Quels sont les nombres premiers inférieurs à 100 ?

Il y en a 25 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97. Le nombre 2 est le seul nombre premier pair.

Comment décomposer un nombre en produit de facteurs premiers ?

On divise le nombre par le plus petit nombre premier possible (2, puis 3, puis 5…) et on recommence avec le quotient jusqu'à obtenir 1. Par exemple $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$. Cette décomposition est unique.

À quoi sert la décomposition en facteurs premiers ?

Elle permet de simplifier une fraction en repérant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, de trouver les diviseurs d'un nombre et de résoudre des problèmes de partage ou de rangement en parts égales.

Collège · 4ᵉ · Mathématiques

Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

Q: Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Un nombre premier est un nombre entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple 7 est premier (diviseurs 1 et 7), mais 6 ne l'est pas (diviseurs 1, 2, 3 et 6). Le nombre 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur.

Définition d'un nombre premier, crible d'Ératosthène, test de primalité, décomposition en produit de facteurs premiers et fractions égales (programme de 4e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'un nombre premier ?, Le crible d'Ératosthène : les 25 nombres premiers jusqu'à 100, Tester si un nombre est premier, Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Définition. Un nombre entier est premier s'il possède exactement deux diviseurs :

1

et lui-même.

Exemples.

7

est premier : ses seuls diviseurs sont

1

7

13

est premier. En revanche

6

n'est pas premier : il a quatre diviseurs (

1

2

3

6

). On dit que

6

est un nombre composé.

Deux cas particuliers à retenir.
•

1

n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur (lui-même).
•

2

est premier, et c'est le seul nombre premier pair : tous les autres nombres pairs sont divisibles par

2

, donc ont au moins trois diviseurs.

Rappel des critères de divisibilité. Par

2

: chiffre des unités pair. Par

3

: somme des chiffres divisible par

3

. Par

5

: unités

0

5

. Par

9

: somme des chiffres divisible par

9

. Par

10

: unités

0

. Ces critères sont les premiers outils pour repérer un nombre composé.

Le crible d'Ératosthène : les 25 nombres premiers jusqu'à 100

Le mathématicien grec Ératosthène (IIIe siècle avant J.-C.) a imaginé une méthode pour trouver tous les nombres premiers jusqu'à un nombre donné : on « tamise » les nombres composés.

Les 25 nombres premiers inférieurs à 100.

de 1 à 25	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
de 26 à 50	29, 31, 37, 41, 43, 47
de 51 à 75	53, 59, 61, 67, 71, 73
de 76 à 100	79, 83, 89, 97

Attention aux faux amis !

51 = 3 \times 17

57 = 3 \times 19

87 = 3 \times 29

91 = 7 \times 13

: ils « ont l'air » premiers mais ne le sont pas.

Tester si un nombre est premier

Méthode. Pour savoir si un nombre

n

est premier, on teste sa divisibilité par les nombres premiers dans l'ordre :

2

3

5

7

11

… On peut s'arrêter dès que le carré du nombre premier testé dépasse

n

. Si aucune division ne tombe juste,

n

est premier.

Exemple 1 : $97$ . Pas divisible par

2

(impair), ni par

3

(

9 + 7 = 16

), ni par

5

, ni par

7

(

97 = 7 \times 13 + 6

). Le nombre premier suivant est

11

, et

11^{2} = 121 > 97

: on s'arrête. $97$ est premier.

Exemple 2 : $91$ . Pas divisible par

2

3

(

9 + 1 = 10

) ni

5

. Mais

91 = 7 \times 13

. $91$ n'est pas premier.

Pourquoi peut-on s'arrêter ? Si

n

avait un diviseur plus grand que sa « racine », il aurait aussi un diviseur plus petit (le quotient). Pour un nombre inférieur à

121

, il suffit donc de tester

2

3

5

7

Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

Propriété. Tout nombre entier supérieur à

1

s'écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique (à l'ordre des facteurs près). C'est sa décomposition en facteurs premiers.

Méthode des divisions successives. On divise par le plus petit nombre premier possible, on recommence avec le quotient, jusqu'à obtenir

1

Exemple : $360$ .

360 \div 2 = 180

;

180 \div 2 = 90

;

90 \div 2 = 45

;

45 \div 3 = 15

;

15 \div 3 = 5

;

5 \div 5 = 1

.
Donc

360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5

Nombre	$60$	$84$	$125$	$200$	$1 001$
Décomposition	$2^{2} \times 3 \times 5$	$2^{2} \times 3 \times 7$	$5^{3}$	$2^{3} \times 5^{2}$	$7 \times 11 \times 13$

Astuce. Regroupe les facteurs identiques avec des exposants et range-les dans l'ordre croissant. Pour vérifier, recalcule le produit :

2^{3} \times 3^{2} \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360

✓.

Attention !

12 = 3 \times 4

n'est pas une décomposition en facteurs premiers :

4

n'est pas premier. Il faut continuer :

12 = 2^{2} \times 3

Utiliser la décomposition : fractions égales et fraction irréductible

Méthode. Pour simplifier une fraction, on décompose le numérateur et le dénominateur, puis on supprime les facteurs communs (on divise en haut et en bas par le même nombre). Quand il ne reste plus aucun facteur commun, la fraction est irréductible.

Exemple.

\frac{84}{60} = \frac{2^{2} \times 3 \times 7}{2^{2} \times 3 \times 5} = \frac{7}{5}

. Les facteurs

2^{2}

3

apparaissent en haut et en bas : on les supprime.

Exemple.

\frac{126}{105} = \frac{2 \times 3^{2} \times 7}{3 \times 5 \times 7} = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5}

. Attention :

3^{2}

en haut contre

3

en bas, il reste un facteur

3

en haut.

Fractions égales. Pour écrire

\frac{5}{6}

avec un dénominateur

72

72 = 6 \times 12

, donc

\frac{5}{6} = \frac{5 \times 12}{6 \times 12} = \frac{60}{72}

. La décomposition

72 = 2^{3} \times 3^{2}

6 = 2 \times 3

montre le facteur manquant :

2^{2} \times 3 = 12

Astuce. Deux fractions sont égales si elles ont la même forme irréductible :

\frac{84}{126}

\frac{120}{180}

valent toutes deux

\frac{2}{3}

Utiliser la décomposition : diviseurs communs et multiples communs

Diviseurs d'un nombre. Les diviseurs de

n

se fabriquent avec les facteurs de sa décomposition.

84 = 2^{2} \times 3 \times 7

est divisible par

12 = 2^{2} \times 3

(tous ses facteurs sont dans

84

) mais pas par

9 = 3^{2}

(il n'y a qu'un seul

3

dans

84

Plus grand diviseur commun. Pour paver un rectangle de

180

cm sur

126

cm avec les plus grandes dalles carrées possibles, sans découpe, le côté doit diviser

180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5

126 = 2 \times 3^{2} \times 7

. Les facteurs communs sont

2 \times 3^{2} = 18

: dalles de

18

cm, soit

10 \times 7 = 70

dalles.

Plus petit multiple commun. Un bus passe toutes les

12

min (

12 = 2^{2} \times 3

), un autre toutes les

18

min (

18 = 2 \times 3^{2}

). Ils repassent ensemble après un nombre de minutes contenant

2^{2}

3^{2}

2^{2} \times 3^{2} = 36

min.

Règle de lecture. Diviseur commun : on garde les facteurs présents dans les deux décompositions, avec le plus petit exposant. Multiple commun : on prend tous les facteurs, avec le plus grand exposant.

Méthodes et erreurs fréquentes

Les quatre erreurs classiques.
① Considérer

1

comme premier, ou oublier que

2

l'est.
② Croire qu'un nombre impair « compliqué » est premier sans tester

3

7

51

57

87

91

sont composés.
③ Laisser un facteur non premier dans la décomposition (

4

6

9

10

…).
④ Simplifier une fraction en supprimant un facteur qui n'est que d'un seul côté.

Contrôle du résultat. Le produit des facteurs doit redonner le nombre de départ ; une fraction simplifiée doit avoir la même valeur décimale que la fraction initiale (

84 \div 60 = 1, 4 = 7 \div 5

✓).

En bref

Un nombre premier a exactement deux diviseurs ( $1$ et lui-même) ; $1$ n'est pas premier, $2$ est le seul premier pair.
Les $25$ premiers jusqu'à $100$ : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97$ .
Test de primalité : diviser par $2, 3, 5, 7, 11$ … et s'arrêter dès que le carré du diviseur dépasse le nombre.
Tout entier $> 1$ a une décomposition unique en produit de facteurs premiers : $360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$ .
Simplifier une fraction : décomposer, puis supprimer les facteurs communs ; sans facteur commun, elle est irréductible.
Diviseur commun : facteurs communs, plus petit exposant ; multiple commun : tous les facteurs, plus grand exposant.

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