À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en première sur « Suites géométriques » suit le programme officiel de mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?, La formule du terme général, Reconnaître une suite géométrique, Croissance et décroissance exponentielles. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?
2 · La formule du terme général
3 · Reconnaître une suite géométrique
4 · Croissance et décroissance exponentielles
5 · Évolutions en pourcentage et intérêts composés
6 · Somme des termes d'une suite géométrique
1Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?
Une suite $(u_n)$ est une liste ordonnée de nombres : $u_0,\ u_1,\ u_2,\ u_3,\ldots$ Le nombre $u_n$ est le terme de rang $n$.
Définition. Une suite $(u_n)$ est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par un même nombre $q$, appelé la raison :
$$u_{n+1} = q \times u_n$$
Autrement dit, à chaque étape on multiplie par $q$ (au lieu d'ajouter, comme dans une suite arithmétique).
Exemple. On part de $u_0 = 5$ et on multiplie chaque fois par $q = 2$ :
$u_0 = 5,\quad u_1 = 10,\quad u_2 = 20,\quad u_3 = 40,\ \ldots$
C'est une suite géométrique de raison $2$.
À ne pas confondre. Dans une suite arithmétique on ajoute toujours le même nombre. Dans une suite géométrique on multiplie toujours par le même nombre.
2La formule du terme général
Pour trouver $u_{10}$, pas besoin de calculer un à un tous les termes : il existe une formule directe.
Terme général. Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$, alors pour tout entier $n$ :
$$\boxed{\,u_n = u_0 \times q^n\,}$$
Exemple. $(u_n)$ géométrique avec $u_0 = 3$ et $q = 2$.
Alors $u_n = 3 \times 2^n$.
$\bullet$ $u_4 = 3 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48$.
$\bullet$ $u_6 = 3 \times 2^6 = 3 \times 64 = 192$.
Astuce. Le premier terme est parfois $u_1$ au lieu de $u_0$. La formule devient alors $u_n = u_1 \times q^{\,n-1}$ : l'exposant compte le nombre de multiplications effectuées depuis le premier terme.
Attention ! L'exposant porte uniquement sur la raison $q$, pas sur $u_0$. On écrit $u_0 \times q^n$, et non $(u_0 \times q)^n$.
3Reconnaître une suite géométrique
Comment savoir si une suite est géométrique ? On calcule le rapport entre deux termes consécutifs.
Méthode. Une suite (à termes non nuls) est géométrique si le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est toujours le même. Ce rapport constant est alors la raison $q$.
Exemple 1. La suite $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ldots$
$\dfrac{6}{2} = 3$, $\ \dfrac{18}{6} = 3$, $\ \dfrac{54}{18} = 3$. Le rapport est toujours $3$ : la suite est géométrique de raison $q = 3$.
Exemple 2. La suite $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ldots$ (les carrés).
$\dfrac{4}{1} = 4$ mais $\dfrac{9}{4} = 2{,}25$. Le rapport change : la suite n'est pas géométrique.
| On reconnaît… | …en regardant |
|---|
| Suite arithmétique | la différence $u_{n+1} - u_n$ est constante |
| Suite géométrique | le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant |
4Croissance et décroissance exponentielles
Le comportement d'une suite géométrique (à premier terme positif) dépend entièrement de sa raison $q$.
| Valeur de $q$ (avec $u_0 > 0$) | Comportement |
|---|
| $q > 1$ | la suite croît de plus en plus vite (croissance exponentielle) |
| $0 < q < 1$ | la suite décroît et se rapproche de $0$ |
| $q = 1$ | la suite est constante |
Exemple. Avec $u_0 = 100$ et $q = 0{,}8$ : à chaque étape on garde $80\,\%$ de la valeur. La suite $100,\ 80,\ 64,\ 51{,}2,\ldots$ diminue et tend vers $0$.
Une suite géométrique : croissante si $q>1$, décroissante si $0Attention ! Une croissance exponentielle ($q>1$) finit toujours par dépasser n'importe quelle croissance linéaire : à long terme, multiplier l'emporte largement sur ajouter.
5Évolutions en pourcentage et intérêts composés
Les suites géométriques sont l'outil idéal pour modéliser une évolution en pourcentage qui se répète (chaque année, chaque mois…).
Le coefficient multiplicateur.
$\bullet$ Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)$.
$\bullet$ Diminuer de $t\,\%$ revient à multiplier par $\left(1 - \dfrac{t}{100}\right)$.
Ce coefficient est la raison $q$ de la suite.
Exemple (intérêts composés). On place $2\,000$ € à un taux de $5\,\%$ par an. Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}05$.
La suite des capitaux $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 1{,}05$ et $u_0 = 2000$ :
$$u_n = 2000 \times 1{,}05^{\,n}$$
Après $10$ ans : $u_{10} = 2000 \times 1{,}05^{10} \approx 2000 \times 1{,}629 \approx 3258$ €.
Exemple (baisse). Un objet vaut $800$ € et perd $15\,\%$ de sa valeur par an. Coefficient : $1 - 0{,}15 = 0{,}85$.
Valeur après $n$ ans : $u_n = 800 \times 0{,}85^{\,n}$. Après $3$ ans : $u_3 = 800 \times 0{,}85^3 \approx 491$ €.
Avec les intérêts composés, le capital augmente de plus en plus vite : c'est une suite géométrique.
Piège fréquent. Baisser de $20\,\%$ puis augmenter de $20\,\%$ ne ramène pas à la valeur de départ : $0{,}80 \times 1{,}20 = 0{,}96$, soit une baisse globale de $4\,\%$.
6Somme des termes d'une suite géométrique
On a parfois besoin d'additionner plusieurs termes consécutifs : $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. Il existe une formule rapide.
Somme géométrique. Pour une raison $q \neq 1$, la somme des termes de $u_0$ à $u_n$ vaut :
$$S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$$
On peut retenir cette formule sous la forme :
$$S = (\text{premier terme}) \times \dfrac{1 - q^{\text{(nombre de termes)}}}{1 - q}$$
Exemple. Calculons $S = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{10}$.
C'est une suite géométrique de raison $q = 2$, premier terme $1$, avec les termes de $2^0$ à $2^{10}$, soit $11$ termes.
$S = 1 \times \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 2048}{-1} = 2047$.
Attention au nombre de termes ! Des termes de rang $0$ à rang $n$, il y en a $n+1$ (et non $n$). L'exposant dans la formule est bien $n+1$.
★À retenir
À retenir :
• Une suite géométrique se construit en multipliant chaque terme par la raison $q$ : $u_{n+1} = q \times u_n$.
• Terme général : $\;u_n = u_0 \times q^n$.
• On reconnaît une suite géométrique quand le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant.
• Avec $u_0 > 0$ : croissante si $q>1$, décroissante si $0• Évolution en pourcentage : augmenter de $t\,\%$ = multiplier par $1+\frac{t}{100}$ ; diminuer de $t\,\%$ = multiplier par $1-\frac{t}{100}$.
• Somme : $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1-q}$ (pour $q \neq 1$).