Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

Rappels de 5e (multiples, diviseurs, critères de divisibilité), nombre premier, crible d’Ératosthène et nombres premiers inférieurs à 100, tester si un nombre est premier, décomposition en produit de facteurs premiers, fractions égales et simplification, diviseurs et multiples communs grâce à la décomposition.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 4e reprend d’abord les rappels de 5e (multiple, diviseur, critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10, liste des diviseurs), puis définit le nombre premier avec le crible d’Ératosthène, la liste des 25 nombres premiers inférieurs à 100 et la méthode pour tester un nombre. Il explique ensuite la décomposition en produit de facteurs premiers par divisions successives et son usage pour simplifier une fraction, écrire des fractions égales et trouver un diviseur commun ou un multiple commun.

Rappels de 5e : multiples, diviseurs et critères de divisibilité

Ce chapitre s’appuie sur tout ce que l’on a appris en 5ᵉ sur la divisibilité : on le reprend ici en entier, avec de nouveaux exemples.

Ce qu’il faut savoir Un nombre entier a est divisible par un nombre entier b (b différent de 0) lorsque la division euclidienne de a par b a un reste égal à 0 : a = b × q. On dit aussi que a est un multiple de b, et que b est un diviseur de a.
Un critère de divisibilité évite de poser la division :
• par 2 : chiffre des unités 0, 2, 4, 6 ou 8 (nombre pair) ; par 5 : 0 ou 5 ; par 10 : 0 ;
• par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9) ;
• par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4.
Pour 6 = 2 × 3, on vérifie les critères par 2 et par 3 ; pour 15 = 3 × 5, par 3 et par 5 ; pour 18 = 2 × 9, par 2 et par 9 ; pour 12 = 3 × 4, par 3 et par 4.
Pour écrire tous les diviseurs d’un nombre, on cherche les produits égaux à ce nombre en essayant 1, 2, 3… dans l’ordre ; chaque produit donne deux diviseurs, et on s’arrête quand on retombe sur un diviseur déjà trouvé.

Exemples

161 ÷ 7 : 23, il reste 0. Donc 161 = 7 × 23 : 161 est un multiple de 7 (et de 23), et 7 est un diviseur de 161.

200 ÷ 7 : 28, il reste 4. Donc 200 = 7 × 28 + 4 : le reste n’est pas 0, 200 n’est pas divisible par 7.

Nombre	Unités	Deux derniers chiffres	Somme des chiffres	Divisible par
6 270	0	70 = 4 × 17 + 2	6 + 2 + 7 + 0 = 15	2 ; 3 ; 5 ; 10
4 158	8	58 = 4 × 14 + 2	4 + 1 + 5 + 8 = 18	2 ; 3 ; 9
3 465	5	65 = 4 × 16 + 1	3 + 4 + 6 + 5 = 18	3 ; 5 ; 9
7 012	2	12 = 4 × 3	7 + 0 + 1 + 2 = 10	2 ; 4

Exemples

4 158 est pair et 4 + 1 + 5 + 8 = 18 est dans la table de 3 : il est divisible par 6 (4 158 = 6 × 693).

66 = 1 × 66 = 2 × 33 = 3 × 22 = 6 × 11. Ni 4, ni 5, ni 7, 8, 9 ou 10 ne conviennent, et 11 est déjà trouvé : on s’arrête.
Diviseurs de 66 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 11 ; 22 ; 33 ; 66.

Réflexe — pour 2, 5 et 10, je regarde le chiffre des unités ; pour 4, les deux derniers chiffres ; pour 3 et 9, la somme des chiffres ; pour un autre diviseur, je pose la division euclidienne et je regarde le reste.

Attention — « 7 est un diviseur de 161 » et « 161 est un multiple de 7 » : les deux mots vont en sens inverse. Un nombre divisible par 3 ne l’est pas toujours par 9 (6 270), et un nombre pair ne l’est pas toujours par 4 (4 158).

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Nombres premiers : définition, crible d’Ératosthène et test

Ce qu’il faut savoir Un nombre entier est premier lorsqu’il a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Un nombre entier plus grand que 1 qui n’est pas premier est un nombre composé : il a au moins trois diviseurs.
• 1 n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur, lui-même.
• 2 est premier, et c’est le seul nombre premier pair : tout autre nombre pair a au moins trois diviseurs (1, 2 et lui-même).
• Il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.

Exemples

13 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 13.

15 n’est pas premier : 15 = 3 × 5, ses diviseurs sont 1, 3, 5 et 15. C’est un nombre composé.

Le crible d’Ératosthène

Le savant grec Ératosthène (IIIᵉ siècle avant J.-C.) a imaginé une méthode pour trouver tous les nombres premiers jusqu’à un nombre donné. Elle fonctionne comme un tamis (un « crible ») qui ne laisse passer que les nombres premiers :

1. On écrit les nombres de 1 à 100 et on barre 1.
2. On garde 2, le premier nombre non barré, et on barre tous ses multiples : 4, 6, 8…
3. On garde le nombre suivant non barré, 3, et on barre ses multiples : 6, 9, 12…
4. On recommence avec 5, puis avec 7.
5. Le nombre suivant non barré est 11, et 11 × 11 = 121 dépasse 100 : les multiples de 11 jusqu’à 100 (11 × 2, 11 × 3… 11 × 9) sont déjà barrés. On s’arrête : les nombres qui restent sont premiers.

Le crible jusqu’à 100 : les nombres barrés sont composés (ou égaux à 1), les 25 nombres en gras sont premiers.
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	~~100~~

Attention aux faux amis — 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19, 87 = 3 × 29 et 91 = 7 × 13 « ont l’air » premiers, mais ne le sont pas.

Tester si un nombre est premier

Méthode. Pour savoir si un nombre n est premier, on essaie de le diviser par les nombres premiers dans l’ordre : 2, 3, 5, 7, 11, 13… On s’arrête dès que le carré du nombre premier essayé dépasse n. Si aucune division ne tombe juste, n est premier.

Pourquoi peut-on s’arrêter ? Si n = a × b avec a plus petit que b (ou égal), alors a × a ne dépasse pas a × b = n : un nombre composé a toujours un diviseur dont le carré ne dépasse pas n, et on l’aurait trouvé (lui ou l’un de ses facteurs premiers). Pour un nombre inférieur à 121 = 11 × 11, il suffit donc d’essayer 2, 3, 5 et 7.

Exemples

83 : pas divisible par 2 (il est impair), ni par 3 (8 + 3 = 11), ni par 5 (il ne se termine ni par 0 ni par 5), ni par 7 (83 = 7 × 11 + 6). Le nombre premier suivant est 11, et 11 × 11 = 121 dépasse 83 : on s’arrête. 83 est premier.

119 : pas divisible par 2, ni par 3 (1 + 1 + 9 = 11), ni par 5. Mais 119 ÷ 7 : 17, il reste 0. 119 = 7 × 17 n’est pas premier.

169 : ni par 2, ni par 3 (1 + 6 + 9 = 16), ni par 5, ni par 7 (169 = 7 × 24 + 1), ni par 11 (169 = 11 × 15 + 4). 13 × 13 = 169 ne dépasse pas 169 : on essaie encore 13, et 169 = 13 × 13. 169 n’est pas premier.

Réflexe — pour savoir si un nombre est premier, j’essaie 2, 3, 5, 7, 11… (avec les critères, puis la division) et je m’arrête quand le carré du nombre essayé dépasse le nombre.

Attention — 1 n’est pas premier et 2 l’est. Un nombre impair n’est pas forcément premier : il faut essayer 3 et 7 avant de conclure (51, 91). Et on s’arrête quand le carré dépasse le nombre, pas quand il l’égale : 169 = 13 × 13.

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Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

Ce qu’il faut savoir Tout nombre entier plus grand que 1 est premier ou s’écrit comme un produit de nombres premiers. Cette écriture est unique, à l’ordre des facteurs près : c’est sa décomposition en produit de facteurs premiers.
On regroupe les facteurs égaux avec des exposants et on les range dans l’ordre croissant : 2 × 2 × 2 × 5 = 2³ × 5.
Méthode des divisions successives : on divise le nombre par le plus petit nombre premier possible (2, sinon 3, sinon 5…), on recommence avec le quotient, et on s’arrête quand le quotient vaut 1.

Exemples

360 ÷ 2 = 180 ; 180 ÷ 2 = 90 ; 90 ÷ 2 = 45 ; 45 ÷ 3 = 15 ; 15 ÷ 3 = 5 ; 5 ÷ 5 = 1. On l’écrit souvent en colonnes :

Nombre	Diviseur premier
360	2
180	2
90	2
45	3
15	3
5	5
1

Donc 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5. Vérification : 8 × 9 × 5 = 360.

1 001 n’est divisible ni par 2, ni par 3 (1 + 0 + 0 + 1 = 2), ni par 5. 1 001 ÷ 7 = 143 ; 143 ÷ 11 = 13 ; 13 ÷ 13 = 1. Donc 1 001 = 7 × 11 × 13.

Nombre	60	125	200	98
Décomposition	2² × 3 × 5	5³	2³ × 5²	2 × 7²

Aller plus vite : partir d’un produit connu

On peut couper le nombre en un produit facile, puis décomposer chaque morceau : 450 = 45 × 10 = (3² × 5) × (2 × 5) = 2 × 3² × 5². Le résultat est le même qu’avec les divisions successives, puisque la décomposition est unique.

Réflexe — je divise par 2 tant que c’est possible, puis par 3, puis par 5, 7… ; à la fin, je regroupe avec des exposants dans l’ordre croissant et je vérifie en recalculant le produit.

Attention — tous les facteurs doivent être premiers : 45 = 5 × 9 n’est pas une décomposition en facteurs premiers, car 9 n’est pas premier ; il faut continuer : 45 = 3² × 5. Et 1 n’apparaît jamais dans une décomposition.

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Fractions égales et simplification grâce à la décomposition

Ce qu’il faut savoir Rappel de 5ᵉ. On ne change pas une fraction en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. Simplifier, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun ; quand leur seul diviseur commun est 1, la fraction est irréductible.
Avec la décomposition. Je décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis je supprime les facteurs communs : c’est diviser en haut et en bas par le même nombre. Quand il ne reste plus aucun facteur premier commun, la fraction est irréductible.
Fractions égales. Deux fractions sont égales lorsqu’elles se simplifient en la même fraction irréductible. Pour écrire une fraction égale avec un dénominateur donné, je cherche le facteur qui manque.

Exemples

$\frac{198}{165}$ = $\frac{2 × 3² × 11}{3 × 5 × 11}$ = $\frac{2 × 3}{5}$ = $\frac{6}{5}$ . En haut 3², en bas 3 : un seul facteur 3 est commun, il en reste un en haut ; on a supprimé 3 × 11 = 33.

$\frac{60}{105}$ = $\frac{2² × 3 × 5}{3 × 5 × 7}$ = $\frac{4}{7}$ et $\frac{88}{154}$ = $\frac{2³ × 11}{2 × 7 × 11}$ = $\frac{2²}{7}$ = $\frac{4}{7}$ : ces deux fractions sont égales.

Compléter $\frac{5}{18}$ = $\frac{…}{126}$ : 18 = 2 × 3² et 126 = 2 × 3² × 7, il manque le facteur 7. $\frac{5}{18}$ = $\frac{5 × 7}{18 × 7}$ = $\frac{35}{126}$ .

Mettre au même dénominateur

Le plus petit dénominateur commun contient tous les facteurs premiers des deux dénominateurs, chacun avec son plus grand exposant.

Exemple

$\frac{7}{12}$ et $\frac{11}{30}$ : 12 = 2² × 3 et 30 = 2 × 3 × 5. Dénominateur commun : 2² × 3 × 5 = 60. $\frac{7}{12}$ = $\frac{7 × 5}{12 × 5}$ = $\frac{35}{60}$ et $\frac{11}{30}$ = $\frac{11 × 2}{30 × 2}$ = $\frac{22}{60}$ .

Réflexe — j’écris les deux décompositions l’une au-dessus de l’autre, je supprime les facteurs présents en haut ET en bas (autant de fois qu’ils sont des deux côtés), puis je multiplie ce qui reste.

Attention — on ne supprime un facteur que s’il est des deux côtés : dans $\frac{3² × 11}{3 × 5}$ , un seul 3 est commun, il reste 3 × 11 en haut : $\frac{33}{5}$ . On vérifie à la calculatrice : 99 ÷ 15 = 6,6 et 33 ÷ 5 = 6,6.

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Diviseurs, diviseurs communs et multiples communs

Ce qu’il faut savoir Diviseurs d’un nombre. Un nombre d divise n lorsque tous les facteurs premiers de d se trouvent dans la décomposition de n, avec un exposant au moins aussi grand. Ainsi 90 = 2 × 3² × 5 est divisible par 18 = 2 × 3², mais pas par 4 = 2² (il n’y a qu’un facteur 2 dans 90).
Plus grand diviseur commun de deux nombres : on garde les facteurs premiers communs aux deux décompositions, chacun avec le plus petit exposant.
Plus petit multiple commun (non nul) : on prend tous les facteurs premiers des deux décompositions, chacun avec le plus grand exposant.

Rappel de 5ᵉ. On comparait les deux listes de diviseurs, ou on récitait la table du plus grand nombre jusqu’à tomber sur un multiple de l’autre. Avec de grands nombres, la décomposition va plus vite.

Exemples

Découper une plaque de 240 cm sur 150 cm en carrés identiques, les plus grands possibles, sans chute : le côté doit diviser 240 = 2⁴ × 3 × 5 et 150 = 2 × 3 × 5². Facteurs communs, plus petit exposant : 2 × 3 × 5 = 30. Des carrés de 30 cm : 240 ÷ 30 = 8 et 150 ÷ 30 = 5, soit 8 × 5 = 40 carrés.

Deux balises s’allument ensemble, puis l’une toutes les 20 s et l’autre toutes les 28 s. 20 = 2² × 5 et 28 = 2² × 7 : tous les facteurs, plus grand exposant, 2² × 5 × 7 = 140. Elles se rallument ensemble au bout de 140 s, soit 2 min 20 s.

Écrire tous les diviseurs grâce à la décomposition

72 = 2³ × 3² : un diviseur de 72 contient au plus trois facteurs 2 et au plus deux facteurs 3. On les range dans un tableau : la première ligne contient 1, 2, 4, 8 (les puissances de 2), la première colonne 1, 3, 9 (les puissances de 3), et chaque case est le produit des deux.

×	1	2	4	8
1	1	2	4	8
3	3	6	12	24
9	9	18	36	72

72 a donc 4 × 3 = 12 diviseurs : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72.

Réflexe — diviseur commun : les facteurs communs, avec le plus petit exposant ; multiple commun : tous les facteurs, avec le plus grand exposant. Partager sans reste demande un diviseur ; des événements qui se répètent demandent un multiple.

Attention — le produit des deux nombres est toujours un multiple commun, mais rarement le plus petit : 20 × 28 = 560, alors que 140 suffit. Et un diviseur commun ne prend que les facteurs présents des deux côtés : 7 n’est pas dans 20, il ne divise pas 20.

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Pour aller plus loin

Les exposants — 2³ = 2 × 2 × 2 : les puissances d’un nombre et les puissances de 10 sont étudiées dans Puissances : exposant positif et puissances de 10.

Simplifier avant de multiplier — dans un produit de fractions, on supprime les facteurs communs avant de calculer : voir Fractions : multiplier, inverse et diviser.

En 3ᵉ — on rendra systématiquement une fraction irréductible grâce à la décomposition en facteurs premiers, y compris avec de grands nombres, et on résoudra des problèmes de partage plus complexes.

À retenir

« a est divisible par b », « a est un multiple de b », « b est un diviseur de a » : reste 0 dans la division euclidienne. Critères : unités pour 2, 5 et 10 ; deux derniers chiffres pour 4 ; somme des chiffres pour 3 et 9.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même : 1 n’est pas premier, 2 est le seul nombre premier pair ; il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100.
Pour tester si un nombre est premier, j’essaie 2, 3, 5, 7, 11… et je m’arrête quand le carré du nombre essayé dépasse le nombre.
Tout nombre entier plus grand que 1 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers, par divisions successives : 360 = 2³ × 3² × 5.
Pour simplifier une fraction, je supprime les facteurs premiers communs au numérateur et au dénominateur. Diviseur commun : facteurs communs, plus petit exposant ; multiple commun : tous les facteurs, plus grand exposant.

Questions fréquentes

Comment savoir si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10 ?

On utilise les critères de divisibilité vus en 5e : le chiffre des unités pour 2 (0, 2, 4, 6 ou 8), 5 (0 ou 5) et 10 (0) ; le nombre formé par les deux derniers chiffres pour 4 ; la somme des chiffres pour 3 et 9. Ainsi 4 158 est divisible par 2, 3 et 9 (4 + 1 + 5 + 8 = 18), mais pas par 4 (58 = 4 × 14 + 2).

Qu’est-ce qu’un nombre premier ? 1 est-il premier ?

Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. 13 est premier, 15 = 3 × 5 ne l’est pas. 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur ; 2 est le seul nombre premier pair. Il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100, de 2 à 97.

Comment savoir si un nombre est premier ?

On essaie de le diviser par 2, 3, 5, 7, 11… dans l’ordre, et on s’arrête quand le carré du nombre essayé dépasse le nombre. Pour 83 : ni 2, ni 3, ni 5, ni 7 ne conviennent, et 11 × 11 = 121 dépasse 83, donc 83 est premier. Pour 119, la division par 7 tombe juste : 119 = 7 × 17.

Comment décomposer un nombre en produit de facteurs premiers ?

On divise par le plus petit nombre premier possible, on recommence avec le quotient jusqu’à obtenir 1, puis on regroupe avec des exposants : 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1, donc 360 = 2³ × 3² × 5. Cette décomposition est unique.

À quoi sert la décomposition en facteurs premiers ?

À simplifier une fraction en supprimant les facteurs communs (198/165 = 6/5), à reconnaître des fractions égales, à trouver le plus grand diviseur commun (facteurs communs, plus petit exposant) et le plus petit multiple commun (tous les facteurs, plus grand exposant) de deux nombres, par exemple pour un partage sans reste ou des horaires qui coïncident.

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