À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Puissances et racines carrées » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une puissance ?, Carré et cube : les puissances les plus utiles, Les puissances de 10, Exposants négatifs et inverse. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'une puissance ?
2 · Carré et cube : les puissances les plus utiles
3 · Les puissances de 10
4 · Exposants négatifs et inverse
5 · La notation scientifique
6 · La racine carrée d'un nombre
7 · Carrés parfaits et calculs avec les racines
1Qu'est-ce qu'une puissance ?
Quand on multiplie un même nombre plusieurs fois par lui-même, l'écriture devient vite longue. La puissance permet de l'écrire de façon courte.
Définition. Pour un nombre $a$ et un entier $n$ supérieur ou égal à $1$ :
$$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}$$
$a$ s'appelle la base et $n$ s'appelle l'exposant. On lit $a^n$ « $a$ exposant $n$ » ou « $a$ puissance $n$ ».
Exemple. $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$. Ici la base est $2$ et l'exposant est $4$ : on multiplie $4$ fois le nombre $2$ par lui-même.
Attention ! Ne confonds pas la puissance et la multiplication. $2^4$ ne fait pas $2 \times 4 = 8$, mais $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$. L'exposant compte le nombre de facteurs, pas la valeur par laquelle on multiplie.
Cas particuliers à connaître. $a^1 = a$ (un seul facteur) et, pour tout nombre $a$ non nul, $a^0 = 1$. Par exemple $5^1 = 5$ et $7^0 = 1$.
2Carré et cube : les puissances les plus utiles
Deux puissances reviennent tout le temps en géométrie et en calcul : l'exposant $2$ et l'exposant $3$.
Définitions.
• $a^2 = a \times a$ se lit « $a$ au carré ». C'est l'aire d'un carré de côté $a$.
• $a^3 = a \times a \times a$ se lit « $a$ au cube ». C'est le volume d'un cube d'arête $a$.
Exemple. Un carré de côté $5$ cm a une aire de $5^2 = 25$ cm². Un cube d'arête $4$ cm a un volume de $4^3 = 64$ cm³.
Il est très utile de connaître par cœur les premiers carrés :
| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
|---|
| $n^2$ | $1$ | $4$ | $9$ | $16$ | $25$ | $36$ | $49$ | $64$ | $81$ | $100$ |
|---|
Attention au signe ! Avec un nombre négatif, il faut bien mettre des parenthèses : $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9$ (le carré d'un nombre est toujours positif), alors que $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$. Ce n'est pas la même chose.
3Les puissances de 10
Les puissances de $10$ sont particulières et très pratiques : elles servent à écrire les très grands nombres.
Règle. Pour un exposant entier positif $n$, $10^n$ s'écrit avec un $1$ suivi de $n$ zéros.
| Puissance | $10^1$ | $10^2$ | $10^3$ | $10^4$ | $10^6$ |
|---|
| Valeur | $10$ | $100$ | $1000$ | $10\,000$ | $1\,000\,000$ |
|---|
Exemple. $10^5 = 100\,000$ (un $1$ suivi de cinq zéros). Un million s'écrit $10^6$, un milliard s'écrit $10^9$.
Astuce : produit de puissances de 10. Pour multiplier deux puissances de $10$, on ajoute les exposants : $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$. Par exemple $10^3 \times 10^4 = 10^{7} = 10\,000\,000$.
4Exposants négatifs et inverse
Un exposant peut aussi être négatif. Il sert alors à écrire les très petits nombres, comme $0,001$.
Définition. Pour un nombre $a$ non nul et un entier $n$ positif :
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
Un exposant négatif correspond à l'inverse de la puissance.
Exemple. $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$. De même $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0,001$.
Astuce pour les puissances de 10 négatives. $10^{-n}$ est un nombre décimal qui s'écrit $0$, puis $(n-1)$ zéros, puis un $1$. Exemple : $10^{-4} = 0,0001$ (trois zéros après la virgule, puis le $1$).
| Puissance | $10^{-1}$ | $10^{-2}$ | $10^{-3}$ | $10^{-4}$ |
|---|
| Valeur | $0,1$ | $0,01$ | $0,001$ | $0,0001$ |
|---|
Attention ! Un exposant négatif ne rend pas le résultat négatif. $10^{-2} = 0,01$ est un nombre positif, pas $-100$.
5La notation scientifique
Pour écrire facilement un nombre très grand (distance d'une étoile) ou très petit (taille d'un virus), on utilise la notation scientifique.
Définition. Un nombre est en notation scientifique quand il s'écrit sous la forme :
$$a \times 10^n$$
où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \le a < 10$ (un seul chiffre non nul avant la virgule) et $n$ est un entier relatif.
Exemple (grand nombre). $58\,000\,000 = 5,8 \times 10^{7}$. On place la virgule après le premier chiffre ($5{,}8$) et on compte de combien de rangs on a déplacé la virgule : ici $7$ rangs vers la gauche, donc $10^7$.
Exemple (petit nombre). $0,00042 = 4,2 \times 10^{-4}$. On déplace la virgule vers la droite jusqu'au premier chiffre non nul ($4{,}2$) ; le nombre de rangs donne l'exposant négatif.
Attention ! $42 \times 10^3$ n'est pas en notation scientifique, car $42$ n'est pas compris entre $1$ et $10$. Il faut écrire $4,2 \times 10^4$.
Astuce. Grand nombre $\to$ exposant positif. Petit nombre (entre $0$ et $1$) $\to$ exposant négatif. C'est un bon moyen de vérifier qu'on ne s'est pas trompé de signe.
6La racine carrée d'un nombre
La racine carrée est l'opération « inverse » du carré : elle répond à la question « quel nombre positif, élevé au carré, donne tel résultat ? »
Définition. Pour un nombre positif $a$, la racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré vaut $a$ :
$$\sqrt{a} = b \quad \text{signifie} \quad b \ge 0 \ \text{ et } \ b^2 = a$$
Exemple. $\sqrt{49} = 7$ car $7^2 = 49$. De même $\sqrt{81} = 9$ et $\sqrt{100} = 10$.
Attention ! On ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif : $\sqrt{-9}$ n'existe pas, car aucun nombre au carré ne donne un résultat négatif.
Deux égalités importantes. Pour tout nombre positif $a$ : $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ et $\sqrt{a^2} = a$. Le carré et la racine carrée « s'annulent » l'un l'autre. Exemple : $\sqrt{5^2} = 5$ et $\left(\sqrt{5}\right)^2 = 5$.
7Carrés parfaits et calculs avec les racines
Un carré parfait est un nombre entier qui est le carré d'un autre entier. Sa racine carrée tombe « juste ».
Définition. Les premiers carrés parfaits sont $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$, $100$, $121$, $144$… Pour ceux-là, $\sqrt{a}$ est un nombre entier.
Exemple. $\sqrt{144} = 12$ car $12^2 = 144$. En revanche $\sqrt{20}$ n'est pas entier : $20$ n'est pas un carré parfait, et $\sqrt{20} \approx 4,47$ (valeur approchée à la calculatrice).
Encadrer une racine non entière. $\sqrt{20}$ est compris entre $\sqrt{16} = 4$ et $\sqrt{25} = 5$, donc $4 < \sqrt{20} < 5$. Cela permet d'estimer une racine sans calculatrice.
Attention ! En général $\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Par exemple $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. On ne « distribue » pas la racine sur une somme.
★À retenir
En bref :
• Puissance : $a^n = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ facteurs) ; $a^1 = a$ et $a^0 = 1$.
• Carré : $a^2 = a \times a$ ; cube : $a^3 = a \times a \times a$. Attention : $(-3)^2 = 9$ mais $-3^2 = -9$.
• Puissance de 10 : $10^n$ = un $1$ suivi de $n$ zéros ; $10^{-n} = \frac{1}{10^n}$.
• Notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$.
• Racine carrée : $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ ; $\sqrt{a^2} = a$ et $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$.
• Carré parfait : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$… racine entière.