Combien de temps dure ce contrôle sur « Suites géométriques et croissance exponentielle » ?

60 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

Le corrigé est-il fourni ?

Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de maths sans spécialité de première ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Suites géométriques et croissance exponentielle » du programme officiel de maths sans spécialité en première.

Maths sans spécialité 1ʳᵉ

Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Suites géométriques et croissance exponentielle

Coefficient multiplicateur, évolutions successives et puissances (rappels de seconde), suite géométrique définie par récurrence, raison, terme de rang n, évolution à taux constant et intérêts composés, sens de variation, représentation graphique et problèmes de seuil, sans calculatrice.

À propos de cette page

Un devoir surveillé d’une heure sur 20 points, sans calculatrice, avec corrigé détaillé : huit automatismes sur les pourcentages et les suites, une suite retrouvée à partir de deux termes, une population de truites qui diminue, deux magasins qui se dépassent, et une lecture graphique suivie d’une fonction Python de seuil.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 60 min · Noté sur 20

60:00

benprofparticulier.frMaths sans spécialité · 1ʳᵉ

Devoir surveillé – Suites géométriques et croissance exponentielle

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths sans spécialité 1ʳᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Automatismes ★★

(4 pts)

Sans calculatrice. Donner chaque résultat en détaillant le calcul (0,5 point par question).

a)Donner le coefficient multiplicateur associé à une baisse de $8, 5 %$ .
b)Un prix augmente de $20 %$ , puis de $10 %$ . Donner le taux d’évolution global.
c)Calculer $0, 4^{3}$ .
d) $(u_{n})$ est géométrique, $u_{0} = 4$ et $q = 5$ . Calculer $u_{3}$ .
e)On donne $a_{n} = 14 \times 0, 45^{n}$ . Préciser le premier terme et la raison de la suite $(a_{n})$ .
f)Les nombres $96$ ; $24$ ; $6$ ; $1, 5$ sont-ils les premiers termes d’une suite géométrique ? Justifier.
g)Donner le sens de variation de la suite définie par $u_{n} = 7 \times 0, 99^{n}$ .
h) $(u_{n})$ est géométrique de premier terme $u_{1} = 3$ et de raison $2$ . Donner l’expression de $u_{n}$ pour $n ⩾ 1$ .

Exercice 2 – Deux termes connus ★★

(4 pts)

$(b_{n})$ est une suite géométrique à termes strictement positifs, avec $b_{1} = 20$ et $b_{4} = 39, 0625$ .

a)Montrer que la raison de $(b_{n})$ vaut $1, 25$ (on pourra calculer $1, 25^{3}$ ).
b)Calculer $b_{0}$ .
c)Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $b_{2}$ et $b_{3}$ .
d)Donner le sens de variation de $(b_{n})$ en justifiant.

Exercice 3 – Une population de truites ★★

(4 pts)

Un lac compte $9 500$ truites en 2026, et cette population diminue de $14 %$ par an. On note $p_{n}$ le nombre de truites l’année $2026 + n$ ; ainsi $p_{0} = 9 500$ . On donne : $0, 86^{5} \approx 0, 4704$ ; $0, 86^{7} \approx 0, 3479$ ; $0, 86^{8} \approx 0, 2992$ . Les nombres de truites sont arrondis à l’unité.

a)Calculer le nombre de truites en 2027, puis en 2028.
b)Justifier que $(p_{n})$ est géométrique, exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$ et donner son sens de variation.
c)Calculer $p_{5}$ .
d)Déterminer la première année où la population passe sous $3 000$ truites.

Exercice 4 – Deux magasins face à face ★★★

(4 pts)

En 2026, le magasin A réalise un chiffre d’affaires de $54 000$ €, en hausse prévue de $9 %$ par an ; le magasin B réalise $61 000$ €, en hausse prévue de $3, 5 %$ par an. On note $A_{n}$ et $B_{n}$ leurs chiffres d’affaires, en euros, l’année $2026 + n$ . On donne : $1, 09^{2} = 1, 1881$ ; $1, 035^{2} = 1, 071225$ ; $1, 09^{3} \approx 1, 2950$ ; $1, 035^{3} \approx 1, 1087$ .

a)Exprimer $A_{n}$ et $B_{n}$ en fonction de $n$ .
b)Calculer $A_{2}$ et $B_{2}$ , arrondis à l’euro.
c)Déterminer la première année où le magasin A dépasse le magasin B.
d)Un magasin C réalise $58 000$ € en 2026 et prévoit une hausse de $3 000$ € par an. Préciser la nature de la suite $(C_{n})$ de ses chiffres d’affaires, puis comparer C et A en 2028.

Exercice 5 – Lecture graphique et algorithme ★★★

(4 pts)

Les points ci-dessous représentent les premiers termes d’une suite géométrique $(u_{n})$ .On considère la fonction Python suivante.
def rang(S): n = 0 u = 3 while u <= S: u = 2 * u n = n + 1 return n

a)Lire $u_{0}$ et $u_{1}$ , puis donner la raison et l’expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .
b)Justifier que $(u_{n})$ n’est pas une suite arithmétique.
c)Que renvoie l’appel $r a n g (1000)$ ? Interpréter ce résultat.
d)On pose $v_{n} = 50 + 20 n$ . Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} > v_{n}$ .

Bon courage !

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Corrigé et barème – Suites géométriques et croissance exponentielle

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths sans spécialité 1ʳᵉ

Exercice 1 – Automatismes ★★

(4 pts)

a) $C M = 1 - 0, 085 = 0, 915$ . (0,5)
b) $C M = 1, 2 \times 1, 1 = 1, 32$ : hausse globale de $32 %$ (et non de $30 %$ ). (0,5)
c) $0, 4 \times 0, 4 = 0, 16$ , puis $0, 16 \times 0, 4 = 0, 064$ . (0,5)
d) $u_{3} = 4 \times 5^{3} = 4 \times 125 = 500$ . (0,5)
e)Forme $u_{0} \times q^{n}$ : premier terme $a_{0} = 14$ , raison $q = 0, 45$ . (0,5)
f) $\frac{24}{96} = \frac{6}{24} = \frac{1, 5}{6} = 0, 25$ : oui, on multiplie toujours par $0, 25$ ; raison $0, 25$ . (0,5)
g) $u_{0} = 7 > 0$ et $0 < 0, 99 < 1$ : la suite est strictement décroissante. (0,5)
h)Le premier terme est de rang $1$ : $u_{n} = 3 \times 2^{n - 1}$ pour tout $n ⩾ 1$ . (0,5)

Repère — Un pourcentage se traduit d’abord en coefficient multiplicateur : tout le chapitre repose sur des produits, jamais sur des sommes de taux.

Exercice 2 – Deux termes connus ★★

(4 pts)

a) $\frac{b_{4}}{b_{1}} = q^{3}$ , donc $q^{3} = \frac{39, 0625}{20} = 1, 953125$ . Or $1, 25^{2} = 1, 5625$ et $1, 5625 \times 1, 25 = 1, 953125$ , donc $1, 25^{3} = 1, 953125$ . La suite est à termes positifs, sa raison est positive : $q = 1, 25$ . (1)
b) $b_{1} = b_{0} \times q$ , donc $b_{0} = \frac{20}{1, 25} = 16$ . (1)
c)Le premier terme est de rang $0$ : $b_{n} = 16 \times 1, 25^{n}$ . $b_{2} = 20 \times 1, 25 = 25$ et $b_{3} = 25 \times 1, 25 = 31, 25$ ; contrôle : $31, 25 \times 1, 25 = 39, 0625$ , c’est bien $b_{4}$ . (1)
d)Pour tout $n$ , $b_{n + 1} - b_{n} = 1, 25 b_{n} - b_{n} = 0, 25 b_{n} > 0$ , car $b_{n} > 0$ : la suite est strictement croissante (premier terme positif et raison $1, 25 > 1$ ). (1)

Repère — Entre deux termes connus, le quotient des valeurs est une puissance de la raison ; « à termes positifs » permet de choisir la raison positive.

Exercice 3 – Une population de truites ★★

(4 pts)

a)Une baisse de $14 %$ correspond au coefficient $1 - 0, 14 = 0, 86$ . En 2027 : $9 500 \times 0, 86 = 8 170$ truites. En 2028 : $8 170 \times 0, 86 = 7 026, 2$ , soit environ $7 026$ truites. (1)
b)Chaque année, la population est multipliée par $0, 86$ : $p_{n + 1} = 0, 86 \times p_{n}$ . La suite $(p_{n})$ est géométrique de raison $0, 86$ et de premier terme $9 500$ , donc $p_{n} = 9 500 \times 0, 86^{n}$ . Comme $p_{0} > 0$ et $0 < 0, 86 < 1$ , elle est strictement décroissante. (1)
c) $p_{5} = 9 500 \times 0, 86^{5} \approx 9 500 \times 0, 4704 = 4 468, 8$ , soit environ $4 469$ truites (en 2031). (1)
d) $p_{7} \approx 9 500 \times 0, 3479 \approx 3 305$ et $p_{8} \approx 9 500 \times 0, 2992 = 2 842, 4$ . Comme $p_{7} > 3 000 > p_{8}$ et que la suite est décroissante, la population passe sous $3 000$ truites pour $n = 8$ , c’est-à-dire en $2026 + 8 = 2034$ . (1)

Repère — Dans une situation datée, l’exposant est le nombre d’années écoulées depuis l’année de départ : 2034 correspond à n = 8.

Exercice 4 – Deux magasins face à face ★★★

(4 pts)

a)Chaque année, A est multiplié par $1, 09$ et B par $1, 035$ : $A_{n} = 54 000 \times 1, 09^{n}$ et $B_{n} = 61 000 \times 1, 035^{n}$ , deux suites géométriques de raisons $1, 09$ et $1, 035$ . (1)
b) $A_{2} = 54 000 \times 1, 1881 = 64 157, 4$ , soit $64 157$ € ; $B_{2} = 61 000 \times 1, 071225 \approx 65 345$ €. B est encore devant. (1)
c) $A_{3} \approx 54 000 \times 1, 2950 = 69 930$ € et $B_{3} \approx 61 000 \times 1, 1087 = 67 630, 7$ €. Avant, A est toujours derrière : $54 000 < 61 000$ en 2026 et $A_{1} = 58 860 < B_{1} = 63 135$ en 2027. Comme $A_{2} < B_{2}$ et $A_{3} > B_{3}$ , le magasin A dépasse B pour la première fois pour $n = 3$ , c’est-à-dire en 2029. (1)
d)On ajoute chaque année $3 000$ € : $(C_{n})$ est arithmétique de raison $3 000$ , et $C_{n} = 58 000 + 3 000 n$ . En 2028, $C_{2} = 58 000 + 6 000 = 64 000$ €, contre environ $64 157$ € pour A : A vient de passer devant C (en 2027, $C_{1} = 61 000$ € contre $A_{1} = 58 860$ €), et l’écart va se creuser, car une croissance exponentielle finit par l’emporter sur une croissance linéaire. (1)

Repère — Le magasin qui part plus bas mais croît plus vite finit devant : on compare les termes année par année jusqu’au premier dépassement.

Exercice 5 – Lecture graphique et algorithme ★★★

(4 pts)

a)On lit $u_{0} = 3$ et $u_{1} = 6$ : $q = \frac{6}{3} = 2$ et $u_{n} = 3 \times 2^{n}$ (contrôle : $u_{4} = 3 \times 16 = 48$ , comme sur le graphique). (1)
b) $u_{1} - u_{0} = 3$ et $u_{2} - u_{1} = 6$ : les écarts ne sont pas égaux, la suite n’est pas arithmétique (ses points ne sont pas alignés). (1)
c)La boucle double $u$ tant que $u ⩽ 1 000$ : $u$ prend les valeurs $3$ , $6$ , $12$ , $24$ , $48$ , $96$ , $192$ , $384$ , $768$ , puis $1 536$ . Comme $u_{8} = 768 ⩽ 1 000$ et $u_{9} = 1 536 > 1 000$ , la fonction renvoie $9$ : c’est le premier rang où $u_{n}$ dépasse $1 000$ . (1)
d) $u_{5} = 96$ et $v_{5} = 150$ : $u_{5} < v_{5}$ . $u_{6} = 192$ et $v_{6} = 170$ : $u_{6} > v_{6}$ . Aux rangs $0$ à $5$ , $u_{n} < v_{n}$ ( $3 < 50$ , $6 < 70$ , $12 < 90$ , $24 < 110$ , $48 < 130$ , $96 < 150$ ) : le plus petit entier est $n = 6$ . (1)

Repère — Une boucle « tant que » renvoie le premier rang qui ne vérifie plus la condition : c’est exactement la réponse à un problème de seuil.

Ce contrôle de maths sans spécialité 1ʳᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Suites géométriques et croissance exponentielle » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Automatismes ★★/ 4 pts
Exercice 2 — Deux termes connus ★★/ 4 pts
Exercice 3 — Une population de truites ★★/ 4 pts
Exercice 4 — Deux magasins face à face ★★★/ 4 pts
Exercice 5 — Lecture graphique et algorithme ★★★/ 4 pts

Notions évaluées

Coefficient multiplicateur, évolutions successives, puissance, suite géométrique, relation de récurrence, raison, terme de rang n, évolution à taux constant, intérêts composés, intérêts simples, croissance exponentielle, décroissance exponentielle, sens de variation, représentation graphique, problème de seuil, temps de doublement, algorithme de seuil.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Suites géométriques et croissance exponentielle » ?: 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de maths sans spécialité de première ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Suites géométriques et croissance exponentielle » du programme officiel de maths sans spécialité en première, soit : coefficient multiplicateur, évolutions successives et puissances (rappels de seconde) ; reconnaître et modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle ; suites géométriques à termes strictement positifs : définition par récurrence, raison, terme de rang n, sens de variation, représentation graphique ; évolution à taux constant et intérêts composés ; résoudre un problème de seuil.

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