Puissances : la notation scientifique

1. a)${10}^{-7}=0,0000001$ ; $3,8\times {10}^4=38000$ ; $905\times {10}^{-5}=0,00905$ (1)
2. b)${10}^{9+(-4)}={10}^5$ ; ${10}^{-3-5}={10}^{-8}$ ; ${10}^{-2+8}={10}^6$, puis ${10}^{6-3}={10}^3$ (1)
3. c)$2970\approx 3000$ et $0,31\approx 0,3$ : $3000\times 0,3=900$ (le produit exact est $920,7$) (1)
4. d)$58,6\approx 60$ et $9,7\approx 10$ : le produit est proche de $600$, pas de $5684$. Le résultat de Léo est environ $10$ fois trop grand ; le produit exact est $568,42$ (1)

Méthode — Exposant positif : la virgule va vers la droite ; négatif : vers la gauche. Un ordre de grandeur se fait de tête avant ou après le calcul, pour repérer une virgule mal placée.

1. a)$0,000038=3,8\times {10}^{-5}$ (la virgule se décale de $5$ rangs vers la droite) ; $5160000000=5,16\times {10}^9$ (elle se décale de $9$ rangs vers la gauche) (1)
2. b)$0,27<1$ : le premier nombre doit être compris entre $1$ et $10$. $0,27=2,7\times {10}^{-1}$, donc $0,27\times {10}^6=2,7\times {10}^5$ (1)
3. c)$6,03\times {10}^{-4}=0,000603$ ; $1,2\times {10}^7=12000000$ (1)
4. d)${\displaystyle \frac{9}{10000}}=0,0009=9\times {10}^{-4}$ ; $85$ µm $=85\times {10}^{-6}$ m $=8,5\times {10}^{-5}$ m (1)

Repère — Un seul chiffre non nul avant la virgule : c’est le test qui dit si une écriture est scientifique.

1. a)Exposants $-4<-3<-2$ ; entre les deux nombres en ${10}^{-2}$, $1,25<1,3$. Donc $9\times {10}^{-4}<4,4\times {10}^{-3}<1,25\times {10}^{-2}<1,3\times {10}^{-2}$ (1)
2. b)$71\times {10}^5=7,1\times {10}^6$ ; même exposant et $7,1>6,9$ : $71\times {10}^5>6,9\times {10}^6$ (1)
3. c)$2,4$ est proche de $1$ : ${10}^{-9}$ ; $8,5$ est proche de $10$ : ${10}^{12}$ (1)
4. d)Non : on compare d’abord les exposants, et $-3>-4$. $3\times {10}^{-4}=0,0003$ et $2\times {10}^{-3}=0,002$ : c’est $2\times {10}^{-3}$ le plus grand (1)

Le point clé — L’exposant décide d’abord ; les nombres a ne départagent que deux nombres de même exposant.

1. a)$(4\times 6)\times {10}^{-3+8}=24\times {10}^5=2,4\times {10}^6$ (1)
2. b)$(3,5÷7)\times {10}^{4-(-2)}=0,5\times {10}^6=5\times {10}^5$ (1)
3. c)${\displaystyle \frac{1,6\times 9}{4,8}}={\displaystyle \frac{14,4}{4,8}}=3$ et $3+(-5)-(-4)=2$ : $C=3\times {10}^2=300$ (1)
4. d)$70000+5000=75000=7,5\times {10}^4$. On ajoute les exposants seulement dans un produit ; ici, c’est une somme, il faut repasser en écriture décimale (1)

Méthode — Produit : on multiplie les a et on ajoute les exposants ; quotient : on divise les a et on soustrait les exposants ; somme : écriture décimale. On remet toujours a entre 1 et 10.

1. a)$1$ km $={10}^3$ m : $4,0\times {10}^{13}$ km $=4,0\times {10}^{16}$ m (1)
2. b)${\displaystyle \frac{4,0\times {10}^{13}}{9,46\times {10}^{12}}}={\displaystyle \frac{4,0}{9,46}}\times {10}^1\approx 0,423\times 10\approx 4,2$ ans (1)
3. c)${\displaystyle \frac{4,0\times {10}^{13}}{6\times {10}^4}}={\displaystyle \frac{4}{6}}\times {10}^9\approx 0,667\times {10}^9\approx 6,67\times {10}^8$ h (1)
4. d)$8760=8,76\times {10}^3$ ; ${\displaystyle \frac{6,67\times {10}^8}{8,76\times {10}^3}}\approx 0,761\times {10}^5\approx 76000$ ans, soit $7,6\times {10}^4$ : ordre de grandeur ${10}^5$ ans (1)

Méthode — Mêmes unités, puis on divise en regroupant les nombres a et les puissances de 10 ; l’ordre de grandeur final dit si le résultat est raisonnable.