Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Suites géométriques
Raison, terme général, somme et évolutions en pourcentage — programme de Mathématiques 1re sans spé
À propos de cette page
Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?
Une suite $(u_n)$ est une liste ordonnée de nombres : $u_0,\ u_1,\ u_2,\ u_3,\ldots$ Le nombre $u_n$ est le terme de rang $n$.
$$u_{n+1} = q \times u_n$$
Autrement dit, à chaque étape on multiplie par $q$ (au lieu d'ajouter, comme dans une suite arithmétique).
$u_0 = 5,\quad u_1 = 10,\quad u_2 = 20,\quad u_3 = 40,\ \ldots$
C'est une suite géométrique de raison $2$.
La formule du terme général
Pour trouver $u_{10}$, pas besoin de calculer un à un tous les termes : il existe une formule directe.
$$\boxed{\,u_n = u_0 \times q^n\,}$$
Alors $u_n = 3 \times 2^n$.
$\bullet$ $u_4 = 3 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48$.
$\bullet$ $u_6 = 3 \times 2^6 = 3 \times 64 = 192$.
Reconnaître une suite géométrique
Comment savoir si une suite est géométrique ? On calcule le rapport entre deux termes consécutifs.
$\dfrac{6}{2} = 3$, $\ \dfrac{18}{6} = 3$, $\ \dfrac{54}{18} = 3$. Le rapport est toujours $3$ : la suite est géométrique de raison $q = 3$.
$\dfrac{4}{1} = 4$ mais $\dfrac{9}{4} = 2{,}25$. Le rapport change : la suite n'est pas géométrique.
| On reconnaît… | …en regardant |
|---|---|
| Suite arithmétique | la différence $u_{n+1} - u_n$ est constante |
| Suite géométrique | le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant |
Croissance et décroissance exponentielles
Le comportement d'une suite géométrique (à premier terme positif) dépend entièrement de sa raison $q$.
| Valeur de $q$ (avec $u_0 \gt 0$) | Comportement |
|---|---|
| $q \gt 1$ | la suite croît de plus en plus vite (croissance exponentielle) |
| $0 \lt q \lt 1$ | la suite décroît et se rapproche de $0$ |
| $q = 1$ | la suite est constante |
Une suite géométrique : croissante si $q\gt 1$, décroissante si $0\lt q\lt 1$, constante si $q=1$.
Évolutions en pourcentage et intérêts composés
Les suites géométriques sont l'outil idéal pour modéliser une évolution en pourcentage qui se répète (chaque année, chaque mois…).
$\bullet$ Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)$.
$\bullet$ Diminuer de $t\,\%$ revient à multiplier par $\left(1 - \dfrac{t}{100}\right)$.
Ce coefficient est la raison $q$ de la suite.
La suite des capitaux $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 1{,}05$ et $u_0 = 2000$ :
$$u_n = 2000 \times 1{,}05^{\,n}$$
Après $10$ ans : $u_{10} = 2000 \times 1{,}05^{10} \approx 2000 \times 1{,}629 \approx 3258$ €.
Valeur après $n$ ans : $u_n = 800 \times 0{,}85^{\,n}$. Après $3$ ans : $u_3 = 800 \times 0{,}85^3 \approx 491$ €.
Avec les intérêts composés, le capital augmente de plus en plus vite : c'est une suite géométrique.
Somme des termes d'une suite géométrique
On a parfois besoin d'additionner plusieurs termes consécutifs : $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. Il existe une formule rapide.
$$S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$$
On peut retenir cette formule sous la forme :
$$S = (\text{premier terme}) \times \dfrac{1 - q^{\text{(nombre de termes)}}}{1 - q}$$
C'est une suite géométrique de raison $q = 2$, premier terme $1$, avec les termes de $2^0$ à $2^{10}$, soit $11$ termes.
$S = 1 \times \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 2048}{-1} = 2047$.
- Une suite géométrique se construit en multipliant chaque terme par la raison $q$ : $u_{n+1} = q \times u_n$.
- Terme général : $\;u_n = u_0 \times q^n$.
- On reconnaît une suite géométrique quand le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant.
- Avec $u_0 \gt 0$ : croissante si $q\gt 1$, décroissante si $0\lt q\lt 1$, constante si $q=1$.
- Évolution en pourcentage : augmenter de $t\,\%$ = multiplier par $1+\frac{t}{100}$ ; diminuer de $t\,\%$ = multiplier par $1-\frac{t}{100}$.
- Somme : $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1-q}$ (pour $q \neq 1$).
Cours particuliers de mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs