Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Suites arithmétiques
Définition, raison, terme général et somme — programme de Mathématiques de 1re (sans spé)
À propos de cette page
Qu'est-ce qu'une suite ?
Une suite est une liste ordonnée de nombres. On note $u_0$ le premier nombre, $u_1$ le deuxième, $u_2$ le troisième, etc. Le nombre de rang $n$ se note $u_n$ et se lit « $u$ indice $n$ ».
Ici $u_n = 2n$ : on connaît directement chaque terme à partir de son rang.
Définition d'une suite arithmétique
Dans une suite arithmétique, on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.
$$u_{n+1} = u_n + r$$
Le nombre $r$ s'appelle la raison. Il peut être positif, négatif ou nul.
Les points d'une suite arithmétique sont parfaitement alignés.
La raison : comment la trouver
Pour vérifier qu'une suite est arithmétique et trouver sa raison, on calcule la différence entre deux termes qui se suivent : si cette différence est toujours la même, la suite est arithmétique et cette différence est la raison.
$9 - 5 = 4$ ; $13 - 9 = 4$ ; $17 - 13 = 4$. La différence est toujours $4$ : la suite est arithmétique de raison $r = 4$.
Le terme général u_n = u_0 + n r
Avec la définition par récurrence, calculer $u_{100}$ obligerait à calculer tous les termes avant. Heureusement, il existe une formule directe.
$$\boxed{u_n = u_0 + n \times r}$$
Pour atteindre le rang $n$ depuis $u_0$, on a ajouté $n$ fois la raison : c'est pour cela qu'on multiplie $r$ par $n$.
$u_n = 3 + 4n$. Ainsi $u_{10} = 3 + 4 \times 10 = 43$, sans calculer les termes précédents.
Sens de variation
Le sens de variation d'une suite arithmétique dépend uniquement du signe de la raison.
| Si la raison $r$ est… | la suite est… |
|---|---|
| $r \gt 0$ (positive) | croissante (les termes augmentent) |
| $r \lt 0$ (négative) | décroissante (les termes diminuent) |
| $r = 0$ (nulle) | constante (tous les termes sont égaux) |
Trois suites arithmétiques selon le signe de leur raison.
Somme des termes
On a souvent besoin d'additionner tous les termes d'une suite arithmétique, par exemple $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$.
$$S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$$
On multiplie le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier terme.
C'est une suite arithmétique de raison $3$, premier terme $3$, dernier terme $99$.
Nombre de termes : $\frac{99 - 3}{3} + 1 = 33$.
$S = 33 \times \frac{3 + 99}{2} = 33 \times 51 = 1683$.
Modéliser une situation concrète
Une suite arithmétique modélise toute situation où une quantité augmente (ou diminue) d'une valeur fixe à chaque étape : épargne régulière, abonnement, salaire augmenté d'un montant constant…
$u_0 = 500$ et $u_{n+1} = u_n + 80$ : suite arithmétique de raison $80$.
Terme général : $u_n = 500 + 80n$. Après $1$ an ($n = 12$) : $u_{12} = 500 + 960 = 1460$ €.
Une épargne qui augmente d'un montant fixe chaque mois est une suite arithmétique.
- Une suite arithmétique : on ajoute toujours le même nombre $r$ (la raison) : $u_{n+1} = u_n + r$.
- Raison : $r = u_{n+1} - u_n$ (différence constante).
- Terme général : $u_n = u_0 + n\,r$ (formule directe).
- Variation : $r \gt 0$ croissante, $r \lt 0$ décroissante, $r = 0$ constante.
- Somme : $S = (\text{nombre de termes}) \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.
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