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Racine carrée : définition et carrés parfaits
Rappels de 5e (carré d’un nombre, carrés parfaits de 1 à 144), définition de la racine carrée d’un nombre positif, racines carrées des carrés parfaits et de nombres décimaux, calculs avec des racines carrées, encadrement entre deux entiers consécutifs, valeur approchée à la calculatrice, racine carrée et aires, agrandissement-réduction et théorème de Pythagore.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
√16 est égal à…
- A. 8
- B. 4
- C. 256
- D. 2
Réponse
B. 4 — 4² = 16 et 4 est positif : √16 = 4. 8 est la moitié de 16, et 256 est le carré de 16.
Lequel de ces nombres est un carré parfait ?
- A. 50
- B. 120
- C. 99
- D. 121
Réponse
D. 121 — 121 = 11². 50, 120 et 99 sont chacun compris entre deux carrés parfaits consécutifs (49 et 64, 100 et 121, 81 et 100).
Pour un nombre a positif, √a est…
- A. le nombre positif dont le carré vaut a
- B. le nombre égal à la moitié du nombre a
- C. le nombre égal au produit de a par a
- D. le nombre positif dont le double vaut a
Réponse
A. le nombre positif dont le carré vaut a — C’est la définition : √a est positif ou nul et (√a)² = a. Le produit a × a, c’est le carré de a.
√0,36 est égal à…
- A. 0,18
- B. 0,06
- C. 6
- D. 0,6
Réponse
D. 0,6 — 0,6² = 0,36 : √0,36 = 0,6. Attention, 0,06² = 0,0036.
16² est égal à…
- A. 32
- B. 256
- C. 216
- D. 196
Réponse
B. 256 — 16² = 16 × 16 = 256. 32 = 16 × 2, et 196 est le carré de 14.
Entre quels entiers consécutifs se trouve √42 ?
- A. 6 et 7
- B. 20 et 21
- C. 5 et 6
- D. 7 et 8
Réponse
A. 6 et 7 — 36 < 42 < 49, c’est-à-dire 6² < 42 < 7², donc 6 < √42 < 7. 20 et 21 encadrent la moitié de 42.
Que peut-on dire de √(−36) ?
- A. il vaut −6
- B. il vaut 6
- C. il vaut −6 ou 6
- D. il n’existe pas
Réponse
D. il n’existe pas — Un carré n’est jamais négatif : aucun nombre n’a pour carré −36 (6² = 36 et (−6)² = 36). √(−36) n’existe pas ; c’est −√36 qui vaut −6.
Un carré a une aire de 900 cm². Son côté mesure…
- A. 450 cm
- B. 225 cm
- C. 30 cm
- D. 90 cm
Réponse
C. 30 cm — Côté = √900 = 30 cm, car 30² = 900. 225 cm serait le côté d’un carré de périmètre 900 cm.
(√5)² est égal à…
- A. 25
- B. 5
- C. 10
- D. 2,5
Réponse
B. 5 — Par définition, (√a)² = a : (√5)² = 5.
La calculatrice affiche √13 ≈ 3,605 551. Arrondi au dixième, √13 ≈ …
- A. 3,7
- B. 3,5
- C. 3,6
- D. 3,61
Réponse
C. 3,6 — Le chiffre des centièmes est 0 : on garde 3,6. 3,61 est un arrondi au centième, pas au dixième.
3,1² est égal à…
- A. 9,61
- B. 6,2
- C. 9,1
- D. 96,1
Réponse
A. 9,61 — 31 × 31 = 961, avec 2 chiffres après la virgule : 3,1² = 9,61. 6,2 = 3,1 × 2.
Quelle égalité est juste ?
- A. √0,64 = 0,08
- B. √0,64 = 0,32
- C. √0,64 = 8
- D. √0,64 = 0,8
Réponse
D. √0,64 = 0,8 — 0,8² = 0,64 : √0,64 = 0,8. 0,08² = 0,0064 et 0,32 est la moitié de 0,64.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
√(100 − 64) est égal à…
- A. 2
- B. 6
- C. 36
- D. 18
Réponse
B. 6 — On calcule d’abord sous la racine : 100 − 64 = 36, et √36 = 6. Le résultat 2 vient de √100 − √64 = 10 − 8, qui est faux.
√200 est compris entre…
- A. 10 et 11
- B. 100 et 101
- C. 14 et 15
- D. 19 et 20
Réponse
C. 14 et 15 — 14² = 196 et 15² = 225 : 196 < 200 < 225, donc 14 < √200 < 15.
√0,0025 est égal à…
- A. 0,5
- B. 0,005
- C. 0,125
- D. 0,05
Réponse
D. 0,05 — 25 = 5² ; 0,0025 a 4 chiffres après la virgule, sa racine en a 2 : 0,05² = 0,0025.
√((−6)²) est égal à…
- A. −6
- B. il n’existe pas
- C. 36
- D. 6
Réponse
D. 6 — (−6)² = 36, qui est positif, et √36 = 6 : une racine carrée est toujours positive ou nulle.
Un carré a une aire de 10 m². Son côté mesure environ…
- A. 3,16 m
- B. 2,50 m
- C. 5,00 m
- D. 1,00 m
Réponse
A. 3,16 m — Côté = √10 m ≈ 3,16 m (9 < 10 < 16). 2,50 m serait le côté d’un carré de périmètre 10 m.
Combien de nombres entiers sont compris entre √5 et √27 ?
- A. 4
- B. 3
- C. 22
- D. 2
Réponse
B. 3 — 4 < 5 < 9 donne 2 < √5 < 3 ; 25 < 27 < 36 donne 5 < √27 < 6. Les entiers compris entre les deux sont 3, 4 et 5.
Un agrandissement de rapport 4 multiplie les aires par…
- A. 16
- B. 8
- C. 4
- D. 64
Réponse
A. 16 — Longueurs × 4, aires × 4² = 16. 8 = 4 × 2 confond carré et double ; 64 = 4 × 4 × 4 est trop grand.
3√49 − 11 est égal à…
- A. 136
- B. −12
- C. 4
- D. 10
Réponse
D. 10 — 3√49 = 3 × 7 = 21, et 21 − 11 = 10. 136 = 3 × 49 − 11 oublie la racine ; −12 = 3 × (7 − 11) ne respecte pas les priorités.
Quel nombre a pour racine carrée 1,5 ?
- A. 0,75
- B. 2,25
- C. 3
- D. 1,225
Réponse
B. 2,25 — Le nombre cherché est 1,5² = 2,25 : √2,25 = 1,5. 3 = 1,5 × 2 et 0,75 = 1,5 ÷ 2.
On a calculé BC² = 47 (en cm²). La valeur exacte de la longueur BC est…
- A. 6,86 cm
- B. 23,5 cm
- C. √47 cm
- D. 6,9 cm
Réponse
C. √47 cm — BC = √47 cm (valeur exacte) ; 6,86 cm et 6,9 cm sont des valeurs approchées, et 23,5 est la moitié de 47.
L’entier le plus proche de √44 est…
- A. 6
- B. 7
- C. 22
- D. 5
Réponse
B. 7 — 6 < √44 < 7, et le carré du milieu vaut 6,5² = 42,25. Comme 44 > 42,25, √44 > 6,5 : l’entier le plus proche est 7 (√44 ≈ 6,63).
Lequel de ces nombres n’est pas un carré parfait ?
- A. 196
- B. 288
- C. 225
- D. 289
Réponse
B. 288 — 196 = 14², 225 = 15² et 289 = 17². 288 se termine par 8 : ce n’est pas un carré parfait.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Quelle égalité est vraie ?
- A. √9 + √16 = 5
- B. √(9 + 16) = 7
- C. √(9 + 16) = 5
- D. √9 + √16 = √25
Réponse
C. √(9 + 16) = 5 — √(9 + 16) = √25 = 5. Mais √9 + √16 = 3 + 4 = 7 : la racine d’une somme n’est pas la somme des racines.
Le nombre √0,49 est…
- A. égal à 0,07
- B. plus petit que 0,49
- C. plus grand que 0,49
- D. égal à 0,245
Réponse
C. plus grand que 0,49 — √0,49 = 0,7, et 0,7 > 0,49 : la racine carrée d’un nombre compris entre 0 et 1 est plus grande que ce nombre.
Pour quels nombres positifs a a-t-on √a = a ?
- A. pour aucun nombre
- B. pour tous les nombres positifs
- C. pour a = 4 seulement
- D. pour a = 0 et a = 1 seulement
Réponse
D. pour a = 0 et a = 1 seulement — √a = a veut dire a × a = a. C’est vrai pour 0 et 1 ; un nombre plus grand que 1 a un carré plus grand que lui, un nombre compris entre 0 et 1 a un carré plus petit. Pour 4 : √4 = 2.
Un carré a un côté de √12 cm. Son aire est…
- A. 144 cm²
- B. 12 cm²
- C. 24 cm²
- D. 3,46 cm²
Réponse
B. 12 cm² — Aire = (√12)² = 12 cm². 3,46 est une valeur approchée de √12, le côté, pas l’aire.
Combien y a-t-il de carrés parfaits compris entre 1 000 et 2 000 ?
- A. 12
- B. 14
- C. 10
- D. 13
Réponse
D. 13 — 31² = 961 < 1 000 < 1 024 = 32², et 44² = 1 936 < 2 000 < 2 025 = 45². Ce sont les carrés de 32 à 44 : 44 − 32 + 1 = 13.
Quel est le plus grand entier n tel que √n < 9,5 ?
- A. 81
- B. 90
- C. 89
- D. 91
Réponse
B. 90 — √n < 9,5 veut dire n < 9,5² = 90,25. Le plus grand entier qui convient est 90 (√90 ≈ 9,49).
Une réduction multiplie les aires par 1/9. Les longueurs sont alors…
- A. divisées par 9
- B. divisées par 81
- C. divisées par 3
- D. divisées par 4,5
Réponse
C. divisées par 3 — Les aires sont multipliées par k² = 1/9, donc k = 1/3 : les longueurs sont divisées par 3, car 3² = 9.
On agrandit une figure de sorte que son aire soit multipliée par 6. Ses longueurs sont multipliées par…
- A. √6
- B. 6
- C. 36
- D. 3
Réponse
A. √6 — Il faut k² = 6, donc k = √6 ≈ 2,45. Multiplier les longueurs par 6 multiplierait l’aire par 36 ; par 3, par 9.
Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 1 cm et AC = 2 cm. BC mesure…
- A. √3 cm
- B. √5 cm
- C. 3 cm
- D. 5 cm
Réponse
B. √5 cm — Pythagore : BC² = 1² + 2² = 1 + 4 = 5, donc BC = √5 cm (≈ 2,24 cm). 3 cm = 1 + 2 additionne les côtés au lieu de leurs carrés.
√1 000 000 est égal à…
- A. 100 000
- B. 500 000
- C. 1 000
- D. 10 000
Réponse
C. 1 000 — 1 000² = 1 000 × 1 000 = 1 000 000 : √1 000 000 = 1 000. 500 000 est la moitié.
On sait que 4,1² = 16,81 et 4,2² = 17,64. On peut affirmer que…
- A. √17 = 4,15
- B. 4 < √17 < 4,1
- C. 4,2 < √17 < 4,3
- D. 4,1 < √17 < 4,2
Réponse
D. 4,1 < √17 < 4,2 — 16,81 < 17 < 17,64, donc 4,1 < √17 < 4,2 ; les deux autres encadrements excluent cet intervalle. √17 n’est pas un décimal : écrire « = 4,15 » est faux (4,15² = 17,2225).
Un carré a la même aire qu’un rectangle de 8 cm sur 18 cm. Son côté mesure…
- A. 13 cm
- B. 12 cm
- C. 26 cm
- D. 72 cm
Réponse
B. 12 cm — Aire du rectangle : 8 × 18 = 144 cm², donc côté = √144 = 12 cm. 13 cm donnerait le même périmètre (52 cm), pas la même aire.
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