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Devoir surveillé : Suites et modèles d'évolution

Maths 1ʳᵉ · un devoir qui mélange 4 chapitres, en 3 niveaux : ★ les bases, ★★ niveau DS classique, ★★★ pour aller plus loin. Sujets et corrigés détaillés, à faire en temps limité puis à corriger.

Niveau ★les basesNiveau ★★niveau DS classiqueNiveau ★★★pour aller plus loin

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Niveau ★ les bases · Durée 60 min · Noté sur 20

60:00

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Devoir surveillé – Suites et modèles d'évolution — niveau ★

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths sans spécialité 1ʳᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Automatismes

(6 pts)

a) $(u_{n})$ est la suite arithmétique de premier terme $u_{0} = 12$ et de raison $4, 5$ . Calculer $u_{6}$ .
b) $(v_{n})$ est la suite géométrique de premier terme $v_{0} = 5$ et de raison $3$ . Calculer $v_{4}$ .
c)Calculer $49^{1, 5}$ .
d)Le prix d'un article passe de $250$ € à $290$ €. Donner l'indice du nouveau prix en base 100 sur l'ancien, puis le taux d'évolution.
e)Un prix baisse de $30 %$ , puis augmente de $50 %$ . Donner le coefficient multiplicateur global, puis l'évolution globale en pourcentage.
f)Le nombre de visiteurs d'un festival passe de $1 600$ à $3 600$ en deux ans. Calculer le taux d'évolution annuel moyen.

Exercice 2 – Problème — Deux colonies de fourmis

(5 pts)

Un laboratoire élève deux colonies de fourmis. La colonie A compte $1 500$ ouvrières au début de l'observation et gagne $300$ ouvrières par semaine. La colonie B compte $1 024$ ouvrières au début de l'observation, et ce nombre augmente de $25 %$ par semaine. On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les nombres d'ouvrières des colonies A et B au bout de $n$ semaines ; ainsi $a_{0} = 1 500$ et $b_{0} = 1 024$ .

a)Calculer $a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ et $b_{2}$ .
b)Préciser la nature de chacune des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ , avec sa raison, puis exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ .
c)Donner, en justifiant, le sens de variation de chacune des deux suites.
d)
On considère le programme Python ci-dessous. Quelle valeur la variable n contient-elle à la fin de son exécution ? Interpréter ce résultat.
```
a = 1500
b = 1024
n = 0
while b <= a:
    a = a + 300
    b = b * 1.25
    n = n + 1
```
e)Au bout de combien de semaines la colonie A dépasse-t-elle $5 000$ ouvrières ?

Exercice 3 – Problème — La cote d'un scooter

(5 pts)

La valeur à la revente d'un scooter acheté neuf $2 500$ € est modélisée par $V (x) = 2 500 \times 0, 64^{x}$ , en euros, où $x$ est le temps écoulé depuis l'achat, en années ( $x ⩾ 0$ ).

a)Calculer $V (1)$ et $V (2)$ . Quel pourcentage de sa valeur le scooter perd-il chaque année ?
b)Donner, en justifiant, le sens de variation de la fonction $V$ sur $[0; + \infty [$ .
c)Calculer $V (0, 5)$ . En déduire le pourcentage de baisse de la valeur sur un semestre.
d)Calculer les indices de la valeur du scooter au bout de $0, 5$ an, de $1$ an et de $2$ ans, en base 100 à l'achat.
e)Entre $0, 5$ an et $1$ an, l'indice perd $16$ points. Un vendeur en conclut que la valeur a baissé de $16 %$ . A-t-il raison ? Justifier.

Exercice 4 – Problème — Des toits solaires

(4 pts)

Dans une région, $10 000$ toits étaient équipés de panneaux solaires en 2023, et $11 449$ en 2025. On donne $1, 07^{2} = 1, 144 9$ et $1, 07^{3} \approx 1, 225$ .

a)Calculer le coefficient multiplicateur et le taux d'évolution global du nombre de toits équipés entre 2023 et 2025.
b)Montrer que le taux d'évolution annuel moyen entre 2023 et 2025 est de $7 %$ , et expliquer pourquoi il ne vaut pas $14, 49 \div 2$ , soit environ $7, 25 %$ .
c)On suppose qu'à partir de 2025, le nombre de toits équipés augmente de $7 %$ par an. On note $u_{n}$ ce nombre l'année $2025 + n$ ; ainsi $u_{0} = 11 449$ . Préciser la nature de la suite $(u_{n})$ , exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_{2}$ , arrondi à l'unité.
d)Déterminer, en justifiant, la première année où plus de $14 000$ toits seront équipés.

Bon courage !

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Corrigé et barème – Suites et modèles d'évolution — niveau ★

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths sans spécialité 1ʳᵉ

Exercice 1 – Automatismes

(6 pts)

a)Pour aller de $u_{0}$ à $u_{6}$ , on ajoute $6$ fois la raison : $u_{6} = u_{0} + 6 r = 12 + 6 \times 4, 5 = 12 + 27 = 39$ . (1 pt) (1)
b) $v_{4} = v_{0} \times q^{4} = 5 \times 3^{4} = 5 \times 81 = 405$ . (1 pt) (1)
c) $49^{1, 5} = 49^{1} \times 49^{0, 5} = 49 \times \sqrt{49} = 49 \times 7 = 343$ . (1 pt) (1)
d) $\frac{290}{250} \times 100 = 1, 16 \times 100 = 116$ : l'indice vaut $116$ , le prix a augmenté de $16 %$ . (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
e) $C M = 0, 7 \times 1, 5 = 1, 05$ : le prix a augmenté de $5 %$ au total (et non de $50 - 30 = 20 %$ ). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
f) $C M = \frac{3 600}{1 600} = 2, 25$ sur $n = 2$ ans. Comme $1, 5^{2} = 2, 25$ et $1, 5 > 0$ , $1 + t_{m} = 2, 25^{1 / 2} = 1, 5$ : le taux annuel moyen est de $+ 50 %$ (et non $125 \div 2 = 62, 5 %$ ). (1 pt) (1)

Méthode — On repère d'abord le modèle : « on ajoute » donne une suite arithmétique ( $u_{0} + n r$ ), « on multiplie » une suite géométrique ( $u_{0} \times q^{n}$ ), et un pourcentage se traduit toujours par un coefficient multiplicateur avant tout calcul.

Exercice 2 – Problème — Deux colonies de fourmis

(5 pts)

a)Colonie A : $a_{1} = 1 500 + 300 = 1 800$ et $a_{2} = 1 800 + 300 = 2 100$ . Colonie B : une hausse de $25 %$ correspond au coefficient $1, 25$ , donc $b_{1} = 1 024 \times 1, 25 = 1 280$ et $b_{2} = 1 280 \times 1, 25 = 1 600$ . (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
b) $a_{n + 1} = a_{n} + 300$ : $(a_{n})$ est arithmétique de raison $300$ , et $a_{n} = 1 500 + 300 n$ . $b_{n + 1} = 1, 25 \times b_{n}$ : $(b_{n})$ est géométrique de raison $1, 25$ , et $b_{n} = 1 024 \times 1, 25^{n}$ . (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
c)La raison de $(a_{n})$ est $300 > 0$ : $(a_{n})$ est strictement croissante. Pour $(b_{n})$ , le premier terme $1 024$ est positif et la raison $1, 25$ est supérieure à $1$ : $(b_{n})$ est strictement croissante. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
d)La boucle tourne tant que $b ⩽ a$ . On calcule les termes : $a$ vaut $1 500$ ; $1 800$ ; $2 100$ ; $2 400$ ; $2 700$ ; $3 000$ et $b$ vaut $1 024$ ; $1 280$ ; $1 600$ ; $2 000$ ; $2 500$ ; $3 125$ . On a $b_{4} = 2 500 ⩽ 2 700 = a_{4}$ , puis $b_{5} = 3 125 > 3 000 = a_{5}$ : la boucle s'arrête avec n $= 5$ . Au bout de $5$ semaines, la colonie B dépasse la colonie A pour la première fois. (0,5 pt pour la valeur, 0,5 pt pour l'interprétation) (1)
e) $1 500 + 300 n > 5 000 ⟺ 300 n > 3 500 ⟺ n > \frac{35}{3}$ . Or $3 \times 11 = 33$ et $3 \times 12 = 36$ , donc $11 < \frac{35}{3} < 12$ : $n = 12$ . Vérification : $a_{11} = 4 800$ et $a_{12} = 5 100$ . La colonie A dépasse $5 000$ ouvrières au bout de $12$ semaines. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — Une boucle « tant que » s'arrête au premier rang où sa condition devient fausse : ici le premier rang où $b_{n} > a_{n}$ , et non le dernier rang où la colonie B était encore derrière.

Exercice 3 – Problème — La cote d'un scooter

(5 pts)

a) $V (1) = 2 500 \times 0, 64 = 1 600$ € et $V (2) = 1 600 \times 0, 64 = 1 024$ €. Le coefficient annuel est $0, 64 = 1 - 0, 36$ : le scooter perd $36 %$ de sa valeur chaque année. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
b) $2 500 > 0$ et $0 < 0, 64 < 1$ : la fonction $x \mapsto 0, 64^{x}$ est strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ , donc $V$ aussi. (1 pt) (1)
c) $0, 64^{0, 5} = \sqrt{0, 64} = 0, 8$ , car $0, 8^{2} = 0, 64$ et $0, 8 > 0$ . Donc $V (0, 5) = 2 500 \times 0, 8 = 2 000$ €. Sur un semestre, la valeur est multipliée par $0, 8$ : elle baisse de $20 %$ , et non de $36 \div 2 = 18 %$ . (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
d) $\frac{2 000}{2 500} \times 100 = 80$ ; $\frac{1 600}{2 500} \times 100 = 64$ ; $\frac{1 024}{2 500} \times 100 = 40, 96$ . L'indice vaut $100 \times 0, 64^{x}$ . (1 pt) (1)
e)Non. L'indice passe de $80$ à $64$ : il perd bien $80 - 64 = 16$ points, mais le taux d'évolution vaut $\frac{64}{80} - 1 = 0, 8 - 1 = - 0, 2$ , soit une baisse de $20 %$ . Une différence de points n'est un pourcentage que si l'indice de départ vaut $100$ . (1 pt) (1)

Piège — Un taux sur une demi-période ne s'obtient pas en divisant le taux annuel par $2$ : on prend la racine carrée du coefficient, $\sqrt{0, 64} = 0, 8$ , soit $- 20 %$ par semestre et non $- 18 %$ .

Exercice 4 – Problème — Des toits solaires

(4 pts)

a) $C M = \frac{11 449}{10 000} = 1, 144 9$ : le nombre de toits équipés a augmenté de $14, 49 %$ . (1 pt) (1)
b)Il y a $n = 2$ évolutions annuelles. Comme $1, 07^{2} = 1, 144 9$ et $1, 07 > 0$ , $1 + t_{m} = 1, 144 9^{1 / 2} = 1, 07$ : $t_{m} = 7 %$ . Les taux ne s'additionnent pas : la seconde hausse de $7 %$ porte sur une valeur déjà augmentée. Contrôle : $1, 072 5^{2} \approx 1, 150 3 \neq 1, 144 9$ . (0,5 pt pour $7 %$ , 0,5 pt pour l'explication) (1)
c)Chaque année, le nombre est multiplié par $1, 07$ : $u_{n + 1} = 1, 07 \times u_{n}$ . La suite est géométrique de raison $1, 07$ et $u_{n} = 11 449 \times 1, 07^{n}$ . $u_{2} = 11 449 \times 1, 144 9 = 11 449 + 11 449 \times 0, 144 9 = 11 449 + 1 658, 960 1 = 13 107, 960 1$ , soit environ $13 108$ toits en 2027. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
d) $u_{2} \approx 13 108 < 14 000$ et $u_{3} \approx 11 449 \times 1, 225 = 11 449 + 11 449 \times 0, 225 = 11 449 + 2 576, 025 \approx 14 025 > 14 000$ . La suite est croissante (raison $1, 07 > 1$ ), donc le seuil est franchi pour $n = 3$ : en $2025 + 3 = 2028$ . (1 pt) (1)

Astuce — Pour un taux moyen sur $2$ ans, on cherche le nombre positif dont le carré donne le coefficient global, ici $1, 07^{2} = 1, 144 9$ ; on contrôle toujours en élevant le résultat à la puissance $n$ .

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Niveau ★★ niveau DS classique · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

benprofparticulier.frMaths sans spécialité · 1ʳᵉ

Devoir surveillé – Suites et modèles d'évolution — niveau ★★

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths sans spécialité 1ʳᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Automatismes

(3 pts)

a) $(u_{n})$ est une suite arithmétique telle que $u_{3} = 17$ et $u_{8} = 39$ . Déterminer sa raison et $u_{0}$ .
b) $(v_{n})$ est une suite géométrique à termes strictement positifs telle que $v_{2} = 50$ et $v_{4} = 84, 5$ . Déterminer sa raison.
c)Calculer $125^{2 / 3}$ .
d)Un indice passe de $125$ à $150$ . Donner l'écart en points et le taux d'évolution.
e)Résoudre dans $[0; + \infty [$ l'inéquation $4^{x} ⩾ 32$ .
f)Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $7 - 0, 4 n < 0$ .

Exercice 2 – Vrai ou faux ?

(4 pts)

a)« Une grandeur qui augmente de $5 %$ par an pendant $4$ ans augmente au total de $20 %$ . »
b)« La suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = 3 \times 2^{n} + 1$ est géométrique. »
c)« En base 100 en 2020, l'indice d'une grandeur vaut $80$ en 2024. Pour retrouver sa valeur de 2020, elle doit augmenter de $20 %$ . »
d)« Pour tout réel $x ⩾ 0$ , $0, 9^{x} ⩽ 1$ . »

Exercice 3 – Problème — Deux projections pour une ville nouvelle

(5 pts)

Une ville nouvelle compte $25 000$ habitants. Deux projections sont étudiées : dans la projection A, la population augmente de $1 750$ habitants par an ; dans la projection B, elle augmente de $6 %$ par an. On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les populations prévues par ces projections dans $n$ années ; ainsi $a_{0} = b_{0} = 25 000$ . On donne : $1, 06^{6} \approx 1, 418 5$ et $1, 06^{7} \approx 1, 503 6$ .

a)Calculer $a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ et $b_{2}$ . Quelle projection prévoit le plus d'habitants les premières années ?
b)Préciser la nature des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ , puis exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ .
c)Montrer que, dans la projection A, la population augmente de $\frac{1 750}{a_{n}} \times 100 %$ de l'année $n$ à l'année $n + 1$ . Pour quels entiers $n$ cette hausse est-elle strictement inférieure à $6 %$ ?
d)À l'aide des valeurs données, montrer que la projection B prévoit moins d'habitants que la projection A au bout de $6$ ans, mais davantage au bout de $7$ ans.
e)En utilisant la question c), expliquer pourquoi la projection B prévoit ensuite toujours plus d'habitants que la projection A.

Exercice 4 – Problème — Un verre teinté

(4 pts)

Un fabricant étudie la lumière qui traverse un verre teinté. Pour une épaisseur de $x$ millimètres ( $x ⩾ 0$ ), il modélise la part de lumière transmise, en pourcentage de la lumière reçue, par $T (x) = 100 \times a^{x}$ , où $a$ est un réel strictement positif. Une mesure donne $T (1) = 81$ . On donne $0, 9^{8} \approx 0, 430 5$ et $0, 9^{9} \approx 0, 387 4$ .

a)Déterminer $a$ , puis interpréter ce nombre en pourcentage. Donner le sens de variation de $T$ .
b)Calculer $T (0, 5)$ et $T (2)$ . Entre $1$ mm et $2$ mm d'épaisseur, de combien de points la part transmise diminue-t-elle, et de quel pourcentage ?
c)Le fabricant vend des verres dont l'épaisseur est un multiple de $0, 5$ mm. On note $u_{n} = T (0, 5 n)$ la part transmise par un verre de $0, 5 n$ mm. Montrer que $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
d)Pour une serre, le verre doit transmettre au moins $40 %$ de la lumière. Quelle est l'épaisseur maximale possible parmi les verres vendus ?

Exercice 5 – Problème — Des consignes à colis

(4 pts)

Dans une ville, le nombre de colis retirés dans des consignes automatiques est suivi par un indice, en base 100 en 2018.

Année	2018	2020	2024
Indice (base 100 en 2018)	$100$	$125$	$180$

En 2024,

45 000

colis ont été retirés. On donne

1, 44^{1 / 4} \approx 1, 095 4

a)Combien de colis ont été retirés en 2018 ? Donner le taux d'évolution du nombre de colis entre 2018 et 2024, puis entre 2020 et 2024.
b)Exprimer les indices de 2018, 2020 et 2024 en base 100 en 2020.
c)Calculer le taux d'évolution annuel moyen entre 2020 et 2024, arrondi à $0, 01 %$ .
d)On suppose que ce rythme moyen se maintient après 2024. Montrer que le coefficient multiplicateur entre 2024 et 2026 vaut exactement $1, 2$ , puis prévoir le nombre de colis retirés en 2026.

Bon courage !

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Corrigé et barème – Suites et modèles d'évolution — niveau ★★

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths sans spécialité 1ʳᵉ

Exercice 1 – Automatismes

(3 pts)

a) $u_{8} = u_{3} + 5 r$ , donc $5 r = 39 - 17 = 22$ et $r = 4, 4$ . Puis $u_{0} = u_{3} - 3 r = 17 - 13, 2 = 3, 8$ . (0,5 pt) (0,5)
b) $\frac{v_{4}}{v_{2}} = q^{2}$ , donc $q^{2} = \frac{84, 5}{50} = 1, 69$ . Or $1, 3^{2} = 1, 69$ et $q > 0$ : $q = 1, 3$ . (0,5 pt) (0,5)
c) $125^{1 / 3} = 5$ , car $5^{3} = 125$ et $5 > 0$ ; donc $125^{2 / 3} = {(125^{1 / 3})}^{2} = 5^{2} = 25$ . (0,5 pt) (0,5)
d) $150 - 125 = 25$ points ; $\frac{150}{125} = 1, 2$ : hausse de $20 %$ (et non de $25 %$ ). (0,5 pt) (0,5)
e) $4^{2, 5} = 4^{2} \times 4^{0, 5} = 16 \times 2 = 32$ . Comme $4 > 1$ , $x \mapsto 4^{x}$ est croissante : $4^{x} ⩾ 4^{2, 5} ⟺ x ⩾ 2, 5$ . $𝒮 = [2, 5; + \infty [$ . (0,5 pt) (0,5)
f) $7 - 0, 4 n < 0 ⟺ 0, 4 n > 7 ⟺ n > 17, 5$ : $n = 18$ . Vérification : $7 - 0, 4 \times 17 = 0, 2 > 0$ et $7 - 0, 4 \times 18 = - 0, 2 < 0$ . (0,5 pt) (0,5)

Astuce — Entre deux termes connus, on fait la différence pour une suite arithmétique ( $u_{8} - u_{3} = 5 r$ ) et le quotient pour une suite géométrique ( $\frac{v_{4}}{v_{2}} = q^{2}$ ) : l'écart des rangs donne le nombre de raisons.

Exercice 2 – Vrai ou faux ?

(4 pts)

a)Faux. Le coefficient global est $1, 05^{4}$ : $1, 05^{2} = 1, 102 5$ , puis $1, 102 5^{2} = 1, 215 506 25$ . La hausse est d'environ $21, 55 %$ , plus que $20 %$ : chaque hausse porte sur une valeur déjà augmentée. (1 pt) (1)
b)Faux. $u_{0} = 4$ , $u_{1} = 7$ et $u_{2} = 13$ : $\frac{u_{1}}{u_{0}} = 1, 75$ , mais $1, 75 \times 7 = 12, 25 \neq 13$ , donc $\frac{u_{2}}{u_{1}} \neq 1, 75$ . Deux quotients différents suffisent : la suite n'est pas géométrique (c'est le « $+ 1$ » qui l'en empêche). (1 pt) (1)
c)Faux. Il faut multiplier par $\frac{100}{80} = 1, 25$ , soit une hausse de $25 %$ . Contrôle : $80 \times 1, 2 = 96 < 100$ , une hausse de $20 %$ ne suffit pas. (1 pt) (1)
d)Vrai. $0 < 0, 9 < 1$ , donc $x \mapsto 0, 9^{x}$ est strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ : pour tout $x ⩾ 0$ , $0, 9^{x} ⩽ 0, 9^{0} = 1$ . (1 pt) (1)

Piège — Un seul contre-exemple suffit pour prouver qu'une affirmation générale est fausse ; pour prouver qu'elle est vraie, il faut un argument valable dans tous les cas, comme ici le sens de variation.

Exercice 3 – Problème — Deux projections pour une ville nouvelle

(5 pts)

a) $a_{1} = 25 000 + 1 750 = 26 750$ et $a_{2} = 28 500$ ; $b_{1} = 25 000 \times 1, 06 = 26 500$ et $b_{2} = 26 500 \times 1, 06 = 28 090$ . La projection A prévoit le plus d'habitants au début. (0,5 pt pour les calculs, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
b)On ajoute $1 750$ habitants chaque année : $(a_{n})$ est arithmétique de raison $1 750$ , et $a_{n} = 25 000 + 1 750 n$ . On multiplie par $1, 06$ chaque année : $(b_{n})$ est géométrique de raison $1, 06$ , et $b_{n} = 25 000 \times 1, 06^{n}$ . (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
c)Le taux d'évolution est $\frac{a_{n + 1} - a_{n}}{a_{n}} = \frac{1 750}{a_{n}}$ . Comme $a_{n} > 0$ : $\frac{1 750}{a_{n}} < 0, 06 ⟺ 1 750 < 0, 06 a_{n} ⟺ 175 000 < 6 a_{n} ⟺ 175 000 < 150 000 + 10 500 n ⟺ n > \frac{25 000}{10 500} = \frac{50}{21}$ . Or $21 \times 2 = 42$ et $21 \times 3 = 63$ : la hausse est inférieure à $6 %$ pour tout $n ⩾ 3$ . Contrôle : $\frac{1 750}{28 500} \approx 6, 1 %$ et $\frac{1 750}{30 250} \approx 5, 8 %$ . (0,5 pt pour le taux, 0,5 pt pour $n ⩾ 3$ ) (1)
d) $a_{6} = 25 000 + 10 500 = 35 500$ et $b_{6} \approx 25 000 \times 1, 418 5 = 35 462, 5 < a_{6}$ . $a_{7} = 37 250$ et $b_{7} \approx 25 000 \times 1, 503 6 = 37 590 > a_{7}$ . (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
e)Pour $n ⩾ 7$ , supposons $b_{n} > a_{n}$ . Alors $b_{n + 1} = 1, 06 b_{n} > 1, 06 a_{n}$ , et d'après c), comme $n ⩾ 3$ , $a_{n + 1} < 1, 06 a_{n}$ (hausse inférieure à $6 %$ ). Donc $b_{n + 1} > a_{n + 1}$ : de proche en proche, B garde l'avantage, car sa population progresse chaque année d'un pourcentage plus grand que celle de A. (1 pt) (1)

Méthode — Une suite arithmétique ajoute toujours la même quantité, donc un pourcentage de plus en plus faible ; une suite géométrique garde le même pourcentage : c'est pourquoi la croissance exponentielle finit par l'emporter.

Exercice 4 – Problème — Un verre teinté

(4 pts)

a) $T (1) = 100 \times a = 81$ , donc $a = 0, 81$ . Chaque millimètre de verre arrête $19 %$ de la lumière qui l'atteint ( $0, 81 = 1 - 0, 19$ ). Comme $100 > 0$ et $0 < 0, 81 < 1$ , $T$ est strictement décroissante. (0,5 pt pour $a$ et son sens, 0,5 pt pour les variations) (1)
b) $T (0, 5) = 100 \times 0, 81^{0, 5} = 100 \times \sqrt{0, 81} = 100 \times 0, 9 = 90$ et $T (2) = 100 \times 0, 81^{2} = 65, 61$ . De $81$ à $65, 61$ , la part transmise perd $15, 39$ points, mais elle baisse de $19 %$ , car $\frac{65, 61}{81} = 0, 81$ . (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
c) $u_{n} = 100 \times 0, 81^{0, 5 n} = 100 \times {(0, 81^{0, 5})}^{n} = 100 \times 0, 9^{n}$ : $(u_{n})$ est géométrique de raison $0, 9$ et de premier terme $u_{0} = 100$ . Ajouter $0, 5$ mm multiplie toujours la part transmise par $0, 9$ . (1 pt) (1)
d) $u_{n} ⩾ 40 ⟺ 0, 9^{n} ⩾ 0, 4$ . Or $0, 9^{8} \approx 0, 430 5 ⩾ 0, 4$ et $0, 9^{9} \approx 0, 387 4 < 0, 4$ , et la suite est décroissante : la condition est vérifiée pour $n ⩽ 8$ . L'épaisseur maximale est $0, 5 \times 8 = 4$ mm (environ $43 %$ de lumière transmise). (1 pt) (1)

Erreur fréquente — « Moins $19 %$ par millimètre » ne donne pas « moins $9, 5 %$ par demi-millimètre » : sur $0, 5$ mm, le coefficient est $0, 81^{0, 5} = 0, 9$ , soit $- 10 %$ .

Exercice 5 – Problème — Des consignes à colis

(4 pts)

a) $45 000 \times \frac{100}{180} = 25 000$ colis en 2018. De 2018 à 2024, l'indice passe de $100$ à $180$ : hausse de $80 %$ . De 2020 à 2024 : $\frac{180}{125} = 1, 44$ , soit une hausse de $44 %$ (et non de $55 %$ ). (0,5 pt pour $25 000$ , 0,5 pt pour les deux taux) (1)
b)On divise par l'indice de 2020 et on multiplie par $100$ : 2018 : $\frac{100}{125} \times 100 = 80$ ; 2020 : $100$ ; 2024 : $\frac{180}{125} \times 100 = 144$ . (1 pt) (1)
c) $C M = 1, 44$ sur $n = 4$ ans : $1 + t_{m} = 1, 44^{1 / 4} \approx 1, 095 4$ , soit environ $+ 9, 54 %$ par an. (1 pt) (1)
d)Le coefficient sur $2$ ans est ${(1, 44^{1 / 4})}^{2} = 1, 44^{2 / 4} = 1, 44^{0, 5} = \sqrt{1, 44} = 1, 2$ . En 2026 : $45 000 \times 1, 2 = 54 000$ colis. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — Pour changer de base, on divise tous les indices par celui de la nouvelle année de référence : les quotients d'indices, donc les taux d'évolution, ne changent pas.

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Sujet et corrigé prêts à imprimer.

Niveau ★★★ pour aller plus loin · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

benprofparticulier.frMaths sans spécialité · 1ʳᵉ

Devoir surveillé – Suites et modèles d'évolution — niveau ★★★

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths sans spécialité 1ʳᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Automatismes

(3 pts)

a)Écrire $8^{0, 5} \times 2^{1, 5}$ sous la forme d'un entier.
b) $(u_{n})$ est une suite arithmétique telle que $u_{0} = 3$ et $u_{5} = 2 u_{2}$ . Déterminer sa raison.
c)La valeur d'un ordinateur portable est multipliée par $0, 562 5$ en $2$ ans. Donner son taux d'évolution annuel moyen.
d)En base 100 en 2020, l'indice d'une grandeur vaut $160$ en 2024. Donner l'indice de 2020 en base 100 en 2024.
e)Résoudre dans $[0; + \infty [$ l'inéquation $0, 25^{x} < 0, 125$ .
f)Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $1, 5^{n} > 10$ .

Exercice 2 – Démontrer

(4 pts)

Les quatre questions sont indépendantes.

a)Soit $(u_{n})$ une suite géométrique de premier terme $u_{0} > 0$ et de raison $q > 0$ . On note $I_{n}$ l'indice de $u_{n}$ en base 100 au rang $0$ . Montrer que la suite $(I_{n})$ est géométrique, puis que le taux d'évolution entre les rangs $n$ et $n + p$ ne dépend que de $p$ .
b)Une grandeur strictement positive baisse d'un taux $t$ , avec $0 < t < 1$ . Montrer que le taux d'évolution qui la ramène à sa valeur initiale vaut $\frac{t}{1 - t}$ , puis qu'il est strictement supérieur à $t$ .
c)Soit $(u_{n})$ une suite géométrique de premier terme $u_{0} > 0$ et de raison $q > 1$ . On pose $d_{n} = u_{n + 1} - u_{n}$ . Montrer que $(d_{n})$ est géométrique de raison $q$ , puis que les écarts entre deux termes consécutifs de $(u_{n})$ sont de plus en plus grands.
d)Une grandeur strictement positive subit $n$ évolutions successives de taux $t_{1}$ , …, $t_{n}$ , tous supérieurs ou égaux à un même réel $t > - 1$ . Montrer que son taux d'évolution moyen $t_{m}$ vérifie $t_{m} ⩾ t$ .

Exercice 3 – Problème — Les joueurs d'un jeu en ligne

(5 pts)

Un jeu en ligne comptait $1 600$ milliers de joueurs actifs à sa sortie. Un éditeur estime que ce nombre est divisé par $2$ tous les $3$ mois et le modélise par $J (x) = 1 600 \times a^{x}$ , en milliers, où $x ⩾ 0$ est le temps écoulé depuis la sortie, en mois, et $a$ un réel strictement positif. On donne $0, 5^{1 / 3} \approx 0, 794$ ; $0, 5^{2 / 3} \approx 0, 630$ ; $\sqrt{0, 5} \approx 0, 707$ .

a)Justifier que $a^{3} = 0, 5$ , en déduire $a$ , puis le pourcentage de joueurs perdus chaque mois selon ce modèle. Pourquoi n'est-ce pas $\frac{50}{3} %$ ?
b)Estimer le nombre de joueurs au bout d'un mois et demi, puis justifier que le modèle s'écrit aussi $J (x) = 1 600 \times 0, 5^{x / 3}$ .
c)Au bout de combien de mois le nombre de joueurs passe-t-il sous $100$ milliers ?
d)Un concurrent propose un modèle linéaire : le jeu perd $200$ milliers de joueurs chaque mois. On note $L_{n} = 1 600 - 200 n$ le nombre de joueurs, en milliers, au bout de $n$ mois, pour $n$ entier de $0$ à $8$ . Comparer, mois par mois, les deux modèles pour $n$ allant de $1$ à $8$ .
e)Montrer que les deux modèles donnent le même taux d'évolution mensuel moyen sur les six premiers mois, et le calculer. Le modèle linéaire fait-il perdre le même pourcentage de joueurs chaque mois ?

Exercice 4 – Problème — Recoller deux séries d'indices

(4 pts)

Un institut publie l'indice du prix moyen des logements anciens d'une ville. Jusqu'en 2020, l'indice était en base 100 en 2014 ; depuis, il est en base 100 en 2020.

Année	2014	2020	2024
Indice base 100 en 2014	$100$	$133, 1$	—
Indice base 100 en 2020	—	$100$	$121$

On donne

\sqrt{1, 1} \approx 1, 048 8

a)Calculer l'indice de 2024 en base 100 en 2014. Entre 2020 et 2024, de combien de points cet indice augmente-t-il, et de quel pourcentage ?
b)Montrer que le taux d'évolution annuel moyen du prix est le même de 2014 à 2020 et de 2020 à 2024, et en donner une valeur approchée.
c)En déduire, sans calculer de nouvelle racine, le taux d'évolution annuel moyen de 2014 à 2024. Justifier.
d)On suppose que l'indice continue d'évoluer à ce rythme après 2024. Déterminer la première année où l'indice en base 100 en 2014 dépassera $200$ .

Exercice 5 – Pour aller plus loin — Deux moyennes

(4 pts)

Dans cet exercice, $a$ , $b$ et $c$ désignent trois réels strictement positifs.

a)Déterminer le réel $x > 0$ tel que $4$ ; $x$ ; $9$ soient, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite géométrique, puis le réel $y$ tel que $4$ ; $y$ ; $9$ soient trois termes consécutifs d'une suite arithmétique. Comparer $x$ et $y$ .
b)Montrer que $a$ ; $b$ ; $c$ sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si $b^{2} = a c$ , et trois termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si $2 b = a + c$ .
c)Montrer que $\frac{a + c}{2} - \sqrt{a c} = \frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{c})}^{2}}{2}$ . En déduire que si $a$ ; $b$ ; $c$ sont à la fois trois termes consécutifs d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique, alors $a = b = c$ .
d)Une grandeur subit deux évolutions successives de taux $t_{1}$ et $t_{2}$ , avec $t_{1} > - 1$ et $t_{2} > - 1$ . Montrer que son taux d'évolution moyen $t_{m}$ vérifie $t_{m} ⩽ \frac{t_{1} + t_{2}}{2}$ . Application : le cours d'une action augmente de $90 %$ , puis baisse de $52, 5 %$ ; comparer $t_{m}$ et la moyenne des deux taux. On donne $0, 95^{2} = 0, 902 5$ .

Bon courage !

Voir le corrigé et le barème

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Corrigé et barème – Suites et modèles d'évolution — niveau ★★★

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths sans spécialité 1ʳᵉ

Exercice 1 – Automatismes

(3 pts)

a) $8^{0, 5} = {(2^{3})}^{0, 5} = 2^{1, 5}$ , donc $8^{0, 5} \times 2^{1, 5} = 2^{1, 5 + 1, 5} = 2^{3} = 8$ . (0,5 pt) (0,5)
b) $u_{5} = 3 + 5 r$ et $u_{2} = 3 + 2 r$ : $3 + 5 r = 6 + 4 r$ , donc $r = 3$ . Contrôle : $u_{5} = 18 = 2 \times 9 = 2 u_{2}$ . (0,5 pt) (0,5)
c) $C M = 0, 562 5$ sur $n = 2$ ans. Comme $0, 75^{2} = 0, 562 5$ et $0, 75 > 0$ , $1 + t_{m} = 0, 562 5^{1 / 2} = 0, 75$ : $t_{m} = - 25 %$ par an (et non $- 43, 75 \div 2 \approx - 21, 9 %$ ). (0,5 pt) (0,5)
d) $\frac{100}{160} \times 100 = 62, 5$ . (0,5 pt) (0,5)
e) $0, 25^{x} = {(0, 5^{2})}^{x} = 0, 5^{2 x}$ et $0, 125 = 0, 5^{3}$ . Comme $0 < 0, 5 < 1$ , la fonction $x \mapsto 0, 5^{x}$ est décroissante : $0, 5^{2 x} < 0, 5^{3} ⟺ 2 x > 3 ⟺ x > 1, 5$ . $𝒮 =] 1, 5; + \infty [$ . (0,5 pt) (0,5)
f) $1, 5^{2} = 2, 25$ ; $1, 5^{4} = 2, 25^{2} = 5, 062 5$ ; $1, 5^{5} = 7, 593 75 ⩽ 10$ ; $1, 5^{6} = 11, 390 625 > 10$ . La suite $(1, 5^{n})$ est croissante, donc $n = 6$ . (0,5 pt) (0,5)

Méthode — Pour comparer des puissances de bases différentes, on cherche une base commune ( $8 = 2^{3}$ , $0, 25 = 0, 5^{2}$ ), puis on compare les exposants, en changeant le sens si la base est comprise entre $0$ et $1$ .

Exercice 2 – Démontrer

(4 pts)

a) $I_{n} = \frac{u_{n}}{u_{0}} \times 100 = \frac{u_{0} q^{n}}{u_{0}} \times 100 = 100 q^{n}$ , donc $I_{n + 1} = q I_{n}$ : $(I_{n})$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $100$ . Entre les rangs $n$ et $n + p$ , le coefficient multiplicateur est $\frac{I_{n + p}}{I_{n}} = \frac{100 q^{n + p}}{100 q^{n}} = q^{p}$ : le taux $q^{p} - 1$ ne dépend pas de $n$ . Par exemple, avec $q = 0, 6$ , l'évolution sur deux rangs vaut toujours $0, 36 - 1 = - 64 %$ (et non $- 80 %$ ). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
b)La baisse a pour coefficient $1 - t$ ; pour revenir à la valeur initiale, il faut multiplier par $\frac{1}{1 - t}$ , soit un taux $\frac{1}{1 - t} - 1 = \frac{1 - (1 - t)}{1 - t} = \frac{t}{1 - t}$ . Comme $0 < 1 - t < 1$ et $t > 0$ , diviser $t$ par $1 - t$ donne un nombre plus grand que $t$ : $\frac{t}{1 - t} > t$ . Par exemple, après une baisse de $50 %$ , il faut une hausse de $\frac{0, 5}{0, 5} = 1$ , soit $+ 100 %$ . (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
c) $d_{n} = q u_{n} - u_{n} = (q - 1) u_{n}$ , donc $d_{n + 1} = (q - 1) u_{n + 1} = (q - 1) q u_{n} = q d_{n}$ : $(d_{n})$ est géométrique de raison $q$ , de premier terme $d_{0} = (q - 1) u_{0} > 0$ . Ses termes sont positifs et sa raison $q$ est supérieure à $1$ : $(d_{n})$ est strictement croissante, les écarts grandissent (alors qu'ils sont constants, égaux à la raison, pour une suite arithmétique). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
d)Pour tout $i$ , $1 + t_{i} ⩾ 1 + t > 0$ ; en multipliant ces inégalités entre nombres positifs, $C M = (1 + t_{1}) \dots (1 + t_{n}) ⩾ (1 + t)^{n}$ . Raisonnons par l'absurde : si $1 + t_{m} < 1 + t$ , ces deux nombres étant positifs, $(1 + t_{m})^{n} < (1 + t)^{n} ⩽ C M$ , ce qui contredit $(1 + t_{m})^{n} = C M$ . Donc $1 + t_{m} ⩾ 1 + t$ , c'est-à-dire $t_{m} ⩾ t$ . (1 pt) (1)

Méthode — Pour montrer qu'une suite est géométrique, on exprime le terme suivant en fonction du terme courant ( $I_{n + 1} = q I_{n}$ , $d_{n + 1} = q d_{n}$ ) : le facteur obtenu, indépendant de $n$ , est la raison.

Exercice 3 – Problème — Les joueurs d'un jeu en ligne

(5 pts)

a)Le nombre est divisé par $2$ en $3$ mois : $J (3) = 1 600 a^{3} = 800$ , donc $a^{3} = 0, 5$ . $a$ est le nombre positif dont le cube vaut $0, 5$ : $a = 0, 5^{1 / 3} \approx 0, 794$ . Le jeu perd environ $1 - 0, 794 = 0, 206$ , soit $20, 6 %$ de ses joueurs par mois. Trois baisses de $\frac{50}{3} %$ donneraient le coefficient ${(\frac{5}{6})}^{3} = \frac{125}{216} \approx 0, 579$ , soit $- 42 %$ environ et non $- 50 %$ : les baisses se multiplient. (0,5 pt pour $a$ , 0,5 pt pour le pourcentage et l'explication) (1)
b) $J (1, 5) = 1 600 \times a^{1, 5} = 1 600 \times {(a^{3})}^{0, 5} = 1 600 \times \sqrt{0, 5} \approx 1 600 \times 0, 707 = 1 131, 2$ milliers, soit environ $1, 13$ million de joueurs. Et $a^{x} = {(0, 5^{1 / 3})}^{x} = 0, 5^{x / 3}$ . (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
c) $J (x) < 100 ⟺ 0, 5^{x / 3} < \frac{100}{1 600} = 0, 062 5 = 0, 5^{4}$ . Comme $0 < 0, 5 < 1$ , $t \mapsto 0, 5^{t}$ est décroissante : $\frac{x}{3} > 4 ⟺ x > 12$ . Le nombre de joueurs passe sous $100$ milliers après $12$ mois, soit un an ( $J (12) = 100$ exactement). (1 pt) (1)
d) $J (n) = 1 600 \times 0, 5^{n / 3}$ se calcule avec les propriétés : $J (3) = 800$ , $J (6) = 400$ , $J (1) \approx 1 600 \times 0, 794 \approx 1 270$ , $J (2) \approx 1 600 \times 0, 630 = 1 008$ , $J (4) = 800 \times 0, 5^{1 / 3} \approx 800 \times 0, 794 \approx 635$ , $J (5) = 800 \times 0, 5^{2 / 3} \approx 800 \times 0, 630 = 504$ , $J (7) = 400 \times 0, 5^{1 / 3} \approx 400 \times 0, 794 \approx 318$ , $J (8) = 400 \times 0, 5^{2 / 3} \approx 400 \times 0, 630 = 252$ (valeurs calculées avec les valeurs approchées données). Modèle linéaire : $1 400$ ; $1 200$ ; $1 000$ ; $800$ ; $600$ ; $400$ ; $200$ ; $0$ . Le modèle linéaire donne plus de joueurs de $1$ à $5$ mois, autant au bout de $6$ mois ( $400$ milliers), puis moins à $7$ et $8$ mois. (0,5 pt pour les valeurs, 0,5 pt pour la comparaison) (1)
e)Dans les deux modèles, le nombre passe de $1 600$ à $400$ milliers en $6$ mois : même coefficient global $0, 25$ , même nombre de périodes, donc même taux moyen. $1 + t_{m} = 0, 25^{1 / 6} = {(0, 5^{2})}^{1 / 6} = 0, 5^{1 / 3} \approx 0, 794$ : $t_{m} \approx - 20, 6 %$ par mois. Mais le modèle linéaire perd $\frac{200}{1 600} = 12, 5 %$ le premier mois et $\frac{200}{600} \approx 33, 3 %$ le sixième : le taux moyen lisse des évolutions très différentes. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — « Divisé par $2$ en $3$ mois » ne signifie pas « $- \frac{50}{3} %$ par mois » : le coefficient mensuel est le nombre positif dont le cube vaut $0, 5$ , environ $0, 794$ .

Exercice 4 – Problème — Recoller deux séries d'indices

(4 pts)

a)Le prix est multiplié par $1, 331$ de 2014 à 2020, puis par $1, 21$ de 2020 à 2024 : en base 100 en 2014, l'indice de 2024 vaut $133, 1 \times 1, 21 = 133, 1 + 27, 951 = 161, 051$ . Il gagne $161, 051 - 133, 1 = 27, 951$ points, soit une hausse de $21 %$ (et non de $27, 951 %$ ). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
b) $1, 1^{2} = 1, 21$ et $1, 1^{3} = 1, 331$ . De 2014 à 2020 ( $6$ ans) : $1 + t_{m} = 1, 331^{1 / 6} = {(1, 1^{3})}^{1 / 6} = 1, 1^{1 / 2}$ . De 2020 à 2024 ( $4$ ans) : $1 + t_{m} = 1, 21^{1 / 4} = {(1, 1^{2})}^{1 / 4} = 1, 1^{1 / 2}$ . Même taux : $\sqrt{1, 1} - 1 \approx 0, 048 8$ , soit environ $+ 4, 88 %$ par an. (0,5 pt pour l'égalité, 0,5 pt pour la valeur) (1)
c)Sur $10$ ans, le coefficient global est $161, 051 \div 100 = 1, 610 51 = 1, 1^{3} \times 1, 1^{2} = 1, 1^{5} = {(\sqrt{1, 1})}^{10}$ : le taux moyen est encore $\sqrt{1, 1} - 1 \approx 4, 88 %$ . En effet, $6$ ans puis $4$ ans au même taux moyen équivalent à $10$ ans à ce taux. (1 pt) (1)
d) $k$ années après 2024, l'indice vaut $161, 051 \times {(\sqrt{1, 1})}^{k} = 100 \times 1, 1^{5 + k / 2}$ , qui croît avec $k$ . Pour $k = 4$ : $100 \times 1, 1^{7} = 161, 051 \times 1, 21 \approx 194, 87 < 200$ . Pour $k = 5$ : $194, 87 \times \sqrt{1, 1} \approx 194, 87 \times 1, 048 8 \approx 204, 4 > 200$ . L'indice dépasse $200$ pour la première fois en $2024 + 5 = 2029$ . (1 pt) (1)

Astuce — Reconnaître des puissances d'un même nombre ( $1, 331 = 1, 1^{3}$ , $1, 21 = 1, 1^{2}$ ) permet de calculer des racines $n$ -ièmes sans calculatrice, avec la règle ${(a^{x})}^{y} = a^{x y}$ .

Exercice 5 – Pour aller plus loin — Deux moyennes

(4 pts)

a)Géométrique : $\frac{x}{4} = \frac{9}{x}$ , soit $x^{2} = 36$ , et $x > 0$ , donc $x = 6$ (raison $1, 5$ ). Arithmétique : $y - 4 = 9 - y$ , soit $y = 6, 5$ (raison $2, 5$ ). On a $x < y$ . (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
b)Les termes étant strictement positifs, $a$ ; $b$ ; $c$ sont consécutifs dans une suite géométrique si et seulement si on multiplie par le même nombre pour passer de $a$ à $b$ et de $b$ à $c$ : $\frac{b}{a} = \frac{c}{b} ⟺ b^{2} = a c$ . Ils sont consécutifs dans une suite arithmétique si et seulement si on ajoute le même nombre : $b - a = c - b ⟺ 2 b = a + c$ . (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
c) ${(\sqrt{a} - \sqrt{c})}^{2} = a - 2 \sqrt{a} \sqrt{c} + c = a + c - 2 \sqrt{a c}$ ; en divisant par $2$ , on obtient l'égalité. Si les deux propriétés sont vraies, b) donne $b = \sqrt{a c}$ (car $b > 0$ ) et $b = \frac{a + c}{2}$ : la différence est nulle, donc $\sqrt{a} = \sqrt{c}$ , $a = c$ , puis $b = \sqrt{a^{2}} = a$ . (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
d)Avec $A = 1 + t_{1} > 0$ et $C = 1 + t_{2} > 0$ : $1 + t_{m} = (A C)^{1 / 2} = \sqrt{A C}$ . D'après c), $\sqrt{A C} ⩽ \frac{A + C}{2} = 1 + \frac{t_{1} + t_{2}}{2}$ , d'où $t_{m} ⩽ \frac{t_{1} + t_{2}}{2}$ . Application : $C M = 1, 9 \times 0, 475 = 0, 902 5 = 0, 95^{2}$ , donc $1 + t_{m} = \sqrt{0, 902 5} = 0, 95$ et $t_{m} = - 5 %$ : le cours a baissé (de $9, 75 %$ en tout), alors que la moyenne des deux taux, $\frac{90 - 52, 5}{2} = 18, 75 %$ , annonce une hausse. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — La moyenne des taux n'est jamais inférieure au taux moyen, et elle ne lui est égale que si les deux taux sont égaux : après $+ 90 %$ puis $- 52, 5 %$ , elle annonce $+ 18, 75 %$ , alors que le cours a perdu $5 %$ par période en moyenne.

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