Suites géométriques et croissance exponentielle

Donne le coefficient multiplicateur ou le taux d’évolution.

1. Hausse de $12\%$ : $CM=$
   $CM=1+{\displaystyle \frac{12}{100}}=1,12$.
2. Baisse de $35\%$ : $CM=$
   $CM=1-{\displaystyle \frac{35}{100}}=0,65$ : il reste $65\%$ de la valeur.
3. Hausse de $150\%$ : $CM=$
   $CM=1+1,5=2,5$ : la grandeur est multipliée par $2,5$ (une hausse de $100\%$ la doublerait).
4. $CM=0,72$ : baisse de %
   $1-0,72=0,28$ : c’est une baisse de $28\%$.
5. $CM=1,045$ : hausse de %
   $1,045-1=0,045$ : c’est une hausse de $4,5\%$.

Calcule à la main.

1. $1,3^2=$
   $1,3^2=1,3\times 1,3=1,69$.
2. $0,2^3=$
   $0,2\times 0,2=0,04$, puis $0,04\times 0,2=0,008$.
3. $0,9^3=$
   $0,9^2=0,81$, puis $0,81\times 0,9=0,729$.
4. $10\times 0,5^3=$
   $0,5^3=0,125$, donc $10\times 0,125=1,25$. On calcule la puissance avant le produit.
5. $2^4\times 2^6$ s’écrit $2^k$ avec $k=$
   $q^m\times q^p=q^{m+p}$ : $2^4\times 2^6=2^{4+6}=2^{10}=1024$.

Évolutions successives. Réponds par un pourcentage, sans le symbole %.

1. Une hausse de $25\%$ puis une baisse de $20\%$ : évolution globale de %
   $CM=1,25\times 0,8=1$ : la grandeur revient exactement à sa valeur de départ, l’évolution globale est nulle.
2. Deux baisses successives de $30\%$ : baisse globale de %
   $CM=0,7\times 0,7=0,49$ : il reste $49\%$, la baisse globale est de $51\%$ (et non de $60\%$).
3. Une hausse de $40\%$ puis une hausse de $5\%$ : hausse globale de %
   $CM=1,4\times 1,05=1,47$ : hausse globale de $47\%$.
4. Le chiffre d’affaires d’une entreprise baisse de $15\%$ une année, puis augmente de $15\%$ l’année suivante. Un élève conclut qu’il est revenu à sa valeur initiale. Expliquer son erreur. Évolution globale : %
   Rédaction attendue. Les évolutions successives se traduisent par un produit de coefficients multiplicateurs, pas par une somme de taux. Ici $CM=0,85\times 1,15=0,9775$, et $0,9775-1=-0,0225$ : le chiffre d’affaires a baissé de $2,25\%$ sur les deux ans. La hausse de $15\%$ porte sur une valeur déjà diminuée : elle rapporte moins que ce que la baisse avait retiré.

Une association de randonnée compte $250$ adhérents. Leur nombre augmente de $20\%$ chaque année pendant trois ans.

1. Coefficient multiplicateur global sur les trois ans :
   Trois hausses de $20\%$ : $CM=1,2^3=1,2\times 1,2\times 1,2=1,728$.
2. Hausse globale : %
   $1,728-1=0,728$ : hausse globale de $72,8\%$.
3. Nombre d’adhérents au bout de trois ans :
   $250\times 1,728=432$ adhérents. Contrôle de proche en proche : $250\times 1,2=300$, $300\times 1,2=360$, $360\times 1,2=432$.
4. Un adhérent affirme : « trois hausses de $20\%$, c’est $60\%$ de plus ». Justifier qu’il se trompe. Nombre d’adhérents que donnerait son calcul :
   Rédaction attendue. Son calcul donnerait $250\times 1,6=400$ adhérents. Mais chaque hausse de $20\%$ porte sur le nombre de l’année précédente, qui a déjà augmenté : la deuxième année, $20\%$ de $300$, soit $60$ adhérents de plus, et non $50$. Les coefficients se multiplient : $1,2^3=1,728$, soit $72,8\%$ de plus et $432$ adhérents.

Calcule le terme demandé de proche en proche.

1. $u_0=3$ et $u_{n+1}=4u_n$ : $u_3=$
   $u_1=12$, $u_2=48$, $u_3=192$ : on multiplie par $4$ à chaque rang.
2. $v_0=800$ et $v_{n+1}=0,5v_n$ : $v_4=$
   $v_1=400$, $v_2=200$, $v_3=100$, $v_4=50$ : on divise par $2$ à chaque rang.
3. $w_1=10$ et $w_{n+1}=1,2w_n$ : $w_3=$
   Le premier terme est de rang $1$ : $w_2=12$, puis $w_3=12\times 1,2=14,4$.
4. $t_0=1$ et $t_{n+1}=2t_n+3$ : $t_2=$
   $t_1=2\times 1+3=5$, puis $t_2=2\times 5+3=13$. Cette suite n’est pas géométrique : ${\displaystyle \frac{t_1}{t_0}}=5$ mais ${\displaystyle \frac{t_2}{t_1}}=2,6$.

Donne la raison ou le terme demandé.

1. La suite $6$ ; $30$ ; $150$ ; $750$ est géométrique : raison
   ${\displaystyle \frac{30}{6}}={\displaystyle \frac{150}{30}}={\displaystyle \frac{750}{150}}=5$ : on multiplie par $5$ à chaque rang.
2. $w_n=7\times 1,6^n$ : raison
   La suite est de la forme $u_0\times q^n$ : premier terme $7$, raison $1,6$.
3. Pour cette même suite, $w_2=$
   $w_2=7\times 1,6^2=7\times 2,56=17,92$.
4. Au tableur, B2 contient $40$ et B3 la formule =B2*1,5, recopiée vers le bas. Nombre affiché en B5 :
   B3 affiche $60$, B4 affiche $90$, B5 affiche $135$ : la ligne 2 est le rang $0$, donc B5 contient $u_3=40\times 1,5^3=40\times 3,375=135$.
5. Au tableur, B2 contient $2000$ et la formule =B2*q est recopiée vers le bas ; B5 affiche $686$. Raison $q=$
   B5 contient $u_3=2000\times q^3$, donc $q^3={\displaystyle \frac{686}{2000}}=0,343$. Or $0,7^3=0,49\times 0,7=0,343$ et $q>0$ : $q=0,7$.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=2^{3n}$.

1. Démontrer que $(u_n)$ est géométrique. Contrôle : raison $q=$
   Rédaction attendue. Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2^{3(n+1)}=2^{3n+3}=2^3\times 2^{3n}$. Les termes sont strictement positifs et ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}=2^3=8$ : ce quotient ne dépend pas de $n$, la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $8$.
2. $u_0=$
   $u_0=2^0=1$ : $(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $8$, et $u_n=8^n$.
3. $u_2=$
   $u_2=2^6=64$, ou $u_2=8^2=64$.
4. $u_{10}$ s’écrit $2^k$ avec $k=$
   $u_{10}=2^{3\times 10}=2^{30}$ : $k=30$.

Pour chaque suite, écris arithmétique, géométrique ou aucune.

1. $9$ ; $17$ ; $25$ ; $33$, en continuant de la même façon :
   On ajoute $8$ à chaque rang : suite arithmétique de raison $8$. Elle n’est pas géométrique : ${\displaystyle \frac{17}{9}}\approx 1,89$ alors que ${\displaystyle \frac{25}{17}}\approx 1,47$.
2. Le loyer d’un studio, qui augmente de $2\%$ par an :
   Chaque année, le loyer est multiplié par $1,02$ : suite géométrique de raison $1,02$.
3. Le loyer d’un garage, qui augmente de $15$ € par an :
   Chaque année, on ajoute $15$ € : suite arithmétique de raison $15$.
4. $s_n=3^n+1$ :
   Rédaction attendue. $s_0=2$, $s_1=4$, $s_2=10$. Les différences $s_1-s_0=2$ et $s_2-s_1=6$ ne sont pas égales : la suite n’est pas arithmétique. Les quotients ${\displaystyle \frac{s_1}{s_0}}=2$ et ${\displaystyle \frac{s_2}{s_1}}=2,5$ ne sont pas égaux : elle n’est pas géométrique. Le « $+1$ » empêche $3^n+1$ d’être géométrique.

Calcule le terme demandé avec la formule du terme de rang n.

1. $(a_n)$ géométrique, $a_0=9$ et $q=4$ : $a_5=$
   $a_5=9\times 4^5=9\times 1024=9216$.
2. $(b_n)$ géométrique, $b_1=48$ et $q=0,5$ : $b_7=$
   Le premier terme est de rang $1$ : $b_n=48\times 0,5^{n-1}$, donc $b_7=48\times 0,5^6={\displaystyle \frac{48}{64}}=0,75$.
3. $c_n=0,2\times 7^n$ : $c_3=$
   $c_3=0,2\times 7^3=0,2\times 343=68,6$.
4. $(d_n)$ géométrique, $d_0=3000$ et $q=0,1$ : $d_4=$
   $d_4=3000\times 0,1^4=3000\times 0,0001=0,3$.

On connaît un terme et la raison de la suite géométrique $(u_n)$.

1. Raison $3$ et $u_2=4$ : $u_5=$
   De $u_2$ à $u_5$, on multiplie $3$ fois par $3$ : $u_5=4\times 3^3=4\times 27=108$.
2. Raison $0,5$ et $u_3=40$ : $u_0=$
   $u_3=u_0\times 0,5^3$, donc $u_0={\displaystyle \frac{40}{0,125}}=320$ : pour redescendre, on divise.
3. Raison $1,5$ et $u_4=81$ : $u_2=$
   $u_4=u_2\times 1,5^2$, donc $u_2={\displaystyle \frac{81}{2,25}}=36$. Contrôle : $36\times 1,5=54$ et $54\times 1,5=81$.
4. Raison $2$ et $u_1=0,75$ : $u_6=$
   $u_6=u_1\times 2^5=0,75\times 32=24$.

$(u_n)$ est une suite géométrique à termes strictement positifs telle que $u_2=36$ et $u_6=182,25$.

1. Montrer que la raison vaut $1,5$. Contrôle : $q^4=$
   Rédaction attendue. Pour une suite géométrique, ${\displaystyle \frac{u_6}{u_2}}=q^{6-2}=q^4$, donc $q^4={\displaystyle \frac{182,25}{36}}=5,0625$. Or $1,5^2=2,25$ et $2,{25}^2=5,0625$, donc $1,5^4=5,0625$. La suite est à termes strictement positifs, sa raison est positive : $q=1,5$.
2. $u_0=$
   $u_2=u_0\times q^2$, donc $u_0={\displaystyle \frac{36}{2,25}}=16$.
3. $u_3=$
   $u_3=u_2\times q=36\times 1,5=54$.
4. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. Contrôle : $u_5=$
   Le premier terme est de rang $0$ : $u_n=16\times 1,5^n$. Et $u_5=u_3\times 1,5^2=54\times 2,25=121,5$ ; contrôle : $121,5\times 1,5=182,25=u_6$.

Un musée accueille $40000$ visiteurs en 2026 et prévoit une hausse de $5\%$ de sa fréquentation chaque année. On note $V_n$ le nombre de visiteurs prévu l’année $2026+n$. On donne $1,{05}^8\approx 1,477$.

1. Justifier que $(V_n)$ est géométrique et exprimer $V_n$ en fonction de $n$. Contrôle : $V_1=$
   Rédaction attendue. Augmenter de $5\%$, c’est multiplier par $1,05$ : pour tout $n$, $V_{n+1}=1,05\times V_n$. La suite $(V_n)$ est géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $V_0=40000$, donc $V_n=40000\times 1,{05}^n$. Contrôle : $V_1=40000\times 1,05=42000$.
2. Nombre de visiteurs prévu en 2034, arrondi à la centaine :
   2034 correspond à $n=8$ : $V_8=40000\times 1,{05}^8\approx 40000\times 1,477=59080$, soit environ $59100$ visiteurs.
3. Hausse globale de la fréquentation entre 2026 et 2034, arrondie à $0,1\%$ : %
   Le coefficient global est $1,{05}^8\approx 1,477$ : hausse d’environ $47,7\%$, et non de $8\times 5=40\%$.
4. Première année où la fréquentation prévue dépasse $45000$ visiteurs :
   $V_2=42000\times 1,05=44100<45000$ et $V_3=44100\times 1,05=46305>45000$. La suite est croissante : le seuil est franchi pour $n=3$, soit en $2026+3=2029$.

Donne la raison de la suite géométrique qui modélise chaque situation.

1. Une population d’oiseaux augmente de $6\%$ par an : $q=$
   $q=1+{\displaystyle \frac{6}{100}}=1,06$.
2. Le prix d’un ordinateur baisse de $11\%$ par an : $q=$
   $q=1-{\displaystyle \frac{11}{100}}=0,89$.
3. Un capital placé à $2,5\%$ par an à intérêts composés : $q=$
   $q=1+{\displaystyle \frac{2,5}{100}}=1,025$.
4. Une quantité diminue de moitié chaque heure : $q=$
   Diminuer de moitié, c’est multiplier par $0,5$ (une baisse de $50\%$).
5. Une surface triple chaque année : $q=$
   Tripler, c’est multiplier par $3$ : une hausse de $200\%$.

La cotisation annuelle d’un club de voile est de $240$ € et augmente de $12\%$ chaque année. On donne $1,{12}^2=1,2544$ et $1,{12}^4\approx 1,5735$.

1. Cotisation au bout de $2$ ans, arrondie au centime : €
   La cotisation suit une suite géométrique de premier terme $240$ et de raison $1,12$ : $240\times 1,2544=301,056$, soit $301,06$ €.
2. Cotisation au bout de $4$ ans, arrondie au centime : €
   $240\times 1,{12}^4\approx 240\times 1,5735\approx 377,64$ €.
3. Hausse globale en $4$ ans, arrondie à $0,1\%$ : %
   Le coefficient global est $1,{12}^4\approx 1,5735$ : hausse d’environ $57,4\%$, et non de $4\times 12=48\%$.

Un capital de $5000$ € est placé à $4\%$ par an. On donne $1,{04}^{10}\approx 1,4802$.

1. À intérêts composés, capital au bout de $2$ ans : €
   $5000\times 1,04=5200$, puis $5200\times 1,04=5408$ € : la deuxième année, les intérêts portent aussi sur les $200$ € d’intérêts de la première.
2. À intérêts simples, capital au bout de $2$ ans : €
   Les intérêts annuels sont toujours $4\%$ de $5000$, soit $200$ € : $5000+2\times 200=5400$ €.
3. Justifier que les capitaux à intérêts composés forment une suite géométrique, et ceux à intérêts simples une suite arithmétique. Capital à intérêts composés au bout de $10$ ans, à l’euro près : €
   Rédaction attendue. À intérêts composés, le capital est multiplié chaque année par $1,04$ : $C_{n+1}=1,04C_n$, suite géométrique de raison $1,04$ et $C_n=5000\times 1,{04}^n$. À intérêts simples, on ajoute chaque année $200$ € : $S_{n+1}=S_n+200$, suite arithmétique de raison $200$ et $S_n=5000+200n$. Au bout de $10$ ans : $C_{10}\approx 5000\times 1,4802=7401$ €.
4. Écart entre les deux placements au bout de $10$ ans, à l’euro près : €
   $S_{10}=5000+2000=7000$ €, donc l’écart vaut environ $7401-7000=401$ € : il grandit chaque année.

Une réserve contient $1500$ litres de solution. Chaque semaine, on en prélève $12\%$. On note $v_n$ le volume restant, en litres, au bout de $n$ semaines ; ainsi $v_0=1500$. On donne $0,{88}^5\approx 0,528$, $0,{88}^{10}\approx 0,2785$ et $0,{88}^{11}\approx 0,2451$.

1. Justifier que $(v_n)$ est géométrique et donner son sens de variation. Contrôle : $v_1=$ L
   Rédaction attendue. Prélever $12\%$, c’est conserver $88\%$ du volume : $v_{n+1}=0,88v_n$. La suite est géométrique de raison $0,88$ et de premier terme $1500$, donc $v_n=1500\times 0,{88}^n$. Comme $v_0>0$ et $0<0,88<1$, elle est strictement décroissante. Contrôle : $v_1=1500\times 0,88=1320$ L.
2. Volume restant au bout de $5$ semaines, arrondi au litre : L
   $v_5=1500\times 0,{88}^5\approx 1500\times 0,528=792$ L.
3. Pourcentage du volume initial prélevé en $5$ semaines, arrondi à $1\%$ : %
   Il reste environ $52,8\%$ du volume ($0,{88}^5\approx 0,528$) : on en a prélevé environ $47\%$, et non $5\times 12=60\%$.
4. Au bout de combien de semaines le volume restant passe-t-il sous $400$ litres ?
   $v_{10}\approx 1500\times 0,2785\approx 417,75$ L et $v_{11}\approx 1500\times 0,2451\approx 367,65$ L. Comme $v_{10}>400$ et $v_{11}<400$, et que la suite est décroissante, le volume passe sous $400$ litres au bout de $11$ semaines.

Donne le sens de variation : écris croissante, décroissante ou constante.

1. $u_n=3\times 1,7^n$ :
   $u_0=3>0$ et $q=1,7>1$ : la suite est strictement croissante.
2. $v_n=500\times 0,{97}^n$ :
   $v_0=500>0$ et $0<0,97<1$ : la suite est strictement décroissante (baisse de $3\%$ par étape), malgré son grand premier terme.
3. $w_0=0,5$ et $w_{n+1}=1,01w_n$ :
   Raison $1,01>1$ et premier terme positif : strictement croissante, même si elle augmente lentement ($+1\%$ par étape).
4. La valeur d’un objet qui perd $2\%$ de sa valeur chaque année :
   Raison $0,98$, comprise entre $0$ et $1$ : la suite des valeurs est strictement décroissante.
5. $z_n=12\times 1^n$ :
   Raison $1$ : tous les termes valent $12$, la suite est constante.

Les points représentent les premiers termes d’une suite géométrique $(u_n)$.

1. $u_0=$
   Le point d’abscisse $0$ a pour ordonnée $16$.
2. Raison $q=$
   On lit $u_1=8$ : $q={\displaystyle \frac{u_1}{u_0}}={\displaystyle \frac{8}{16}}=0,5$. Contrôle : $u_2=4$, $u_3=2$, $u_4=1$, on divise bien par $2$ à chaque rang.
3. $u_7=$
   $u_7=16\times 0,5^7={\displaystyle \frac{16}{128}}=0,125$.
4. La suite est (écris croissante ou décroissante)
   $u_0>0$ et $0<0,5<1$ : la suite est strictement décroissante. Les points se rapprochent de l’axe des abscisses sans jamais l’atteindre.

La suite $(p_n)$ est définie par $p_0=2400$ et, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1}=0,85p_n$.

1. Démontrer que $p_{n+1}-p_n=-0,15p_n$ et en déduire le sens de variation. La suite est
   Rédaction attendue. $(p_n)$ est géométrique de premier terme $2400>0$ et de raison $0,85>0$ : tous ses termes sont strictement positifs. Pour tout $n$, $p_{n+1}-p_n=0,85p_n-p_n=-0,15p_n$. Comme $p_n>0$, cette différence est strictement négative : $(p_n)$ est strictement décroissante.
2. $p_2=$
   $p_1=2400\times 0,85=2040$, puis $p_2=2040\times 0,85=1734$.
3. $p_2-p_1=$
   $p_2-p_1=1734-2040=-306$. On retrouve $-0,15\times 2040=-306$.

On considère les suites définies pour tout entier naturel $n$ par $a_n=100+20n$ et $g_n=100\times 1,2^n$. On donne $1,2^2=1,44$, $1,2^3=1,728$ et $1,2^4=2,0736$.

1. $a_3=$
   $a_3=100+20\times 3=160$.
2. $g_3=$
   $g_3=100\times 1,728=172,8$.
3. Justifier que les points $(n;g_n)$ ne sont pas alignés. Contrôle : $g_2-g_1=$
   Rédaction attendue. $g_0=100$, $g_1=120$, $g_2=144$. Les montées $g_1-g_0=20$ et $g_2-g_1=24$ ne sont pas égales : la suite n’est pas arithmétique, ses points ne sont pas alignés. Les points $(n;a_n)$, eux, sont alignés sur la droite $y=20x+100$.
4. Plus petit entier $n⩾1$ tel que $g_n>a_n$ :
   Pour $n=1$ : $g_1=120$ et $a_1=120$, il y a égalité, pas dépassement. Pour $n=2$ : $g_2=144>a_2=140$. La réponse est $n=2$ ; ensuite l’écart ne fait que grandir ($g_4=207,36$ contre $a_4=180$).

Calcule les termes de proche en proche et donne le plus petit entier $n$ qui convient.

1. $u_0=5$ et raison $2$ : plus petit $n$ tel que $u_n>200$ :
   $5$ ; $10$ ; $20$ ; $40$ ; $80$ ; $160$ ; $320$ : $u_5=160⩽200$ et $u_6=320>200$, donc $n=6$.
2. $v_0=729$ et raison ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ : plus petit $n$ tel que $v_n<10$ :
   $729$ ; $243$ ; $81$ ; $27$ ; $9$ : $v_3=27⩾10$ et $v_4=9<10$, donc $n=4$.
3. $w_0=64$ et raison $1,5$ : plus petit $n$ tel que $w_n⩾486$ :
   $64$ ; $96$ ; $144$ ; $216$ ; $324$ ; $486$ : $w_4=324<486$ et $w_5=486$. L’inégalité est large : $w_5=486$ convient, $n=5$.

On donne les valeurs suivantes, arrondies au dix-millième.

1. Plus petit $n$ tel que $1,1^n>1,5$ :
   $1,1^4=1,4641<1,5$ et $1,1^5\approx 1,6105>1,5$ : $n=5$.
2. Plus petit $n$ tel que $200\times 1,1^n>350$ :
   $200\times 1,1^n>350⟺1,1^n>{\displaystyle \frac{350}{200}}=1,75$. Or $1,1^5\approx 1,6105$ et $1,1^6\approx 1,7716$ : $n=6$.
3. Plus petit $n$ tel que $400\times 1,1^n⩾800$ :
   $400\times 1,1^n⩾800⟺1,1^n⩾2$. Or $1,1^7\approx 1,9487$ et $1,1^8\approx 2,1436$ : $n=8$. Une grandeur qui augmente de $10\%$ par an double en $8$ ans.
4. Un capital placé à $10\%$ par an à intérêts composés est multiplié par plus de $1,9$ au bout de combien d’années ?
   Le capital est multiplié par $1,1^n$ : $1,1^6\approx 1,7716<1,9$ et $1,1^7\approx 1,9487>1,9$ : au bout de $7$ ans.

Deux offres sont proposées pour un capital de $4800$ €. Offre A : le capital augmente de $2,3\%$ chaque année. Offre B : on ajoute $130$ € au capital chaque année. On note $A_n$ et $B_n$ les capitaux, en euros, au bout de $n$ années. On donne $1,{023}^{10}\approx 1,25533$, $1,{023}^{14}\approx 1,37486$ et $1,{023}^{15}\approx 1,40648$.

1. Exprimer $A_n$ et $B_n$ en fonction de $n$, en précisant la nature de chaque suite. Contrôle : $B_{10}=$ €
   Rédaction attendue. Offre A : on multiplie chaque année par $1+{\displaystyle \frac{2,3}{100}}=1,023$ ; $(A_n)$ est géométrique de raison $1,023$ et $A_n=4800\times 1,{023}^n$. Offre B : on ajoute chaque année $130$ € ; $(B_n)$ est arithmétique de raison $130$ et $B_n=4800+130n$. Contrôle : $B_{10}=4800+1300=6100$ €.
2. $A_{10}$, à l’euro près : €
   $A_{10}\approx 4800\times 1,25533\approx 6025,58$, soit environ $6026$ € : au bout de $10$ ans, l’offre B est encore la meilleure.
3. Première valeur de $n$ pour laquelle l’offre A rapporte plus que l’offre B :
   $A_{14}\approx 4800\times 1,37486\approx 6599,33$ € et $B_{14}=4800+1820=6620$ € : B est encore devant. $A_{15}\approx 4800\times 1,40648\approx 6751,10$ € et $B_{15}=4800+1950=6750$ € : A passe devant au bout de $15$ ans, et l’écart se creuse ensuite, car une croissance exponentielle finit toujours par l’emporter sur une croissance linéaire.

Le nombre d’utilisateurs d’une application est de $2000$ à son lancement, et il augmente de $30\%$ par semaine. On considère la fonction Python suivante.
def semaines(S):
    n = 0
    u = 2000
    while u <= S:
        u = u * 1.3
        n = n + 1
    return n

1. Valeur de u après deux passages dans la boucle :
   $2000\times 1,3=2600$, puis $2600\times 1,3=3380$.
2. Valeur renvoyée par semaines(5000) :
   La boucle continue tant que $u⩽5000$ : $u$ prend les valeurs $2000$ ; $2600$ ; $3380$ ; $4394$ ; $5712,2$. Après $4$ passages, $u=5712,2>5000$ : la fonction renvoie $4$, le premier nombre de semaines où l’application dépasse $5000$ utilisateurs.
3. Valeur renvoyée par semaines(9000) :
   On continue : $5712,2\times 1,3=7425,86⩽9000$, puis $7425,86\times 1,3=9653,618>9000$. La fonction renvoie $6$.
4. Justifier que le nombre d’utilisateurs a plus que doublé au bout de $3$ semaines, mais pas au bout de $2$. Contrôle : $1,3^3=$
   Rédaction attendue. Au bout de $n$ semaines, le nombre d’utilisateurs est multiplié par $1,3^n$. Or $1,3^2=1,69<2$ : pas encore doublé au bout de $2$ semaines ($3380$ utilisateurs). Et $1,3^3=1,69\times 1,3=2,197>2$ : plus que doublé au bout de $3$ semaines ($4394$ utilisateurs, plus que $4000$).