Fonctions exponentielles x ↦ aˣ

C. 1 — Pour toute base a > 0, a⁰ = 1 : toutes les courbes passent par le point (0 ; 1).

A. strictement décroissante — La base 0,45 est comprise entre 0 et 1 : la fonction est strictement décroissante.

D. 1,045 — Une hausse de 4,5 % correspond au coefficient 1 + 0,045 = 1,045 ; 1,45 traduirait une hausse de 45 %.

B. √5 — a^1⁄2 est le réel positif dont le carré vaut a : c’est √a. Diviser par 2 confond la puissance et le produit.

B. Q(x) = Q₀ × 0,78^x — Baisser de 22 % revient à multiplier par 1 − 0,22 = 0,78 sur chaque unité de temps. Retirer 0,22 Q₀ à chaque unité serait une décroissance linéaire.

D. (0 ; 1) — Comme a⁰ = 1, le point (0 ; 1) appartient à toutes ces courbes ; le point (1 ; 1) n’est sur la courbe que si a = 1.

A. 6 — Même base : on additionne les exposants, 6^{0,4 + 0,6} = 6¹ = 6. Multiplier les exposants donnerait 6^0,24.

C. a > 1 — La fonction est strictement croissante si la base est strictement supérieure à 1 ; elle est constante si a = 1 et décroissante si 0 < a < 1.

B. 6 — 36^0,5 = √36 = 6. 18 vient de 36 × 0,5, et 1 296 est 36².

C. 64 — Puissance d’une puissance : on multiplie les exposants, (2³)² = 2⁶ = 64. Additionner les exposants donnerait 2⁵ = 32.

A. 5 — 5³ = 125 et 5 > 0, donc 125^1⁄3 = 5. Environ 41,7 correspond à 125 ÷ 3.

D. 3 — f(0) = 3 × 2⁰ = 3 × 1 = 3 : c’est la valeur initiale k du modèle k × a^x.

B. 3,77 — 1,7^2,5 = 1,7² × 1,7^0,5 ≈ 2,89 × 1,304 ≈ 3,77. 4,25 = 1,7 × 2,5 confond puissance et produit ; 2,89 oublie le facteur √1,7.

D. 1,17 % — Un mois est 1/12 d’année : coefficient 1,15^1⁄12 ≈ 1,011 7, soit environ 1,17 % par mois. 1,25 % vient de 15 ÷ 12, qui oublie que les hausses se composent.

A. 8 — (a^x)^y = a^xy : 4^1,5 = 4 × √4 = 8. 4^2,75 additionne les exposants au lieu de les multiplier.

C. 8 038 individus — 7 500 × 1,02^3,5 ≈ 7 500 × 1,071 77 ≈ 8 038,3, soit environ 8 038 individus. 8 025 correspond à l’erreur « 3,5 × 2 = 7 % », et 7 650 à une seule année.

C. 25 % — Coefficient semestriel : 1,5625^1⁄2 = 1,25, car 1,25² = 1,5625. Hausse de 25 % par semestre ; 28,125 % est le taux annuel divisé par 2.

A. 27 ans — Multiplier par 8, c’est doubler trois fois (2³ = 8), et chaque doublement prend 9 ans, quel que soit le capital : 3 × 9 = 27 ans. 72 = 8 × 9 confond doublements et facteur.

B. 5,76 — On soustrait les exposants : 2,4^{3,8 − 1,8} = 2,4² = 5,76. 4,8 = 2,4 × 2 confond puissance et produit.

A. comprise entre 1,9 h et 2 h — On cherche 0,7^x = 0,5 : 0,7^1,9 ≈ 0,508 > 0,5 et 0,7² = 0,49 < 0,5, la fonction est décroissante : la demi-vie est entre 1,9 h et 2 h.

B. 1,3 — k = f(0) = 200 et f(1) = 200a = 260, donc a = 260/200 = 1,3. 60 est l’écart 260 − 200 (modèle linéaire), et 0,3 est le taux, pas le coefficient.

D. 0,512 — 0,64^1,5 = 0,64 × √0,64 = 0,64 × 0,8 = 0,512. 0,96 = 0,64 × 1,5 confond puissance et produit, et 0,409 6 = 0,64².

C. 0,7^0,4 — 0 < 0,7 < 1 : x ↦ 0,7^x est strictement décroissante, donc le plus grand nombre a le plus petit exposant, 0,4.

D. 0,5 — 9^0,5 = √9 = 3 : l’abscisse est 0,5. 1/3 vient de 3 ÷ 9, et 27 = 9 × 3.

A. f(x) ⩽ 1 pour tout x ⩾ 0 — f est décroissante et f(0) = 1, donc f(x) ⩽ 1 ; elle reste strictement positive, et f(2x) = (0,93^x)² = f(x)², pas 2f(x).

C. 2^x + 2^x = 4^x — 2^x + 2^x = 2 × 2^x = 2^x+1, qui diffère de 4^x en général : pour x = 2, on obtient 8 contre 16. Les trois autres égalités découlent des propriétés algébriques.

B. 0,3^x < 0,6^x — 0,6^x ÷ 0,3^x = 2^x > 1 pour x > 0 : la plus grande base donne la plus grande puissance, même quand les deux bases sont inférieures à 1.

D. strictement inférieur à 2 % — Douze hausses de 2 % donnent plus de 24 %, car chacune porte sur une valeur déjà augmentée (1,02¹² ≈ 1,268). Pour obtenir exactement 24 %, il faut donc moins de 2 % par mois : 1,24^1⁄12 ≈ 1,018 1, soit environ 1,81 %.

C. est compris entre 10 et 11 ans — La fonction x ↦ 1,07^x est croissante et 1,07¹⁰ < 2 < 1,07¹¹ : le doublement a lieu entre 10 et 11 ans, quelle que soit la valeur initiale.

B. prennent les mêmes valeurs aux entiers naturels — Pour tout entier naturel n, f(n) = 5 × 1,3ⁿ = uₙ : la fonction prolonge la suite géométrique aux réels positifs, avec le même sens de variation.

D. 68 % — Il reste 0,945²⁰ ≈ 0,323, soit environ 32 % de la valeur : la baisse est d’environ 68 %. 5,5 × 20 = 110 ferait croire à une disparition totale.

A. 0,81 — a^0,5 = √a = 0,9 équivaut à a = 0,9² = 0,81. 1,8 divise 0,9 par 0,5, et √0,9 inverse le raisonnement.

B. 1,3 × f(x) — f(x + 0,5) = 1,69^x × 1,69^0,5 = f(x) × √1,69 = 1,3 × f(x) : on multiplie, on n’ajoute pas, et 0,845 = 1,69 × 0,5 confond puissance et produit.

C. 17,7 % — 25 jours font 2,5 demi-vies : il reste 0,5^2,5 = 0,5² × √0,5 ≈ 0,25 × 0,707 ≈ 0,177, soit environ 17,7 %. 18,75 % est la moyenne de 25 % et 12,5 %, comme si la baisse était régulière entre deux demi-vies.

A. Q(x) = Q₀ × 0,5^x⁄3 — En x heures, il s’écoule x/3 périodes de 3 heures, et chaque période multiplie par 0,5 : Q(x) = Q₀ × 0,5^x⁄3. Contrôle : Q(3) = 0,5 Q₀. Avec 0,5^3x, on aurait Q(3) = 0,5⁹ Q₀.

D. [0 ; 2[ — 0,64 = 0,8² et 0 < 0,8 < 1 : la fonction est décroissante, donc 0,8^x > 0,8² ⟺ x < 2. S = [0 ; 2[ ; oublier d’inverser le sens donne ]2 ; +∞[.