Puissances : exposant positif et puissances de 10

Rappels de 5e (carré, cube, carrés parfaits, priorités), puissance aⁿ d’un nombre (base, exposant, a¹ et a⁰), signe d’une puissance d’un nombre négatif, produits et quotients de puissances d’un même nombre, puissances de 10 d’exposant positif ou négatif et écriture décimale, multiplier par 10ⁿ, préfixes de nano à giga.

À propos de cette page

Des exercices corrigés de 4e classés en six cas et trois niveaux : calculer des carrés, des cubes et des puissances, écrire un produit sous forme de puissance, trouver un exposant, simplifier des produits et des quotients, passer d’une puissance de 10 à l’écriture décimale et convertir avec les préfixes.

18 exercices, classés par cas comme le cours. Écris ta réponse, puis « Vérifier ».

Cas 1Rappels de 5e : carré, cube et priorités

Réflexe — je calcule les puissances juste après les parenthèses ; pour un décimal, je compte les chiffres après la virgule. Revoir la méthode →

Exercice 1★★★Facile

Calcule.

$9^{2} =$
$9 \times 9 = 81$ .
$0, 7^{2} =$
$0, 7 \times 0, 7 = 0, 49$ : $7 \times 7 = 49$ , avec $2$ chiffres après la virgule.
$5^{3} =$
$5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125$ .
$0, 2^{3} =$
$0, 2 \times 0, 2 \times 0, 2 = 0, 04 \times 0, 2 = 0, 008$ ( $3$ chiffres après la virgule).
$15^{2} =$
$15 \times 15 = 225$ .

Exercice 2★★★Moyen

Calcule en respectant les priorités.

$4 + 5^{2} =$
La puissance d’abord : $4 + 25 = 29$ .
$(6 - 4)^{3} =$
La parenthèse d’abord : $2^{3} = 8$ .
$2 \times 6^{2} =$
La puissance avant le produit : $2 \times 36 = 72$ , et non $12^{2}$ .
$10^{2} - 3^{3} =$
$100 - 27 = 73$ .

Exercice 3★★★Difficile

Utilise une lettre, une aire ou un volume.

Valeur de $2 x^{2} - x$ pour $x = 6$ :
Le carré d’abord : $6^{2} = 36$ . Puis $2 \times 36 - 6 = 72 - 6 = 66$ .
Aire, en cm², d’un carré de côté $2, 5$ cm :
$2, 5^{2} = 2, 5 \times 2, 5 = 6, 25$ cm².
Volume, en m³, d’un cube d’arête $0, 5$ m :
$0, 5^{3} = 0, 25 \times 0, 5 = 0, 125$ m³.

Cas 2Puissance d’un nombre : aⁿ, a¹ et a⁰

Réflexe — aⁿ = produit de n facteurs égaux à a ; a¹ = a, a⁰ = 1 ; base négative : exposant pair → positif. Revoir la méthode →

Exercice 4★★★Facile

Calcule chaque puissance.

$3^{4} =$
$3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81$ .
$2^{9} =$
On double $9$ fois en partant de $1$ : $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ , $64$ , $128$ , $256$ , $512$ .
$(- 5)^{3} =$
$(- 5) \times (- 5) \times (- 5)$ : exposant impair, le résultat est négatif, $- 125$ .
$1, 5^{2} =$
$1, 5 \times 1, 5 = 2, 25$ .
$13^{0} =$
Pour toute base non nulle, la puissance $0$ vaut $1$ .
$12^{1} =$
Un seul facteur : $12^{1} = 12$ .

Exercice 5★★★Moyen

Écris sous la forme d’une puissance : donne l’exposant $n$ .

$8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 8^{n}$ : $n =$
Il y a $5$ facteurs égaux à $8$ : $8^{5}$ .
$128 = 2^{n}$ : $n =$
Puissances de $2$ : $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ , $64$ , $128$ : c’est la 7ᵉ, donc $128 = 2^{7}$ .
$343 = 7^{n}$ : $n =$
$7 \times 7 = 49$ et $49 \times 7 = 343$ : $343 = 7^{3}$ .
$1 = 9^{n}$ : $n =$
Toute base non nulle à la puissance $0$ vaut $1$ : $9^{0} = 1$ .

Exercice 6★★★Difficile

Attention aux signes et aux priorités. Calcule.

$- 2^{6} =$
Sans parenthèses, la puissance porte sur $2$ seulement : $- (2^{6}) = - 64$ .
$(- 1)^{21} =$
Exposant impair : $(- 1)^{21} = - 1$ .
$5 \times 2^{4} =$
La puissance est prioritaire : $5 \times 16 = 80$ , et non $10^{4}$ .
$(- 3)^{2} \times (- 1)^{3} =$
$(- 3)^{2} = 9$ (exposant pair) et $(- 1)^{3} = - 1$ (exposant impair) : $9 \times (- 1) = - 9$ .
$(- 0, 5)^{3} =$
$0, 5^{3} = 0, 125$ et l’exposant est impair : $- 0, 125$ .

Cas 3Produits et quotients de puissances d’un même nombre

Réflexe — même base : je compte les facteurs ; somme ou bases différentes : je calcule chaque puissance. Revoir la méthode →

Exercice 7★★★Facile

Écris sous la forme d’une seule puissance : donne l’exposant $n$ .

$5^{3} \times 5^{6} = 5^{n}$ : $n =$
$3 + 6 = 9$ facteurs égaux à $5$ : $5^{9}$ .
$\frac{8^{7}}{8^{3}} = 8^{n}$ : $n =$
On simplifie $3$ facteurs : il en reste $7 - 3 = 4$ , soit $8^{4}$ .
$(4^{2})^{5} = 4^{n}$ : $n =$
$4^{2} \times 4^{2} \times 4^{2} \times 4^{2} \times 4^{2}$ : $5$ fois $2$ facteurs, soit $4^{10}$ .
$11 \times 11^{4} = 11^{n}$ : $n =$
$11 = 11^{1}$ : $1 + 4 = 5$ facteurs, soit $11^{5}$ .

Exercice 8★★★Moyen

Écris sous la forme d’une seule puissance, puis donne la valeur.

$\frac{2^{5} \times 2^{3}}{2^{6}} =$
Au numérateur, $5 + 3 = 8$ facteurs ; on en simplifie $6$ : $2^{2} = 4$ .
$\frac{3^{7} \times 3^{2}}{3^{5}} =$
Au numérateur, $3^{9}$ ; $9 - 5 = 4$ : $3^{4} = 81$ .
$2^{4} \times 2^{4} \div 2^{5} =$
$2^{4} \times 2^{4} = 2^{8}$ , puis $8 - 5 = 3$ : $2^{3} = 8$ .

Exercice 9★★★Difficile

Calcule (attention aux pièges).

$2^{3} + 2^{5} =$
Une somme ne se regroupe pas : $8 + 32 = 40$ (et non $2^{8} = 256$ ).
$5^{2} \times 2^{3} =$
Bases différentes : on calcule chaque puissance, $25 \times 8 = 200$ .
$2^{5} \times 5^{5} =$
Même exposant : $2^{5} \times 5^{5} = (2 \times 5)^{5} = 10^{5} = 100 000$ .
$7^{4} - 7^{3} =$
$7^{4} = 2 401$ et $7^{3} = 343$ : $2 401 - 343 = 2 058$ .

Cas 4Puissances de 10 : exposant positif ou négatif

Réflexe — 10ⁿ : le 1 suivi de n zéros ; 10⁻ⁿ : n chiffres après la virgule, le dernier étant le 1. Revoir la méthode →

Exercice 10★★★Facile

Écris en écriture décimale.

$10^{- 4} =$
Le $1$ est au 4ᵉ rang après la virgule : $0, 0001$ .
$10^{6} =$
Le $1$ suivi de $6$ zéros : $1 000 000$ (un million).
$10^{0} =$
Toute base non nulle à la puissance $0$ vaut $1$ .
$10^{- 1} =$
$10^{- 1} = 1 \div 10 = 0, 1$ (un dixième).
$10^{8} =$
Le $1$ suivi de $8$ zéros : $100 000 000$ (cent millions).

Exercice 11★★★Moyen

Écris sous la forme $10^{n}$ : donne l’exposant $n$ .

$0, 000 000 01 = 10^{n}$ : $n =$
$8$ chiffres après la virgule, le dernier étant le $1$ : $10^{- 8}$ .
$1 000 000 000 = 10^{n}$ : $n =$
Le $1$ est suivi de $9$ zéros : $10^{9}$ (un milliard).
$0, 000 001 = 10^{n}$ : $n =$
$6$ chiffres après la virgule : $10^{- 6}$ (un millionième).
cent mille $= 10^{n}$ : $n =$
Cent mille $= 100 000$ : $5$ zéros, $10^{5}$ .

Exercice 12★★★Difficile

Raisonne sans tout écrire.

Nombre de chiffres après la virgule dans l’écriture décimale de $10^{- 12}$ :
$10^{- n}$ s’écrit avec $n$ chiffres après la virgule : ici $12$ ( $11$ zéros, puis le $1$ ).
Nombre de zéros, en tout, dans l’écriture décimale de $10^{- 7}$ (celui avant la virgule compris) :
$10^{- 7} = 0, 000 000 1$ : un zéro avant la virgule et $6$ après, soit $7$ zéros.
Le plus petit des nombres $10^{- 3}$ ; $10^{2}$ ; $10^{- 5}$ ; $10^{0}$ s’écrit $10^{n}$ avec $n =$
$10^{- 5} = 0, 000 01$ est plus petit que $10^{- 3} = 0, 001$ , que $10^{0} = 1$ et que $10^{2} = 100$ : $n = - 5$ .
Combien de fois $10^{- 2}$ est-il plus grand que $10^{- 5}$ ?
$10^{- 2} = 0, 01$ et $10^{- 5} = 0, 000 01$ : on passe de l’un à l’autre en décalant la virgule de $3$ rangs. $10^{- 2}$ est $10^{3} = 1 000$ fois plus grand.

Cas 5Calculer avec les puissances de 10

Réflexe — multiplier par 10ⁿ décale la virgule de n rangs : à droite si n est positif, à gauche s’il est négatif. Revoir la méthode →

Exercice 13★★★Facile

Écris en écriture décimale.

$3, 6 \times 10^{3} =$
La virgule se décale de $3$ rangs vers la droite : $3 600$ .
$4, 25 \times 10^{- 2} =$
La virgule se décale de $2$ rangs vers la gauche : $0, 0425$ .
$0, 09 \times 10^{5} =$
$5$ rangs vers la droite, en complétant par des zéros : $9 000$ .
$715 \times 10^{- 4} =$
$4$ rangs vers la gauche : $0, 0715$ .

Exercice 14★★★Moyen

Donne l’exposant $n$ .

$10^{7} \times 10^{- 3} = 10^{n}$ : $n =$
$7 + (- 3) = 4$ : multiplier par $0, 001$ enlève trois zéros à $10 000 000$ .
$\frac{10^{- 2}}{10^{5}} = 10^{n}$ : $n =$
$- 2 - 5 = - 7$ : diviser $0, 01$ par $100 000$ décale la virgule de $5$ rangs de plus vers la gauche.
$(10^{3})^{4} = 10^{n}$ : $n =$
$10^{3} \times 10^{3} \times 10^{3} \times 10^{3}$ : $4$ fois $3$ zéros, soit $12$ .
$10^{- 4} \times 10^{- 5} = 10^{n}$ : $n =$
$(- 4) + (- 5) = - 9$ : $10^{- 9}$ , un milliardième.

Exercice 15★★★Difficile

Calcule et donne le résultat en écriture décimale.

$\frac{10^{6} \times 10^{- 2}}{10^{7}} =$
$6 + (- 2) = 4$ , puis $4 - 7 = - 3$ : $10^{- 3} = 0, 001$ .
$2 \times 10^{3} + 5 \times 10^{2} =$
Une somme : on écrit chaque terme, $2 000 + 500 = 2 500$ .
$4 \times 10^{- 3} \times 25 \times 10^{4} =$
On regroupe : $(4 \times 25) \times (10^{- 3} \times 10^{4}) = 100 \times 10^{1} = 1 000$ .
$\frac{6 \times 10^{5}}{3 \times 10^{2}} =$
$\frac{6}{3} = 2$ et $\frac{10^{5}}{10^{2}} = 10^{3}$ : $2 \times 10^{3} = 2 000$ .

Cas 6Les préfixes de nano à giga

Réflexe — je remplace le préfixe par sa puissance de 10, puis je décale la virgule. Revoir la méthode →

Exercice 16★★★Facile

Complète par une puissance de 10 : donne l’exposant $n$ .

$1$ GHz $= 10^{n}$ Hz : $n =$
Giga $= 10^{9}$ .
$1$ mg $= 10^{n}$ g : $n =$
Milli $= 10^{- 3}$ : $1$ mg $= 0, 001$ g.
$1$ µs $= 10^{n}$ s : $n =$
Micro $= 10^{- 6}$ : un millionième de seconde.
$1$ hL $= 10^{n}$ L : $n =$
Hecto $= 10^{2}$ : $1$ hL $= 100$ L.
$1$ nm $= 10^{n}$ m : $n =$
Nano $= 10^{- 9}$ : un milliardième de mètre.

Exercice 17★★★Moyen

Convertis et donne le résultat en écriture décimale.

$72$ km $=$ m
$72 \times 10^{3}$ m $= 72 000$ m.
$5$ µm $=$ m
$5 \times 10^{- 6}$ m $= 0, 000 005$ m.
$0, 3$ Go $=$ octets
$0, 3 \times 10^{9}$ octets $= 300 000 000$ octets.
$640$ nm $=$ m
$640 \times 10^{- 9}$ m : la virgule recule de $9$ rangs, $0, 000 000 64$ m.

Exercice 18★★★Difficile

Passe d’un préfixe à un autre.

$0, 45$ Go $=$ Mo
$10^{9} = 10^{3} \times 10^{6}$ : $1$ Go $= 1 000$ Mo, donc $0, 45$ Go $= 450$ Mo.
$2, 5$ mm $=$ µm
$1$ mm $= 10^{- 3}$ m $= 10^{3} \times 10^{- 6}$ m $= 1 000$ µm, donc $2, 5$ mm $= 2 500$ µm.
$4 000$ ns $=$ µs
$1$ µs $= 10^{- 6}$ s $= 10^{3} \times 10^{- 9}$ s $= 1 000$ ns, donc $4 000$ ns $= 4$ µs.
$0, 75$ GW $=$ MW
$1$ GW $= 1 000$ MW, donc $0, 75$ GW $= 750$ MW.

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