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Taux d'évolution moyen et indices

Coefficient multiplicateur et évolutions successives (rappels), indice base 100, points d’indice et changement de base, comparaison de deux séries, racine n-ième et taux d’évolution moyen, prévisions et erreurs classiques, sans calculatrice.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 1re (tronc commun) sur le taux d’évolution moyen et les indices suit cinq parties : les rappels sur le coefficient multiplicateur et les évolutions successives, l’indice base 100 (calcul et lecture), les points d’indice et le changement de base, la racine n-ième et le taux d’évolution moyen, puis les prévisions et les erreurs classiques. Chaque partie a ses exemples rédigés sans calculatrice, un réflexe, un piège et une mission d’entraînement.

Rappels : coefficient multiplicateur et évolutions successives

Ce qu’il faut savoir

Coefficient multiplicateur. Quand une grandeur passe d’une valeur $V_{i} > 0$ à une valeur $V_{f}$ , son taux d’évolution est $t = \frac{V_{f} - V_{i}}{V_{i}}$ et son coefficient multiplicateur est $C M = \frac{V_{f}}{V_{i}} = 1 + t$ . Réciproquement, $t = C M - 1$ . Augmenter de $p %$ , c’est multiplier par $1 + \frac{p}{100}$ ; diminuer de $p %$ , c’est multiplier par $1 - \frac{p}{100}$ . Une hausse correspond à $C M > 1$ , une baisse à $0 < C M < 1$ .

Évolutions successives. Si une grandeur subit successivement des évolutions de coefficients $C M_{1}$ , $C M_{2}$ , …, $C M_{n}$ , le coefficient multiplicateur global est leur produit : $C M = C M_{1} \times C M_{2} \times \dots \times C M_{n}$ , et le taux global est $C M - 1$ . Le produit ne dépend pas de l’ordre des évolutions.

Évolution répétée. Si la même évolution de taux $t$ se répète $n$ fois, le coefficient global vaut $(1 + t)^{n}$ : les valeurs successives forment une suite géométrique de raison $1 + t$ , et $V_{n} = V_{0} \times (1 + t)^{n}$ .

Évolution réciproque. Pour revenir à la valeur de départ après une évolution de coefficient $C M$ , on multiplie par $\frac{1}{C M}$ : le taux réciproque vaut $\frac{1}{C M} - 1$ , et non $- t$ .

Exemples

Appliquer un taux. Un café à $2$ € augmente de $2, 5 %$ : $C M = 1, 025$ et le nouveau prix est $2 \times 1, 025 = 2, 05$ €.

Deux évolutions. Un prix augmente de $30 %$ , puis baisse de $20 %$ : $C M = 1, 3 \times 0, 8 = 1, 04$ . Le prix a augmenté de $4 %$ au total, et non de $30 - 20 = 10 %$ .

Évolution répétée. Deux hausses successives de $6 %$ : $C M = 1, 06^{2} = 1, 123 6$ , soit $+ 12, 36 %$ , et non $+ 12 %$ : la seconde hausse porte sur une valeur déjà augmentée.

Réflexe — Je traduis chaque pourcentage en coefficient multiplicateur, je multiplie les coefficients, puis je reviens au taux par $t = C M - 1$ .

Attention — Les taux ne s’additionnent pas. Une hausse et une baisse de même taux ne se compensent jamais : $(1 + t) (1 - t) = 1 - t^{2} < 1$ . Ainsi, $+ 20 %$ puis $- 20 %$ donne $1, 2 \times 0, 8 = 0, 96$ , soit une baisse de $4 %$ .

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Indice base 100 : calculer et lire

Ce qu’il faut savoir

Définition. On choisit une date (ou une valeur) de référence, où la grandeur vaut $V_{0} > 0$ . L’indice base 100 d’une valeur $V$ de la série est $I = \frac{V}{V_{0}} \times 100$ . À la date de référence, l’indice vaut $\frac{V_{0}}{V_{0}} \times 100 = 100$ .

Indice et coefficient multiplicateur. $\frac{V}{V_{0}}$ est le coefficient multiplicateur depuis la date de référence : $I = 100 \times C M$ . Le taux d’évolution depuis la référence est donc $t = \frac{I - 100}{100}$ : un indice $135$ correspond à $C M = 1, 35$ , soit $+ 35 %$ ; un indice $85$ à $C M = 0, 85$ , soit $- 15 %$ .

Retrouver une valeur. Inversement, $V = V_{0} \times \frac{I}{100}$ , et la valeur de référence est $V_{0} = V \times \frac{100}{I}$ .

À quoi sert un indice. Il ramène toutes les valeurs d’une série à la même référence $100$ : l’évolution depuis la référence se lit directement, sans unité. Les indices sont un outil de lecture des séries de prix, de production ou de population, et permettent de comparer des grandeurs d’unités ou de tailles différentes (partie suivante).

Exemples

Calculer un indice. Le nombre d’inscrits à une activité passe de $3 200$ à $4 096$ . En base 100 à la première date, l’indice de la seconde valeur est $\frac{4 096}{3 200} \times 100 = 128$ : le nombre d’inscrits a augmenté de $28 %$ .

Aller et retour. Une grandeur vaut $640$ à la date de référence et $752$ plus tard : son indice est $\frac{752}{640} \times 100 = 117, 5$ . Réciproquement, un indice de $93$ correspond à la valeur $640 \times \frac{93}{100} = 595, 2$ .

Réflexe — Je repère la valeur de référence, celle dont l’indice vaut $100$ ; je divise par elle et je multiplie par $100$ . Pour revenir à une valeur, je multiplie la valeur de référence par $\frac{I}{100}$ .

Attention — Un indice n’est pas un taux : un indice de $92$ signifie $- 8 %$ (et non $- 92 %$ ), un indice de $131$ signifie $+ 31 %$ . Et pour retrouver une valeur, on multiplie par $\frac{I}{100}$ : on n’ajoute jamais l’indice à la valeur de référence.

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Comparer avec des indices : points, pourcentages, changement de base

Ce qu’il faut savoir

Entre deux dates de la série. Si l’indice passe de $I_{1}$ à $I_{2}$ (même base), le coefficient multiplicateur entre ces deux dates est $\frac{I_{2}}{I_{1}}$ et le taux d’évolution est $\frac{I_{2}}{I_{1}} - 1$ : c’est le quotient des indices qui compte. En effet, $\frac{I_{2}}{I_{1}} = \frac{V_{2} \div V_{0}}{V_{1} \div V_{0}} = \frac{V_{2}}{V_{1}}$ .

Points d’indice. La différence $I_{2} - I_{1}$ s’exprime en points. Elle n’est égale au taux d’évolution (en %) que si $I_{1} = 100$ .

Changement de base. Pour passer en base 100 à une autre date, où l’ancien indice vaut $I_{r}$ , on divise tous les indices par $I_{r}$ et on multiplie par $100$ : $I' = \frac{I}{I_{r}} \times 100$ . Les quotients d’indices, donc les taux d’évolution, ne changent pas.

Comparer deux séries. On calcule les indices des deux séries en base 100 à la même date : l’indice le plus élevé correspond à la plus forte croissance relative, même si l’autre série gagne davantage en valeur.

Exemples

Année	2020	2021	2022	2023
Indice (base 100 en 2020)	$100$	$104$	$120$	$126$

Lire le tableau. De 2022 à 2023, l’indice gagne $126 - 120 = 6$ points, mais le taux d’évolution vaut $\frac{126}{120} - 1 = 0, 05$ , soit $+ 5 %$ . De 2020 à 2023, il gagne $26$ points et la hausse est de $26 %$ , car on part de $100$ .

Changer de base. En base 100 en 2022, on divise par $120$ : 2020 : $\frac{100}{120} \times 100 \approx 83, 3$ ; 2021 : $\frac{104}{120} \times 100 \approx 86, 7$ ; 2022 : $100$ ; 2023 : $\frac{126}{120} \times 100 = 105$ .

Comparer. Une boutique passe de $50$ à $60$ clients par jour (indice $120$ ), une grande surface de $400$ à $440$ (indice $110$ ). La grande surface gagne plus de clients ( $40$ contre $10$ ), mais la boutique croît plus vite en proportion : $+ 20 %$ contre $+ 10 %$ .

Réflexe — Entre deux dates, je divise les indices ; une différence d’indices, je la dis en points.

Attention — Gagner $6$ points n’est pas gagner $6 %$ , sauf si l’indice de départ vaut $100$ : de $150$ à $156$ , c’est $+ 4 %$ .

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Racine n-ième et taux d’évolution moyen

Ce qu’il faut savoir

Racine $n$ -ième (exposant $\frac{1}{n}$ ). Pour $a > 0$ et un entier $n ⩾ 1$ , $a^{1 / n}$ est l’unique nombre positif dont la puissance $n$ -ième vaut $a$ : ${(a^{1 / n})}^{n} = a$ . Par exemple, $1, 464 1^{1 / 4} = 1, 1$ , car $1, 1^{4} = 1, 464 1$ .

Définition. Une grandeur subit $n$ évolutions successives, de coefficient multiplicateur global $C M > 0$ . Le taux d’évolution moyen $t_{m}$ est le taux qui, appliqué $n$ fois de suite, donne la même évolution globale : $(1 + t_{m})^{n} = C M$ , donc $1 + t_{m} = C M^{1 / n}$ et $t_{m} = C M^{1 / n} - 1$ .

Avec les taux de chaque période. Si les taux successifs sont $t_{1}$ , …, $t_{n}$ : $1 + t_{m} = {[(1 + t_{1}) (1 + t_{2}) \dots (1 + t_{n})]}^{1 / n}$ .

Pourquoi. Partant de $V_{0}$ , la valeur finale est $V_{0} \times C M$ ; avec $n$ fois le taux $t_{m}$ , elle est $V_{0} \times (1 + t_{m})^{n}$ . Ces deux valeurs sont égales et $V_{0} \neq 0$ , d’où $(1 + t_{m})^{n} = C M$ . Comme $1 + t_{m} > 0$ , c’est le nombre positif dont la puissance $n$ -ième vaut $C M$ : $1 + t_{m} = C M^{1 / n}$ .

Nombre de périodes. $n$ est le nombre d’intervalles entre la première et la dernière date : de 2015 à 2022, il y a $n = 7$ évolutions annuelles (et $8$ dates). Le taux moyen n’existe que si $C M > 0$ , ce qui est toujours le cas pour une grandeur qui reste strictement positive.

Exemples

Racine exacte. Une grandeur est multipliée par $1, 124 864$ en $3$ ans. Comme $1, 04^{3} = 1, 124 864$ , on a $1, 124 864^{1 / 3} = 1, 04$ et $t_{m} = 1, 04 - 1 = 0, 04$ : $+ 4 %$ par an.

Avec une valeur donnée. Une grandeur passe de $2 400$ à $3 000$ en $4$ ans. On donne $1, 25^{1 / 4} \approx 1, 057 4$ . $C M = \frac{3 000}{2 400} = 1, 25$ et $n = 4$ , donc $1 + t_{m} = 1, 25^{1 / 4} \approx 1, 057 4$ : le taux moyen est d’environ $+ 5, 74 %$ par an. Vérification : $1, 057 4^{4} \approx 1, 250$ .

À partir des taux. Une hausse de $20 %$ suivie d’une baisse de $15 %$ : $C M = 1, 2 \times 0, 85 = 1, 02$ sur $2$ périodes. On donne $1, 02^{1 / 2} \approx 1, 009 95$ : $t_{m} \approx + 0, 995 %$ par période.

Réflexe — Je calcule le coefficient global, je compte les intervalles $n$ , je prends $C M^{1 / n}$ , j’enlève $1$ , et je vérifie que $(1 + t_{m})^{n}$ redonne $C M$ .

Attention — On compte les périodes, pas les dates : de 2019 à 2023, $n = 4$ . Et $C M^{1 / n}$ n’est pas $C M \div n$ : $1, 25^{1 / 4}$ vaut environ $1, 057$ , et non $0, 312 5$ .

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Utiliser le taux moyen : prévoir, retrouver, éviter les pièges

Ce qu’il faut savoir

Ce dont dépend le taux moyen. $t_{m}$ ne dépend que du coefficient global $C M$ et du nombre $n$ de périodes : ni de l’ordre des évolutions (le produit des coefficients ne dépend pas de l’ordre), ni des valeurs intermédiaires, ni de la base des indices. Si toutes les évolutions ont le même taux $t$ , alors $t_{m} = t$ .

Revenir au global. Connaissant $t_{m}$ sur $n$ périodes, le coefficient global est $C M = (1 + t_{m})^{n}$ .

Prévoir. Si l’évolution se poursuit au rythme moyen, la valeur $k$ périodes plus tard est $V \times (1 + t_{m})^{k}$ : c’est un modèle de suite géométrique, raisonnable à court terme seulement.

Retrouver une évolution manquante. On écrit le coefficient global de deux façons, $(1 + t_{m})^{n}$ et le produit des coefficients connus et inconnu, puis on divise.

Deux erreurs classiques. Le taux moyen n’est ni la moyenne des taux $\frac{t_{1} + \dots + t_{n}}{n}$ , ni le taux global divisé par $n$ .

Exemples

Ne pas diviser le taux global. Une grandeur augmente de $32, 25 %$ en $2$ ans. Le taux moyen n’est pas $32, 25 \div 2 = 16, 125 %$ : $C M = 1, 322 5 = 1, 15^{2}$ , donc $t_{m} = 1, 15 - 1 = 0, 15$ , soit $+ 15 %$ par an.

Prévoir. Une ville compte $8 000$ habitants en 2024, après une hausse moyenne de $2 %$ par an. Si ce rythme se maintient, elle en comptera $8 000 \times 1, 02^{2} = 8 323, 2$ , soit environ $8 323$ habitants en 2026.

Évolution manquante. Une entreprise annonce une hausse moyenne de ses ventes de $10 %$ par an sur $2$ ans, dont $+ 37, 5 %$ la première année. Le coefficient global vaut $1, 1^{2} = 1, 21$ , donc celui de la seconde année est $\frac{1, 21}{1, 375} = 0, 88$ : les ventes ont baissé de $12 %$ la seconde année.

Réflexe — Pour utiliser un taux moyen, je repasse par le coefficient global $(1 + t_{m})^{n}$ : c’est lui qui relie le début et la fin.

Attention — Après $+ 80 %$ puis $- 20 %$ , la moyenne des taux vaut $30 %$ , alors que $C M = 1, 8 \times 0, 8 = 1, 44 = 1, 2^{2}$ : le taux moyen est de $20 %$ . Et le taux moyen ne décrit aucune année en particulier : il lisse l’évolution.

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Pour aller plus loin

Fonctions $x \mapsto a^{x}$ . L’exposant $\frac{1}{n}$ est un cas particulier des fonctions exponentielles $x \mapsto a^{x}$ : propriétés algébriques, sens de variation, coefficient sur une fraction de période (taux semestriel ou mensuel équivalent) : Fonctions exponentielles x ↦ aˣ.

Taux d’évolution. Valeur finale ou initiale, évolution réciproque, automatismes de l’épreuve anticipée : Automatismes : taux d’évolution.

Suites géométriques. Une évolution au taux moyen constant est une suite géométrique : terme de rang $n$ , intérêts composés, seuils : Suites géométriques et croissance exponentielle.

Dans la vie courante. L’Insee publie l’indice des prix à la consommation. Depuis février 2026, il est en base 100 en 2025 (auparavant en base 100 en 2015) : ce changement de base ne modifie aucune évolution des prix, et l’inflation d’une période se lit toujours par le quotient de deux indices, pas par leur différence.

À retenir

Coefficient multiplicateur : $C M = \frac{V_{f}}{V_{i}} = 1 + t$ ; évolutions successives : on multiplie les coefficients ; évolution répétée $n$ fois : $(1 + t)^{n}$ .
Indice base 100 : $I = \frac{V}{V_{0}} \times 100 = 100 \times C M$ ; taux depuis la référence $\frac{I - 100}{100}$ ; retour à la valeur : $V = V_{0} \times \frac{I}{100}$ .
Entre deux dates : taux $= \frac{I_{2}}{I_{1}} - 1$ ; une différence d’indices se compte en points ; changer de base, c’est diviser tous les indices par le même nombre.
Taux moyen sur $n$ périodes : $(1 + t_{m})^{n} = C M$ , donc $t_{m} = C M^{1 / n} - 1$ ; $n$ = nombre d’intervalles ; $C M^{1 / n}$ est le nombre positif dont la puissance $n$ -ième vaut $C M$ .
Le taux moyen ne dépend que de $C M$ et de $n$ ; prévoir : $V \times (1 + t_{m})^{k}$ ; ni moyenne des taux, ni taux global divisé par $n$ .

Questions fréquentes

Comment enchaîner deux évolutions en pourcentage ?

On multiplie les coefficients multiplicateurs : une hausse de 40 % (× 1,4) suivie d’une baisse de 10 % (× 0,9) donne 1,4 × 0,9 = 1,26, soit +26 % au total, et non +30 %. L’ordre des deux évolutions ne change rien au résultat.

Comment calculer un indice base 100 ?

On divise la valeur par la valeur de référence, puis on multiplie par 100 : un panier de courses qui passe de 60 € à 65,40 € a pour indice 65,4 ÷ 60 × 100 = 109. L’indice 109 signifie une hausse de 9 % depuis la date de référence.

Quelle différence entre points et pourcentage pour un indice ?

La différence de deux indices se compte en points ; le taux d’évolution s’obtient par leur quotient. De 150 à 165, l’indice gagne 15 points, mais la hausse est de 165 ÷ 150 − 1 = 0,1, soit 10 %. Points et pourcentage ne coïncident que si l’indice de départ vaut 100.

Comment calculer un taux d’évolution moyen ?

On calcule le coefficient multiplicateur global CM sur les n périodes, puis tₘ = CM^(1/n) − 1. Une grandeur multipliée par 1,092 727 en 3 ans a un taux moyen de 1,092 727^(1/3) − 1 = 0,03, soit +3 % par an, car 1,03³ = 1,092 727.

Pourquoi le taux moyen n’est-il pas la moyenne des taux ?

Parce que les évolutions se multiplient, elles ne s’ajoutent pas. Après +25 % puis −20 %, la moyenne des taux vaut +2,5 %, mais le coefficient global vaut 1,25 × 0,8 = 1 : la grandeur est revenue à sa valeur de départ, et le taux moyen est nul.

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