 2 × 2 × 2 × 35 = 2³ × 5 × 7. 10 et 35 ne sont pas premiers, et 2 × 5 × 7² = 490.
Pour tester si 79 est premier, il suffit d’essayer les divisions par…
- A. 2 et 3
- B. 2, 3, 5 et 7
- C. 2, 3, 5, 7, 11 et 13
- D. tous les nombres jusqu’à 39
Réponse
B. 2, 3, 5 et 7 — 7 × 7 = 49 ne dépasse pas 79, mais 11 × 11 = 121 le dépasse : on s’arrête après 7. Aucune division ne tombe juste, 79 est premier.
Le quotient (2³ × 3 × 5) / (2² × 3²) se simplifie en…
- A. 10/3
- B. 5/3
- C. 10/9
- D. 40/3
Réponse
A. 10/3 — Facteurs communs : 2² × 3. Il reste 2 × 5 en haut et 3 en bas : 10/3 (et 120/36 = 10/3).
Le nombre 2² × 3 × 7 est divisible par…
- A. 8
- B. 18
- C. 14
- D. 15
Réponse
C. 14 — 14 = 2 × 7 : ses facteurs sont dans la décomposition. 8 = 2³ demanderait trois facteurs 2, 18 = 2 × 3² deux facteurs 3, et 15 = 3 × 5 un facteur 5, qui n’y est pas.
2 431 se décompose en…
- A. 11 × 221
- B. 13 × 187
- C. c’est un nombre premier
- D. 11 × 13 × 17
Réponse
D. 11 × 13 × 17 — 2 431 ÷ 11 = 221, 221 ÷ 13 = 17 et 17 est premier : 2 431 = 11 × 13 × 17. Les produits 11 × 221 et 13 × 187 valent bien 2 431, mais 221 et 187 ne sont pas premiers.
La forme irréductible de 45/75 est…
- A. 3/5
- B. 9/15
- C. 15/25
- D. 5/3
Réponse
A. 3/5 — 45/75 = (3² × 5)/(3 × 5²) = 3/5. 9/15 et 15/25 lui sont égales mais se simplifient encore ; 5/3 est l’inverse.
Le plus petit multiple commun non nul de 12 = 2² × 3 et 20 = 2² × 5 est…
- A. 240
- B. 60
- C. 4
- D. 120
Réponse
B. 60 — Tous les facteurs, plus grand exposant : 2² × 3 × 5 = 60. 240 = 12 × 20 et 120 sont des multiples communs plus grands ; 4 est un diviseur commun.
Le plus grand diviseur commun de 48 = 2⁴ × 3 et 60 = 2² × 3 × 5 est…
- A. 6
- B. 240
- C. 12
- D. 24
Réponse
C. 12 — Facteurs communs, plus petit exposant : 2² × 3 = 12. 6 divise aussi les deux nombres, mais ce n’est pas le plus grand ; 24 ne divise pas 60, et 240 est le plus petit multiple commun.
Parmi 69, 71, 77 et 81, le nombre premier est…
- A. 69
- B. 77
- C. 81
- D. 71
Réponse
D. 71 — 69 = 3 × 23, 77 = 7 × 11 et 81 = 3⁴ sont composés ; 71 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7.
Quel chiffre □ rend 7□4 divisible par 9 ?
- A. 2
- B. 7
- C. 4
- D. 9
Réponse
B. 7 — 7 + 4 = 11 ; il faut 11 + □ = 18, donc □ = 7 : 774 = 9 × 86. Avec 2, 4 ou 9, les sommes valent 13, 15 et 20.
Un nombre est divisible par 6 si sa décomposition contient…
- A. au moins un facteur 2 et un facteur 3
- B. au moins un facteur 6
- C. au moins deux facteurs 3
- D. au moins un facteur 2 ou un facteur 3
Réponse
A. au moins un facteur 2 et un facteur 3 — 6 = 2 × 3 : il faut les deux facteurs. 6 n’est pas premier, il n’apparaît jamais dans une décomposition ; 9 = 3² et 10 = 2 × 5 ne sont pas divisibles par 6.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Un élève écrit (2³ × 5)/(2 × 7) = 5/7. Son erreur est…
- A. il a supprimé 2³ au lieu de 2
- B. il n’a pas supprimé le facteur 7
- C. aucune, son résultat est juste
- D. il devait trouver 10/7
Réponse
A. il a supprimé 2³ au lieu de 2 — Un seul facteur 2 est commun : il reste 2² × 5 en haut, soit 20/7 (et 40/14 = 20/7).
Le reste de la division euclidienne de 2 × 3 × 5 × 7 + 1 = 211 par 7 est…
- A. 0
- B. 6
- C. 1
- D. 3
Réponse
C. 1 — 2 × 3 × 5 × 7 = 210 est un multiple de 7 : 211 = 7 × 30 + 1, le reste est 1. De même par 2, 3 ou 5, le reste vaut 1 : 211 n’est divisible par aucun d’eux.
Le nombre de facteurs premiers différents de 1 400 est…
- A. 6
- B. 3
- C. 2
- D. 5
Réponse
B. 3 — 1 400 = 2³ × 5² × 7 : trois facteurs premiers différents, 2, 5 et 7 (6 est le nombre total de facteurs, en comptant les répétitions).
Parmi ces décompositions, celle d’un multiple de 15 qui n’est pas un multiple de 4 est…
- A. 2² × 3 × 5
- B. 2² × 5²
- C. 2³ × 3 × 5²
- D. 2 × 3² × 5
Réponse
D. 2 × 3² × 5 — Il faut les facteurs 3 et 5, et au plus un facteur 2 : 2 × 3² × 5 = 90. 2² × 3 × 5 = 60 et 2³ × 3 × 5² = 600 contiennent 2², ce sont des multiples de 4 ; 2² × 5² ne contient pas 3.
n = 2² × 7 et m = 2 × 7². Alors n × m vaut…
- A. 2² × 7²
- B. 2³ × 7³
- C. 2⁴ × 7⁴
- D. 4 × 49 × 2
Réponse
B. 2³ × 7³ — On compte les facteurs : 2 × 2 × 2 (trois facteurs 2) et 7 × 7 × 7 (trois facteurs 7), donc 2³ × 7³ ; en effet 28 × 98 = 2 744 = 8 × 343.
Le carré de 42 = 2 × 3 × 7 a pour décomposition…
- A. 2 × 3 × 7²
- B. 2² × 3 × 7
- C. 2² × 3² × 7²
- D. 4 × 9 × 7
Réponse
C. 2² × 3² × 7² — 42² = 42 × 42 = (2 × 3 × 7) × (2 × 3 × 7) : chaque facteur apparaît deux fois, 2² × 3² × 7² = 1 764.
Le nombre premier p tel que 6 × p soit compris entre 100 et 110 est…
- A. p = 17
- B. p = 18
- C. p = 19
- D. p = 16
Réponse
A. p = 17 — 6 × 17 = 102 ; 16 et 18 ne sont pas premiers, et 6 × 19 = 114 dépasse 110.
La fraction 39/65…
- A. se simplifie par 3
- B. se simplifie par 5
- C. est égale à 3/5
- D. est irréductible
Réponse
C. est égale à 3/5 — 39 = 3 × 13 et 65 = 5 × 13 : le facteur commun est 13, et 39/65 = 3/5. 65 n’est pas divisible par 3, ni 39 par 5.
Deux nombres premiers différents ont pour seul diviseur commun…
- A. leur produit
- B. 1
- C. le plus petit des deux
- D. 0
Réponse
B. 1 — Chacun n’a que 1 et lui-même pour diviseurs : seul 1 est commun. Leur produit est leur plus petit multiple commun.
Le nombre 2¹⁰ a pour diviseurs…
- A. seulement 1, 2 et 2¹⁰
- B. tous les nombres pairs jusqu’à 1 024
- C. 2, 4, 5, 10 et leurs produits
- D. toutes les puissances de 2 de 1 à 2¹⁰
Réponse
D. toutes les puissances de 2 de 1 à 2¹⁰ — Un diviseur de 2¹⁰ ne contient que des facteurs 2, au plus dix : 1, 2, 4, 8… jusqu’à 1 024. 6 est pair mais ne le divise pas.
n = 2³ × 3 × 5² ( = 600). La plus grande puissance de 10 qui divise n est…
- A. 10
- B. 1 000
- C. 100
- D. 10⁵
Réponse
C. 100 — 10 = 2 × 5 : 10² = 2² × 5² divise n, mais 10³ = 2³ × 5³ demanderait trois facteurs 5. 600 = 100 × 6.
Le plus petit nombre entier ayant exactement quatre diviseurs est…
- A. 4
- B. 6
- C. 8
- D. 12
Réponse
B. 6 — 6 = 2 × 3 a pour diviseurs 1, 2, 3 et 6. 4 n’en a que trois (1, 2, 4) ; 8 en a quatre mais il est plus grand ; 12 en a six.
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