Ressources · 4ᵉ · Mathématiques
Puissances : la notation scientifique
Rappels sur les puissances de 10 et l’ordre de grandeur d’un calcul, écriture d’un nombre en notation scientifique a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10) à partir de son écriture décimale ou fractionnaire, comparaison et rangement, ordre de grandeur d’un nombre, produits et quotients en notation scientifique, calculatrice et problèmes avec des très grands et des très petits nombres.
À propos de cette page
Rappels : puissances de 10 et ordre de grandeur d’un calcul
Multiplier par 10ⁿ décale la virgule de n rangs vers la droite ; multiplier par 10⁻ⁿ la décale de n rangs vers la gauche (c’est diviser par 10ⁿ).
Pour multiplier ou diviser des puissances de 10, on compte les facteurs 10 : 10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ et 10ᵐ ÷ 10ⁿ = 10ᵐ⁻ⁿ.
Un ordre de grandeur d’un calcul s’obtient en remplaçant chaque nombre par une valeur proche et simple — par exemple en l’arrondissant pour ne garder qu’un seul chiffre non nul — puis en calculant de tête. Il sert à prévoir ou à vérifier un résultat.
10⁸ = 100 000 000 · 10⁻⁵ = 0,000 01 · 2,07 × 10⁴ = 20 700 · 81,3 × 10⁻² = 0,813
10⁸ × 10⁻³ = 10⁵, car 8 + (−3) = 5 · 10⁻² ÷ 10⁴ = 10⁻⁶, car −2 − 4 = −6
Ordre de grandeur de 398 × 5,1 : 400 × 5 = 2 000. Le résultat exact, 2 029,8, est bien proche de 2 000.
Ordre de grandeur de 0,49 × 61 : 0,5 × 60 = 30. Si la calculatrice affiche 298,9, je sais qu’une virgule a été mal placée : le résultat exact est 29,89.
Les puissances de 10 et les préfixes de nano à giga sont détaillés dans Puissances : exposant positif et puissances de 10.
Réflexe — exposant positif : je compte les zéros après le 1 ; exposant négatif : je compte les chiffres après la virgule. Avant un calcul long, je fais un ordre de grandeur de tête.
Attention — 10⁻⁴ est un nombre positif (0,000 1), pas −10 000. Et 10³ × 10² vaut 10⁵, pas 10⁶ : pour un produit, on ajoute les exposants, on ne les multiplie pas.
1 / 5
Écrire un nombre en notation scientifique
• a est un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10 : il a un seul chiffre avant la virgule, et ce chiffre n’est pas 0 ;
• n est un nombre entier, positif, négatif ou nul.
Tout nombre décimal positif non nul a une seule notation scientifique. Un nombre supérieur ou égal à 10 a un exposant positif ; un nombre plus petit que 1 a un exposant négatif ; un nombre supérieur ou égal à 1 et plus petit que 10 a l’exposant 0.
De l’écriture décimale à la notation scientifique
Je place la virgule juste après le premier chiffre non nul : j’obtiens a. Je compte de combien de rangs la virgule s’est déplacée : c’est n, positif si le nombre est grand, négatif s’il est plus petit que 1. Je vérifie en refaisant le chemin inverse.
9 340 000 000 = 9,34 × 10⁹ : la virgule, à la fin du nombre, vient se placer après le 9 ; elle s’est décalée de 9 rangs vers la gauche, et le nombre est grand : n = 9.
0,000 000 72 = 7,2 × 10⁻⁷ : la virgule vient se placer après le 7 ; elle s’est décalée de 7 rangs vers la droite, et le nombre est plus petit que 1 : n = −7.
61 500 = 6,15 × 10⁴ · 0,032 = 3,2 × 10⁻² · 5,8 = 5,8 × 10⁰
Dans l’autre sens, on décale la virgule de n rangs : 3,06 × 10⁵ = 306 000 et 8,1 × 10⁻⁴ = 0,000 81.
Corriger une écriture qui n’est pas scientifique
Dans 145 × 10⁻⁷, le nombre 145 n’est pas compris entre 1 et 10. On l’écrit lui-même en notation scientifique, puis on regroupe les puissances de 10.
145 × 10⁻⁷ = 1,45 × 10² × 10⁻⁷ = 1,45 × 10⁻⁵
0,62 × 10⁸ = 6,2 × 10⁻¹ × 10⁸ = 6,2 × 10⁷
Ce qu’on enlève d’un côté, on le rend de l’autre : 145 est divisé par 100 pour devenir 1,45, donc la puissance de 10 est multipliée par 100 (l’exposant augmente de 2).
Écriture fractionnaire et unités
, c’est-à-dire
Une bactérie de l’intestin mesure environ 2 µm de long : 2 µm = 2 × 10⁻⁶ m, déjà en notation scientifique. Et 47 nm = 47 × 10⁻⁹ m = 4,7 × 10⁻⁸ m.
Pour un nombre négatif, on écrit le signe devant : −0,005 1 = −5,1 × 10⁻³.
Réflexe — un seul chiffre non nul avant la virgule ; nombre supérieur ou égal à 10 → exposant positif, nombre plus petit que 1 → exposant négatif. Je vérifie en redécalant la virgule.
Attention — 34,5 × 10³ et 0,7 × 10⁻² ne sont pas des notations scientifiques (34,5 ≥ 10 et 0,7 < 1). 10 × 10⁶ non plus : a doit être strictement plus petit que 10, on écrit 1 × 10⁷. Et un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : 7,2 × 10⁻⁷ est positif.
2 / 5
Comparer, ranger, donner un ordre de grandeur
• s’ils n’ont pas le même exposant, le plus grand est celui qui a le plus grand exposant ;
• s’ils ont le même exposant, on compare les nombres a.
L’ordre de grandeur d’un nombre a × 10ⁿ est la puissance de 10 la plus proche : 10ⁿ si a est proche de 1, 10ⁿ⁺¹ si a est proche de 10.
Pourquoi l’exposant d’abord ? Tous les nombres a × 10⁻² sont compris entre 0,01 et 0,1 ; tous les nombres a × 10⁻³ sont compris entre 0,001 et 0,01. Ainsi 1,2 × 10⁻² = 0,012 est plus grand que 9,8 × 10⁻³ = 0,009 8, même si 9,8 est plus grand que 1,2.
6,2 × 10⁸ < 1,1 × 10⁹ : les exposants sont 8 et 9, et 8 < 9.
3,47 × 10⁻⁵ < 3,5 × 10⁻⁵ : même exposant, et 3,47 < 3,50.
Dans l’ordre croissant : 9 × 10⁵ < 2,3 × 10⁶ < 4,1 × 10⁶ < 1,05 × 10⁷.
52 × 10⁴ n’est pas en notation scientifique : 52 × 10⁴ = 5,2 × 10⁵, qui est plus petit que 6 × 10⁵.
Ordre de grandeur d’un nombre
6,4 × 10¹⁰ a pour ordre de grandeur 10¹¹, car 6,4 est plus proche de 10 que de 1 ; 2,1 × 10⁻⁴ a pour ordre de grandeur 10⁻⁴.
Le diamètre de la Terre mesure environ 12 756 km = 1,275 6 × 10⁴ km : son ordre de grandeur est 10⁴ km. Un atome mesure environ 10⁻¹⁰ m de diamètre (un dix-milliardième de mètre).
Les ordres de grandeur permettent de comparer très vite : un nombre d’ordre de grandeur 10⁹ est environ 10⁹ ÷ 10⁴ = 10⁵ fois plus grand qu’un nombre d’ordre de grandeur 10⁴. Quand a est vers le milieu, autour de 4 ou 5, le choix entre 10ⁿ et 10ⁿ⁺¹ n’est pas net : on donne alors plutôt une valeur arrondie, par exemple 5 × 10⁶.
Réflexe — je compare d’abord les exposants ; seulement s’ils sont égaux, je compare les nombres a. Si un nombre n’est pas en notation scientifique, je l’y mets d’abord.
Attention — avec des exposants négatifs, le plus grand exposant est le plus proche de 0 : 10⁻³ > 10⁻⁵. Et 8 × 10⁻⁴ est plus petit que 1,5 × 10⁻³ même si 8 > 1,5.
3 / 5
Calculer en notation scientifique : produits et quotients
(a × 10ᵐ) × (b × 10ⁿ) = (a × b) × 10ᵐ⁺ⁿ.
Pour un quotient : (a × 10ᵐ) ÷ (b × 10ⁿ) = (a ÷ b) × 10ᵐ⁻ⁿ.
On termine en remettant le résultat en notation scientifique : a × b peut dépasser 10, et a ÷ b peut être plus petit que 1.
Une somme ou une différence ne se calcule pas ainsi : on repasse en écriture décimale, puis on revient à la notation scientifique.
(2 × 10⁷) × (4,3 × 10²) = (2 × 4,3) × 10⁷⁺² = 8,6 × 10⁹
(3,2 × 10⁻⁴) × (5 × 10⁹) = (3,2 × 5) × 10⁻⁴⁺⁹ = 16 × 10⁵ = 1,6 × 10⁶
(9,6 × 10⁸) ÷ (3 × 10⁵) = (9,6 ÷ 3) × 10⁸⁻⁵ = 3,2 × 10³
(1,2 × 10⁻³) ÷ (4 × 10⁵) = (1,2 ÷ 4) × 10⁻³⁻⁵ = 0,3 × 10⁻⁸ = 3 × 10⁻⁹
(3 × 10⁴)² = (3 × 10⁴) × (3 × 10⁴) = 9 × 10⁸
(car et )
, soit .
Et pour une somme ?
2 × 10⁵ + 3 × 10⁴ = 200 000 + 30 000 = 230 000 = 2,3 × 10⁵. On n’ajoute ni les nombres a ni les exposants.
Réflexe — je regroupe : les nombres a ensemble, les puissances de 10 ensemble. Produit → j’ajoute les exposants ; quotient → je les soustrais. À la fin, je vérifie que a est entre 1 et 10.
Attention — 16 × 10⁵ est juste, mais ce n’est pas une notation scientifique : 16 ≥ 10, il faut écrire 1,6 × 10⁶. Et 2 × 10⁵ + 3 × 10⁴ ne vaut pas 5 × 10⁹ : une somme se calcule en écriture décimale.
4 / 5
Calculatrice et problèmes : très grands et très petits nombres
Un résultat très grand ou très petit s’affiche en notation scientifique. Certains écrans écrivent 4.35E17 ou 4,35E17 (point ou virgule selon le modèle) : cela se lit 4,35 × 10¹⁷.
Dans un problème, on met toutes les données dans la même unité, on garde la notation scientifique pendant le calcul, on arrondit a à la fin (souvent au centième) et on contrôle avec un ordre de grandeur.
Une molécule d’eau a une masse d’environ 3 × 10⁻²⁶ kg, et 1 L d’eau a une masse de 1 kg. Nombre de molécules dans 1 L d’eau : 1 ÷ (3 × 10⁻²⁶). La calculatrice affiche 3.333333333E25 : environ 3,33 × 10²⁵ molécules.
Avec × 10 et la touche des puissances, je mets le diviseur entre parenthèses : 1 ÷ (3 × 10^(−26)). Sans parenthèses, la calculatrice ferait 1 ÷ 3, puis multiplierait par 10⁻²⁶.
Contrôler avec un ordre de grandeur
Un cœur bat environ 70 fois par minute. En 80 ans de 365 jours : 70 × 60 × 24 × 365 × 80 = 2 943 360 000 battements, soit environ 2,94 × 10⁹.
Contrôle : 70 × 60 × 24 = 100 800 ≈ 10⁵ battements par jour, et 365 × 80 = 29 200 ≈ 3 × 10⁴ jours ; 10⁵ × 3 × 10⁴ = 3 × 10⁹. Le résultat est cohérent.
Pour dire « combien de fois plus grand », on divise : 8 × 10⁶ est (8 ÷ 2) × 10⁶⁻⁽⁻³⁾ = 4 × 10⁹ fois plus grand que 2 × 10⁻³.
Réflexe — je garde la notation scientifique jusqu’au bout, j’arrondis a seulement à la fin, je contrôle avec un ordre de grandeur et j’écris l’unité.
Attention — 4.35E17 ne veut dire ni 4,35¹⁷ ni 4,35 × 17 : c’est 4,35 × 10¹⁷. Et avant de diviser deux longueurs, je vérifie qu’elles sont dans la même unité (des km et des km, des m et des m).
5 / 5
Pour aller plus loin
Avant — les puissances de 10 (exposant positif ou négatif) et les préfixes de nano à giga (1 nm = 10⁻⁹ m, 1 Go = 10⁹ octets…) sont dans Puissances : exposant positif et puissances de 10.
Ensuite — vitesses, débits et changements d’unités composées (km/h, m/s) : voir le chapitre sur les grandeurs composées. La notation scientifique sert aussi sans cesse en physique-chimie et en SVT.
- Multiplier par 10ⁿ décale la virgule de n rangs vers la droite, par 10⁻ⁿ de n rangs vers la gauche ; 10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ et 10ᵐ ÷ 10ⁿ = 10ᵐ⁻ⁿ.
- Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule) et n entier ; grand nombre → exposant positif, nombre plus petit que 1 → exposant négatif.
- Pour comparer, on regarde d’abord les exposants, puis les nombres a ; l’ordre de grandeur est la puissance de 10 la plus proche.
- Produit : on multiplie les a et on ajoute les exposants ; quotient : on divise les a et on soustrait les exposants ; somme : on repasse en écriture décimale.
- À la calculatrice, 4.35E17 se lit 4,35 × 10¹⁷ ; dans un problème, mêmes unités, arrondi à la fin et contrôle par un ordre de grandeur.
Questions fréquentes
Comment trouver un ordre de grandeur d’un calcul ?
On arrondit chaque nombre pour ne garder qu’un seul chiffre non nul, puis on calcule de tête : 398 × 5,1 ≈ 400 × 5 = 2 000. On s’en sert pour vérifier un résultat, par exemple repérer une virgule mal placée.
Comment écrire un nombre en notation scientifique ?
On l’écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 : on place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis on compte les rangs. 61 500 = 6,15 × 10⁴ et 0,032 = 3,2 × 10⁻² : un nombre plus petit que 1 a un exposant négatif.
Comment comparer deux nombres en notation scientifique ?
On compare d’abord les exposants : le plus grand exposant donne le plus grand nombre. Si les exposants sont égaux, on compare les nombres a. Ainsi 1,2 × 10⁻² > 9,8 × 10⁻³, même si 9,8 > 1,2.
Comment multiplier ou diviser des nombres en notation scientifique ?
On regroupe les nombres a et les puissances de 10 : (3,2 × 10⁻⁴) × (5 × 10⁹) = 16 × 10⁵ = 1,6 × 10⁶. Pour un quotient, on divise les a et on soustrait les exposants. Pour une somme, on repasse en écriture décimale.
Que veut dire 4.35E17 sur une calculatrice ?
C’est la notation scientifique de la calculatrice : 4.35E17 se lit 4,35 × 10¹⁷. Pour saisir un tel nombre, on utilise la touche ×10ⁿ ou la touche des puissances, avec des parenthèses autour d’un diviseur.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs