Suites arithmétiques et croissance linéaire

1. a)$f(x)=-3x+2$ : $m=-3<0$, donc $f$ est strictement décroissante. (0,5)
2. b)$m={\displaystyle \frac{12-4}{3-(-1)}}={\displaystyle \frac{8}{4}}=2$. (0,5)
3. c)$u_4=7+4\times (-3)=7-12=-5$. (0,5)
4. d)$(u_n)$ est arithmétique de raison $0,4$ : $u_3=1,2+3\times 0,4=2,4$. (0,5)
5. e)$u_{n+1}-u_n=5$ : raison $5>0$, la suite est strictement croissante. (0,5)
6. f)Premier terme de rang $1$ : $u_{20}=6+19\times 2=44$. (0,5)
7. g)$4n>51⟺n>12,75$ : $n=13$ ($4\times 13+9=61$, alors que $4\times 12+9=57$). (0,5)
8. h)$u_n=0,5n+3$ : $u_0=3$ (ordonnée à l’origine) et $r=0,5$ (coefficient directeur). (0,5)

Repère — Le coefficient directeur d’une fonction affine et la raison d’une suite arithmétique jouent le même rôle : ce qu’on ajoute quand on avance de 1.

1. a)Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=14-2,2(n+1)-(14-2,2n)=-2,2$. La différence ne dépend pas de $n$ : $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=-2,2$. (1)
2. b)$u_0=14$ et $u_9=14-2,2\times 9=14-19,8=-5,8$. (1)
3. c)La raison $-2,2$ est strictement négative : pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n<0$, la suite est strictement décroissante. (1)
4. d)$14-2,2n<0⟺2,2n>14⟺n>{\displaystyle \frac{14}{2,2}}$. Or $2,2\times 6=13,2$ et $2,2\times 7=15,4$ : le plus petit entier est $n=7$. Vérification : $u_6=0,8>0$ et $u_7=-1,4<0$. (1)

Repère — Une raison négative fait décroître la suite, quel que soit son premier terme : elle finit toujours par passer sous zéro.

1. a)$v_{16}=v_4+12r$, donc $12r=11,1-3,9=7,2$ et $r={\displaystyle \frac{7,2}{12}}=0,6$. (1)
2. b)$v_0=v_4-4r=3,9-2,4=1,5$, d’où $v_n=1,5+0,6n$ pour tout entier naturel $n$. Contrôle : $v_{16}=1,5+9,6=11,1$. (1)
3. c)$v_{50}=1,5+0,6\times 50=1,5+30=31,5$. (1)
4. d)$1,5+0,6n=25,5⟺0,6n=24⟺n=40$ : $25,5$ est le terme de rang $40$. (1)

Repère — Entre deux termes connus, l’écart des valeurs divisé par l’écart des rangs donne la raison.

1. a)Chaque semaine, la hauteur augmente de la même quantité : $h_{n+1}=h_n+1,8$. La suite $(h_n)$ est arithmétique de raison $1,8$ et de premier terme $23$, donc $h_n=23+1,8n$. (1)
2. b)$h_{15}=23+1,8\times 15=23+27=50$ cm. (1)
3. c)$23+1,8n>60⟺1,8n>37⟺n>{\displaystyle \frac{37}{1,8}}$. Or $1,8\times 20=36$ et $1,8\times 21=37,8$ : $n=21$. Vérification : $h_{20}=59$ cm et $h_{21}=60,8$ cm. La plante dépasse $60$ cm au bout de $21$ semaines. (1)
4. d)La droite qui porte les points $(n;h_n)$ a pour équation $y=1,8x+23$, donc $h(t)=1,8t+23$. Son coefficient directeur $1,8$ est la raison : la plante grandit de $1,8$ cm par semaine. $h(10,5)=1,8\times 10,5+23=18,9+23=41,9$ cm. Dix ans font environ $520$ semaines : le modèle donnerait $1,8\times 520+23=959$ cm, près de $10$ m, ce qui n’est pas réaliste. Une croissance linéaire ne peut décrire la plante que sur quelques mois. (1)

Repère — La suite regarde la plante semaine par semaine, la fonction affine à tout instant : même coefficient, même droite.

1. a)Pour tout $n$, $t_{n+1}={\displaystyle \frac{5t_n}{5}}+{\displaystyle \frac{21}{5}}=t_n+4,2$, donc $t_{n+1}-t_n=4,2$ : la suite est arithmétique de raison $4,2$. (1)
2. b)$t_n=7+4,2n$, donc $t_{20}=7+84=91$. (1)
3. c)Les points $(n;t_n)$ sont sur la droite d’équation $y=4,2x+7$ (coefficient directeur : la raison ; ordonnée à l’origine : $t_0$). La raison $4,2$ est positive : $(t_n)$ est strictement croissante. (1)
4. d)$t_{22}=7+4,2\times 22=7+92,4=99,4<100$ : l’affirmation est fausse. $7+4,2n>100⟺4,2n>93$ ; or $4,2\times 22=92,4$ et $4,2\times 23=96,6$ : le premier rang est $n=23$, avec $t_{23}=7+96,6=103,6$. (1)

Repère — Avant de chercher la raison, on transforme la relation pour faire apparaître « tₙ + un nombre ».