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Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques

Indices et taux d'évolution moyen

Indice base 100 et taux d'évolution moyen — programme de Mathématiques de 1re (sans spé)

À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en première sur « Indices et taux d'évolution moyen » suit le programme officiel de mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Indice base 100, Lire et interpréter un indice, De l'indice au taux d'évolution, Le taux d'évolution moyen. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en mathématiques.
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Indice base 100

Pour suivre l'évolution d'une grandeur (prix, population, ventes…) au fil du temps, on utilise souvent un indice. On choisit une année de référence dont la valeur reçoit l'indice $100$, puis on compare toutes les autres valeurs à celle-ci.

Définition. Soit $V_0$ la valeur de référence (à laquelle on attribue l'indice 100). L'indice d'une valeur $V$ est le nombre $$I = \frac{V}{V_0} \times 100$$ L'indice $100$ correspond donc toujours à la valeur de départ $V_0$.
Exemple. Les ventes d'un magasin valent $500$ unités en 2020 (année de référence, indice $100$) et $650$ unités en 2024.
Indice de 2024 : $I = \dfrac{650}{500} \times 100 = 130$.
L'indice $130$ signifie que les ventes ont augmenté de 30 % par rapport à 2020.
Astuce. L'indice est sans unité : il permet de comparer des grandeurs très différentes (euros, habitants, tonnes…) sur une même échelle simple, où la référence vaut toujours $100$.
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Lire et interpréter un indice

Lire un indice est immédiat dès qu'on a en tête que la référence vaut $100$ :

Indice $I$Interprétation
$I = 100$Valeur identique à la référence
$I = 112$Hausse de $12 \%$ par rapport à la référence
$I = 87$Baisse de $13 \%$ par rapport à la référence
$I = 200$Valeur doublée par rapport à la référence
Exemple. Voici l'indice des prix d'un produit, base $100$ en 2019 :
Attention ! Un indice se lit toujours par rapport à la base 100. Si l'indice passe de $104$ à $109$, l'évolution n'est pas de $5 \%$ : il faut calculer $\dfrac{109 - 104}{104} \approx 0{,}048$, soit environ $4{,}8 \%$.
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De l'indice au taux d'évolution

L'indice et le taux d'évolution sont étroitement liés. Comme l'indice est proportionnel à la valeur, on calcule un taux entre deux indices exactement comme entre deux valeurs.

Propriété. Si l'indice passe de $I_1$ à $I_2$, le taux d'évolution correspondant est $$t = \frac{I_2 - I_1}{I_1}$$ En particulier, à partir de la base 100, l'indice $I$ donne directement le taux : $$t = \frac{I - 100}{100}$$
Exemple 1 (depuis la base 100). Un indice de $118$ correspond à $t = \dfrac{118 - 100}{100} = 0{,}18$, soit une hausse de 18 % par rapport à la référence.
Exemple 2 (entre deux indices). L'indice passe de $120$ à $138$.
$t = \dfrac{138 - 120}{120} = \dfrac{18}{120} = 0{,}15$, soit une hausse de 15 % entre ces deux dates.
Astuce. Pour retrouver une valeur à partir d'un indice, on utilise $V = \dfrac{I}{100} \times V_0$. Exemple : si $V_0 = 500$ et $I = 130$, alors $V = 1{,}30 \times 500 = 650$.
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Le taux d'évolution moyen

Une grandeur évolue souvent sur plusieurs périodes (plusieurs années, par exemple). On cherche alors le taux d'évolution moyen : le taux constant qui, répété à chaque période, donnerait la même évolution globale.

Définition. Une grandeur subit $n$ évolutions successives, de coefficient multiplicateur global $CM$. Le coefficient multiplicateur moyen est le nombre $CM_{moy}$ tel que $$(CM_{moy})^n = CM \quad\text{donc}\quad CM_{moy} = CM^{\frac{1}{n}}$$ Le taux d'évolution moyen est alors $$t_{moy} = CM^{\frac{1}{n}} - 1$$
Exemple. En 4 ans, une population a été multipliée par $CM = 1{,}21$.
$CM_{moy} = 1{,}21^{\frac{1}{4}} \approx 1{,}0489$, donc $t_{moy} \approx 0{,}0489$ : la population a augmenté en moyenne de 4,89 % par an.
Vérification : $1{,}0489^4 \approx 1{,}21$. ✓
Attention ! Le taux moyen n'est pas la moyenne des taux. Pour une hausse de $21 \%$ sur 4 ans, le taux annuel moyen n'est pas $21 \div 4 = 5{,}25 \%$, mais bien $\approx 4{,}89 \%$ : c'est la racine $n$-ième du CM qui donne le bon résultat.
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Méthode de calcul du taux moyen

Pour trouver un taux d'évolution moyen, on suit toujours les mêmes étapes. La puissance $\frac{1}{n}$ se calcule à la calculatrice avec la touche $\boxed{x^y}$ ou $\boxed{\wedge}$ (exemple : $1.21 ^ ( 1 / 4 )$).

Méthode en 4 étapes.
1. Déterminer le coefficient multiplicateur global $CM = \dfrac{V_A}{V_D}$.
2. Compter le nombre $n$ de périodes.
3. Calculer $CM_{moy} = CM^{\frac{1}{n}}$ à la calculatrice.
4. En déduire $t_{moy} = CM_{moy} - 1$ (puis $\times 100$ pour le pourcentage).
Exemple résolu. Le chiffre d'affaires d'une entreprise passe de $200$ k€ à $260$ k€ en 5 ans. Quel est le taux annuel moyen ?
1. $CM = \dfrac{260}{200} = 1{,}30$.
2. $n = 5$ périodes (années).
3. $CM_{moy} = 1{,}30^{\frac{1}{5}} \approx 1{,}0539$.
4. $t_{moy} \approx 0{,}0539$, soit une hausse annuelle moyenne d'environ 5,39 %.
Attention ! Le nombre $n$ est le nombre de périodes (intervalles), pas le nombre de dates. De 2019 à 2024, il y a $n = 5$ années écoulées, pas 6.
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Comparer des évolutions avec les indices

Les indices sont l'outil idéal pour comparer plusieurs grandeurs entre elles, même si leurs valeurs de départ sont très différentes : on les ramène toutes à la même base $100$.

Exemple. On compare l'évolution du prix de deux produits A et B, tous deux en base $100$ en 2020.
Lecture comparée. En 2023, le produit A est à l'indice $124$ (hausse de $24 \%$) et le produit B à l'indice $112$ (hausse de $12 \%$). L'écart d'indice ($124 - 112 = 12$) se lit directement comme un écart de $12$ points… mais ce n'est pas un écart de $12 \%$ entre A et B.
Attention ! Un écart d'indices se dit en points (ici $12$ points), un écart relatif se dit en pourcentage. Ne confondez jamais « gagner $12$ points d'indice » et « augmenter de $12 \%$ ».
En bref
  • Indice base 100 : la référence $V_0$ vaut $100$, et $I = \dfrac{V}{V_0} \times 100$.
  • Indice → taux (depuis la base 100) : $t = \dfrac{I - 100}{100}$ ; entre deux indices : $t = \dfrac{I_2 - I_1}{I_1}$.
  • Valeur depuis l'indice : $V = \dfrac{I}{100} \times V_0$.
  • Taux d'évolution moyen sur $n$ périodes : $t_{moy} = CM^{\frac{1}{n}} - 1$ où $CM = \dfrac{V_A}{V_D}$.
  • Le taux moyen n'est PAS la moyenne des taux (on prend la racine $n$-ième du CM).
  • Un écart d'indices se mesure en points, pas en pourcentage.
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