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Suites géométriques et croissance exponentielle

Q: Comment passer d’un pourcentage d’évolution au coefficient multiplicateur ?

On ajoute le taux à 1 pour une hausse, on le retranche pour une baisse : +4 % donne × 1,04 et −25 % donne × 0,75. Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients : +50 % puis −50 % donne 1,5 × 0,5 = 0,75, soit une baisse de 25 %.

Q: Comment montrer qu’une suite est géométrique ?

On calcule le quotient uₙ₊₁ ÷ uₙ en gardant la lettre n (les termes doivent être non nuls). S’il ne dépend pas de n, la suite est géométrique et ce quotient est sa raison : pour uₙ = 5 × 3ⁿ, uₙ₊₁ ÷ uₙ = 3. Deux quotients différents suffisent à prouver qu’une suite n’est pas géométrique.

Q: Quelle est la formule du terme général d’une suite géométrique ?

uₙ = u₀ × qⁿ si le premier terme est u₀, et uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹ si c’est u₁. Par exemple, avec u₀ = 2 et q = 3, u₄ = 2 × 81 = 162. Avec deux termes connus, le quotient uₙ ÷ uₚ est égal à qⁿ⁻ᵖ, ce qui donne la raison.

Q: Comment modéliser une hausse de t % par an avec une suite ?

La grandeur est multipliée chaque année par 1 + t/100 : c’est une suite géométrique de raison 1 + t/100. Un capital de 1 000 € placé à 3 % par an à intérêts composés vaut 1 000 × 1,03ⁿ euros au bout de n ans ; à intérêts simples, il vaudrait 1 000 + 30n euros, une suite arithmétique.

Q: Comment savoir si une suite géométrique est croissante ?

Pour une suite à termes positifs, on compare la raison à 1 : strictement croissante si q > 1, strictement décroissante si 0 < q < 1, constante si q = 1. Ainsi 200 × 0,95ⁿ est décroissante (baisse de 5 % par étape), malgré son grand premier terme.

Q: Comment résoudre un problème de seuil sans calculatrice ?

On écrit u₀ × qⁿ > A, on divise par u₀, puis on compare qⁿ à A ÷ u₀ à l’aide d’un tableau de puissances ou en calculant les termes de proche en proche. Par exemple, 5 × 2ⁿ > 1 000 donne 2ⁿ > 200 : 2⁷ = 128 et 2⁸ = 256, donc n = 8.

Coefficient multiplicateur, évolutions successives et puissances (rappels de seconde), suite géométrique définie par récurrence, raison, terme de rang n, évolution à taux constant et intérêts composés, sens de variation, représentation graphique et problèmes de seuil, sans calculatrice.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 1re (tronc commun) sur les suites géométriques suit six parties : les rappels de seconde (coefficient multiplicateur, évolutions successives, puissances), la définition par récurrence et la raison, le terme de rang n avec u₀ ou u₁, l’évolution à taux constant et les intérêts composés, le sens de variation et la représentation graphique, puis les problèmes de seuil résolus sans calculatrice ou avec une boucle Python. Chaque partie a ses exemples rédigés, un réflexe, un piège et une mission d’entraînement.

Rappels de seconde : coefficient multiplicateur, évolutions successives, puissances

Ce qu’il faut savoir

Coefficient multiplicateur. Augmenter une grandeur de $t %$ , c’est la multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ ; la diminuer de $t %$ , c’est la multiplier par $1 - \frac{t}{100}$ . Ce nombre est le coefficient multiplicateur $C M$ . Réciproquement, un coefficient $C M > 1$ traduit une hausse de $(C M - 1) \times 100 %$ , et un coefficient compris entre $0$ et $1$ une baisse de $(1 - C M) \times 100 %$ .

Évolutions successives. Le coefficient multiplicateur global de plusieurs évolutions successives est le produit de leurs coefficients. Les taux, eux, ne s’additionnent pas.

Puissances. Pour un réel $q$ et un entier $n ⩾ 1$ , $q^{n} = q \times q \times \dots \times q$ ( $n$ facteurs), et $q^{0} = 1$ . Pour tous entiers naturels $m$ et $p$ : $q^{m} \times q^{p} = q^{m + p}$ et ${(q^{m})}^{p} = q^{m p}$ . Une même évolution répétée $n$ fois a pour coefficient global $C M^{n}$ : c’est le point de départ des suites géométriques.

Exemples

Traduire. Hausse de $7 %$ : $C M = 1 + 0, 07 = 1, 07$ . Baisse de $22 %$ : $C M = 1 - 0, 22 = 0, 78$ . Un coefficient $1, 35$ traduit une hausse de $35 %$ ; un coefficient $0, 96$ , une baisse de $4 %$ .

Deux évolutions. Le prix d’un vélo augmente de $30 %$ , puis baisse de $10 %$ : $C M = 1, 3 \times 0, 9 = 1, 17$ . Le prix a augmenté de $17 %$ , et non de $30 - 10 = 20 %$ .

La même évolution répétée. Trois hausses successives de $10 %$ : $C M = 1, 1^{3} = 1, 1 \times 1, 1 \times 1, 1 = 1, 331$ , soit une hausse globale de $33, 1 %$ , et non de $30 %$ .

Calculer une puissance à la main. $0, 5^{4} = 0, 25 \times 0, 25 = 0, 0625$ ; $1, 2^{2} = 1, 44$ ; $2^{3} \times 2^{4} = 2^{7} = 128$ ; $0, 9^{4} = {(0, 9^{2})}^{2} = 0, 81^{2} = 0, 6561$ .

Réflexe — Je traduis chaque pourcentage en coefficient multiplicateur, je multiplie les coefficients, et je ne reviens au taux qu’à la fin : taux $= (C M - 1) \times 100$ .

Attention — Baisser de $22 %$ , c’est multiplier par $0, 78$ , pas par $0, 22$ . Et une puissance n’est pas un produit par l’exposant : $1, 1^{3} = 1, 331$ (et non $3, 3$ ), $0, 5^{4} = 0, 0625$ (et non $2$ ).

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Suite géométrique : définition par récurrence et raison

Ce qu’il faut savoir

Définition. Une suite $(u_{n})$ est géométrique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre réel $q$ : pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ . Le réel $q$ est la raison. Une suite géométrique est déterminée par son premier terme et sa raison.

Dans ce chapitre, comme au programme de 1re, les suites géométriques sont à termes strictement positifs : le premier terme et la raison sont strictement positifs.

Reconnaître. Une suite à termes strictement positifs est géométrique si et seulement si le quotient $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ est constant, c’est-à-dire ne dépend pas de $n$ ; ce quotient est la raison. Deux quotients différents suffisent à prouver qu’une suite n’est pas géométrique. En situation : une grandeur multipliée par le même nombre à chaque étape (« double chaque mois », « augmente de $4 %$ par an ») donne une suite géométrique ; une grandeur à laquelle on ajoute le même nombre donne une suite arithmétique.

Au tableur. Rangs en colonne A, termes en colonne B : si $u_{0}$ est en B2, on saisit en B3 la formule =B2*q (avec la valeur de $q$ ), puis on la recopie vers le bas. La cellule B5 contient alors $u_{3}$ .

Exemples

Une situation. Une chaîne de podcasts compte $150$ abonnés à son lancement, et ce nombre double chaque mois. On note $a_{n}$ le nombre d’abonnés après $n$ mois : $a_{0} = 150$ et $a_{n + 1} = 2 \times a_{n}$ . La suite est géométrique de raison $2$ : $a_{1} = 300$ , $a_{2} = 600$ , $a_{3} = 1 200$ .

Une liste de nombres. $1 250$ ; $250$ ; $50$ ; $10$ : on a $\frac{250}{1 250} = \frac{50}{250} = \frac{10}{50} = 0, 2$ . Chaque nombre est le cinquième du précédent : ce sont les premiers termes d’une suite géométrique de raison $0, 2$ . En revanche, pour $4$ ; $12$ ; $20$ ; $28$ , on a $\frac{12}{4} = 3$ mais $\frac{20}{12} \neq 3$ : ce n’est pas une suite géométrique (on ajoute $8$ : c’est une suite arithmétique de raison $8$ ).

Une suite explicite. $v_{n} = 6 \times 2, 5^{n}$ . On remplace $n$ par $n + 1$ : $v_{n + 1} = 6 \times 2, 5^{n + 1}$ , donc $\frac{v_{n + 1}}{v_{n}} = \frac{6 \times 2, 5^{n + 1}}{6 \times 2, 5^{n}} = 2, 5$ . Le quotient ne dépend pas de $n$ : $(v_{n})$ est géométrique de raison $2, 5$ , de premier terme $v_{0} = 6$ .

Au tableur. On place $500$ € à $4 %$ par an, intérêts ajoutés au capital. B2 contient $500$ et B3 la formule =B2*1,04, recopiée vers le bas : B3 affiche $520$ et B4 affiche $540, 8$ .

Réflexe — Pour une suite donnée par une formule, je calcule $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ en gardant la lettre $n$ ; dans une situation, je cherche « multiplié par le même nombre » (géométrique) ou « augmenté du même nombre » (arithmétique).

Attention — Des quotients égaux sur les premiers termes ne prouvent rien : $3$ ; $6$ ; $12$ ; $21$ a deux quotients égaux à $2$ , puis $\frac{21}{12} = 1, 75$ . Et $u_{n + 1} = u_{n} + q$ ne définit pas une suite géométrique : la raison d’une suite géométrique multiplie.

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Terme de rang n

Ce qu’il faut savoir

Terme de rang $n$ . Soit $(u_{n})$ géométrique de raison $q$ .

Premier terme $u_{0}$ : pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ .
Premier terme $u_{1}$ : pour tout entier $n ⩾ 1$ , $u_{n} = u_{1} \times q^{n - 1}$ .
Plus généralement, pour tous entiers $n ⩾ p$ : $u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}$ .

Pourquoi : pour aller de $u_{0}$ à $u_{n}$ , on multiplie par $q$ une fois pour chaque rang franchi, donc $n$ fois. Réciproquement, une suite de la forme $u_{n} = a \times q^{n}$ (avec $a > 0$ et $q > 0$ ) est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_{0} = a$ .

Deux termes connus. $\frac{u_{n}}{u_{p}} = q^{n - p}$ . Si les rangs se suivent, ce quotient est la raison. Sinon, on cherche le nombre positif dont la puissance donne ce quotient : $q^{2} = 2, 25$ donne $q = 1, 5$ , car $1, 5^{2} = 2, 25$ et $q > 0$ . On revient ensuite au premier terme avec $u_{0} = \frac{u_{p}}{q^{p}}$ .

Exemples

Premier terme de rang $0$ . $u_{0} = 7$ et $q = 3$ : $u_{4} = 7 \times 3^{4} = 7 \times 81 = 567$ .

Premier terme de rang $1$ . $u_{1} = 80$ et $q = 0, 5$ : $u_{n} = 80 \times 0, 5^{n - 1}$ , donc $u_{5} = 80 \times 0, 5^{4} = 80 \times 0, 0625 = 5$ .

Deux termes connus. $(w_{n})$ est géométrique à termes positifs, $w_{2} = 12$ et $w_{5} = 96$ . Alors $\frac{w_{5}}{w_{2}} = q^{5 - 2} = q^{3}$ , donc $q^{3} = \frac{96}{12} = 8$ . Or $2^{3} = 8$ et la raison est positive : $q = 2$ . Puis $w_{0} = \frac{w_{2}}{q^{2}} = \frac{12}{4} = 3$ , d’où $w_{n} = 3 \times 2^{n}$ .

Dans une situation datée. Une région compte $5 000$ bornes de recharge en 2026 et prévoit $8 %$ de bornes en plus chaque année. Le nombre de bornes l’année $2026 + n$ est $b_{n} = 5 000 \times 1, 08^{n}$ . L’année 2028 correspond à $n = 2$ : $b_{2} = 5 000 \times 1, 1664 = 5 832$ bornes.

Réflexe — Je repère le rang du premier terme donné : avec $u_{0}$ , l’exposant est $n$ ; avec $u_{1}$ , c’est $n - 1$ . Pour aller de $u_{p}$ à $u_{n}$ , je multiplie $(n - p)$ fois par $q$ ; pour redescendre, je divise.

Attention — $u_{0} \times q^{n}$ n’est pas $(u_{0} \times q)^{n}$ : seule la raison est élevée à la puissance. Et dans une situation datée, l’exposant est l’écart avec l’année de départ : 2028 correspond à $n = 2$ , pas à $n = 3$ .

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Évolution à taux constant et intérêts composés

Ce qu’il faut savoir

Modéliser. Si une grandeur augmente de $t %$ à chaque période, alors $u_{n + 1} = (1 + \frac{t}{100}) \times u_{n}$ : la suite $(u_{n})$ est géométrique de raison $q = 1 + \frac{t}{100}$ , et $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ . Pour une baisse de $t %$ à chaque période, la raison est $q = 1 - \frac{t}{100}$ .

Évolution globale. Après $n$ périodes, le coefficient multiplicateur global est $q^{n}$ , et le taux global vaut $(q^{n} - 1) \times 100 %$ .

Intérêts composés. Un capital $C_{0}$ est placé à $t %$ par an à intérêts composés : chaque année, les intérêts s’ajoutent au capital et rapportent à leur tour des intérêts. Le capital après $n$ années est $C_{n} = C_{0} \times {(1 + \frac{t}{100})}^{n}$ : suite géométrique. À intérêts simples, les intérêts sont toujours calculés sur le capital de départ : on ajoute chaque année la même somme $C_{0} \times \frac{t}{100}$ , et la suite est arithmétique.

Croissance exponentielle. Une grandeur a une croissance exponentielle lorsqu’elle est multipliée par un même nombre $q > 1$ pendant des durées égales (décroissance exponentielle si $0 < q < 1$ ) : sa variation d’une période à la suivante est proportionnelle à la valeur atteinte. Une croissance linéaire, elle, ajoute toujours la même quantité.

Exemples

Intérêts composés ou simples. On place $2 000$ € à $5 %$ par an. À intérêts composés : $C_{1} = 2 000 \times 1, 05 = 2 100$ , $C_{2} = 2 100 \times 1, 05 = 2 205$ , $C_{3} = 2 205 \times 1, 05 = 2 315, 25$ €. À intérêts simples, on ajoute chaque année $100$ € : $2 000 + 3 \times 100 = 2 300$ € au bout de $3$ ans. Sur $10$ ans, avec $1, 05^{10} \approx 1, 629$ : environ $3 258$ € à intérêts composés, contre $3 000$ € à intérêts simples.

Une décroissance exponentielle. Un journal imprimé tire $800 000$ exemplaires en 2026, et son tirage baisse de $25 %$ par an. Le tirage l’année $2026 + n$ est $T_{n} = 800 000 \times 0, 75^{n}$ : $T_{2} = 800 000 \times 0, 5625 = 450 000$ exemplaires. Coefficient global en deux ans : $0, 5625$ , soit une baisse de $43, 75 %$ , et non de $50 %$ .

Linéaire ou exponentielle ? Une cagnotte qui reçoit $30$ € de plus chaque mois a une croissance linéaire (suite arithmétique de raison $30$ ). Un nombre d’abonnés qui augmente de $3 %$ chaque mois a une croissance exponentielle (suite géométrique de raison $1, 03$ ).

Réflexe — « Augmente de $t %$ par période » : raison $1 + \frac{t}{100}$ ; « diminue de $t %$ » : raison $1 - \frac{t}{100}$ . Puis $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ , et le taux global avec $q^{n}$ .

Attention — $+ 5 %$ par an pendant $10$ ans ne fait pas $+ 50 %$ , mais environ $+ 62, 9 %$ ( $1, 05^{10} \approx 1, 629$ ). Et la raison d’une baisse de $25 %$ est $0, 75$ , ni $0, 25$ ni $- 0, 25$ .

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Sens de variation et représentation graphique

Ce qu’il faut savoir

Sens de variation. Soit $(u_{n})$ géométrique de premier terme $u_{0} > 0$ et de raison $q > 0$ : tous ses termes sont strictement positifs. Pour tout $n$ , $u_{n + 1} - u_{n} = q u_{n} - u_{n} = u_{n} (q - 1)$ , qui a le signe de $q - 1$ . Donc :

si $q > 1$ , la suite est strictement croissante ;
si $0 < q < 1$ , elle est strictement décroissante ;
si $q = 1$ , elle est constante.

Une hausse de $t %$ par période donne une suite croissante, une baisse de $t %$ une suite décroissante.

Représentation graphique. On place les points $(n; u_{n})$ , sans les relier. Ils ne sont pas alignés (sauf si $q = 1$ ) : avec $q > 1$ , les montées d’un point au suivant sont de plus en plus grandes ; avec $0 < q < 1$ , les points descendent de moins en moins vite et se rapprochent de l’axe des abscisses sans jamais l’atteindre. On lit $u_{0}$ et $u_{1}$ , et $q = \frac{u_{1}}{u_{0}}$ .

Linéaire contre exponentielle. Une suite géométrique de raison $q > 1$ finit toujours par dépasser une suite arithmétique, même si elle commence plus bas : c’est ce que l’on observe sur des exemples, et ce que l’on retiendra.

Exemples

Lire le sens de variation. $t_{n} = 250 \times 1, 08^{n}$ est strictement croissante, car $250 > 0$ et $1, 08 > 1$ : c’est une hausse de $8 %$ par étape. $t_{n} = 250 \times 0, 92^{n}$ serait strictement décroissante (baisse de $8 %$ ).

Le démontrer. $d_{n} = 5 000 \times 0, 6^{n}$ . Pour tout $n$ , $d_{n + 1} - d_{n} = 0, 6 d_{n} - d_{n} = - 0, 4 d_{n}$ . Comme $d_{n} > 0$ , cette différence est strictement négative : $(d_{n})$ est strictement décroissante.

Lecture graphique. Les points ronds représentent une suite $(u_{n})$ , les points carrés une suite $(v_{n})$ :

Les points carrés sont alignés : on monte de $3$ à chaque rang, $(v_{n})$ est arithmétique de raison $3$ et $v_{n} = 2 + 3 n$ . Les points ronds ne sont pas alignés : $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 2$ , $u_{2} = 4$ , $u_{3} = 8$ , on multiplie par $2$ à chaque rang, $(u_{n})$ est géométrique de raison $2$ et $u_{n} = 2^{n}$ . La suite $(u_{n})$ part plus bas et reste derrière jusqu’au rang $3$ ( $u_{3} = 8 < v_{3} = 11$ ), mais $u_{4} = 16 > v_{4} = 14$ : la suite géométrique passe devant au rang $4$ , et l’écart ne fait ensuite que grandir ( $u_{5} = 32$ contre $v_{5} = 17$ ).

Réflexe — Termes positifs : je compare la raison à $1$ . Sur un graphique : je lis $u_{0}$ et $u_{1}$ , je calcule $q = \frac{u_{1}}{u_{0}}$ ; des points alignés signalent une suite arithmétique, des montées qui grandissent dans un même rapport une suite géométrique.

Attention — Une suite géométrique décroissante à termes positifs ne devient jamais nulle ni négative : $0, 6^{n}$ se rapproche de $0$ sans l’atteindre. Et la raison $0, 9$ donne une suite décroissante, même avec un premier terme très grand.

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Problèmes de seuil

Ce qu’il faut savoir

Problème de seuil. On cherche le plus petit rang $n$ à partir duquel $u_{n}$ dépasse une valeur $A$ (ou passe en dessous). Si la suite est croissante, une fois $A$ dépassé, tous les termes suivants le dépassent aussi ; de même vers le bas pour une suite décroissante.

De proche en proche. Avec une raison simple ( $2$ ; $1, 5$ ; $0, 5$ …), on calcule les termes à la main jusqu’au premier qui convient.

Avec un tableau de valeurs. Comme $u_{0} > 0$ , $u_{0} \times q^{n} > A ⟺ q^{n} > \frac{A}{u_{0}}$ . On lit dans un tableau des puissances de $q$ (tableur, calculatrice, ou valeurs données par l’énoncé) le premier rang qui convient.

Autres outils. Sur un graphique : le premier point situé au-dessus (ou au-dessous) de la droite horizontale $y = A$ . Avec un algorithme : une boucle « tant que » calcule les termes un par un et s’arrête au premier qui convient. Cas particulier : le temps de doublement est le premier $n$ tel que $q^{n} ⩾ 2$ .

Exemples

De proche en proche. Une lettre d’information compte $640$ inscrits, et ce nombre est multiplié par $1, 5$ chaque mois. Quand dépasse-t-il $4 000$ ? Les termes valent $640$ ; $960$ ; $1 440$ ; $2 160$ ; $3 240$ ; $4 860$ : $u_{4} = 3 240 ⩽ 4 000$ et $u_{5} = 4 860 > 4 000$ . Le seuil est franchi au bout de $5$ mois.

Avec un tableau. On cherche le plus petit $n$ tel que $3 000 \times 0, 8^{n} < 1 000$ , c’est-à-dire $0, 8^{n} < \frac{1}{3} \approx 0, 333$ .

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$0, 8^{n}$	$0, 8$	$0, 64$	$0, 512$	$0, 4096$	$0, 32768$	$0, 262144$

$0, 8^{4} = 0, 4096 > 0, 333$ et $0, 8^{5} = 0, 32768 < 0, 333$ : $n = 5$ . Vérification : $3 000 \times 0, 4096 = 1 228, 8$ et $3 000 \times 0, 32768 = 983, 04$ .

Un temps de doublement. Un capital est placé à $8 %$ par an à intérêts composés. On donne $1, 08^{9} \approx 1, 999$ et $1, 08^{10} \approx 2, 159$ . Après $9$ ans, le capital est multiplié par environ $1, 999$ : pas tout à fait doublé. Il double au bout de $10$ ans.

Avec un algorithme. Cette fonction Python renvoie le premier rang où $3 000 \times 0, 8^{n}$ passe sous la valeur A :

def seuil(A):
    n = 0
    u = 3000
    while u >= A:
        u = u * 0.8
        n = n + 1
    return n

Tant que $u ⩾ A$ , on passe au terme suivant. L’appel seuil(1000) renvoie $5$ , comme avec le tableau.

Réflexe — Je traduis l’énoncé par une inégalité (« dépasse » : $>$ ; « au moins » : $⩾$ ; « passe sous » : $<$ ), je divise par $u_{0} > 0$ , je lis le premier rang qui convient, je vérifie le rang précédent, et je réponds dans le contexte (mois, année $2026 + n$ …).

Attention — $1, 08^{9} \approx 1, 999$ est inférieur à $2$ : $9$ ans ne suffisent pas, on ne prend pas « l’entier le plus proche ». Et une suite géométrique à termes positifs ne passe jamais sous $0$ : « $u_{n} ⩽ 0$ » n’a pas de solution.

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Pour aller plus loin

Somme de termes consécutifs. La somme $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ (pour $q \neq 1$ ) et la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique ne sont pas au programme du tronc commun ; elles sont étudiées en spécialité, comme les suites géométriques de raison négative : Suites géométriques (1re spécialité).

De la suite à la fonction. La suite $n \mapsto q^{n}$ se prolonge en une fonction définie pour tout réel $x ⩾ 0$ , avec par exemple $8^{1 / 3} = 2$ : Fonctions exponentielles x ↦ aˣ.

Taux d’évolution moyen. Quel taux, répété chaque année, donne la même évolution globale ? Par exemple, une hausse de $21 %$ en $3$ ans correspond à environ $+ 6, 56 %$ par an, et non $7 %$ : Taux d’évolution moyen et indices.

Rappels et automatismes. Coefficient multiplicateur, valeur initiale, évolution réciproque : Automatismes : taux d’évolution. Croissance linéaire et suites arithmétiques : Suites arithmétiques et croissance linéaire.

À retenir

Hausse de $t %$ : $C M = 1 + \frac{t}{100}$ ; baisse : $C M = 1 - \frac{t}{100}$ ; évolutions successives : on multiplie les coefficients ; $n$ fois la même évolution : $C M^{n}$ .
$(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ si $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ pour tout $n$ ; à termes positifs, on le démontre en montrant que $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ ne dépend pas de $n$ .
$u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ ; $u_{n} = u_{1} \times q^{n - 1}$ ; $u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}$ ; avec deux termes, $q^{n - p} = \frac{u_{n}}{u_{p}}$ et $q > 0$ .
Évolution de $t %$ par période, intérêts composés : suite géométrique de raison $1 \pm \frac{t}{100}$ (croissance exponentielle) ; ajout d’une somme fixe, intérêts simples : suite arithmétique (croissance linéaire).
Termes positifs : croissante si $q > 1$ , décroissante si $0 < q < 1$ ; les points $(n; u_{n})$ ne sont pas alignés.
Seuil : inégalité, $q^{n}$ comparé à $\frac{A}{u_{0}}$ , premier rang qui convient (tableau, calcul de proche en proche, boucle « tant que »), rang précédent vérifié.

Questions fréquentes

Comment passer d’un pourcentage d’évolution au coefficient multiplicateur ?

On ajoute le taux à 1 pour une hausse, on le retranche pour une baisse : +4 % donne × 1,04 et −25 % donne × 0,75. Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients : +50 % puis −50 % donne 1,5 × 0,5 = 0,75, soit une baisse de 25 %.

Comment montrer qu’une suite est géométrique ?

On calcule le quotient uₙ₊₁ ÷ uₙ en gardant la lettre n (les termes doivent être non nuls). S’il ne dépend pas de n, la suite est géométrique et ce quotient est sa raison : pour uₙ = 5 × 3ⁿ, uₙ₊₁ ÷ uₙ = 3. Deux quotients différents suffisent à prouver qu’une suite n’est pas géométrique.

Quelle est la formule du terme général d’une suite géométrique ?

uₙ = u₀ × qⁿ si le premier terme est u₀, et uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹ si c’est u₁. Par exemple, avec u₀ = 2 et q = 3, u₄ = 2 × 81 = 162. Avec deux termes connus, le quotient uₙ ÷ uₚ est égal à qⁿ⁻ᵖ, ce qui donne la raison.

Comment modéliser une hausse de t % par an avec une suite ?

La grandeur est multipliée chaque année par 1 + t/100 : c’est une suite géométrique de raison 1 + t/100. Un capital de 1 000 € placé à 3 % par an à intérêts composés vaut 1 000 × 1,03ⁿ euros au bout de n ans ; à intérêts simples, il vaudrait 1 000 + 30n euros, une suite arithmétique.

Comment savoir si une suite géométrique est croissante ?

Pour une suite à termes positifs, on compare la raison à 1 : strictement croissante si q > 1, strictement décroissante si 0 < q < 1, constante si q = 1. Ainsi 200 × 0,95ⁿ est décroissante (baisse de 5 % par étape), malgré son grand premier terme.

Comment résoudre un problème de seuil sans calculatrice ?

On écrit u₀ × qⁿ > A, on divise par u₀, puis on compare qⁿ à A ÷ u₀ à l’aide d’un tableau de puissances ou en calculant les termes de proche en proche. Par exemple, 5 × 2ⁿ > 1 000 donne 2ⁿ > 200 : 2⁷ = 128 et 2⁸ = 256, donc n = 8.

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