Puissances : la notation scientifique

Rappels sur les puissances de 10 et l’ordre de grandeur d’un calcul, écriture d’un nombre en notation scientifique a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10) à partir de son écriture décimale ou fractionnaire, comparaison et rangement, ordre de grandeur d’un nombre, produits et quotients en notation scientifique, calculatrice et problèmes avec des très grands et des très petits nombres.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés avec des très grands et des très petits nombres : la population mondiale, le nombre de secondes dans une année et l’âge de l’Univers, la lumière du Soleil jusqu’à la Terre et à Neptune, les molécules d’une goutte d’eau, les masses de la Terre, de la Lune et de Jupiter, les globules rouges du corps humain.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère les données : très grands ou très petits nombres, unités, préfixes (milli, micro, nano, méga, giga…).
Je convertis toutes les données dans la même unité et je les écris en notation scientifique.
Je calcule en regroupant les nombres a et les puissances de 10 ; « combien de fois plus grand » → une division.
Je contrôle avec un ordre de grandeur, j’arrondis seulement à la fin, puis je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · La population mondiale★★★Facile

En 2024, l’ONU estimait la population mondiale à environ

8, 2

milliards d’habitants. Au

1^{e r}

janvier 2024, la France comptait environ

68

millions d’habitants.

1. $8, 2$ milliards $= 8, 2 \times 10^{n}$ : $n =$
Un milliard $= 10^{9}$ : $8, 2$ milliards $= 8, 2 \times 10^{9}$ .
2. $68$ millions en notation scientifique : $a =$ et $n =$
$68$ millions $= 68 \times 10^{6} = 6, 8 \times 10^{1} \times 10^{6} = 6, 8 \times 10^{7}$ .
3. La population mondiale est environ combien de fois plus grande que celle de la France ? (arrondi à l’unité)
$\frac{8, 2 \times 10^{9}}{6, 8 \times 10^{7}} = \frac{8, 2}{6, 8} \times 10^{2} \approx 1, 206 \times 10^{2} \approx 121$ fois.
4. Si chaque habitant de la Terre buvait $1, 5$ L d’eau par jour, quel volume, en litres, serait bu en un jour ? $a =$ et $n =$
$(8, 2 \times 1, 5) \times 10^{9} = 12, 3 \times 10^{9} = 1, 23 \times 10^{10}$ L.

Problème 2 · Combien de secondes ?★★★Facile

On compte

365

jours dans une année (on ne tient pas compte des années bissextiles).

1. Nombre de secondes dans une journée :
$24 \times 60 \times 60 = 86 400$ s.
2. Nombre de secondes dans une année, en notation scientifique, $a$ arrondi au centième : $a \approx$ et $n =$
$86 400 \times 365 = 31 536 000$ s $\approx 3, 15 \times 10^{7}$ s.
3. Un milliard de secondes, c’est environ combien d’années ? (arrondi au dixième)
$\frac{10^{9}}{31 536 000} \approx 31, 7$ ans. Ordre de grandeur pour contrôler : $10^{9} \div (3 \times 10^{7}) \approx 33$ .
4. Un élève a $13$ ans. Combien de secondes a-t-il vécu, environ ? $a \approx$ et $n =$ ( $a$ au centième)
$13 \times 31 536 000 = 409 968 000 \approx 4, 10 \times 10^{8}$ s : on écrit $4, 1$ (ou $4, 10$ ).
5. L’Univers est âgé d’environ $13, 8$ milliards d’années. Son âge en secondes : $a \approx$ et $n =$ ( $a$ au centième)
$13, 8$ milliards $= 13, 8 \times 10^{9} = 1, 38 \times 10^{10}$ années. $(1, 38 \times 10^{10}) \times (3, 153 6 \times 10^{7}) = (1, 38 \times 3, 153 6) \times 10^{17} \approx 4, 35 \times 10^{17}$ s. Contrôle : $10^{10} \times 3 \times 10^{7} = 3 \times 10^{17}$ , le bon ordre de grandeur.

Problème 3 · La lumière du Soleil★★★Moyen

La lumière parcourt environ

3 \times 10^{5}

km par seconde. La distance moyenne de la Terre au Soleil est d’environ

1, 496 \times 10^{8}

km ; celle du Soleil à Neptune, d’environ

4, 5 \times 10^{9}

km.

1. Temps mis par la lumière du Soleil pour atteindre la Terre, en secondes, arrondi à l’unité :
$\frac{1, 496 \times 10^{8}}{3 \times 10^{5}} = \frac{1, 496}{3} \times 10^{3} \approx 0, 498 7 \times 10^{3} \approx 499$ s.
2. Ce temps, en minutes et secondes : min s
$499 = 8 \times 60 + 19$ : $8$ min $19$ s.
3. Temps mis par la lumière pour aller du Soleil à Neptune, en secondes (écriture décimale) :
$\frac{4, 5 \times 10^{9}}{3 \times 10^{5}} = 1, 5 \times 10^{4} = 15 000$ s.
4. Ce temps en heures, arrondi au dixième :
$15 000 \div 3 600 \approx 4, 17$ , soit environ $4, 2$ h.
5. Neptune est environ combien de fois plus loin du Soleil que la Terre ? (arrondi à l’unité)
$\frac{4, 5 \times 10^{9}}{1, 496 \times 10^{8}} = \frac{4, 5}{1, 496} \times 10^{1} \approx 3, 01 \times 10 \approx 30$ fois.

Problème 4 · Les molécules d’eau★★★Moyen

Une molécule d’eau a une masse d’environ

3 \times 10^{- 26}

kg. Un litre d’eau a une masse de

1

kg. On considère une goutte d’eau de

0, 05

mL.

1. Nombre de molécules dans $1$ L d’eau, $a$ arrondi au centième : $a \approx$ et $n =$
$\frac{1}{3 \times 10^{- 26}} = \frac{1}{3} \times 10^{26} \approx 0, 333 \times 10^{26} \approx 3, 33 \times 10^{25}$ molécules.
2. Le volume de la goutte, en litres, en notation scientifique : $a =$ et $n =$
$0, 05$ mL $= 0, 000 05$ L $= 5 \times 10^{- 5}$ L.
3. Nombre de molécules dans la goutte, $a$ arrondi au centième : $a \approx$ et $n =$
Masse de la goutte : $5 \times 10^{- 5}$ kg. $\frac{5 \times 10^{- 5}}{3 \times 10^{- 26}} = \frac{5}{3} \times 10^{21} \approx 1, 67 \times 10^{21}$ molécules.
4. Ordre de grandeur de ce nombre de molécules : $10^{n}$ avec $n =$
$1, 67$ est proche de $1$ : l’ordre de grandeur est $10^{21}$ .

Problème 5 · La Terre, la Lune et Jupiter★★★Difficile

La masse de la Terre est d’environ

5, 97 \times 10^{24}

kg, celle de la Lune d’environ

7, 35 \times 10^{22}

kg, et celle de Jupiter d’environ

1 898 \times 10^{24}

kg.

1. Masse de Jupiter en notation scientifique : $a =$ et $n =$
$1 898 = 1, 898 \times 10^{3}$ , donc $1 898 \times 10^{24} = 1, 898 \times 10^{27}$ kg.
2. Range les trois astres du plus léger au plus lourd : ; ;
Exposants : $22$ pour la Lune, $24$ pour la Terre, $27$ pour Jupiter.
3. La Terre est environ combien de fois plus lourde que la Lune ? (arrondi à l’unité)
$\frac{5, 97 \times 10^{24}}{7, 35 \times 10^{22}} = \frac{5, 97}{7, 35} \times 10^{2} \approx 0, 812 \times 10^{2} \approx 81$ fois.
4. Jupiter est environ combien de fois plus lourde que la Terre ? (arrondi à l’unité)
$\frac{1, 898 \times 10^{27}}{5, 97 \times 10^{24}} = \frac{1, 898}{5, 97} \times 10^{3} \approx 0, 317 9 \times 10^{3} \approx 318$ fois.
5. Masse totale de la Terre et de la Lune, $a$ arrondi au centième : $a \approx$ et $n =$
Une somme : on écrit les deux masses avec la même puissance de $10$ . $7, 35 \times 10^{22} = 0, 073 5 \times 10^{24}$ , donc $5, 97 \times 10^{24} + 0, 073 5 \times 10^{24} = 6, 043 5 \times 10^{24} \approx 6, 04 \times 10^{24}$ kg.

Problème 6 · Les globules rouges★★★Difficile

Un globule rouge a un diamètre d’environ

7

µm. Le corps d’un adulte contient environ

5

L de sang, et chaque millimètre cube de sang contient environ

5

millions de globules rouges. On rappelle que

1

= 1

dm³

= 10^{6}

mm³.

1. Diamètre d’un globule rouge, en mètres : $a =$ et $n =$
$1$ µm $= 10^{- 6}$ m : $7$ µm $= 7 \times 10^{- 6}$ m.
2. Volume de sang, en mm³ : $a =$ et $n =$
$5$ L $= 5 \times 10^{6}$ mm³.
3. Nombre de globules rouges dans le corps : $a =$ et $n =$
$5$ millions $= 5 \times 10^{6}$ par mm³. $(5 \times 10^{6}) \times (5 \times 10^{6}) = 25 \times 10^{12} = 2, 5 \times 10^{13}$ globules rouges.
4. Alignés côte à côte, quelle longueur formeraient-ils, en km ?
$(2, 5 \times 10^{13}) \times (7 \times 10^{- 6}) = 17, 5 \times 10^{7}$ m $= 1, 75 \times 10^{8}$ m $= 1, 75 \times 10^{5}$ km, soit $175 000$ km.
5. Le tour de la Terre mesure environ $40 000$ km. Combien de fois cette file en ferait-elle le tour ? (arrondi au dixième)
$175 000 \div 40 000 = 4, 375 \approx 4, 4$ fois.

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