À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en première sur « Suites arithmétiques » suit le programme officiel de mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une suite ?, Définition d'une suite arithmétique, La raison : comment la trouver, Le terme général u_n = u_0 + n r. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'une suite ?
2 · Définition d'une suite arithmétique
3 · La raison : comment la trouver
4 · Le terme général u_n = u_0 + n r
5 · Sens de variation
6 · Somme des termes
7 · Modéliser une situation concrète
1Qu'est-ce qu'une suite ?
Une suite est une liste ordonnée de nombres. On note $u_0$ le premier nombre, $u_1$ le deuxième, $u_2$ le troisième, etc. Le nombre de rang $n$ se note $u_n$ et se lit « $u$ indice $n$ ».
Définition. Une suite $(u_n)$ associe à chaque entier $n$ un nombre $u_n$, appelé terme de rang $n$. L'entier $n$ est l'indice (ou rang).
Exemple. On range les nombres pairs : $u_0 = 0,\ u_1 = 2,\ u_2 = 4,\ u_3 = 6, \ldots$
Ici $u_n = 2n$ : on connaît directement chaque terme à partir de son rang.
Astuce. Ne confonds pas la suite $(u_n)$ (toute la liste, avec parenthèses) et le terme $u_n$ (un seul nombre).
2Définition d'une suite arithmétique
Dans une suite arithmétique, on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.
Définition. Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ lorsque, pour passer d'un terme au suivant, on ajoute toujours $r$ :
$$u_{n+1} = u_n + r$$
Le nombre $r$ s'appelle la raison. Il peut être positif, négatif ou nul.
Exemple. La suite $3,\ 7,\ 11,\ 15,\ 19, \ldots$ est arithmétique : on ajoute $4$ à chaque fois. Sa raison est $r = 4$ et son premier terme est $u_0 = 3$.
Exemple (raison négative). La suite $20,\ 17,\ 14,\ 11, \ldots$ est arithmétique de raison $r = -3$ : on enlève $3$ à chaque étape.
Les points d'une suite arithmétique sont parfaitement alignés.
3La raison : comment la trouver
Pour vérifier qu'une suite est arithmétique et trouver sa raison, on calcule la différence entre deux termes qui se suivent : si cette différence est toujours la même, la suite est arithmétique et cette différence est la raison.
Méthode. La raison vaut $r = u_{n+1} - u_n$ (différence d'un terme et du précédent). Si $u_{n+1} - u_n$ donne toujours le même nombre, la suite est arithmétique.
Exemple. Suite $5,\ 9,\ 13,\ 17$.
$9 - 5 = 4$ ; $13 - 9 = 4$ ; $17 - 13 = 4$. La différence est toujours $4$ : la suite est arithmétique de raison $r = 4$.
Attention ! Si la différence change (par exemple $2, 4, 8, 16$ : on ajoute $2$, puis $4$, puis $8$), la suite n'est pas arithmétique.
Astuce. Connaissant deux termes éloignés, on retrouve la raison : si $u_2 = 7$ et $u_6 = 23$, on a gagné $23 - 7 = 16$ en $6 - 2 = 4$ étapes, donc $r = \frac{16}{4} = 4$.
4Le terme général u_n = u_0 + n r
Avec la définition par récurrence, calculer $u_{100}$ obligerait à calculer tous les termes avant. Heureusement, il existe une formule directe.
Terme général. Si $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, alors pour tout entier $n$ :
$$\boxed{u_n = u_0 + n \times r}$$
Pour atteindre le rang $n$ depuis $u_0$, on a ajouté $n$ fois la raison : c'est pour cela qu'on multiplie $r$ par $n$.
Exemple. $(u_n)$ arithmétique avec $u_0 = 3$ et $r = 4$.
$u_n = 3 + 4n$. Ainsi $u_{10} = 3 + 4 \times 10 = 43$, sans calculer les termes précédents.
Exemple (raison négative). $u_0 = 20$ et $r = -3$ donne $u_n = 20 - 3n$. Alors $u_5 = 20 - 15 = 5$.
Astuce. Si le premier terme est $u_1$ (et non $u_0$), on utilise $u_n = u_1 + (n-1)\,r$ : on ajoute la raison $(n-1)$ fois.
5Sens de variation
Le sens de variation d'une suite arithmétique dépend uniquement du signe de la raison.
| Si la raison $r$ est… | la suite est… |
|---|
| $r > 0$ (positive) | croissante (les termes augmentent) |
| $r < 0$ (négative) | décroissante (les termes diminuent) |
| $r = 0$ (nulle) | constante (tous les termes sont égaux) |
Exemple. $u_n = 2 - 5n$ : la raison est $r = -5 < 0$, donc la suite est décroissante.
Trois suites arithmétiques selon le signe de leur raison.
6Somme des termes
On a souvent besoin d'additionner tous les termes d'une suite arithmétique, par exemple $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$.
Somme d'une suite arithmétique.
$$S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$$
On multiplie le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier terme.
Cas très utile. La somme des entiers de $1$ à $n$ vaut $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
Exemple. Calculons $S = 3 + 6 + 9 + \cdots + 99$.
C'est une suite arithmétique de raison $3$, premier terme $3$, dernier terme $99$.
Nombre de termes : $\frac{99 - 3}{3} + 1 = 33$.
$S = 33 \times \frac{3 + 99}{2} = 33 \times 51 = 1683$.
Attention ! Pour compter le nombre de termes, on fait $\frac{\text{dernier} - \text{premier}}{\text{raison}} + 1$ : ne pas oublier le « $+1$ ».
7Modéliser une situation concrète
Une suite arithmétique modélise toute situation où une quantité augmente (ou diminue) d'une valeur fixe à chaque étape : épargne régulière, abonnement, salaire augmenté d'un montant constant…
Exemple — épargne linéaire. Léa place $500$ € puis ajoute $80$ € chaque mois. On note $u_n$ le montant épargné après $n$ mois.
$u_0 = 500$ et $u_{n+1} = u_n + 80$ : suite arithmétique de raison $80$.
Terme général : $u_n = 500 + 80n$. Après $1$ an ($n = 12$) : $u_{12} = 500 + 960 = 1460$ €.
Une épargne qui augmente d'un montant fixe chaque mois est une suite arithmétique.
Réflexe. Pour reconnaître une suite arithmétique dans un énoncé, cherche les mots « ajouter/retirer toujours le même montant », « augmente de … € chaque … » : la valeur ajoutée est la raison.
★À retenir
À retenir :
• Une suite arithmétique : on ajoute toujours le même nombre $r$ (la raison) : $u_{n+1} = u_n + r$.
• Raison : $r = u_{n+1} - u_n$ (différence constante).
• Terme général : $u_n = u_0 + n\,r$ (formule directe).
• Variation : $r > 0$ croissante, $r < 0$ décroissante, $r = 0$ constante.
• Somme : $S = (\text{nombre de termes}) \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.