Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Suites géométriques
Raison, terme général, somme et évolutions en pourcentage — programme de Mathématiques 1re sans spé
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Calculs de termes et reconnaissance
/ 4 pts- $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 3$ et de premier terme $u_0 = 4$.
a) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
b) Calculer $u_3$. - On considère la suite $5,\ 15,\ 45,\ 135,\ldots$
c) Montrer qu'elle est géométrique et donner sa raison.
Exercice 2 — Sens de variation
/ 4 pts- Pour chacune des suites géométriques suivantes (de premier terme positif), indiquer si elle est croissante, décroissante ou constante, en justifiant par la valeur de $q$ :
a) $u_0 = 8$, $q = 1{,}25$
b) $u_0 = 200$, $q = 0{,}9$
c) $u_0 = 6$, $q = 1$
Exercice 3 — Évolution en pourcentage
/ 4 pts- Le prix d'un loyer est de $700$ € et augmente de $2\,\%$ chaque année. On note $u_n$ le loyer après $n$ années, avec $u_0 = 700$.
a) Quel est le coefficient multiplicateur (la raison $q$) ?
b) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
c) Calculer le loyer après $1$ an, puis après $2$ ans (arrondir au centime).
Exercice 4 — Somme de termes
/ 4 pts- On considère la somme $S = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{8}$.
a) Quelle est la raison de cette suite géométrique ? Combien y a-t-il de termes ?
b) Calculer $S$ à l'aide de la formule $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$.
Exercice 5 — Problème — croissance d'une population de bactéries
/ 4 pts- Une culture contient $200$ bactéries. Leur nombre augmente de $50\,\%$ toutes les heures. On note $u_n$ le nombre de bactéries après $n$ heures, avec $u_0 = 200$.
a) Justifier que $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
b) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
c) Calculer le nombre de bactéries après $3$ heures (arrondir à l'unité).
d) On donne $1{,}5^4 \approx 5{,}06$. Le nombre de bactéries a-t-il quintuplé au bout de $4$ heures ?
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Calculs de termes et reconnaissance
Corrigé :
a) $u_n = 4 \times 3^n$.
b) $u_3 = 4 \times 3^3 = 4 \times 27 = 108$.
c) $\frac{15}{5} = 3$, $\frac{45}{15} = 3$, $\frac{135}{45} = 3$ : le rapport est constant, la suite est géométrique de raison $q = 3$.
Exercice 2 — Sens de variation
Corrigé :
a) $q = 1{,}25 \gt 1$ et $u_0 \gt 0$ : la suite est croissante.
b) $0 \lt q = 0{,}9 \lt 1$ et $u_0 \gt 0$ : la suite est décroissante.
c) $q = 1$ : la suite est constante (tous les termes valent $6$).
Exercice 3 — Évolution en pourcentage
Corrigé :
a) Augmenter de $2\,\%$ revient à multiplier par $1 + \frac{2}{100} = 1{,}02$. Donc $q = 1{,}02$.
b) $u_n = 700 \times 1{,}02^n$.
c) $u_1 = 700 \times 1{,}02 = 714$ € ; $u_2 = 700 \times 1{,}02^2 = 700 \times 1{,}0404 = 728{,}28$ €.
Exercice 4 — Somme de termes
Corrigé :
a) Raison $q = 2$, premier terme $u_0 = 1$. Les termes vont de $2^0$ à $2^8$, soit $9$ termes ($n = 8$).
b) $S = 1 \times \dfrac{1 - 2^{9}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 512}{-1} = 511$.
Exercice 5 — Problème — croissance d'une population de bactéries
Corrigé :
a) Chaque heure, le nombre est multiplié par $1 + \frac{50}{100} = 1{,}5$. La suite est géométrique de raison $q = 1{,}5$.
b) $u_n = 200 \times 1{,}5^n$.
c) $u_3 = 200 \times 1{,}5^3 = 200 \times 3{,}375 = 675$ bactéries.
d) $u_4 = 200 \times 1{,}5^4 \approx 200 \times 5{,}06 = 1012$. Comme $1012 \gt 5 \times 200 = 1000$, le nombre a (un peu plus que) quintuplé : oui.
Ce contrôle de mathématiques 1ʳᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Suites géométriques » : 5 exercices, 55 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Calculs de termes et reconnaissance/ 4 pts
- Exercice 2 — Sens de variation/ 4 pts
- Exercice 3 — Évolution en pourcentage/ 4 pts
- Exercice 4 — Somme de termes/ 4 pts
- Exercice 5 — Problème — croissance d'une population de bactéries/ 4 pts
Notions évaluées
Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?, La formule du terme général, Reconnaître une suite géométrique, Croissance et décroissance exponentielles, Évolutions en pourcentage et intérêts composés, Somme des termes d'une suite géométrique.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 55 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Suites géométriques » ?
- 55 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 55 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de première ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Suites géométriques » du programme officiel de mathématiques en première, soit Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?, La formule du terme général, Reconnaître une suite géométrique, Croissance et décroissance exponentielles.
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