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Suites arithmétiques et croissance linéaire

Q: Comment trouver le coefficient directeur d’une fonction affine à partir de deux valeurs ?

On divise la différence des images par la différence des antécédents : m = (f(b) − f(a)) / (b − a). Par exemple, si f(2) = 4 et f(5) = 13, alors m = 9 ÷ 3 = 3 ; l’ordonnée à l’origine se trouve ensuite avec un point : 4 = 3 × 2 + p donne p = −2.

Q: Comment montrer qu’une suite est arithmétique ?

On calcule uₙ₊₁ − uₙ en gardant la lettre n. Si le résultat ne dépend pas de n, la suite est arithmétique et ce nombre est sa raison : pour uₙ = 5n + 2, uₙ₊₁ − uₙ = 5. Deux différences distinctes suffisent à prouver qu’une suite n’est pas arithmétique.

Q: Quelle est la formule du terme général d’une suite arithmétique ?

uₙ = u₀ + nr si le premier terme est u₀, et uₙ = u₁ + (n − 1)r si c’est u₁. Par exemple, avec u₁ = 3 et r = 4, u₁₀ = 3 + 9 × 4 = 39. Avec deux termes connus, la raison est l’écart des valeurs divisé par l’écart des rangs.

Q: Comment savoir si une suite arithmétique est croissante ?

On regarde le signe de la raison : strictement croissante si r > 0, strictement décroissante si r < 0, constante si r = 0. Le premier terme ne compte pas. Sur un graphique, les points (n ; uₙ) sont alignés sur la droite y = rx + u₀, qui monte ou descend selon le signe de r.

Q: Comment résoudre un problème de seuil sans calculatrice ?

On écrit uₙ = u₀ + nr, on résout l’inéquation, puis on encadre le quotient entre deux multiples consécutifs. Par exemple, 10 + 6n > 100 donne 6n > 90, soit n > 15 : l’inégalité est stricte, donc le rang 15 (qui donne exactement 100) ne convient pas et la réponse est n = 16.

Fonctions affines et croissance linéaire (rappels de seconde), suite arithmétique définie par récurrence ou de façon explicite, raison, terme de rang n, sens de variation, représentation graphique et problèmes de seuil, sans calculatrice.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 1re (tronc commun) sur les suites arithmétiques suit cinq parties : les rappels de seconde sur les fonctions affines (coefficient directeur, taux d’accroissement, croissance linéaire), la définition par récurrence et la raison, le terme de rang n avec u₀ ou u₁, le sens de variation et la représentation graphique par des points alignés, puis les problèmes de seuil résolus sans calculatrice ou avec une boucle Python. Chaque partie a ses exemples rédigés, un réflexe, un piège et une mission d’entraînement.

Rappels de seconde : fonctions affines et croissance linéaire

Ce qu’il faut savoir

Fonction affine. Une fonction affine est définie sur $ℝ$ par $f (x) = m x + p$ , où $m$ et $p$ sont deux réels. Sa représentation graphique est une droite : $m$ est son coefficient directeur, $p$ son ordonnée à l’origine (la droite passe par le point $(0; p)$ ). Quand $p = 0$ , la fonction est linéaire : elle traduit une situation de proportionnalité.

Taux d’accroissement. Pour deux réels $a \neq b$ , $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = m$ : ce taux est le même quels que soient $a$ et $b$ . Quand $x$ augmente de $1$ , $f (x)$ augmente toujours de $m$ (diminue si $m < 0$ ). Avec deux points $A$ et $B$ de la droite : $m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ .

Sens de variation. Si $m > 0$ , $f$ est strictement croissante ; si $m < 0$ , strictement décroissante ; si $m = 0$ , constante.

Croissance linéaire. Une grandeur a une croissance (ou une décroissance) linéaire lorsqu’elle varie de la même quantité pendant des durées égales. Si elle varie de $m$ par unité de temps et vaut $p$ au départ, elle vaut $m x + p$ au temps $x$ . Si l’on ne regarde la grandeur qu’à chaque étape (chaque mois, chaque année), on obtient une suite arithmétique : c’est l’objet du chapitre.

Exemples

Lire $m$ et $p$ . Une trottinette en libre-service coûte $1, 50$ € au déverrouillage, puis $0, 25$ € la minute. Le prix pour $x$ minutes est $f (x) = 0, 25 x + 1, 5$ : $m = 0, 25$ est le prix d’une minute de plus, $p = 1, 5$ le prix de départ. Pour $20$ minutes : $f (20) = 0, 25 \times 20 + 1, 5 = 6, 5$ €. Comme $m > 0$ , $f$ est croissante.

Retrouver $f$ à partir de deux valeurs. $f$ est affine, $f (1) = 7$ et $f (5) = 19$ . Alors $m = \frac{19 - 7}{5 - 1} = \frac{12}{4} = 3$ . Puis $f (1) = 3 \times 1 + p = 7$ donne $p = 4$ : $f (x) = 3 x + 4$ . Contrôle : $f (5) = 15 + 4 = 19$ .

Une décroissance linéaire. Un poêle contient $450$ kg de granulés au début de l’hiver et en brûle $12$ kg par jour. Après $x$ jours, il en reste $g (x) = 450 - 12 x$ kilogrammes : $m = - 12 < 0$ , $g$ est décroissante. Entre les jours $10$ et $25$ : $g (10) = 330$ , $g (25) = 150$ et $\frac{150 - 330}{25 - 10} = \frac{- 180}{15} = - 12$ : on retrouve $m$ .

Reconnaître une croissance linéaire dans un tableau. Pour $x = 0$ ; $2$ ; $4$ ; $6$ , une grandeur vaut $5$ ; $8$ ; $11$ ; $14$ . Elle gagne $3$ chaque fois que $x$ augmente de $2$ : la croissance est linéaire, avec $m = \frac{3}{2} = 1, 5$ et $p = 5$ , soit $y = 1, 5 x + 5$ . Avec les valeurs $5$ ; $8$ ; $12$ ; $17$ , les hausses $3$ , $4$ , $5$ ne sont pas égales : la croissance n’est pas linéaire.

Réflexe — Coefficient directeur : « différence des images sur différence des antécédents », dans le même ordre en haut et en bas. Puis $p$ avec un point connu, ou $p = f (0)$ .

Attention — $m$ est la variation quand $x$ augmente de $1$ , pas la hausse lue d’une colonne à l’autre d’un tableau : de $2$ en $2$ , une hausse de $3$ donne $m = 1, 5$ . Et une croissance linéaire n’est pas forcément proportionnelle : la valeur de départ $p$ n’est pas nulle en général.

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Suite arithmétique : récurrence, forme explicite et raison

Ce qu’il faut savoir

Suite. Une suite $(u_{n})$ associe à chaque entier naturel $n$ , le rang, un nombre $u_{n}$ , le terme de rang $n$ . Elle peut être définie :

de façon explicite, $u_{n} = f (n)$ : on calcule directement n’importe quel terme ;
par récurrence : on donne le premier terme et une relation qui donne $u_{n + 1}$ à partir de $u_{n}$ ; on calcule alors les termes de proche en proche.

Définition. Une suite $(u_{n})$ est arithmétique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre réel $r$ : pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = u_{n} + r$ . Le réel $r$ est la raison. Une suite arithmétique est déterminée par son premier terme et sa raison.

Reconnaître. $(u_{n})$ est arithmétique si et seulement si la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ est constante, c’est-à-dire ne dépend pas de $n$ ; cette constante est la raison. En situation : une grandeur qui augmente ou diminue de la même quantité à chaque étape (un versement mensuel fixe, une hauteur qui gagne $2$ cm par semaine).

Au tableur. Rangs en colonne A, termes en colonne B : si $u_{0}$ est en B2, on saisit en B3 la formule =B2+r (avec la valeur de $r$ ), puis on la recopie vers le bas. La cellule B5 contient alors $u_{3}$ .

Exemples

Une situation. Une salle d’escalade compte $140$ abonnés en janvier et en gagne $12$ chaque mois. On note $a_{n}$ le nombre d’abonnés $n$ mois après janvier : $a_{0} = 140$ et $a_{n + 1} = a_{n} + 12$ . La suite est arithmétique de raison $12$ : $a_{1} = 152$ , $a_{2} = 164$ , $a_{3} = 176$ .

Une suite explicite. $u_{n} = \frac{7 n + 2}{4}$ . On remplace $n$ par $n + 1$ : $u_{n + 1} = \frac{7 (n + 1) + 2}{4} = \frac{7 n + 9}{4}$ , donc $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{7 n + 9 - 7 n - 2}{4} = \frac{7}{4} = 1, 75$ . La différence ne dépend pas de $n$ : $(u_{n})$ est arithmétique de raison $1, 75$ , de premier terme $u_{0} = 0, 5$ .

Une suite qui n’est pas arithmétique. $v_{n} = n^{2} + 1$ : $v_{0} = 1$ , $v_{1} = 2$ , $v_{2} = 5$ . Les différences $v_{1} - v_{0} = 1$ et $v_{2} - v_{1} = 3$ ne sont pas égales : cet unique contre-exemple suffit, $(v_{n})$ n’est pas arithmétique.

Au tableur. Un stock de $900$ pièces diminue de $40$ pièces par jour. B2 contient $900$ et B3 la formule =B2-40, recopiée vers le bas. B5 affiche $u_{3} = 900 - 3 \times 40 = 780$ .

Réflexe — Pour une suite donnée par une formule : j’écris $u_{n + 1}$ en remplaçant $n$ par $n + 1$ , je calcule $u_{n + 1} - u_{n}$ en gardant la lettre $n$ , et je conclus seulement si le résultat ne dépend pas de $n$ .

Attention — Constater que $u_{1} - u_{0} = u_{2} - u_{1}$ ne démontre rien : deux ou dix différences égales ne prouvent pas que la suite est arithmétique. À l’inverse, deux différences distinctes suffisent pour conclure qu’elle ne l’est pas. Et $u_{n + 1} = 2 u_{n}$ ne définit pas une suite arithmétique : on multiplie, on n’ajoute pas (c’est une suite géométrique).

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Terme de rang n

Ce qu’il faut savoir

Terme de rang $n$ . Soit $(u_{n})$ arithmétique de raison $r$ .

Premier terme $u_{0}$ : pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = u_{0} + n r$ .
Premier terme $u_{1}$ : pour tout entier $n ⩾ 1$ , $u_{n} = u_{1} + (n - 1) r$ .
Plus généralement, pour tous entiers $n$ et $p$ : $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ .

Pourquoi : pour aller de $u_{0}$ à $u_{n}$ , on ajoute la raison une fois pour chaque rang franchi, donc $n$ fois.

Deux termes connus. $u_{n} - u_{p} = (n - p) r$ , donc $r = \frac{u_{n} - u_{p}}{n - p}$ ; on revient ensuite au premier terme avec $u_{0} = u_{p} - p r$ .

Rang d’une valeur. On résout $u_{0} + n r =$ valeur : cette valeur est un terme de la suite seulement si la solution $n$ est un entier naturel.

Exemples

Premier terme de rang $1$ . $(v_{n})$ est arithmétique, $v_{1} = 12$ et $r = - 2, 5$ . Alors $v_{n} = 12 - 2, 5 (n - 1)$ , donc $v_{10} = 12 - 2, 5 \times 9 = 12 - 22, 5 = - 10, 5$ .

Deux termes connus. $(u_{n})$ est arithmétique, $u_{2} = 13, 5$ et $u_{9} = 27, 5$ . On a $u_{9} = u_{2} + 7 r$ , donc $7 r = 27, 5 - 13, 5 = 14$ et $r = 2$ . Puis $u_{0} = u_{2} - 2 r = 13, 5 - 4 = 9, 5$ : $u_{n} = 9, 5 + 2 n$ .

Un rang. Avec cette suite, $9, 5 + 2 n = 45, 5$ donne $2 n = 36$ , soit $n = 18$ : $45, 5 = u_{18}$ . En revanche, $9, 5 + 2 n = 50$ donne $n = 20, 25$ , qui n’est pas un entier : $50$ n’est pas un terme de la suite.

Dans une situation. Une médiathèque a prêté $2 600$ livres en 2026 et prévoit $150$ prêts de plus chaque année. Le nombre de prêts l’année $2026 + n$ est $p_{n} = 2 600 + 150 n$ . L’année 2035 correspond à $n = 9$ : $p_{9} = 2 600 + 1 350 = 3 950$ prêts.

Réflexe — Je repère le rang du premier terme donné : avec $u_{0}$ , la formule contient $n$ ; avec $u_{1}$ , elle contient $(n - 1)$ . Pour aller de $u_{p}$ à $u_{q}$ , j’ajoute $(q - p)$ fois la raison.

Attention — Écrire $u_{n} = u_{1} + n r$ décale toute la suite d’un rang. Et dans une situation datée, le rang est l’écart avec l’année de départ : 2035 correspond au rang $9$ , pas $10$ .

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Sens de variation et représentation graphique

Ce qu’il faut savoir

Sens de variation. Soit $(u_{n})$ arithmétique de raison $r$ . Pour tout $n$ , $u_{n + 1} - u_{n} = r$ , donc :

si $r > 0$ , la suite est strictement croissante ;
si $r < 0$ , elle est strictement décroissante ;
si $r = 0$ , elle est constante.

Le sens de variation ne dépend que de la raison, jamais du premier terme.

Représentation graphique. On place les points de coordonnées $(n; u_{n})$ . Comme $u_{n} = r n + u_{0}$ , ces points sont alignés sur la droite d’équation $y = r x + u_{0}$ , qui représente la fonction affine $f (x) = r x + u_{0}$ : $u_{n} = f (n)$ . La raison est le coefficient directeur de cette droite et $u_{0}$ son ordonnée à l’origine. On ne relie pas les points : la suite n’est définie que pour les entiers.

Réciproquement, si les points $(n; u_{n})$ sont alignés, la suite est arithmétique : d’un point au suivant, on monte (ou on descend) toujours de $r$ . Une suite arithmétique, c’est une croissance linéaire observée « point par point ».

Exemples

Sens de variation. $u_{n} = 6 - 1, 5 n$ : $(u_{n})$ est arithmétique de raison $- 1, 5 < 0$ , donc strictement décroissante, même si son premier terme $u_{0} = 6$ est positif. Ses points sont sur la droite $y = - 1, 5 x + 6$ ; $u_{4} = 0$ : le point de rang $4$ est sur l’axe des abscisses.

Lecture graphique. Les points ci-dessous représentent une suite $(u_{n})$ :

Ils sont alignés : $(u_{n})$ est arithmétique. On lit $u_{0} = 1$ et, d’un point au suivant, on monte de $1, 5$ : $r = 1, 5$ (ou bien $r = \frac{u_{4} - u_{0}}{4} = \frac{7 - 1}{4} = 1, 5$ ). Donc $u_{n} = 1 + 1, 5 n$ et $u_{10} = 1 + 15 = 16$ . La droite en pointillés a pour équation $y = 1, 5 x + 1$ .

Réflexe — Sens de variation : je regarde le signe de la raison. Sur un graphique : je lis $u_{0}$ sur l’axe des ordonnées et la raison comme la montée d’un point au suivant (ou l’écart vertical divisé par l’écart des rangs).

Attention — Une suite arithmétique n’est pas toujours croissante : avec $r < 0$ , elle décroît et finit par devenir négative, quel que soit son premier terme. Et un point de la droite dont l’abscisse n’est pas entière n’est pas un point de la suite.

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Problèmes de seuil

Ce qu’il faut savoir

Problème de seuil. Il s’agit de trouver le plus petit rang $n$ à partir duquel $u_{n}$ dépasse une valeur donnée (ou passe en dessous).

Par le calcul. Pour une suite arithmétique, $u_{n} = u_{0} + n r$ est une expression affine de $n$ : on résout l’inéquation, on prend le plus petit entier qui convient, puis on vérifie sur ce rang et sur le précédent. Sans calculatrice, on encadre le quotient entre deux multiples consécutifs : pour $\frac{200}{7}$ , $7 \times 28 = 196$ et $7 \times 29 = 203$ .

Autres outils. Un tableau de valeurs (tableur), un graphique (premier point qui franchit la droite horizontale $y = A$ ) ou un algorithme : une boucle « tant que » calcule les termes un par un et s’arrête au premier qui convient.

Pourquoi le seuil reste franchi. Si la suite est croissante, une fois la valeur dépassée, tous les termes suivants la dépassent aussi (de même vers le bas pour une suite décroissante).

Exemples

Passer sous zéro. $u_{n} = 200 - 7 n$ . On cherche le premier rang tel que $u_{n} < 0$ : $200 - 7 n < 0 ⟺ 7 n > 200 ⟺ n > \frac{200}{7}$ . Or $7 \times 28 = 196$ et $7 \times 29 = 203$ , donc $28 < \frac{200}{7} < 29$ : le plus petit entier qui convient est $n = 29$ . Vérification : $u_{28} = 200 - 196 = 4 > 0$ et $u_{29} = 200 - 203 = - 3 < 0$ .

Dépasser une valeur. $u_{n} = 45 + 6, 5 n$ et l’on cherche $u_{n} > 300$ : $6, 5 n > 255 ⟺ n > \frac{255}{6, 5}$ . Or $6, 5 \times 39 = 253, 5$ et $6, 5 \times 40 = 260$ : $n = 40$ . Vérification : $u_{39} = 45 + 253, 5 = 298, 5 < 300$ et $u_{40} = 45 + 260 = 305 > 300$ .

Avec un algorithme. Ce programme Python cherche le premier rang où $200 - 7 n$ devient strictement négatif :

n = 0
u = 200
while u >= 0:
    u = u - 7
    n = n + 1

Tant que $u ⩾ 0$ , on passe au terme suivant. En sortie de boucle, n vaut $29$ , comme par le calcul.

Réflexe — Je traduis « dépasse » par $>$ , « au moins » par $⩾$ , « passe sous » par $<$ ; je résous, je prends le plus petit entier qui convient, je vérifie $u_{n}$ et $u_{n - 1}$ , et je réponds dans le contexte (mois, année…).

Attention — Diviser une inégalité par un nombre négatif change son sens : $- 7 n < - 200 ⟺ n > \frac{200}{7}$ . Et $n > 28, 5$ donne $n = 29$ : on prend l’entier qui vérifie vraiment la condition, jamais « l’entier le plus proche ». Si l’inégalité est stricte et tombe juste ( $5 n > 65$ , soit $n > 13$ ), le rang $13$ ne convient pas.

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Pour aller plus loin

Somme de termes consécutifs. La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique vaut « nombre de termes $\times \frac{premier + dernier}{2}$ », et $1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ . Ces formules ne sont pas exigibles en tronc commun ; elles sont étudiées en spécialité : Suites arithmétiques (1re spécialité).

Croissance exponentielle. Quand une grandeur augmente d’un même pourcentage à chaque étape, on multiplie toujours par le même nombre : c’est une suite géométrique. Comparer une croissance linéaire et une croissance exponentielle est un classique de l’épreuve anticipée : Suites géométriques et croissance exponentielle.

Droites et nuages de points. Coefficient directeur et équation réduite d’une droite en automatismes : Automatismes : fonctions et lectures graphiques. Quand un nuage de points est presque aligné, on l’ajuste par une droite : Statistique à deux caractères : tableaux croisés, nuage de points, ajustement affine.

Rappels de seconde. Fonctions affines, signe de $m x + p$ et résolution d’inéquations : Fonctions affines (2nde).

À retenir

Fonction affine $f (x) = m x + p$ : droite de coefficient directeur $m = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ et d’ordonnée à l’origine $p$ ; croissante si $m > 0$ , décroissante si $m < 0$ .
$(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n + 1} = u_{n} + r$ pour tout $n$ ; on le démontre en calculant $u_{n + 1} - u_{n}$ et en vérifiant que le résultat ne dépend pas de $n$ .
$u_{n} = u_{0} + n r$ ; $u_{n} = u_{1} + (n - 1) r$ ; $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ ; avec deux termes, $r = \frac{u_{n} - u_{p}}{n - p}$ .
Le sens de variation est donné par le signe de $r$ ; les points $(n; u_{n})$ sont alignés sur la droite $y = r x + u_{0}$ , de coefficient directeur $r$ .
Seuil : inéquation en $n$ , plus petit entier qui convient, vérification sur deux rangs consécutifs, réponse dans le contexte.

Questions fréquentes

Comment trouver le coefficient directeur d’une fonction affine à partir de deux valeurs ?

On divise la différence des images par la différence des antécédents : m = (f(b) − f(a)) / (b − a). Par exemple, si f(2) = 4 et f(5) = 13, alors m = 9 ÷ 3 = 3 ; l’ordonnée à l’origine se trouve ensuite avec un point : 4 = 3 × 2 + p donne p = −2.

Comment montrer qu’une suite est arithmétique ?

On calcule uₙ₊₁ − uₙ en gardant la lettre n. Si le résultat ne dépend pas de n, la suite est arithmétique et ce nombre est sa raison : pour uₙ = 5n + 2, uₙ₊₁ − uₙ = 5. Deux différences distinctes suffisent à prouver qu’une suite n’est pas arithmétique.

Quelle est la formule du terme général d’une suite arithmétique ?

uₙ = u₀ + nr si le premier terme est u₀, et uₙ = u₁ + (n − 1)r si c’est u₁. Par exemple, avec u₁ = 3 et r = 4, u₁₀ = 3 + 9 × 4 = 39. Avec deux termes connus, la raison est l’écart des valeurs divisé par l’écart des rangs.

Comment savoir si une suite arithmétique est croissante ?

On regarde le signe de la raison : strictement croissante si r > 0, strictement décroissante si r < 0, constante si r = 0. Le premier terme ne compte pas. Sur un graphique, les points (n ; uₙ) sont alignés sur la droite y = rx + u₀, qui monte ou descend selon le signe de r.

Comment résoudre un problème de seuil sans calculatrice ?

On écrit uₙ = u₀ + nr, on résout l’inéquation, puis on encadre le quotient entre deux multiples consécutifs. Par exemple, 10 + 6n > 100 donne 6n > 90, soit n > 15 : l’inégalité est stricte, donc le rang 15 (qui donne exactement 100) ne convient pas et la réponse est n = 16.

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