Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Taux d'évolution moyen et indices

Coefficient multiplicateur et évolutions successives (rappels), indice base 100, points d’indice et changement de base, comparaison de deux séries, racine n-ième et taux d’évolution moyen, prévisions et erreurs classiques, sans calculatrice.

À propos de cette page

Quatre problèmes corrigés sans calculatrice, les valeurs utiles étant données : le pouvoir d’achat d’un salarié face à l’indice des prix, la production d’un parc éolien en mer, deux placements comparés avec une fonction Python de seuil, et deux entreprises de tailles différentes comparées par leurs indices et leurs taux moyens.

4 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère la référence : l’année de base des indices (indice $100$ ) ou la valeur de départ, et je traduis indices et pourcentages en coefficients multiplicateurs.
Je compte les périodes : $n$ est le nombre d’intervalles entre la première et la dernière date.
Je choisis l’opération : produit pour enchaîner, quotient d’indices pour comparer deux dates, $C M^{1 / n}$ pour un taux moyen, $(1 + t_{m})^{k}$ pour prévoir ; j’utilise les valeurs données par l’énoncé.
Je distingue points et pourcentages, valeurs absolues et évolutions relatives, avant de comparer deux séries.
Je conclus dans le contexte, avec l’unité, et je regarde si le modèle reste raisonnable (horizon de prévision, croissance sans limite).

Problème 1 · Salaire, prix et pouvoir d’achat★★★Moyen

Un salarié gagnait

2 500

€ nets par mois en 2019 et gagne

2 660

€ en 2023. Sur la même période, un indice des prix, en base 100 en 2019, a évolué ainsi (valeurs simplifiées pour l’exercice) :

Année	2019	2020	2021	2022	2023
Indice des prix	$100$	$100, 5$	$102$	$107, 1$	$112$

On appelle pouvoir d’achat le rapport entre le salaire et le niveau des prix : son indice est

\frac{indice du salaire}{indice des prix} \times 100

. On donne

1, 12^{1 / 4} \approx 1, 028 7

1. Indice du salaire en 2023, en base 100 en 2019 :
$\frac{2 660}{2 500} \times 100 = 1, 064 \times 100 = 106, 4$ : le salaire a augmenté de $6, 4 %$ .
2. Taux d’évolution des prix entre 2021 et 2022 : %
On divise les indices : $\frac{107, 1}{102} = 1, 05$ , soit une hausse des prix de $5 %$ en 2022 (l’indice a gagné $5, 1$ points).
3. Calculer l’indice du pouvoir d’achat en 2023 et interpréter le résultat. Indice :
Rédaction attendue. $\frac{106, 4}{112} = 0, 95$ , donc l’indice du pouvoir d’achat vaut $0, 95 \times 100 = 95$ . Cet indice est inférieur à $100$ : le pouvoir d’achat a baissé de $5 %$ entre 2019 et 2023, car le salaire ( $+ 6, 4 %$ ) a augmenté moins vite que les prix ( $+ 12 %$ ).
4. Taux d’évolution annuel moyen des prix entre 2019 et 2023, au centième de % : %
De 2019 à 2023, $n = 4$ et le coefficient global des prix vaut $1, 12$ : $1 + t_{m} = 1, 12^{1 / 4} \approx 1, 028 7$ . L’inflation annuelle moyenne est d’environ $2, 87 %$ .
5. On prévoit une hausse des prix de $2, 5 %$ en 2024. Indice des prix de 2024, en base 100 en 2019 :
$112 \times 1, 025 = 114, 8$ .
6. Salaire mensuel de 2024 qui rendrait au salarié le pouvoir d’achat de 2019 : €
Il faut que l’indice du salaire soit égal à celui des prix, $114, 8$ , c’est-à-dire que le salaire de 2019 soit multiplié par $1, 148$ : $2 500 \times 1, 148 = 2 870$ €, soit $210$ € de plus qu’en 2023.

Problème 2 · Production d’un parc éolien en mer★★★Moyen

Un parc éolien en mer a produit

1 240

GWh en 2017 et

2 015

GWh en 2025. On donne :

1, 625^{1 / 8} \approx 1, 062 6

;

1, 062 6^{6} \approx 1, 439 5

;

1, 062 6^{7} \approx 1, 529 6

;

1, 078^{8} \approx 1, 823 7

1. Indice de la production de 2025, en base 100 en 2017 :
$C M = \frac{2 015}{1 240} = 1, 625$ , donc l’indice vaut $1, 625 \times 100 = 162, 5$ : la production a augmenté de $62, 5 %$ .
2. Taux d’évolution annuel moyen de la production entre 2017 et 2025, au centième de % : %
De 2017 à 2025, $n = 8$ : $1 + t_{m} = 1, 625^{1 / 8} \approx 1, 062 6$ , soit environ $+ 6, 26 %$ par an.
3. Production prévue en 2026 si ce rythme se poursuit, au GWh près : GWh
$2 015 \times 1, 062 6 = 2 141, 139$ , soit environ $2 141$ GWh.
4. Au même rythme, première année où la production dépassera $3 000$ GWh :
Après $n$ années depuis 2025, la production vaut $2 015 \times 1, 062 6^{n}$ . Pour $n = 6$ : $2 015 \times 1, 439 5 \approx 2 900, 6$ GWh, insuffisant ; pour $n = 7$ : $2 015 \times 1, 529 6 \approx 3 082, 1$ GWh. La production augmente chaque année, donc le seuil est dépassé pour la première fois en $2025 + 7 = 2032$ .
5. Un article affirme que la production a augmenté « de $7, 8 %$ par an en moyenne ». Montrer que c’est inexact et expliquer d’où vient ce nombre. Hausse globale sur $8$ ans que donnerait $7, 8 %$ par an, au dixième de % : %
Rédaction attendue. Avec $+ 7, 8 %$ par an pendant $8$ ans, le coefficient global serait $1, 078^{8} \approx 1, 823 7$ , soit une hausse d’environ $82, 4 %$ , bien plus que les $62, 5 %$ observés : l’affirmation est inexacte. Ce nombre vient de la division du taux global par le nombre d’années : $62, 5 \div 8 = 7, 812 5$ . Le taux moyen s’obtient par la racine $8$ -ième du coefficient global : environ $6, 26 %$ .

Problème 3 · Deux placements comparés★★★Difficile

Un capital de

7 500

€ est placé sur un livret à intérêts composés au taux annuel de

3, 2 %

. On note

C_{n}

le capital, en euros, au bout de

n

années. On donne :

1, 032^{10} \approx 1, 370 24

;

1, 032^{22} \approx 1, 999 65

;

1, 032^{23} \approx 2, 063 64

;

1, 04^{9} \approx 1, 423 31

;

1, 444 66^{1 / 10} \approx 1, 037 5

1. Exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $C_{10}$ , arrondi à l’euro : €
Rédaction attendue. Chaque année, le capital est multiplié par $1, 032$ : la suite $(C_{n})$ est géométrique de raison $1, 032$ et de premier terme $7 500$ , donc $C_{n} = 7 500 \times 1, 032^{n}$ . Ainsi $C_{10} \approx 7 500 \times 1, 370 24 = 10 276, 8$ , soit environ $10 277$ €.
2. Indice du capital au bout de $10$ ans, en base 100 à l’année du placement, au dixième :
$\frac{C_{10}}{C_{0}} \times 100 = 1, 032^{10} \times 100 \approx 137, 0$ : le capital a augmenté d’environ $37 %$ en dix ans.
3. On considère la fonction Python suivante, où t est le taux en écriture décimale.
def seuil(c, t, objectif): n = 0 while c <= objectif: c = c * (1 + t) n = n + 1 return n
Valeur renvoyée par seuil(1000, 0.5, 2000) :
La boucle multiplie le capital par $1 + t$ tant qu’il ne dépasse pas l’objectif, et compte les années. Départ : $c = 1 000 ⩽ 2 000$ , donc $c = 1 500$ et $n = 1$ ; $1 500 ⩽ 2 000$ , donc $c = 2 250$ et $n = 2$ ; $2 250 > 2 000$ : la boucle s’arrête et la fonction renvoie $2$ , le nombre d’années pour dépasser strictement l’objectif.
4. Nombre d’années au bout duquel le capital du livret a plus que doublé (valeur renvoyée par seuil(7500, 0.032, 15000)) :
On cherche le plus petit $n$ tel que $7 500 \times 1, 032^{n} > 15 000$ , soit $1, 032^{n} > 2$ . Or $1, 032^{22} \approx 1, 999 65 < 2$ et $1, 032^{23} \approx 2, 063 64 > 2$ : il faut $23$ ans. Au bout de $22$ ans, il ne manque que quelques euros ( $7 500 \times 1, 999 65 \approx 14 997$ €) : arrondir trop tôt ferait conclure à tort que $22$ ans suffisent.
5. Un second placement rapporte $1, 5 %$ la première année, puis $4 %$ chaque année suivante. Taux d’évolution annuel moyen sur $10$ ans, au centième de % : %
Coefficient global sur $10$ ans : $1, 015 \times 1, 04^{9} \approx 1, 015 \times 1, 423 31 \approx 1, 444 66$ . Donc $1 + t_{m} \approx 1, 444 66^{1 / 10} \approx 1, 037 5$ : environ $+ 3, 75 %$ par an.
6. Lequel des deux placements faut-il choisir pour un horizon de $10$ ans ? Différence des deux capitaux après $10$ ans, à l’euro : €
Rédaction attendue. Le second placement a un taux moyen de $3, 75 %$ , supérieur à $3, 2 %$ : sur $10$ ans, il rapporte plus. Avec $7 500$ € : $7 500 \times 1, 444 66 = 10 834, 95$ € contre environ $10 276, 80$ €, soit environ $558$ € de plus. Il faut choisir le second placement, bien qu’il rapporte moins la première année.

Problème 4 · Deux entreprises, deux dynamiques★★★Difficile

Le chiffre d’affaires annuel d’une jeune entreprise A et d’une entreprise B plus ancienne, en milliers d’euros, est donné ci-dessous.

Année	2020	2021	2022	2023	2024
Entreprise A	$800$	$880$	$944$	$1 024$	$1 088$
Entreprise B	$2 500$	$2 600$	$2 650$	$2 800$	$2 950$

On donne :

1, 36^{1 / 4} \approx 1, 079 9

;

1, 18^{1 / 4} \approx 1, 042 2

;

1, 079 9^{2} \approx 1, 166 2

;

1, 042 2^{2} \approx 1, 086 2

1. Expliquer pourquoi comparer directement les chiffres d’affaires renseigne mal sur les dynamiques des deux entreprises, puis donner l’indice de A en 2024, en base 100 en 2020 :
Rédaction attendue. B est environ trois fois plus grande que A : comparer les valeurs, ou leurs écarts, mesure surtout cette différence de taille. Les indices base 100 en 2020 ramènent les deux séries au même point de départ. Indices de A : $100$ ; $\frac{880}{800} \times 100 = 110$ ; $118$ ; $128$ ; $\frac{1 088}{800} \times 100 = 136$ .
2. Indice de B en 2024, en base 100 en 2020 :
Indices de B : $100$ ; $\frac{2 600}{2 500} \times 100 = 104$ ; $106$ ; $112$ ; $\frac{2 950}{2 500} \times 100 = 118$ .
3. Taux d’évolution annuel moyen de A entre 2020 et 2024, au centième de % : %
$n = 4$ et $C M_{A} = 1, 36$ : $1 + t_{m} = 1, 36^{1 / 4} \approx 1, 079 9$ , soit environ $+ 7, 99 %$ par an.
4. Taux d’évolution annuel moyen de B entre 2020 et 2024, au centième de % : %
$C M_{B} = 1, 18$ : $1 + t_{m} = 1, 18^{1 / 4} \approx 1, 042 2$ , soit environ $+ 4, 22 %$ par an. A croît presque deux fois plus vite en rythme relatif.
5. Calculer l’écart de chiffre d’affaires entre B et A en 2020, puis en 2024. Ce résultat contredit-il la question précédente ? Écart en 2024 : milliers d’euros
Rédaction attendue. En 2020 : $2 500 - 800 = 1 700$ ; en 2024 : $2 950 - 1 088 = 1 862$ milliers d’euros. L’écart absolu a augmenté, mais cela ne contredit pas les taux moyens : A croît plus vite en pourcentage, sur une base bien plus petite. Par exemple, $7, 99 %$ de $1 088$ font environ $87$ milliers d’euros, alors que $4, 22 %$ de $2 950$ en font environ $124$ .
6. Si chaque entreprise poursuit son évolution au taux moyen trouvé, chiffre d’affaires de A en 2026, au millier d’euros près : milliers d’euros
De 2024 à 2026, $2$ ans : $1 088 \times 1, 166 2 \approx 1 268, 8$ , soit environ $1 269$ milliers d’euros.
7. Chiffre d’affaires de B en 2026 dans le même modèle, au millier d’euros près, puis deux critiques de ce modèle de prévision : milliers d’euros
Rédaction attendue. $2 950 \times 1, 086 2 \approx 3 204, 3$ , soit environ $3 204$ milliers d’euros. Critiques : le taux moyen, calculé sur $4$ ans seulement, lisse des évolutions irrégulières et rien ne garantit qu’il se maintienne (concurrence, conjoncture, saturation du marché) ; le modèle géométrique fait croître les chiffres d’affaires sans limite, ce qui n’est raisonnable qu’à court terme.

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