Racine carrée : définition et carrés parfaits

Rappels de 5e (carré d’un nombre, carrés parfaits de 1 à 144), définition de la racine carrée d’un nombre positif, racines carrées des carrés parfaits et de nombres décimaux, calculs avec des racines carrées, encadrement entre deux entiers consécutifs, valeur approchée à la calculatrice, racine carrée et aires, agrandissement-réduction et théorème de Pythagore.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés où la racine carrée sert à retrouver une longueur : des terrains carrés à clôturer, une terrasse de dalles, une photo agrandie, un jardin et son allée en diagonale, le rayon d’un arroseur automatique et un nombre mystère dont la racine est encadrée.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère ce que je connais : une aire, un carré de longueur, un rapport d’agrandissement, des côtés de triangle rectangle.
Je traduis : une longueur à partir d’une aire ou d’un carré → racine carrée ; un agrandissement de rapport k → aires × k².
Je calcule en gardant la valeur exacte (√300, √34…) ; j’encadre entre deux entiers pour savoir quel ordre de grandeur attendre.
J’arrondis seulement à la fin, à la précision demandée, avec ≈ ; je contrôle en élevant au carré, puis je réponds par une phrase avec l’unité.

Problème 1 · Les terrains carrés★★★Facile

Une commune possède deux terrains carrés. Le premier a une aire de

2 116

m², le second une aire de

1 500

m².

1. Longueur du côté du premier terrain : m
Côté $= \sqrt{2 116}$ . Comme $46^{2} = 2 116$ , le côté mesure $46$ m.
2. Longueur de clôture nécessaire pour entourer le premier terrain : m
Périmètre : $4 \times 46 = 184$ m.
3. Le côté du second terrain est compris entre deux entiers consécutifs : m et m
Côté $= \sqrt{1 500}$ m. $38^{2} = 1 444$ et $39^{2} = 1 521$ : $1 444 < 1 500 < 1 521$ , donc $38 < \sqrt{1 500} < 39$ .
4. La commune achète un terrain carré d’aire double de celle du premier ( $4 232$ m²). Son côté, au dixième : m
Côté $= \sqrt{4 232} \approx 65, 05$ , soit $65, 1$ m au dixième. Ce n’est pas le double de $46$ m ( $92$ m) : doubler l’aire multiplie le côté par $\sqrt{2} \approx 1, 41$ ( $46 \times 1, 41 \approx 65$ ).

Problème 2 · La terrasse carrelée★★★Facile

Une terrasse carrée est entièrement couverte de

784

dalles carrées de

40

cm de côté, posées en lignes et en colonnes.

1. Combien de dalles y a-t-il sur un côté de la terrasse ?
La terrasse est un carré de $n$ dalles sur $n$ dalles, avec $n^{2} = 784$ . Comme $28^{2} = 784$ , il y a $\sqrt{784} = 28$ dalles par côté.
2. Longueur du côté de la terrasse : m
$28 \times 40 = 1 120$ cm, soit $11, 2$ m.
3. Aire de la terrasse : m²
$11, 2^{2} = 125, 44$ m². Contrôle : une dalle a une aire de $0, 4^{2} = 0, 16$ m², et $784 \times 0, 16 = 125, 44$ m².
4. Avec $900$ dalles, on veut une terrasse carrée plus grande. Combien de dalles de plus sur chaque côté ?
$\sqrt{900} = 30$ dalles par côté, au lieu de $28$ : $30 - 28 = 2$ dalles de plus par côté.

Problème 3 · La photo agrandie★★★Moyen

Une photo rectangulaire mesure

12

cm sur

18

cm. On en fait des agrandissements.

1. Aire de la photo : cm²
$12 \times 18 = 216$ cm².
2. Aire de l’agrandissement de rapport $3$ : cm²
Les aires sont multipliées par $3^{2} = 9$ : $216 \times 9 = 1 944$ cm². Contrôle : l’agrandissement mesure $36$ cm sur $54$ cm, et $36 \times 54 = 1 944$ .
3. Un poster a une aire $25$ fois plus grande que la photo. Rapport de l’agrandissement :
Il faut $k^{2} = 25$ , avec $k$ positif : $k = \sqrt{25} = 5$ (le poster mesure $60$ cm sur $90$ cm).
4. Un autre agrandissement a une aire $3$ fois plus grande que la photo. Sa largeur, au dixième : cm
Rapport $k = \sqrt{3}$ . Largeur : $12 \times \sqrt{3} \approx 20, 78$ cm, soit $20, 8$ cm. Autre calcul : le carré de la largeur vaut $12^{2} \times 3 = 432$ , et $\sqrt{432} \approx 20, 78$ .

Problème 4 · Le jardin et l’allée★★★Moyen

Un jardin rectangulaire mesure

20

m sur

15

m. Une allée droite le traverse d’un coin au coin opposé. Les côtés du jardin et l’allée forment un triangle rectangle.

1. Longueur de l’allée (théorème de Pythagore) : m
Carré de l’allée : $20^{2} + 15^{2} = 400 + 225 = 625$ . Longueur : $\sqrt{625} = 25$ m.
2. Aire du jardin : m²
$20 \times 15 = 300$ m².
3. Un jardin carré a la même aire. Son côté, au dixième : m
Côté $= \sqrt{300}$ m ; $289 < 300 < 324$ donne $17 < \sqrt{300} < 18$ . Calculatrice : $17, 32 \dots$ , soit $17, 3$ m.
4. Longueur de la diagonale de ce jardin carré, au dixième : m
Carré de la diagonale : $300 + 300 = 600$ (le carré de chaque côté vaut $300$ ). Diagonale : $\sqrt{600} \approx 24, 49$ , soit $24, 5$ m. Elle est plus courte que l’allée du jardin rectangulaire.

Problème 5 · L’arroseur automatique★★★Difficile

Un arroseur automatique tourne sur lui-même et arrose un disque de pelouse d’aire

60

m². On rappelle que l’aire d’un disque de rayon

r

est

π \times r^{2}

1. Valeur approchée de $r^{2}$ au centième :
$π \times r^{2} = 60$ , donc $r^{2} = 60 \div π \approx 19, 098 6$ , soit $19, 10$ au centième.
2. Le rayon $r$ est compris entre deux entiers consécutifs : m et m
$16 < 19, 10 < 25$ , donc $4 < r < 5$ (en mètres).
3. Valeur approchée du rayon au dixième : m
$r = \sqrt{60 \div π} \approx 4, 37$ : on garde le calcul complet à la calculatrice et on arrondit à la fin, $r \approx 4, 4$ m.
4. Pour arroser une surface $4$ fois plus grande, par combien faut-il multiplier le rayon ?
Le nouveau disque est un agrandissement du premier : aire multipliée par $4 = k^{2}$ , donc rayon multiplié par $k = \sqrt{4} = 2$ .

Problème 6 · Le nombre mystère★★★Difficile

Je suis un nombre entier. Ma racine carrée est comprise entre

12

13

(sans être égale à

12

ni à

13

). Je suis un multiple de

10

, et ma racine carrée est plus proche de

13

que de

12

1. Combien de nombres entiers ont une racine carrée strictement comprise entre $12$ et $13$ ?
Il faut $12^{2} < n < 13^{2}$ , c’est-à-dire $144 < n < 169$ : de $145$ à $168$ , il y a $168 - 145 + 1 = 24$ nombres.
2. Parmi eux, combien sont des multiples de $10$ ?
Entre $145$ et $168$ , les multiples de $10$ sont $150$ et $160$ : il y en a $2$ .
3. Quel est le nombre mystère ?
Carré du milieu : $12, 5^{2} = 156, 25$ . $\sqrt{150} < 12, 5$ car $150 < 156, 25$ : $\sqrt{150}$ est plus proche de $12$ . $\sqrt{160} > 12, 5$ car $160 > 156, 25$ : c’est $160$ ( $\sqrt{160} \approx 12, 65$ ).

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