À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Puissances et racines carrées » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : La puissance d'un nombre, Calculer une puissance — priorités, Les puissances de 10, Règles de calcul sur les puissances de 10. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · La puissance d'un nombre (base, exposant)
2 · Calculer une puissance et les priorités
3 · Les puissances de 10 (exposants positifs et négatifs)
4 · Règles de calcul sur les puissances de 10
5 · L'écriture scientifique
6 · L'ordre de grandeur
7 · Le carré et les carrés parfaits
8 · La racine carrée d'un nombre positif
1La puissance d'un nombre
Une puissance est une manière courte d'écrire un produit de facteurs tous égaux. Au lieu d'écrire plusieurs fois le même nombre, on indique ce nombre une seule fois avec un petit chiffre en haut à droite : l'exposant.
Définition. Pour un nombre
a et un entier
n plus grand que 1 :
an = a × a × a × … × a (n facteurs égaux à a)
On lit «
a puissance n » ou « a exposant n ». Le nombre
a s'appelle la
base.
Deux puissances ont un nom particulier :
- a2 se lit « a au carré » (c'est l'aire d'un carré de côté a) ;
- a3 se lit « a au cube » (c'est le volume d'un cube d'arête a).
Exemples.
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 (5 facteurs).
72 = 7 × 7 = 49.
103 = 10 × 10 × 10 = 1000.
⚠️ Ne confonds pas multiplier et élever à la puissance : 25 = 32, mais 2 × 5 = 10. L'exposant compte le nombre de facteurs, ce n'est pas une multiplication par l'exposant.
💡 Cas particuliers utiles : a1 = a (un seul facteur) et, par convention, a0 = 1 pour tout a non nul.
2Calculer une puissance — priorités
Dans un calcul, les puissances se calculent avant les multiplications, divisions, additions et soustractions (mais après les parenthèses).
Ordre des priorités.
1) les parenthèses ;
2) les puissances ;
3) les × et ÷ ;
4) les + et −.
Exemples.
3 + 24 = 3 + 16 = 19 (la puissance d'abord).
5 × 23 = 5 × 8 = 40.
(5 × 2)3 = 103 = 1000 (la parenthèse d'abord).
⚠️ Attention au signe « moins ». −32 = −(3 × 3) = −9, car la puissance s'applique seulement au 3. Mais (−3)2 = (−3) × (−3) = +9 : ici les parenthèses incluent le signe.
💡 Le signe d'une puissance : une base négative élevée à un exposant pair donne un résultat positif ; à un exposant impair, un résultat négatif. Ex. (−2)2 = 4 mais (−2)3 = −8.
3Les puissances de 10
Les puissances de 10 sont les plus utiles : elles servent à écrire les très grands et les très petits nombres.
Exposant positif : des grands nombres
Règle. 10n (avec n entier positif) s'écrit avec un 1 suivi de n zéros.
| Puissance | Produit | Écriture décimale |
|---|
| 101 | 10 | 10 |
| 102 | 10 × 10 | 100 |
| 103 | 10 × 10 × 10 | 1 000 |
| 106 | 10 × … × 10 | 1 000 000 |
Exposant négatif : des petits nombres
Règle. 10−n = 110n. C'est un nombre décimal qui s'écrit 0, suivi de (n − 1) zéros puis d'un 1.
| Puissance | Fraction | Écriture décimale |
|---|
| 10−1 | 110 | 0,1 |
| 10−2 | 1100 | 0,01 |
| 10−3 | 11000 | 0,001 |
💡 Repère rapide : l'exposant de 10 indique de combien de rangs on décale la virgule. Exposant positif → vers la droite (plus grand) ; exposant négatif → vers la gauche (plus petit). Et 100 = 1.
⚠️ Pour 10−n, il y a en tout n chiffres après la virgule. Ex. 10−3 = 0,001 : trois chiffres après la virgule, dont deux zéros et un 1.
4Règles de calcul sur les puissances de 10
On peut combiner les puissances de 10 sans jamais écrire tous les zéros, grâce à trois règles.
Produit. 10a × 10b = 10a + b (on additionne les exposants)
Quotient. 10a10b = 10a − b (on soustrait les exposants)
Puissance d'une puissance. (10a)b = 10a × b (on multiplie les exposants)
Exemples.
103 × 104 = 103 + 4 = 107.
105 × 10−2 = 105 + (−2) = 103.
108103 = 108 − 3 = 105.
102105 = 102 − 5 = 10−3.
(102)3 = 102 × 3 = 106.
⚠️ Ces règles s'appliquent uniquement quand la base est la même. On additionne les exposants pour un produit (jamais on ne les multiplie) ; on soustrait pour un quotient.
5L'écriture scientifique
Pour écrire clairement un nombre très grand ou très petit, on utilise l'écriture scientifique : un produit d'un nombre décimal et d'une puissance de 10.
Définition. L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme
a × 10n
où
a est un nombre décimal tel que
1 ≤ a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule) et
n un entier
relatif (positif ou négatif).
Méthode pas à pas
- 1) On place la virgule juste après le premier chiffre non nul → cela donne le nombre a.
- 2) On compte de combien de rangs on a déplacé la virgule → cela donne l'exposant n.
- 3) Vers la gauche (grand nombre) : n est positif. Vers la droite (petit nombre) : n est négatif.
Grand nombre. 38 400 = 3,84 × 104 (la virgule recule de 4 rangs).
Petit nombre. 0,000 57 = 5,7 × 10−4 (la virgule avance de 4 rangs).
⚠️ 2 erreurs fréquentes : écrire 38,4 × 103 (le a doit être entre 1 et 10, donc 3,84) ; ou se tromper de signe pour n. Vérifie : grand nombre → n > 0, petit nombre (entre 0 et 1) → n < 0.
💡 L'écriture scientifique sert à comparer vite deux nombres : on regarde d'abord la puissance de 10 (l'ordre de grandeur), puis le nombre a si les puissances sont égales.
6Ordre de grandeur
L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche : elle donne une idée de sa « taille » sans calcul précis. C'est très utile pour estimer un résultat ou vérifier qu'il n'est pas absurde.
Méthode. On écrit chaque nombre sous la forme a × 10n, puis on arrondit a à l'entier le plus proche (souvent 1 ou 10). L'ordre de grandeur est la puissance de 10 obtenue.
Exemples.
Population ≈ 67 200 000 = 6,72 × 107 → ordre de grandeur 107 (dizaines de millions).
Épaisseur ≈ 0,000 32 m = 3,2 × 10−4 → ordre de grandeur 10−4 m.
Estimer un produit. 412 × 79 ≈ 400 × 80 = 32 000. L'ordre de grandeur du résultat est 104 ; le résultat exact (32 548) est bien proche.
💡 Toujours estimer avant de calculer : si la calculatrice donne un résultat très loin de l'ordre de grandeur, c'est qu'il y a une erreur de frappe.
7Le carré d'un nombre & les carrés parfaits
Le carré d'un nombre, c'est ce nombre multiplié par lui-même : a2 = a × a. Connaître les premiers carrés « par cœur » est indispensable pour les racines.
Carré parfait. Un nombre entier est un carré parfait lorsqu'il est le carré d'un entier. Par exemple 49 est un carré parfait car 49 = 72.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|
| n2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
Quelques carrés plus grands à connaître aussi : 112 = 121 · 122 = 144 · 132 = 169 · 152 = 225 · 202 = 400.
⚠️ Un carré (d'un nombre réel) n'est jamais négatif : a2 ≥ 0 toujours. C'est pour cela qu'un nombre négatif n'a pas de racine carrée.
8La racine carrée d'un nombre positif
La racine carrée est l'opération inverse du carré : elle répond à la question « quel nombre positif, élevé au carré, donne ce nombre ? ».
Définition. Pour un nombre positif a, la racine carrée de a, notée √a, est l'unique nombre positif dont le carré vaut a. Autrement dit : √a ≥ 0 et (√a)2 = a.
Exemples.
√49 = 7 car 72 = 49.
√100 = 10 car 102 = 100.
√0 = 0 et √1 = 1.
√0,25 = 0,5 car 0,52 = 0,25.
Propriété (à retenir absolument). Si a est positif :
√(a2) = a et (√a)2 = a
Le carré et la racine carrée « s'annulent » l'un l'autre.
⚠️ √a n'est pas a ÷ 2. √36 = 6 (et non 18). De même √(a + b) n'est pas √a + √b : √(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7. C'est différent !
💡 Encadrer une racine non « ronde ». √20 n'est pas entier, mais 16 < 20 < 25, donc 4 < √20 < 5. La racine de 20 est entre 4 et 5 (proche de 4,5).
🎓 Récap express : an = produit de n facteurs égaux à a · les puissances se calculent avant × et + · 10n = 1 suivi de n zéros, 10−n = 0,…01 · produit → on additionne les exposants, quotient → on soustrait · écriture scientifique a × 10n avec 1 ≤ a < 10 · carré parfait = carré d'un entier · √a = le nombre positif dont le carré vaut a, et √(a2) = a.