Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

Complète.

1. $195=13\times$
   $195÷13$ : $15$, il reste $0$. Donc $195=13\times 15$ : $195$ est un multiple de $13$, et $13$ est un diviseur de $195$.
2. $19$ est un de $247$ (écris « multiple » ou « diviseur »)
   $247=19\times 13$ : $247$ est un multiple de $19$, donc $19$ est un diviseur de $247$.
3. $323$ est un de $17$ (écris « multiple » ou « diviseur »)
   $323=17\times 19$ : $323$ est dans la table de $17$, c’est un multiple de $17$.
4. Reste de la division euclidienne de $230$ par $9$ :
   $9\times 25=225$, donc $230=9\times 25+5$ : le reste est $5$, et $230$ n’est pas divisible par $9$ (d’ailleurs $2+3+0=5$ n’est pas dans la table de $9$).

Voici cinq nombres : $2610$ ; $4712$ ; $8145$ ; $6336$ ; $9077$. Recopie ceux qui conviennent, dans l’ordre de l’énoncé.

1. Divisibles par $4$ : ;
   Deux derniers chiffres : $10=4\times 2+2$ (non) ; $12=4\times 3$ (oui) ; $45$ est impair (non) ; $36=4\times 9$ (oui) ; $77$ est impair (non).
2. Divisibles par $9$ : ; ;
   Sommes des chiffres : $2+6+1+0=9$ ; $4+7+1+2=14$ ; $8+1+4+5=18$ ; $6+3+3+6=18$ ; $9+0+7+7=23$. Seules $9$ et $18$ sont dans la table de $9$.
3. Divisibles par $5$ : ;
   Chiffre des unités $0$ ou $5$ : $2610$ et $8145$.
4. Divisibles par $6$ : ;
   $6=2\times 3$ : il faut un nombre pair dont la somme des chiffres est dans la table de $3$. $2610$ (somme $9$) et $6336$ (somme $18$) conviennent ; $4712$ est pair, mais $14$ n’est pas dans la table de $3$.

Liste des diviseurs et chiffre manquant.

1. Diviseurs de $70$, dans l’ordre croissant : ; ; ; ; ; ; ;
   $70=1\times 70=2\times 35=5\times 14=7\times 10$. Ni $3$, ni $4$, ni $6$, ni $8$, ni $9$ ne conviennent, et $10$ est déjà trouvé : on s’arrête.
2. Nombre de diviseurs de $81$ :
   $81=1\times 81=3\times 27=9\times 9$ ($81$ est impair, il ne se termine ni par $0$ ni par $5$, et $81=7\times 11+4$).
   Diviseurs : $1$ ; $3$ ; $9$ ; $27$ ; $81$, soit $5$ ($9$ n’est compté qu’une fois).
3. Chiffre □ pour que $5◻6$ soit divisible par $9$ : □ =
   $5+6=11$ ; il faut $11+◻=18$ ($27$ est trop grand), donc □ $=7$ : $576=9\times 64$.

Écris le plus petit diviseur premier de chaque nombre (le nombre lui-même s’il est premier).

1. $39$ :
   $3+9=12$ est dans la table de $3$ : $39=3\times 13$, il n’est pas premier.
2. $49$ :
   $49$ est impair, $4+9=13$ n’est pas dans la table de $3$, il ne se termine ni par $0$ ni par $5$ ; mais $49=7\times 7$.
3. $29$ :
   Ni par $2$, ni par $3$ ($2+9=11$), ni par $5$ ; $7\times 7=49$ dépasse $29$ : on s’arrête, $29$ est premier.
4. $85$ :
   $85$ est impair et $8+5=13$ n’est pas dans la table de $3$ ; il se termine par $5$ : $85=5\times 17$.
5. $53$ :
   Ni par $2$, ni par $3$ ($5+3=8$), ni par $5$, ni par $7$ ($53=7\times 7+4$) ; $11\times 11=121$ dépasse $53$ : $53$ est premier.

Teste et complète.

1. Pour savoir si $167$ est premier, quel est le plus grand nombre premier qu’il suffit d’essayer comme diviseur ?
   $11\times 11=121$ ne dépasse pas $167$, mais $13\times 13=169$ dépasse $167$ : on essaie $2$, $3$, $5$, $7$ et $11$. Aucune de ces divisions ne tombe juste : $167$ est premier.
2. $111=3\times$
   $1+1+1=3$ : $111$ est divisible par $3$, et $111÷3=37$. $111$ n’est pas premier.
3. Le plus grand diviseur premier de $143$ est
   Ni par $2$, ni par $3$ ($1+4+3=8$), ni par $5$, ni par $7$ ($143=7\times 20+3$) ; $143=11\times 13$, donc $143$ n’est pas premier et son plus grand diviseur premier est $13$.
4. Le plus petit diviseur premier de $209$ est
   Ni par $2$, ni par $3$ ($2+0+9=11$), ni par $5$, ni par $7$ ($209=7\times 29+6$) ; $209=11\times 19$.

Raisonne avec la liste des nombres premiers.

1. Combien y a-t-il de nombres premiers entre $1$ et $20$ ?
   $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$ : il y en a $8$ ($1$ n’est pas premier).
2. Combien y a-t-il de nombres premiers entre $80$ et $100$ ?
   $83$, $89$ et $97$. Les autres nombres impairs sont composés : $81=3^4$, $85=5\times 17$, $87=3\times 29$, $91=7\times 13$, $93=3\times 31$, $95=5\times 19$, $99=3^2\times 11$.
3. Le plus petit nombre premier plus grand que $100$ :
   $101$ n’est divisible ni par $2$, ni par $3$ ($1+0+1=2$), ni par $5$, ni par $7$ ($101=7\times 14+3$) ; $11\times 11=121$ dépasse $101$ : $101$ est premier.

Décompose en produit de facteurs premiers. Écris les facteurs dans l’ordre croissant, séparés par ×, par exemple 2×5×5.

1. $18=$
   $18=2\times 9=2\times 3\times 3$, soit $2\times 3^2$.
2. $20=$
   $20=2\times 10=2\times 2\times 5$, soit $2^2\times 5$.
3. $42=$
   $42=2\times 21=2\times 3\times 7$.
4. $63=$
   $6+3=9$ : $63=3\times 21=3\times 3\times 7$, soit $3^2\times 7$.
5. $26=$
   $26=2\times 13$, et $13$ est premier.

Avec des exposants.

1. $108=2^a\times 3^b$ : $a=$ et $b=$
   $108÷2=54$ ; $54÷2=27$ ; $27÷3=9$ ; $9÷3=3$ ; $3÷3=1$. Donc $108=2^2\times 3^3$.
2. $400=2^a\times 5^b$ : $a=$ et $b=$
   $400=4\times 100=(2\times 2)\times (2\times 2\times 5\times 5)$ : quatre facteurs $2$ et deux facteurs $5$, $400=2^4\times 5^2$.
3. $2^2\times 3\times 5^2=$
   $4\times 3\times 25=300$.
4. $2^4\times 3^2=$
   $16\times 9=144$.

Décompose, puis réponds.

1. $10000=2^a\times 5^b$ : $a=$ et $b=$
   $10000=10\times 10\times 10\times 10$ et $10=2\times 5$ : quatre facteurs $2$ et quatre facteurs $5$, donc $10000=2^4\times 5^4$.
2. Nombre de facteurs premiers différents de $2310$ :
   $2310÷2=1155$ ; $1155÷3=385$ ; $385÷5=77$ ; $77÷7=11$ ; $11÷11=1$. $2310=2\times 3\times 5\times 7\times 11$ : $5$ facteurs premiers différents.
3. Exposant de $3$ dans la décomposition de $162$ :
   $162=2\times 81=2\times 3\times 3\times 3\times 3=2\times 3^4$.
4. Le plus petit nombre qui a exactement trois facteurs premiers différents :
   On prend les trois plus petits nombres premiers : $2\times 3\times 5=30$.

Simplifie au maximum en supprimant les facteurs communs. Réponds sous la forme a/b.

1. ${\displaystyle \frac{2^2\times 3\times 5}{2\times 3^2}}=$
   Facteurs communs : $2\times 3$. Il reste ${\displaystyle \frac{2\times 5}{3}}={\displaystyle \frac{10}{3}}$.
2. ${\displaystyle \frac{3\times 5\times 7}{3^2\times 7}}=$
   Facteurs communs : $3\times 7$. Il reste ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ (un des deux facteurs $3$ du bas reste).
3. ${\displaystyle \frac{2^3\times 5}{2\times 5^2}}=$
   Facteurs communs : $2\times 5$. Il reste ${\displaystyle \frac{2^2}{5}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$.

Décompose, puis simplifie au maximum. Réponds sous la forme a/b.

1. ${\displaystyle \frac{210}{330}}=$
   ${\displaystyle \frac{210}{330}}={\displaystyle \frac{2\times 3\times 5\times 7}{2\times 3\times 5\times 11}}={\displaystyle \frac{7}{11}}$.
2. ${\displaystyle \frac{98}{140}}=$
   ${\displaystyle \frac{98}{140}}={\displaystyle \frac{2\times 7^2}{2^2\times 5\times 7}}={\displaystyle \frac{7}{2\times 5}}={\displaystyle \frac{7}{10}}$.
3. ${\displaystyle \frac{231}{273}}=$
   $231=3\times 7\times 11$ et $273=3\times 7\times 13$ : ${\displaystyle \frac{231}{273}}={\displaystyle \frac{11}{13}}$. Les critères ne montraient que le facteur $3$ ; la décomposition fait aussi apparaître le $7$.

Fractions égales.

1. ${\displaystyle \frac{7}{15}}={\displaystyle \frac{\dots }{90}}$ : numérateur
   $15=3\times 5$ et $90=2\times 3^2\times 5$ : il manque $2\times 3=6$. ${\displaystyle \frac{7}{15}}={\displaystyle \frac{7\times 6}{15\times 6}}={\displaystyle \frac{42}{90}}$.
2. ${\displaystyle \frac{63}{105}}$ et ${\displaystyle \frac{99}{165}}$ se simplifient en la même fraction :
   ${\displaystyle \frac{63}{105}}={\displaystyle \frac{3^2\times 7}{3\times 5\times 7}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ et ${\displaystyle \frac{99}{165}}={\displaystyle \frac{3^2\times 11}{3\times 5\times 11}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ : elles sont égales.
3. Plus petit dénominateur commun de ${\displaystyle \frac{5}{24}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{36}}$ :
   $24=2^3\times 3$ et $36=2^2\times 3^2$ : tous les facteurs, avec le plus grand exposant, $2^3\times 3^2=72$. ${\displaystyle \frac{5}{24}}={\displaystyle \frac{15}{72}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{36}}={\displaystyle \frac{14}{72}}$.

On sait que $252=2^2\times 3^2\times 7$.

1. $252÷28=$
   $28=2^2\times 7$ : quand on l’enlève de la décomposition de $252$, il reste $3^2=9$. Donc $252=28\times 9$.
2. Parmi $8$, $9$, $10$, $12$ et $14$, combien sont des diviseurs de $252$ ?
   $8=2^3$ : non (seulement $2^2$ dans $252$) ; $9=3^2$ : oui ; $10=2\times 5$ : non (pas de facteur $5$) ; $12=2^2\times 3$ : oui ; $14=2\times 7$ : oui. Soit $3$ diviseurs.
3. Le plus grand diviseur impair de $252$ :
   Un diviseur impair ne contient aucun facteur $2$ : le plus grand est $3^2\times 7=63$ ($252=4\times 63$).

Plus grand diviseur commun, plus petit multiple commun.

1. Plus grand diviseur commun de $135=3^3\times 5$ et $225=3^2\times 5^2$ :
   Facteurs communs, plus petit exposant : $3^2\times 5=45$. En effet $135=45\times 3$ et $225=45\times 5$.
2. Plus petit multiple commun non nul de $28=2^2\times 7$ et $42=2\times 3\times 7$ :
   Tous les facteurs, plus grand exposant : $2^2\times 3\times 7=84$. En effet $84=28\times 3=42\times 2$.
3. Nombre de diviseurs de $54=2\times 3^3$ :
   Un diviseur de $54$ contient au plus un facteur $2$ et au plus trois facteurs $3$ : $1$, $3$, $9$, $27$ et $2$, $6$, $18$, $54$. Soit $2\times 4=8$ diviseurs.

Petits problèmes.

1. On coupe un ruban de $84$ cm et un ruban de $140$ cm en morceaux tous de même longueur, la plus grande possible, sans chute. Longueur d’un morceau : cm
   $84=2^2\times 3\times 7$ et $140=2^2\times 5\times 7$. Facteurs communs, plus petit exposant : $2^2\times 7=28$ cm ($84=28\times 3$ et $140=28\times 5$).
2. Une roue de $24$ dents entraîne une roue de $40$ dents. Au départ, un repère de chaque roue est au point de contact. Combien de tours fait la petite roue quand les deux repères se retrouvent au point de contact pour la première fois ?
   Les repères se retrouvent quand le nombre de dents passées est un multiple de $24$ et de $40$. $24=2^3\times 3$ et $40=2^3\times 5$ : plus petit multiple commun $2^3\times 3\times 5=120$ dents. La petite roue fait $120÷24=5$ tours (et la grande $120÷40=3$ tours).