Fonctions exponentielles x ↦ aˣ et variation exponentielle

Fonctions x ↦ aˣ (a > 0), propriétés algébriques, sens de variation, lien avec les suites géométriques et les évolutions à taux constant

À propos de cette page

Ce QCM sur « Fonctions exponentielles x ↦ aˣ et variation exponentielle » en première teste tes connaissances en mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de première. Au programme : L'essentiel, Des suites géométriques aux fonctions x ↦ aˣ, Propriétés algébriques, Sens de variation et courbes. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en première.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

Pour tout réel $a > 0$ , que vaut $a^{0}$ ?
- A. 0
- B. $a$
- C. 1
- D. Cela dépend de $a$
Réponse
C. 1 — Pour toute base $a > 0$ , $a^{0} = 1$ : toutes les courbes passent par le point $(0; 1)$ .
Sur $[0; + \infty [$ , la fonction $x \mapsto 0, 45^{x}$ est :
- A. strictement décroissante
- B. strictement croissante
- C. constante égale à 1
- D. croissante puis décroissante
Réponse
A. strictement décroissante — La base $0, 45$ est comprise entre 0 et 1 : la fonction est strictement décroissante.
Quel est le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 4,5 % ?
- A. 0,045
- B. 1,45
- C. 1,0045
- D. 1,045
Réponse
D. 1,045 — Une hausse de $t$ correspond au coefficient $1 + t$ , ici $1 + 0, 045 = 1, 045$ .
Quelle écriture est égale à $5^{1 / 2}$ ?
- A. $\frac{5}{2}$
- B. $\sqrt{5}$
- C. 2,5
- D. $\frac{1}{25}$
Réponse
B. $\sqrt{5}$ — $a^{1 / 2}$ est le réel positif dont le carré vaut $a$ : c'est $\sqrt{a}$ .
Une quantité $Q$ diminue de 22 % par unité de temps. Quelle fonction la modélise ?
- A. $Q (x) = Q_{0} \times 1, 22^{x}$
- B. $Q (x) = Q_{0} \times 0, 78^{x}$
- C. $Q (x) = Q_{0} \times 0, 22^{x}$
- D. $Q (x) = Q_{0} - 0, 22 \times Q_{0} \times x$
Réponse
B. $Q (x) = Q_{0} \times 0, 78^{x}$ — Baisser de 22 % revient à multiplier par $1 - 0, 22 = 0, 78$ à chaque unité de temps.
La courbe de $x \mapsto a^{x}$ (avec $a > 0$ ) passe toujours par le point :
- A. $(1; 0)$
- B. $(0; 0)$
- C. $(1; \frac{1}{a})$
- D. $(0; 1)$
Réponse
D. $(0; 1)$ — Comme $a^{0} = 1$ , le point $(0; 1)$ appartient à toutes ces courbes.
$6^{0, 4} \times 6^{0, 6}$ est égal à :
- A. 6
- B. $6^{0, 24}$
- C. 36
- D. $12^{1}$
Réponse
A. 6 — On additionne les exposants : $6^{0, 4 + 0, 6} = 6^{1} = 6$ .
Pour quelles valeurs de $a$ la fonction $x \mapsto a^{x}$ est-elle strictement croissante ?
- A. $0 < a < 1$
- B. $a = 1$
- C. $a > 1$
- D. $a > 0$
Réponse
C. $a > 1$ — La fonction est strictement croissante si et seulement si la base est strictement supérieure à 1.

Niveau moyen — 8 questions

Arrondi au centième, $1, 7^{2, 5}$ vaut :
- A. 4,25
- B. 3,77
- C. 2,89
- D. 11,56
Réponse
B. 3,77 — $1, 7^{2, 5} = 1, 7^{2} \times \sqrt{1, 7} \approx 2, 89 \times 1, 304 \approx 3, 77$ . La réponse 4,25 confond puissance et produit.
Quel est le taux mensuel équivalent à une hausse annuelle de 15 % (arrondi à 0,01 %) ?
- A. 15/12 ≈ 1,25 %
- B. 1,15 %
- C. 0,15 %
- D. 1,17 %
Réponse
D. 1,17 % — Le coefficient mensuel est $1, 15^{1 / 12} \approx 1, 011 7$ , soit environ 1,17 % par mois.
${(4^{0, 75})}^{2}$ est égal à :
- A. 8
- B. $4^{2, 75}$
- C. 16
- D. 6
Réponse
A. 8 — $(a^{x})^{y} = a^{x y}$ : $4^{1, 5} = 4 \times \sqrt{4} = 8$ .
Une population de 7 500 individus croît de 2 % par an. Au bout de 3 ans et demi, elle vaut :
- A. environ 8 025
- B. environ 8 100
- C. environ 8 038
- D. environ 10 500
Réponse
C. environ 8 038 — $7 500 \times 1, 02^{3, 5} \approx 7 500 \times 1, 071 8 \approx 8 038$ . 8 025 correspond à l'erreur « $3, 5 \times 2 = 7$ % ».
Une grandeur augmente de 56,25 % en deux ans, à taux annuel constant. Ce taux annuel vaut :
- A. 28,125 %
- B. 12,5 %
- C. 22,5 %
- D. 25 %
Réponse
D. 25 % — Le coefficient annuel $c > 0$ vérifie $c^{2} = 1, 562 5$ , donc $c = 1, 25$ : hausse de 25 % par an.
Un capital double en 9 ans à taux constant. En combien d'années est-il multiplié par 8 ?
- A. 27 ans
- B. 72 ans
- C. 4 × 9 = 36 ans
- D. 18 ans
Réponse
A. 27 ans — Multiplier par 8, c'est doubler trois fois ( $2^{3} = 8$ ), donc $3 \times 9 = 27$ ans.
$\frac{2, 4^{3, 8}}{2, 4^{1, 8}}$ vaut :
- A. $2, 4^{2, 1}$
- B. 2,4
- C. 5,76
- D. 4,8
Réponse
C. 5,76 — On soustrait les exposants : $2, 4^{3, 8 - 1, 8} = 2, 4^{2} = 5, 76$ .
Une substance perd 30 % de sa masse chaque heure. Sa demi-vie vaut environ :
- A. 1,7 h
- B. 1,9 h
- C. 1/0,3 ≈ 3,3 h
- D. 1,5 h
Réponse
B. 1,9 h — On cherche $0, 7^{x} = 0, 5$ : $0, 7^{1, 9} \approx 0, 508$ et $0, 7^{2} = 0, 49$ , donc environ 1,9 h.

Niveau difficile — 8 questions

Soit $f (x) = 0, 93^{x}$ sur $[0; + \infty [$ . Quelle affirmation est vraie ?
- A. $f (x) ⩽ 1$ pour tout $x$
- B. $f (x) = 0$ pour $x$ assez grand
- C. $f$ est croissante sur $[0; + \infty [$
- D. $f (2 x) = 2 f (x)$ pour tout $x$
Réponse
A. $f (x) ⩽ 1$ pour tout $x$ — $f$ est décroissante et $f (0) = 1$ , donc $f (x) ⩽ 1$ ; elle reste strictement positive et $f (2 x) = f (x)^{2}$ .
Laquelle de ces égalités est FAUSSE pour $x ⩾ 0$ ?
- A. $3^{x} \times 5^{x} = 15^{x}$
- B. $(2^{x})^{3} = 8^{x}$
- C. $2^{x} + 2^{x} = 4^{x}$
- D. $9^{x / 2} = 3^{x}$
Réponse
C. $2^{x} + 2^{x} = 4^{x}$ — $2^{x} + 2^{x} = 2 \times 2^{x} = 2^{x + 1}$ , qui diffère de $4^{x}$ (pour $x = 2$ : 8 contre 16).
Pour $x > 0$ , comment se comparent $0, 3^{x}$ et $0, 6^{x}$ ?
- A. $0, 3^{x} > 0, 6^{x}$
- B. $0, 3^{x} < 0, 6^{x}$
- C. Ils sont égaux pour tout $x$
- D. Cela dépend de la valeur de $x$
Réponse
B. $0, 3^{x} < 0, 6^{x}$ — Si $0 < a < b$ , alors $a^{x} < b^{x}$ pour tout $x > 0$ , même quand les deux bases sont inférieures à 1.
Le taux mensuel équivalent à une hausse annuelle de 24 % est :
- A. égal à 2 %
- B. strictement supérieur à 2 %
- C. égal à 1,24 %
- D. inférieur à 2 %
Réponse
D. inférieur à 2 % — $1, 24^{1 / 12} \approx 1, 018 1$ : environ 1,81 %, inférieur à $24 / 12 = 2$ % car les hausses se composent.
On sait que $1, 07^{10} \approx 1, 967$ et $1, 07^{11} \approx 2, 105$ . Le temps de doublement d'une grandeur qui croît de 7 % par an :
- A. vaut exactement 10 ans
- B. dépend de la valeur initiale
- C. est entre 10 et 11 ans
- D. vaut 100/7 ≈ 14,3 ans
Réponse
C. est entre 10 et 11 ans — La fonction est croissante et $1, 07^{10} < 2 < 1, 07^{11}$ ; le résultat ne dépend pas de la valeur initiale.
La suite $u_{n} = 5 \times 1, 3^{n}$ et la fonction $f (x) = 5 \times 1, 3^{x}$ :
- A. n'ont aucun lien
- B. coïncident aux entiers naturels
- C. ont des sens de variation opposés
- D. coïncident seulement en 0
Réponse
B. coïncident aux entiers naturels — Pour tout entier naturel $n$ , $f (n) = u_{n}$ : la fonction prolonge la suite géométrique aux réels positifs.
Une grandeur baisse de 5,5 % par an pendant 20 ans. Quelle est sa baisse totale ?
- A. 100 %
- B. environ 32 %
- C. environ 50 %, la moitié
- D. environ 68 %
Réponse
D. environ 68 % — $0, 945^{20} \approx 0, 323$ : il reste environ 32 % de la valeur, soit une baisse d'environ 68 %.
Pour quelle valeur de $a > 0$ a-t-on $a^{0, 5} = 0, 9$ ?
- A. 0,81
- B. 0,45
- C. 1,8
- D. $\sqrt{0, 9}$
Réponse
A. 0,81 — $a^{0, 5} = \sqrt{a} = 0, 9$ équivaut à $a = 0, 9^{2} = 0, 81$ .

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