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Puissances : exposant positif et puissances de 10
Rappels de 5e (carré, cube, carrés parfaits, priorités), puissance aⁿ d’un nombre (base, exposant, a¹ et a⁰), signe d’une puissance d’un nombre négatif, produits et quotients de puissances d’un même nombre, puissances de 10 d’exposant positif ou négatif et écriture décimale, multiplier par 10ⁿ, préfixes de nano à giga.
À propos de cette page
Rappels de 5e : carré, cube et priorités
En 5ᵉ, on a écrit en abrégé les produits de deux ou de trois facteurs égaux : c’est le chapitre Puissances : carré et cube d’un nombre. Tout ce chapitre de 4ᵉ prolonge ces notations.
Dans 6³, le nombre 6 est la base et 3 est l’exposant : il compte les facteurs égaux à 6.
L’aire d’un carré de côté c est c² (en cm², m²…) ; le volume d’un cube d’arête a est a³ (en cm³, m³…).
À connaître par cœur : les carrés parfaits 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121 ; 144 (carrés des entiers de 0 à 12) et 10³ = 1 000.
| a | a² | a | a² | a | a² |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 5 | 25 | 10 | 100 |
| 1 | 1 | 6 | 36 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 7 | 49 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 8 | 64 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 9 | 81 | 14 | 196 |
8² = 8 × 8 = 64 · 6³ = 6 × 6 × 6 = 36 × 6 = 216
0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16 : le carré d’un nombre compris entre 0 et 1 est plus petit que ce nombre.
1,2³ = 1,2 × 1,2 × 1,2 = 1,44 × 1,2 = 1,728 · un cube de 1,2 m d’arête a un volume de 1,728 m³.
Priorités avec des puissances
L’exposant ne porte que sur le nombre qu’il touche, ou sur toute la parenthèse s’il est placé juste après elle.
5 + 3² = 5 + 9 = 14 mais (5 + 3)² = 8² = 64
3 × 4² = 3 × 16 = 48 mais (3 × 4)² = 12² = 144
1² + 6² = 1 + 36 = 37, alors que (1 + 6)² = 7² = 49 : le carré d’une somme n’est pas la somme des carrés.
Pour x = 5 : 3x² = 3 × 5² = 3 × 25 = 75, alors que (3x)² = 15² = 225.
Réflexe — avant de calculer, je repère les puissances : je les calcule juste après les parenthèses, avant toute multiplication.
Attention — 8² n’est pas 8 × 2 = 16 : l’exposant compte les facteurs. 0,4² vaut 0,16, et non 0,8 ni 1,6. Et 3 × 4² n’est pas égal à 12².
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Puissance d’un nombre : aⁿ, a¹ et a⁰
aⁿ = a × a × … × a, produit de n facteurs égaux à a. On lit « a puissance n » ou « a exposant n ».
a est la base, n est l’exposant. Le carré (a²) et le cube (a³) sont les cas n = 2 et n = 3.
Cas particuliers : a¹ = a (un seul facteur) et, pour a différent de 0, a⁰ = 1.
3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243 · 2¹⁰ = 1 024
0,2⁴ = 0,2 × 0,2 × 0,2 × 0,2 = 0,0016 (quatre facteurs : 4 chiffres après la virgule)
1⁸ = 1 · 0⁶ = 0 · 9¹ = 9 · 7⁰ = 1
(2/5)³ = (2 × 2 × 2)/(5 × 5 × 5) = 8/125 : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Pourquoi a⁰ = 1 ? 2⁴ = 16, 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2 : chaque fois que l’exposant baisse de 1, on divise par 2. En continuant, 2⁰ = 2 ÷ 2 = 1. C’est pareil pour toute base non nulle : on décide donc que a⁰ = 1.
Écrire un produit sous forme de puissance
6 × 6 × 6 × 6 = 6⁴ · 0,9 × 0,9 × 0,9 = 0,9³ · (−5) × (−5) × (−5) × (−5) × (−5) × (−5) = (−5)⁶
32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵ · 625 = 5⁴, et aussi 625 = 25² · 1 000 000 = 10⁶
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2ⁿ | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1 024 |
Le signe d’une puissance
Une puissance d’un nombre positif est positive. Pour un nombre négatif, on regroupe les facteurs par deux : (−3) × (−3) = 9 est positif (règle des signes du chapitre Relatifs : multiplier, diviser, enchaîner les opérations). Donc :
• exposant pair → résultat positif ;
• exposant impair → résultat négatif.
(−3)² = 9 · (−3)⁵ = −243 · (−3)⁶ = 729 · (−1)ⁿ vaut 1 si n est pair, −1 si n est impair.
−12² = −(12 × 12) = −144 : sans parenthèses, l’exposant ne porte que sur 12. Mais (−12)² = (−12) × (−12) = 144.
Réflexe — je compte les facteurs égaux ; si la base est négative et entre parenthèses, je regarde si l’exposant est pair ou impair pour trouver le signe.
Attention — 2⁵ n’est ni 2 × 5 = 10 ni 5² = 25 : 2⁵ = 32. On ne peut pas échanger la base et l’exposant. a⁰ vaut 1, pas 0. Et −12² vaut −144, alors que (−12)² vaut 144.
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Produits et quotients de puissances d’un même nombre
• produit : 4³ × 4² = (4 × 4 × 4) × (4 × 4) = 4⁵ : 3 + 2 = 5 facteurs ;
• quotient : 7⁵ ÷ 7² = (7 × 7 × 7 × 7 × 7) ÷ (7 × 7) = 7³ : on simplifie 2 facteurs, il en reste 5 − 2 = 3 ;
• puissance d’une puissance : (2³)² = 2³ × 2³ = 2⁶ : 2 fois 3 facteurs.
Ce qu’on constate (inutile de l’apprendre par cœur, on le retrouve en comptant) : am × an = am + n ; am ÷ an = am − n (si m > n) ; (am)n = am × n.
5² × 5⁴ = 5⁶ · 2⁴ × 2 = 2⁴ × 2¹ = 2⁵ · (6²)³ = 6⁶
3⁷ ÷ 3⁴ = 3³ = 27 · 9⁴ ÷ 9⁴ = 1 : tous les facteurs se simplifient, et c’est bien 9⁰.
Même exposant, bases différentes : 4³ × 25³ = (4 × 25) × (4 × 25) × (4 × 25) = 100³ = 1 000 000.
A = 2 × 3⁴ − 5²
A = 2 × 81 − 25 (puissances)
A = 162 − 25 (produit)
A = 137
Réflexe — même base : je compte les facteurs (on ajoute les exposants pour un produit, on les soustrait pour un quotient) ; bases différentes ou somme : je calcule chaque puissance.
Attention — une somme ne se regroupe pas : 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24, pas 2⁷ = 128. Avec des bases différentes, rien ne se regroupe : 3² × 5⁴ = 9 × 625 = 5 625. Et 4³ × 4² vaut 4⁵, ni 4⁶ ni 16⁵.
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Puissances de 10 : exposant positif ou négatif
10⁻ⁿ est l’inverse de 10ⁿ : 10⁻ⁿ = 1 ÷ 10ⁿ. Son écriture décimale est 0,0…01, avec n chiffres après la virgule, le dernier étant le 1.
Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : 10⁻³ = 0,001 est un nombre positif, plus petit que 1.
| Puissance | Écriture décimale | Nom |
|---|---|---|
| 10⁹ | 1 000 000 000 | un milliard |
| 10⁶ | 1 000 000 | un million |
| 10³ | 1 000 | mille |
| 10² | 100 | cent |
| 10¹ | 10 | dix |
| 10⁰ | 1 | un |
| 10⁻¹ | 0,1 | un dixième |
| 10⁻² | 0,01 | un centième |
| 10⁻³ | 0,001 | un millième |
| 10⁻⁶ | 0,000 001 | un millionième |
| 10⁻⁹ | 0,000 000 001 | un milliardième |
Pourquoi ? En descendant le tableau, l’exposant baisse de 1 et le nombre est divisé par 10 : 10³ ÷ 10 = 10², …, 10¹ ÷ 10 = 10⁰ = 1. En continuant, 10⁻¹ = 1 ÷ 10 = 0,1, puis 10⁻² = 0,1 ÷ 10 = 0,01, et ainsi de suite.
10⁷ = 10 000 000 (le 1 suivi de 7 zéros) · 100 000 = 10⁵
10⁻⁵ = 0,000 01 (5 chiffres après la virgule) · 0,000 000 1 = 10⁻⁷ (le 1 est au 7ᵉ rang après la virgule)
Réflexe — exposant positif : je compte les zéros après le 1 ; exposant négatif : je compte les chiffres après la virgule, le 1 étant le dernier.
Attention — 10⁻³ vaut 0,001, et non −1 000 ni −30. 10⁻⁴ s’écrit avec 4 chiffres après la virgule (0,0001), donc seulement 3 zéros après la virgule. Et 10⁵ ne vaut pas 50.
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Calculer avec les puissances de 10
Multiplier par 10⁻ⁿ, c’est diviser par 10ⁿ : on décale la virgule de n rangs vers la gauche.
Pour un produit ou un quotient de puissances de 10, on compte les zéros ou les rangs ; on retrouve les règles des puissances d’un même nombre, y compris avec des exposants négatifs.
4,7 × 10⁵ = 470 000 · 0,038 × 10⁴ = 380 · 52 × 10⁻³ = 0,052 · 6,1 × 10⁻² = 0,061
Écrire un nombre comme un entier multiplié par une puissance de 10 : 8 000 000 = 8 × 10⁶ · 0,000 3 = 3 × 10⁻⁴
Produits et quotients de puissances de 10
10⁴ × 10³ = 10 000 × 1 000 = 10 000 000 = 10⁷ : 4 + 3 = 7 zéros.
10⁵ × 10⁻² = 100 000 × 0,01 = 1 000 = 10³ : multiplier par 0,01 enlève deux zéros, et 5 + (−2) = 3.
10⁻¹ × 10⁻⁴ = 0,1 × 0,0001 = 0,000 01 = 10⁻⁵ : (−1) + (−4) = −5.
10⁶ ÷ 10² = 10⁴ (6 − 2 = 4) · 10² ÷ 10⁵ = 100 ÷ 100 000 = 0,001 = 10⁻³ (2 − 5 = −3)
(10³)² = 10³ × 10³ = 10⁶ : 2 fois 3 zéros.
B = 10⁻⁵ × 10⁹ ÷ 10³
B = 10⁴ ÷ 10³ (−5 + 9 = 4)
B = 10¹ (4 − 3 = 1)
B = 10
Réflexe — pour multiplier par 10ⁿ, je décale la virgule de n rangs : vers la droite si n est positif, vers la gauche si n est négatif.
Attention — 10⁴ × 10³ vaut 10⁷, ni 10¹² ni 100⁷. Une somme n’est pas un produit : 10³ + 10² = 1 100, ce n’est pas une puissance de 10. Et multiplier par 10⁻² ne rend pas le nombre négatif : il devient 100 fois plus petit.
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Les préfixes de nano à giga
| Préfixe | Symbole | Puissance de 10 | Exemple |
|---|---|---|---|
| giga | G | 10⁹ | 1 Go = 10⁹ octets |
| méga | M | 10⁶ | 1 MW = 10⁶ W |
| kilo | k | 10³ | 1 km = 10³ m |
| hecto | h | 10² | 1 hL = 10² L |
| déca | da | 10¹ | 1 dam = 10 m |
| (aucun) | 10⁰ | 1 m | |
| déci | d | 10⁻¹ | 1 dm = 0,1 m |
| centi | c | 10⁻² | 1 cL = 0,01 L |
| milli | m | 10⁻³ | 1 mg = 10⁻³ g |
| micro | µ | 10⁻⁶ | 1 µm = 10⁻⁶ m |
| nano | n | 10⁻⁹ | 1 ns = 10⁻⁹ s |
45 km = 45 × 10³ m = 45 000 m · 2,5 GW = 2,5 × 10⁹ W = 2 500 000 000 W
350 nm = 350 × 10⁻⁹ m = 0,000 000 35 m · 7 µs = 7 × 10⁻⁶ s = 0,000 007 s
Passer d’un préfixe à un autre
1 Go = 10⁹ octets = 10³ × 10⁶ octets = 1 000 Mo.
1 mm = 10⁻³ m = 10³ × 10⁻⁶ m = 1 000 µm : un millimètre contient mille micromètres.
En informatique, on rencontre aussi le gibioctet (Gio) : 1 Gio = 2³⁰ octets = 1 073 741 824 octets, un peu plus qu’un gigaoctet. Les préfixes du Système international, eux, valent toujours des puissances de 10 : 1 Go = 10⁹ octets.
Réflexe — je remplace le préfixe par sa puissance de 10, puis je décale la virgule ; pour passer d’un préfixe à l’autre, je compare les deux puissances de 10.
Attention — m minuscule (milli, 10⁻³) et M majuscule (méga, 10⁶) ne se confondent pas : 1 MW vaut un milliard de fois 1 mW. Le préfixe micro (µ) vaut 10⁻⁶, pas 10⁻⁴ : à partir de milli, les préfixes vont de 3 en 3 (milli 10⁻³, micro 10⁻⁶, nano 10⁻⁹), comme kilo, méga et giga.
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Pour aller plus loin
Ensuite — écrire un nombre sous la forme a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 (par exemple 52 000 = 5,2 × 10⁴), comparer des nombres très grands ou très petits et calculer leurs ordres de grandeur : voir Puissances : la notation scientifique.
Le chemin inverse du carré — le nombre positif dont le carré vaut 81 se note √81 (racine carrée de 81) : √81 = 9, car 9² = 81. Voir Racine carrée : définition et carrés parfaits.
Se verra en 3ᵉ — les puissances d’exposant négatif d’un nombre quelconque, comme 2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1/8. En 4ᵉ, les exposants négatifs ne concernent que les puissances de 10.
- aⁿ = a × a × … × a (n facteurs) : a est la base, n l’exposant ; a¹ = a et, pour a non nul, a⁰ = 1. 2⁵ = 32, pas 10.
- Base négative entre parenthèses : exposant pair → résultat positif, exposant impair → résultat négatif ; −12² = −144 mais (−12)² = 144.
- Puissances d’un même nombre : on compte les facteurs (4³ × 4² = 4⁵, 7⁵ ÷ 7² = 7³, (2³)² = 2⁶) ; une somme comme 2³ + 2⁴ ne se regroupe pas.
- 10ⁿ = 1 suivi de n zéros ; 10⁻ⁿ = 0,0…01 avec n chiffres après la virgule ; multiplier par 10ⁿ décale la virgule de n rangs (à droite si n est positif, à gauche s’il est négatif).
- Préfixes : giga 10⁹, méga 10⁶, kilo 10³, hecto 10², déca 10¹, déci 10⁻¹, centi 10⁻², milli 10⁻³, micro 10⁻⁶, nano 10⁻⁹.
- Ordre des calculs : parenthèses, puissances, × et ÷, + et −.
Questions fréquentes
Que veut dire 3⁵ ?
3⁵ (« 3 puissance 5 ») est le produit de 5 facteurs égaux à 3 : 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243. Le nombre 3 est la base et 5 est l’exposant, qui compte les facteurs. Ce n’est pas 3 × 5 = 15.
Pourquoi un nombre puissance 0 est-il égal à 1 ?
Quand l’exposant baisse de 1, on divise par la base : 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, puis 2⁰ = 2 ÷ 2 = 1. C’est vrai pour toute base non nulle : on décide donc que a⁰ = 1 (par exemple 7⁰ = 1 et 10⁰ = 1).
Quel est le signe d’une puissance d’un nombre négatif ?
Avec la base entre parenthèses : exposant pair, résultat positif ; exposant impair, résultat négatif. (−3)⁶ = 729 et (−3)⁵ = −243. Sans parenthèses, l’exposant ne porte que sur le nombre : −12² = −144.
Comment écrire 10⁻⁴ et multiplier par une puissance de 10 ?
10⁻⁴ = 1 ÷ 10⁴ = 0,0001 : le 1 est au 4ᵉ rang après la virgule. Multiplier par 10⁴ décale la virgule de 4 rangs vers la droite ; multiplier par 10⁻⁴, de 4 rangs vers la gauche : 6,1 × 10⁻² = 0,061.
Que signifient les préfixes nano, micro, méga et giga ?
Ce sont des puissances de 10 : nano = 10⁻⁹, micro = 10⁻⁶, milli = 10⁻³, kilo = 10³, méga = 10⁶, giga = 10⁹. Ainsi 1 nm = 10⁻⁹ m (un milliardième de mètre) et 1 Go = 10⁹ octets (un milliard d’octets).
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