Suites géométriques et croissance exponentielle

C. uₙ₊₁ = q × uₙ — On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par la raison : uₙ₊₁ = q × uₙ. La relation uₙ₊₁ = uₙ + q est celle d’une suite arithmétique.

A. 7 — 21 ÷ 3 = 7, 147 ÷ 21 = 7 et 1 029 ÷ 147 = 7 : la raison vaut 7. Le nombre 18 est l’écart entre les deux premiers termes, pas leur quotient.

D. 171,875 — u₃ = 11 × 2,5³ = 11 × 15,625 = 171,875. 68,75 est u₂ et 429,6875 est u₄ ; 82,5 = 11 × 2,5 × 3 multiplie par l’exposant au lieu d’élever à la puissance.

C. 0,55 — Une baisse de 45 % laisse 55 % de la valeur : le coefficient multiplicateur vaut 1 − 0,45 = 0,55. Un coefficient multiplicateur est toujours positif.

A. uₙ = u₀ × qⁿ — On multiplie n fois le premier terme par la raison : uₙ = u₀ × qⁿ. Dans (u₀ × q)ⁿ, le premier terme serait lui aussi élevé à la puissance n, ce qui est faux.

A. une baisse de 10 % par étape — Le quotient vaut 4 500 ÷ 5 000 = 0,9 à chaque étape : c’est une baisse de 10 % par étape. La baisse en valeur, elle, n’est pas constante (500, puis 450, puis 405).

B. Elle est strictement croissante — Le premier terme est positif et la raison 1,15 est strictement supérieure à 1 : la suite est strictement croissante. C’est une hausse de 15 % par étape.

D. B6 — La ligne 2 contient le rang 0 : B3 contient u₁, B4 contient u₂, B5 contient u₃ et B6 contient u₄.

C. 1,08 — Augmenter de 8 %, c’est multiplier par 1 + 8 ÷ 100 = 1,08. Multiplier par 1,8 correspondrait à une hausse de 80 %.

B. uₙ = 2 × 5ⁿ — uₙ = 2 × 5ⁿ est de la forme u₀ × qⁿ : géométrique de raison 5 et de premier terme 2. uₙ = 5n + 2 est arithmétique ; pour les deux autres, les quotients successifs ne sont pas constants.

D. 48 — De u₁ à u₄, on multiplie 3 fois par 2 : u₄ = 6 × 2³ = 48. Le nombre 96 = 6 × 2⁴ oublie que le premier terme est de rang 1.

B. 1 040,40 € — 1 000 × 1,02 = 1 020 €, puis 1 020 × 1,02 = 1 040,40 € : la deuxième année, les intérêts portent aussi sur les 20 € déjà gagnés. 1 040 € serait le capital à intérêts simples.

C. 3 — u₃ = u₁ × q², donc q² = 36 ÷ 4 = 9 ; la raison est positive, donc q = 3. Le nombre 9 est q², pas q ; 16 = (36 − 4) ÷ 2 serait la raison d’une suite arithmétique.

A. +19,1 % — Le coefficient global vaut 1,06³ = 1,191016, soit une hausse d’environ 19,1 %. La réponse +18 % additionne à tort les trois taux.

D. +5 % — Les coefficients se multiplient : 0,7 × 1,5 = 1,05, soit une hausse globale de 5 %. La somme des taux (−30 + 50 = 20) ne donne pas le bon résultat.

B. 1 312,2 — v₄ = 2 000 × 0,9⁴ = 2 000 × 0,6561 = 1 312,2. La valeur 1 458 correspond à v₃, et 1 200 retire 4 fois 10 % de 2 000.

D. 5 — uₙ < 100 équivaut à 0,6ⁿ < 0,1. Or 0,6⁴ = 0,1296 > 0,1 et 0,6⁵ = 0,07776 < 0,1 : n = 5 (u₄ = 129,6 et u₅ = 77,76).

B. 3 mois — 500 × 1,4² = 500 × 1,96 = 980 : pas encore. 500 × 1,4³ = 500 × 2,744 = 1 372 > 1 300 : l’élevage dépasse 1 300 escargots au bout de 3 mois. Répondre 4 mois, c’est additionner les hausses (4 × 40 = 160 %, pour passer de 500 à 1 300).

A. 320 — La raison vaut 2 : u₆ = 5 × 2⁶ = 5 × 64 = 320. 160 est u₅ et 640 est u₇ ; 70 ajouterait 10 à chaque rang, comme une suite arithmétique.

A. 2 — u₃ = u₀ × 3³, donc u₀ = 54 ÷ 27 = 2. 18 est u₂ et 6 est u₁ ; 45 = 54 − 3 × 3 est un calcul de suite arithmétique.

C. 36 % — Le coefficient global vaut 0,8² = 0,64 : il reste 64 % de la quantité, elle a donc diminué de 36 %. 40 % additionne les deux baisses.

B.  = B2*0,95 — B3 doit contenir u₁ = 0,95 × u₀ : on écrit = B2*0,95, qui devient = B3*0,95 en B4 une fois recopiée. = B3*0,95 en B3 ferait référence à la cellule elle-même.

D. Arithmétique, pas géométrique — On ajoute 4 à chaque étape : la suite est arithmétique. Mais 8 ÷ 4 = 2 et 12 ÷ 8 = 1,5 : les quotients ne sont pas constants, elle n’est pas géométrique.

C. (uₙ) est géométrique de raison 1,2 — uₙ = 5 × 1,2ⁿ est de la forme u₀ × qⁿ : géométrique de raison 1,2 et de premier terme 5. (vₙ), elle, est arithmétique de raison 1,2 : on ajoute 1,2 à chaque rang.

A. Une baisse globale — Le coefficient global vaut (1 − t/100) × (1 + t/100) = 1 − t²/10 000, toujours strictement inférieur à 1 : la grandeur a globalement baissé, d’un pourcentage bien plus petit que 2t %.

C. 60 — q² = 72 ÷ 50 = 1,44 et q > 0, donc q = 1,2 et u₃ = 50 × 1,2 = 60. 61 est la moyenne de 50 et 72 (raisonnement de suite arithmétique) ; 86,4 = 72 × 1,2 est u₅.

B. Il augmente de 2 % chaque année — Une hausse de 2 % par an multiplie chaque année le salaire par 1,02 : suite géométrique. 2 % du salaire d’embauche, c’est toujours la même somme ajoutée : suite arithmétique, comme les 40 € par an.

D. 10 € — Intérêts composés : 1 000 × 1,1 = 1 100 €, puis 1 100 × 1,1 = 1 210 €. Intérêts simples : 1 000 + 2 × 100 = 1 200 €. L’écart est de 10 € : ce sont les intérêts de la deuxième année sur les 100 € d’intérêts de la première.

B. Elle décroît et ses termes restent positifs — Premier terme positif et raison comprise entre 0 et 1 : la suite est strictement décroissante. Mais 0,5ⁿ > 0 pour tout n : ses termes se rapprochent de 0 sans jamais l’atteindre.

C. 5 — u prend les valeurs 1, 3, 9, 27, 81, puis 243. Après 5 passages, u = 243 n’est plus inférieur à 100 : la boucle s’arrête et la fonction renvoie n = 5, pas la valeur de u.

D. 16 — En 20 ans, elle double 4 fois : elle est multipliée par 2⁴ = 16. Le nombre 8 = 2 × 4 confond puissance et produit ; 4 compte seulement les doublements.

A. q = 1 — Si les points sont alignés, les écarts uₙ₊₁ − uₙ = uₙ(q − 1) sont tous égaux. Si q ≠ 1, ces écarts sont multipliés par q d’un rang au suivant, donc ne sont pas égaux : il faut q = 1, et la suite est constante.

B. 4 mois — 0,9³ = 0,729 : au bout de 3 mois, il a perdu 27,1 %, pas encore 30 %. 0,9⁴ = 0,6561 : au bout de 4 mois, il a perdu 34,39 %. Répondre 3 mois, c’est additionner les baisses (3 × 10 = 30).

C. 0,75 — q³ = 27 ÷ 64 = 0,421875. Or 0,75² = 0,5625 et 0,5625 × 0,75 = 0,421875 : q = 0,75. Le nombre 0,421875 est q³, pas q.

A. 2 560 — De u₁ à u₁₀, on multiplie 9 fois par 2 : u₁₀ = 5 × 2⁹ = 5 × 512 = 2 560. 5 120 = 5 × 2¹⁰ oublie que le premier terme est de rang 1 ; 100 = 5 × 2 × 10.

D. 4 — g₃ = 800 < a₃ = 1 300, mais g₄ = 1 600 > a₄ = 1 400 : n = 4. La suite géométrique part dix fois plus bas, et passe pourtant devant dès le rang 4.