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60 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

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Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de maths sans spécialité de première ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Taux d'évolution moyen et indices » du programme officiel de maths sans spécialité en première.

Maths sans spécialité 1ʳᵉ

Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Taux d'évolution moyen et indices

Coefficient multiplicateur et évolutions successives (rappels), indice base 100, points d’indice et changement de base, comparaison de deux séries, racine n-ième et taux d’évolution moyen, prévisions et erreurs classiques, sans calculatrice.

À propos de cette page

Un devoir surveillé d’une heure sur 20 points, sans calculatrice, avec corrigé détaillé : huit automatismes, la fréquentation d’un téléphérique, quatre évolutions successives des licenciés d’une fédération, un loyer comparé au revenu, et un exercice de raisonnement sur les taux.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 60 min · Noté sur 20

60:00

benprofparticulier.frMaths sans spécialité · 1ʳᵉ

Devoir surveillé – Taux d'évolution moyen et indices

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths sans spécialité 1ʳᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Automatismes ★★

(4 pts)

Sans calculatrice. Donner chaque résultat en détaillant le calcul (0,5 point par question).

a)Donner le coefficient multiplicateur associé à une hausse de $3, 5 %$ .
b)Un prix augmente de $20 %$ , puis baisse de $25 %$ : quelle est son évolution globale, en pourcentage ?
c)Une valeur passe de $400$ à $460$ . Donner son indice en base 100 sur $400$ .
d)En base 100 en 2020, l’indice d’une grandeur vaut $94$ . Donner le taux d’évolution depuis 2020.
e)Un indice passe de $140$ à $147$ . Donner l’écart en points et le taux d’évolution.
f)Calculer $0, 722 5^{1 / 2}$ .
g)Une grandeur est multipliée par $1, 188 1$ en $2$ ans. Donner son taux annuel moyen.
h)De 2018 à 2026, combien y a-t-il d’évolutions annuelles ?

Exercice 2 – Fréquentation d’un téléphérique ★★

(4 pts)

La fréquentation d’un téléphérique touristique est donnée ci-dessous.

Année	2019	2021	2023	2024
Passages (milliers)	$540$	$378$	$648$	$702$

On donne

1, 3^{1 / 5} \approx 1, 053 9

. (1 point par question)

a)Calculer les indices de fréquentation de 2021, 2023 et 2024, en base 100 en 2019.
b)Déterminer le taux d’évolution de la fréquentation entre 2021 et 2023, arrondi à $0, 1 %$ .
c)Un élève observe que l’indice gagne $10$ points entre 2023 et 2024 et en conclut que la fréquentation a augmenté de $10 %$ . Expliquer son erreur et donner le taux exact, arrondi à $0, 01 %$ .
d)Calculer le taux d’évolution annuel moyen de la fréquentation entre 2019 et 2024, arrondi à $0, 01 %$ .

Exercice 3 – Licenciés d’une fédération ★★

(4 pts)

Le nombre de licenciés d’une fédération de badminton a augmenté de $18 %$ en 2021, diminué de $12 %$ en 2022, augmenté de $25 %$ en 2023 et augmenté de $6 %$ en 2024. On donne $1, 375 88^{1 / 4} \approx 1, 083 0$ . (1 point par question)

a)Calculer le coefficient multiplicateur global sur ces quatre années, arrondi à $10^{- 4}$ .
b)En déduire le taux d’évolution global, arrondi à $0, 01 %$ .
c)Calculer le taux d’évolution annuel moyen sur ces quatre années, arrondi à $0, 01 %$ .
d)Un club comptait $425$ licenciés fin 2020 et a suivi exactement ces évolutions. Déterminer son nombre de licenciés fin 2024.

Exercice 4 – Loyer et revenu ★★★

(4 pts)

Un locataire payait un loyer de $680$ € par mois en 2020, pour un revenu mensuel de $2 000$ €. L’indice des loyers, en base 100 en 2020, vaut $112, 5$ en 2024, et son loyer suit exactement cet indice. Son revenu s’élève à $2 160$ € en 2024. On donne $1, 125^{1 / 4} \approx 1, 029 9$ . (1 point par question)

a)Calculer le loyer payé en 2024.
b)Calculer l’indice du revenu en 2024, en base 100 en 2020.
c)Calculer la part du loyer dans le revenu en 2020, puis en 2024, arrondie à $0, 1 %$ , et interpréter l’évolution.
d)Calculer le taux d’évolution annuel moyen du loyer entre 2020 et 2024, arrondi à $0, 01 %$ .

Exercice 5 – Raisonner sur les taux ★★★

(4 pts)

On donne : $0, 84^{1 / 2} \approx 0, 916 5$ ; $1, 03^{13} \approx 1, 468 5$ ; $1, 03^{14} \approx 1, 512 6$ ; $1, 5^{1 / 13} \approx 1, 031 7$ ; $1, 5^{1 / 14} \approx 1, 029 4$ ; $1, 5^{1 / 15} \approx 1, 027 4$ . (1 point par question)

a)Une grandeur strictement positive subit une hausse de taux $t$ , puis une baisse de taux $t$ , avec $0 < t < 1$ . Montrer que son taux d’évolution moyen est strictement négatif.
b)Pour $t = 0, 4$ , calculer ce taux d’évolution moyen, arrondi à $0, 01 %$ .
c)Une grandeur augmente de $3 %$ par an. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel elle a augmenté de plus de $50 %$ par rapport à sa valeur initiale.
d)Un journal écrit alors : « une hausse de $50 %$ en $n$ années, soit $\frac{50}{n} %$ par an ». Expliquer l’erreur et donner le taux annuel moyen correspondant à une hausse de $50 %$ sur cette durée, arrondi à $0, 01 %$ .

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Voir le corrigé et le barème

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Corrigé et barème – Taux d'évolution moyen et indices

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths sans spécialité 1ʳᵉ

Exercice 1 – Automatismes ★★

(4 pts)

a) $C M = 1 + 0, 035 = 1, 035$ . (0,5)
b) $C M = 1, 2 \times 0, 75 = 0, 9$ : baisse de $10 %$ (et non de $5 %$ ). (0,5)
c) $\frac{460}{400} \times 100 = 115$ . (0,5)
d) $\frac{94 - 100}{100} = - 0, 06$ : baisse de $6 %$ . (0,5)
e) $147 - 140 = 7$ points ; $\frac{147}{140} = 1, 05$ : hausse de $5 %$ . (0,5)
f) $0, 85^{2} = 0, 722 5$ et $0, 85 > 0$ , donc $0, 722 5^{1 / 2} = 0, 85$ . (0,5)
g) $1, 09^{2} = 1, 188 1$ , donc $t_{m} = 1, 09 - 1 = 0, 09$ : $+ 9 %$ par an. (0,5)
h) $2026 - 2018 = 8$ évolutions (pour $9$ dates). (0,5)

Repère — Tout se ramène au coefficient multiplicateur : produit pour enchaîner, quotient d’indices entre deux dates, racine n-ième pour un taux moyen.

Exercice 2 – Fréquentation d’un téléphérique ★★

(4 pts)

a) $\frac{378}{540} \times 100 = 70$ ; $\frac{648}{540} \times 100 = 120$ ; $\frac{702}{540} \times 100 = 130$ . (1)
b) $\frac{120}{70} = \frac{12}{7} \approx 1, 714$ : hausse d’environ $71, 4 %$ . (1)
c)Les $10$ points se rapportent à l’indice $120$ , pas à $100$ : le taux vaut $\frac{130}{120} - 1 = \frac{10}{120} \approx 0, 083 3$ , soit environ $+ 8, 33 %$ . (1)
d) $n = 5$ et $C M = \frac{702}{540} = 1, 3$ : $1 + t_{m} = 1, 3^{1 / 5} \approx 1, 053 9$ , soit environ $+ 5, 39 %$ par an. (1)

Repère — Entre deux dates, on divise les indices ; une différence d’indices est un nombre de points, pas un pourcentage.

Exercice 3 – Licenciés d’une fédération ★★

(4 pts)

a) $1, 18 \times 0, 88 = 1, 038 4$ ; $1, 038 4 \times 1, 25 = 1, 298$ ; $1, 298 \times 1, 06 = 1, 375 88$ , soit environ $1, 375 9$ . (1)
b) $1, 375 88 - 1 = 0, 375 88$ : hausse d’environ $37, 59 %$ . (1)
c) $n = 4$ : $1 + t_{m} = 1, 375 88^{1 / 4} \approx 1, 083 0$ , soit environ $+ 8, 30 %$ par an (et non la moyenne des taux, $9, 25 %$ ). (1)
d) $425 \times 1, 375 88 = 584, 749$ , soit environ $585$ licenciés. (1)

Repère — Le taux moyen se calcule à partir du coefficient global, produit des coefficients annuels.

Exercice 4 – Loyer et revenu ★★★

(4 pts)

a) $680 \times 1, 125 = 765$ : le loyer est de $765$ € par mois. (1)
b) $\frac{2 160}{2 000} \times 100 = 108$ . (1)
c)En 2020 : $\frac{680}{2 000} = 0, 34$ , soit $34 %$ ; en 2024 : $\frac{765}{2 160} \approx 0, 354 2$ , soit environ $35, 4 %$ . Le loyer pèse davantage, car il a augmenté de $12, 5 %$ alors que le revenu n’a augmenté que de $8 %$ . (1)
d) $n = 4$ : $1 + t_{m} = 1, 125^{1 / 4} \approx 1, 029 9$ , soit environ $+ 2, 99 %$ par an. (1)

Repère — Deux indices de même base se comparent directement : celui qui augmente le plus correspond à la plus forte hausse relative.

Exercice 5 – Raisonner sur les taux ★★★

(4 pts)

a) $C M = (1 + t) (1 - t) = 1 - t^{2}$ . Comme $0 < t < 1$ , on a $0 < t^{2} < 1$ , donc $0 < C M < 1$ . Alors $1 + t_{m} = C M^{1 / 2} < 1$ , car le nombre positif dont le carré vaut $C M$ est inférieur à $1$ (sinon son carré serait supérieur ou égal à $1$ ). D’où $t_{m} < 0$ . (1)
b) $C M = 1 - 0, 4^{2} = 0, 84$ et $0, 84^{1 / 2} \approx 0, 916 5$ , soit environ $- 8, 35 %$ par période. (1)
c)On cherche $1, 03^{n} > 1, 5$ : $1, 03^{13} \approx 1, 468 5 < 1, 5$ et $1, 03^{14} \approx 1, 512 6 > 1, 5$ . La suite $(1, 03^{n})$ est croissante, donc $n = 14$ . (1)
d)Le journal divise le taux global par le nombre d’années ( $50 \div 14 \approx 3, 57$ ), comme si les taux s’additionnaient, alors que les coefficients se multiplient. Le taux correct vaut $1, 5^{1 / 14} - 1 \approx 0, 029 4$ , soit environ $+ 2, 94 %$ par an. (1)

Repère — Une hausse et une baisse de même taux font toujours baisser la grandeur ; un taux global ne se divise pas par le nombre de périodes.

Ce contrôle de maths sans spécialité 1ʳᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Taux d'évolution moyen et indices » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Automatismes ★★/ 4 pts
Exercice 2 — Fréquentation d’un téléphérique ★★/ 4 pts
Exercice 3 — Licenciés d’une fédération ★★/ 4 pts
Exercice 4 — Loyer et revenu ★★★/ 4 pts
Exercice 5 — Raisonner sur les taux ★★★/ 4 pts

Notions évaluées

Coefficient multiplicateur, taux d’évolution, évolutions successives, évolution répétée, indice base 100, date de référence, point d’indice, changement de base, comparaison de séries, racine n-ième, exposant 1/n, taux d’évolution moyen, nombre de périodes, prévision, évolution manquante.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Taux d'évolution moyen et indices » ?: 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de maths sans spécialité de première ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Taux d'évolution moyen et indices » du programme officiel de maths sans spécialité en première, soit L'essentiel, Indice base 100 : construire et lire, Coefficient multiplicateur et évolutions successives, La fonction $x \mapsto a^{x}$ et l'exposant $\frac{1}{n}$ .

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