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Racine carrée : définition et carrés parfaits
Rappels de 5e (carré d’un nombre, carrés parfaits de 1 à 144), définition de la racine carrée d’un nombre positif, racines carrées des carrés parfaits et de nombres décimaux, calculs avec des racines carrées, encadrement entre deux entiers consécutifs, valeur approchée à la calculatrice, racine carrée et aires, agrandissement-réduction et théorème de Pythagore.
À propos de cette page
Rappels de 5e : carré d’un nombre et carrés parfaits
En 5ᵉ, on a appris à calculer le carré d’un nombre : c’est le chapitre Puissances : carré et cube d’un nombre. La racine carrée fait le chemin inverse du carré : tout ce chapitre s’appuie sur ces carrés.
Le carré d’un nombre est toujours positif ou nul : 5² = 25 et (−5)² = (−5) × (−5) = 25.
Un carré parfait est le carré d’un nombre entier. À connaître par cœur : les carrés parfaits de 1 à 144, carrés des entiers de 1 à 12.
| a | a² | a | a² | a | a² | a | a² |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 5 | 25 | 9 | 81 | 13 | 169 |
| 2 | 4 | 6 | 36 | 10 | 100 | 14 | 196 |
| 3 | 9 | 7 | 49 | 11 | 121 | 15 | 225 |
| 4 | 16 | 8 | 64 | 12 | 144 |
2,3² = 2,3 × 2,3 = 5,29 : 23 × 23 = 529, avec 2 chiffres après la virgule.
0,06² = 0,06 × 0,06 = 0,0036 : 6 × 6 = 36, avec 4 chiffres après la virgule.
40² = 40 × 40 = 1 600 : 4² = 16, suivi de deux zéros.
Un carré de 2,6 m de côté a une aire de 2,6² = 6,76 m².
Le carré d’un nombre plus grand que 1 est plus grand que ce nombre (2,3² = 5,29) ; le carré d’un nombre compris entre 0 et 1 est plus petit que ce nombre (0,06² = 0,0036).
Reconnaître un carré parfait
169 = 13² : c’est un carré parfait.
110 n’est pas un carré parfait : 10² = 100 < 110 < 121 = 11², et aucun entier n’est compris entre 10 et 11.
4 357 n’est pas un carré parfait : le chiffre des unités d’un carré parfait n’est jamais 2, 3, 7 ou 8 (les carrés de 0 à 9 se terminent par 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1).
Réflexe — pour un carré, j’écris le produit des deux facteurs égaux ; pour savoir si un entier est un carré parfait, je le place entre deux carrés de la table.
Attention — 12² n’est pas 12 × 2 = 24 : 12² = 12 × 12 = 144. Et 0,06² vaut 0,0036, pas 0,36 : on compte les chiffres après la virgule des deux facteurs.
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Racine carrée d’un nombre positif
Autrement dit, √a est positif ou nul et (√a)² = a. Pour un nombre b positif ou nul, √(b²) = b.
Cas particuliers : √0 = 0 et √1 = 1.
La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas : un carré n’est jamais négatif.
√49 = 7, car 7² = 49 et 7 est positif. Le nombre −7 a lui aussi pour carré 49, mais √49 désigne seulement le nombre positif ; −7 s’écrit −√49.
Les carrés parfaits se lisent à l’envers dans la table de la partie 1 : comme 14² = 196, √196 = 14.
√(9²) = √81 = 9 · (√6)² = 6 : on ne calcule pas √6, on applique la définition.
Racine carrée d’un nombre décimal ou d’un grand nombre
√2,89 = 1,7, car 1,7² = 2,89 : je pense à 289 = 17², puis je place la virgule (1 chiffre après la virgule dans 1,7, 2 dans son carré).
√0,04 = 0,2, car 0,2² = 0,04 (et non 0,02, car 0,02² = 0,0004).
√3 600 = 60, car 60² = 3 600 · √10 000 = 100, car 100² = 10 000.
La racine carrée d’un nombre compris entre 0 et 1 est plus grande que ce nombre : √0,04 = 0,2, et 0,2 > 0,04.
Calculer avec des racines carrées
La barre du symbole √ joue le rôle d’une parenthèse : on calcule d’abord tout ce qui est sous la racine. Écrit devant une racine, un nombre la multiplie : 3√16 veut dire 3 × √16.
√(144 + 25) = √169 = 13, alors que √144 + √25 = 12 + 5 = 17 : la racine carrée d’une somme n’est pas la somme des racines carrées.
3√16 = 3 × 4 = 12 · 2 × √64 − 5 = 2 × 8 − 5 = 16 − 5 = 11 · √(5 × 20) = √100 = 10
Un peu d’histoire — le symbole √ apparaît pour la première fois dans un livre imprimé en 1525, un traité d’algèbre écrit en allemand par Christoph Rudolff. En 1637, Descartes lui ajoute la barre horizontale qui couvre le nombre.
Réflexe — pour calculer √a, je cherche le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne a ; je vérifie en élevant ma réponse au carré.
Attention — √36 n’est pas la moitié de 36 : √36 = 6, et non 18, car 18² = 324. √0,9 n’est pas 0,3, car 0,3² = 0,09. Et √(−9) n’existe pas, alors que −√9 = −3 existe.
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Encadrer une racine carrée, valeur approchée
Pour encadrer √a entre deux entiers consécutifs, je cherche les deux carrés parfaits consécutifs n² et (n + 1)² tels que n² < a < (n + 1)². Alors n < √a < n + 1.
Si un entier a n’est pas un carré parfait, √a n’est ni un entier ni un nombre décimal (on l’admet) : son écriture après la virgule ne s’arrête jamais. √a est la valeur exacte ; la calculatrice (touche √) n’en donne qu’une valeur approchée, que l’on écrit avec le symbole ≈.
√7 : 4 < 7 < 9, c’est-à-dire 2² < 7 < 3², donc 2 < √7 < 3.
√130 : 121 < 130 < 144, c’est-à-dire 11² < 130 < 12², donc 11 < √130 < 12.
La calculatrice affiche √130 ≈ 11,401 754 : arrondi au dixième, √130 ≈ 11,4 ; au centième, √130 ≈ 11,40.
√2 ≈ 1,414 213 56… : la calculatrice coupe l’affichage, mais les chiffres de √2 ne s’arrêtent jamais.
Encadrer au dixième, arrondir à l’unité
√40 : 36 < 40 < 49, donc 6 < √40 < 7. J’essaie les dixièmes : 6,3² = 39,69 et 6,4² = 40,96. Comme 39,69 < 40 < 40,96, on a 6,3 < √40 < 6,4. La calculatrice confirme : √40 ≈ 6,32.
L’entier le plus proche de √40 : je compare 40 au carré du milieu 6,5² = 42,25. Comme 40 < 42,25, √40 < 6,5 : l’entier le plus proche est 6.
Comparer une racine carrée et un nombre
Pour comparer √a et un nombre positif b, je compare a et b² : 8² = 64 et 64 < 70, donc 8 < √70.
Réflexe — pour encadrer √a, je cherche dans la table le carré parfait juste en dessous de a et celui juste au-dessus ; je prends leurs racines.
Attention — 121 < 130 < 144 encadre le nombre 130 ; c’est 11 < √130 < 12 qui encadre sa racine carrée. Une valeur approchée s’écrit avec ≈ : écrire √130 = 11,4 est faux, car 11,4² = 129,96.
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Racine carrée et géométrie : aires, agrandissement, Pythagore
Agrandissement ou réduction de rapport k : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k². Pour multiplier les aires par un nombre m, on multiplie donc les longueurs par √m.
Théorème de Pythagore : si le triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². On obtient la longueur BC avec une racine carrée : BC = √(AB² + AC²).
Un carré d’aire 324 m² a pour côté √324 = 18 m, car 18² = 324.
Un carré d’aire 20 cm² a pour côté √20 cm : 16 < 20 < 25, donc ce côté est compris entre 4 cm et 5 cm, et √20 ≈ 4,47 cm.
Agrandissement, réduction et aires
Un agrandissement de rapport 3 multiplie les longueurs par 3 et les aires par 3² = 9.
Une photo de 10 cm sur 15 cm est agrandie pour que son aire soit 4 fois plus grande : ses longueurs sont multipliées par √4 = 2. Elle mesure 20 cm sur 30 cm (aire 150 cm² devenue 600 cm², soit 4 fois plus).
Pour obtenir une aire 2 fois plus grande, on multiplie les longueurs par √2 ≈ 1,41, et non par 2.
Pythagore : du carré de la longueur à la longueur
Le triangle DEF est rectangle en E, avec DE = 3 cm et EF = 5 cm. D’après le théorème de Pythagore, DF² = DE² + EF² = 9 + 25 = 34. Donc DF = √34 cm (valeur exacte), soit : utiliser les carrés parfaits de 1 à 144 ; connaître la définition de la racine carrée d’un nombre positif ; encadrer la racine carrée d’un nombre positif entre deux entiers ; utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée de la racine carrée d’un nombre positif ; utiliser la racine carrée en lien avec des situations géométriques (théorème de Pythagore ; agrandissement, réduction et aires).
Réflexe — une aire ou un carré de longueur → je prends la racine carrée pour revenir à une longueur ; je garde la valeur exacte √A, puis j’arrondis seulement à la fin, avec l’unité de longueur.
Attention — un carré d’aire 36 cm² n’a pas un côté de 9 cm (36 ÷ 4 = 9 serait le côté d’un carré de périmètre 36 cm) : son côté mesure √36 = 6 cm. Et doubler les longueurs ne double pas l’aire : cela la multiplie par 4.
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Pour aller plus loin
Ensuite — le théorème de Pythagore en entier (repérer l’hypoténuse, calculer un côté de l’angle droit, réciproque et contraposée, rédaction) : voir Théorème de Pythagore : calculer, réciproque. Les puissances aⁿ et les puissances de 10 : voir Puissances : exposant positif et puissances de 10.
Se verra en 3ᵉ — résoudre une équation comme x² = 121 : elle a deux solutions, 11 et −11 (seule la solution positive peut être une longueur). Se verra au lycée (2ᵈᵉ) — les règles de calcul comme √(a × b) = √a × √b et l’écriture simplifiée d’une racine carrée.
- a² = a × a ; un carré parfait est le carré d’un entier ; à connaître : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.
- Pour a positif ou nul, √a est le nombre positif ou nul dont le carré vaut a : (√a)² = a. La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
- La barre de √ est une parenthèse : √(a + b) n’est pas égal à √a + √b ; 3√16 = 3 × √16.
- Encadrer : n² < a < (n + 1)² donne n < √a < n + 1. La calculatrice donne une valeur approchée, écrite avec ≈.
- Côté d’un carré d’aire A : √A. Agrandissement de rapport k : aires × k². Pythagore : BC² = AB² + AC², puis BC = √(AB² + AC²).
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un carré parfait ?
C’est le carré d’un nombre entier : 64 = 8² et 100 = 10² sont des carrés parfaits. Il faut connaître ceux de 1 à 144 : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 et 144. En revanche, 500 n’en est pas un : 22² = 484 et 23² = 529, et aucun entier n’est compris entre 22 et 23.
Que veut dire √a ?
Pour un nombre a positif ou nul, √a (« racine carrée de a ») est le nombre positif ou nul dont le carré vaut a. Ainsi √289 = 17, car 17² = 289 et 17 est positif. Le nombre −17 a lui aussi pour carré 289, mais √289 désigne seulement 17.
La racine carrée d’un nombre négatif existe-t-elle ?
Non. Un carré n’est jamais négatif (5² = 25 et (−5)² = 25), donc aucun nombre n’a pour carré −25 : √(−25) n’existe pas. En revanche, −√25 existe : c’est l’opposé de √25, c’est-à-dire −5.
Comment encadrer une racine carrée entre deux entiers ?
On cherche les deux carrés parfaits qui se suivent et qui entourent le nombre : 49 < 55 < 64, c’est-à-dire 7² < 55 < 8², donc 7 < √55 < 8. Pour aller plus loin, la calculatrice donne une valeur approchée : √55 ≈ 7,42 au centième.
À quoi sert la racine carrée en géométrie ?
À retrouver une longueur quand on connaît une aire ou le carré d’une longueur. Un carré d’aire 30 cm² a pour côté √30 cm, soit environ 5,48 cm. Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore donne le carré de l’hypoténuse : si BC² = 41, alors BC = √41 ≈ 6,40 cm.
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