Fiche de révision : la notation scientifique

Rappels sur les puissances de 10 et l’ordre de grandeur d’un calcul, écriture d’un nombre en notation scientifique a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10) à partir de son écriture décimale ou fractionnaire, comparaison et rangement, ordre de grandeur d’un nombre, produits et quotients en notation scientifique, calculatrice et problèmes avec des très grands et des très petits nombres.

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Puissances : la notation scientifique

Fiche méthode

(Mathématiques 4ᵉ · Nombres et calculs · Puissances)

La démarche pour écrire et calculer en notation scientifique

1. Je trouve a. Je place la virgule juste après le premier chiffre non nul : $1 ⩽ a < 10$ .

2. Je trouve n. Je compte de combien de rangs la virgule s’est déplacée : $n$ positif pour un grand nombre, négatif pour un nombre plus petit que $1$ .

3. Je calcule et je contrôle. Produit ou quotient : je regroupe les $a$ et les puissances de $10$ , je remets en notation scientifique, puis je vérifie avec un ordre de grandeur.

Le réflexe — un seul chiffre non nul avant la virgule ; l’exposant compte les rangs ; produit → on ajoute les exposants, quotient → on les soustrait, somme → écriture décimale.

Cas 1 · Rappels : puissances de 10 et ordre de grandeur d’un calcul

Réflexe — exposant positif → je compte les zéros ; exposant négatif → je compte les chiffres après la virgule ; ordre de grandeur → un seul chiffre non nul par nombre.

Exemple 1. Écrire $5, 4 \times 10^{- 3}$ en écriture décimale, puis calculer $10^{6} \times 10^{- 9}$ .

La virgule se décale de $3$ rangs vers la gauche : $5, 4 \times 10^{- 3} = 0, 005 4$ .

$6 + (- 9) = - 3$ , donc $10^{6} \times 10^{- 9} = 10^{- 3}$ .

Exemple 2. Donner un ordre de grandeur de $612 \times 0, 198$ .

$612 \approx 600$ et $0, 198 \approx 0, 2$ : $600 \times 0, 2 = 120$ .

Le résultat exact, $121, 176$ , est bien proche de $120$ .

Attention — $10^{- 3}$ est un nombre positif : $0, 001$ , et non $- 1 000$ .

Cas 2 · Écrire un nombre en notation scientifique

Réflexe — j’écris $a$ avec un seul chiffre non nul avant la virgule, puis je compte les rangs pour trouver $n$ .

Exemple 1. Écrire $72 800 000$ et $0, 000 93$ en notation scientifique.

$72 800 000 = 7, 28 \times 10^{7}$ : la virgule se décale de $7$ rangs vers la gauche.

$0, 000 93 = 9, 3 \times 10^{- 4}$ : la virgule se décale de $4$ rangs vers la droite.

Exemple 2. Écrire $38 \times 10^{- 5}$ en notation scientifique.

$38 = 3, 8 \times 10^{1}$ , donc $38 \times 10^{- 5} = 3, 8 \times 10^{1} \times 10^{- 5} = 3, 8 \times 10^{- 4}$ .

Attention — $27 \times 10^{4}$ n’est pas une notation scientifique : $27 ⩾ 10$ , on écrit $2, 7 \times 10^{5}$ .

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Cas 3 · Comparer, ranger, donner un ordre de grandeur

Réflexe — je compare d’abord les exposants, puis les nombres $a$ ; l’ordre de grandeur est la puissance de $10$ la plus proche.

Exemple 1. Ranger dans l’ordre croissant $7, 5 \times 10^{- 6}$ ; $2 \times 10^{- 5}$ ; $9, 1 \times 10^{- 6}$ .

$- 6 < - 5$ : les deux nombres en $10^{- 6}$ sont les plus petits, et $7, 5 < 9, 1$ .

$7, 5 \times 10^{- 6} < 9, 1 \times 10^{- 6} < 2 \times 10^{- 5}$ .

Exemple 2. Donner l’ordre de grandeur de $8, 7 \times 10^{12}$ .

$8, 7$ est proche de $10$ : l’ordre de grandeur est $10 \times 10^{12} = 10^{13}$ .

Attention — ne pas comparer d’abord les nombres $a$ : $1, 5 \times 10^{- 3}$ est plus grand que $8 \times 10^{- 4}$ .

Cas 4 · Calculer en notation scientifique : produits et quotients

Réflexe — je regroupe les $a$ et les puissances de $10$ ; produit → j’ajoute les exposants, quotient → je les soustrais.

Exemple 1. Calculer $(2, 5 \times 10^{6}) \times (6 \times 10^{- 2})$ .

$(2, 5 \times 6) \times 10^{6 + (- 2)} = 15 \times 10^{4}$ .

$15 ⩾ 10$ : $15 \times 10^{4} = 1, 5 \times 10^{5}$ .

Exemple 2. Calculer $(4, 2 \times 10^{3}) \div (7 \times 10^{- 5})$ .

$(4, 2 \div 7) \times 10^{3 - (- 5)} = 0, 6 \times 10^{8}$ .

$0, 6 < 1$ : $0, 6 \times 10^{8} = 6 \times 10^{7}$ .

Attention — une somme ne se calcule pas ainsi : $4 \times 10^{3} + 5 \times 10^{2} = 4 000 + 500$ , soit $4 500 = 4, 5 \times 10^{3}$ .

Cas 5 · Calculatrice et problèmes

Réflexe — mêmes unités, notation scientifique jusqu’au bout, arrondi de $a$ à la fin, contrôle par un ordre de grandeur.

Exemple 1. La calculatrice affiche 5.1E−4. Quel est ce nombre ?

5.1E−4 se lit $5, 1 \times 10^{- 4}$ , soit $0, 000 51$ .

Exemple 2. Combien de fois $3, 6 \times 10^{9}$ est-il plus grand que $1, 2 \times 10^{4}$ ?

$(3, 6 \div 1, 2) \times 10^{9 - 4} = 3 \times 10^{5}$ : $300 000$ fois.

Attention — 5.1E−4 ne se lit ni $5, 1^{- 4}$ ni $5, 1 \times (- 4)$ : c’est $5, 1 \times 10^{- 4}$ .

Les pièges

Laisser $27 \times 10^{4}$ ou $0, 4 \times 10^{3}$ comme résultat final : le premier nombre doit être entre $1$ et $10$ .
Croire qu’un exposant négatif donne un nombre négatif : $3 \times 10^{- 2} = 0, 03$ .
Comparer les nombres $a$ avant les exposants : $2 \times 10^{- 3} > 9 \times 10^{- 4}$ .
Ajouter les exposants dans une somme : $6 \times 10^{3} + 2 \times 10^{3} = 8 \times 10^{3}$ , pas $8 \times 10^{6}$ .
Arrondir trop tôt dans un problème : on garde les valeurs exactes jusqu’au dernier calcul.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode de notation scientifique donne la démarche en trois étapes (trouver a, trouver n, calculer et contrôler), un ou deux exemples corrigés par cas — de 72 800 000 = 7,28 × 10⁷ à la lecture de l’affichage 5.1E−4 — et les pièges classiques : exposant négatif, comparaison, somme.

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