Taux d'évolution moyen et indices

Complète. Pour une baisse, écris un taux négatif.

1. Hausse de $7\%$ : coefficient multiplicateur
   Augmenter de $7\%$, c’est multiplier par $1+0,07=1,07$.
2. Baisse de $35\%$ : coefficient multiplicateur
   Diminuer de $35\%$, c’est multiplier par $1-0,35=0,65$.
3. Coefficient multiplicateur $1,6$ : taux d’évolution %
   $t=CM-1=1,6-1=0,6$, soit une hausse de $60\%$.
4. Coefficient multiplicateur $0,97$ : taux d’évolution %
   $t=0,97-1=-0,03$, soit une baisse de $3\%$.

Donne le taux d’évolution global (négatif pour une baisse).

1. $+40\%$ puis $-30\%$ : %
   $CM=1,4\times 0,7=0,98$ et $0,98-1=-0,02$ : baisse de $2\%$, et non hausse de $10\%$.
2. $+10\%$ puis $+5\%$ : %
   $CM=1,1\times 1,05=1,155$ : hausse de $15,5\%$, un peu plus que $10+5=15$.
3. $-50\%$ puis $+50\%$ : %
   $CM=0,5\times 1,5=0,75$ : baisse de $25\%$. Les deux évolutions ne se compensent pas.
4. Deux baisses successives de $10\%$ : %
   $CM=0,9^2=0,81$ : baisse de $19\%$, et non de $20\%$.

Une trottinette coûte $250$ €. Son prix augmente de $12\%$, puis baisse de $25\%$.

1. Prix final : €
   $CM=1,12\times 0,75=0,84$, donc le prix final est $250\times 0,84=210$ €.
2. Taux d’évolution global (négatif pour une baisse) : %
   $0,84-1=-0,16$ : baisse de $16\%$ au total, et non de $25-12=13\%$.
3. Justifier que, si la baisse avait eu lieu avant la hausse, le prix final aurait été le même. Prix après la baisse seule : €
   Rédaction attendue. Après la baisse seule : $250\times 0,75=187,5$ €. Après la hausse : $187,5\times 1,12=210$ €. Dans les deux ordres, le prix est multiplié par $0,75\times 1,12=1,12\times 0,75=0,84$ : un produit ne dépend pas de l’ordre de ses facteurs, donc le prix final est le même.

Évolution répétée et compensation. Pour une baisse, écris un taux négatif.

1. Un prix baisse de $20\%$ par an pendant $3$ ans. Taux d’évolution global : %
   Le coefficient global est $0,8^3=0,512$, donc le taux global vaut $0,512-1=-0,488$ : baisse de $48,8\%$, et non de $60\%$.
2. Montrer qu’une hausse de taux $t$ suivie d’une baisse de taux $t$ (avec $0<t<1$) fait toujours baisser la grandeur. Pour $t=15\%$, taux global : %
   Rédaction attendue. Le coefficient global est $(1+t)(1-t)=1-t^2$. Comme $0<t<1$, on a $t^2>0$, donc $1-t^2<1$ : la grandeur baisse. Pour $t=0,15$ : $1-0,0225=0,9775$, soit une baisse de $2,25\%$.
3. Après une hausse de $60\%$, quelle évolution ramène la grandeur à sa valeur de départ ? %
   Il faut un coefficient $c$ tel que $1,6\times c=1$, donc $c={\displaystyle \frac{1}{1,6}}=0,625$ : baisse de $37,5\%$, et non de $60\%$.

Le prix d’un article, en euros, est relevé chaque année : $80$ en 2020, $84$ en 2021, $92$ en 2022 et $78$ en 2023. On prend 2020 comme année de référence.

1. Indice du prix de 2021 (base 100 en 2020) :
   ${\displaystyle \frac{84}{80}}\times 100=1,05\times 100=105$.
2. Indice de 2022 :
   ${\displaystyle \frac{92}{80}}\times 100=1,15\times 100=115$.
3. Indice de 2023 :
   ${\displaystyle \frac{78}{80}}\times 100=0,975\times 100=97,5$ : un indice inférieur à $100$, le prix est plus bas qu’en 2020.
4. Prix qui correspondrait à un indice de $120$ : €
   $V=80\times {\displaystyle \frac{120}{100}}=80\times 1,2=96$ €.

Le chiffre d’affaires d’une entreprise était de $2500$ milliers d’euros en 2019, année de référence pour les indices. L’indice vaut $88$ en 2020 et $136$ en 2023.

1. Chiffre d’affaires de 2020 : milliers d’euros
   $2500\times {\displaystyle \frac{88}{100}}=2500\times 0,88=2200$ milliers d’euros.
2. Chiffre d’affaires de 2023 : milliers d’euros
   $2500\times 1,36=3400$ milliers d’euros.
3. Taux d’évolution global entre 2019 et 2023 : %
   ${\displaystyle \frac{136-100}{100}}=0,36$ : le chiffre d’affaires a augmenté de $36\%$ depuis 2019.
4. En 2021, le chiffre d’affaires vaut $2650$ milliers d’euros. Indice de 2021 :
   ${\displaystyle \frac{2650}{2500}}\times 100=1,06\times 100=106$.

Le nombre de passagers d’une ligne de bus est suivi par un indice base 100 en 2020, année où la ligne a transporté $48000$ passagers.

1. En 2024, l’indice vaut $87,5$. Taux d’évolution depuis 2020 (négatif pour une baisse) : %
   ${\displaystyle \frac{87,5-100}{100}}=-0,125$ : baisse de $12,5\%$ (et non de $87,5\%$).
2. Nombre de passagers en 2024 :
   $48000\times {\displaystyle \frac{87,5}{100}}=48000\times 0,875=42000$ passagers.
3. Une autre ligne a transporté $5600$ passagers en 2024, d’indice $140$ en base 100 en 2020. Passagers de cette ligne en 2020 :
   $V_0=V\times {\displaystyle \frac{100}{I}}=5600\times {\displaystyle \frac{100}{140}}=4000$ passagers. Contrôle : ${\displaystyle \frac{5600}{4000}}\times 100=140$.
4. Montrer que l’indice $I$ et le taux d’évolution $t$ depuis la référence vérifient $I=100(1+t)$. Indice correspondant à une hausse de $4,5\%$ :
   Rédaction attendue. Par définition, $I={\displaystyle \frac{V}{V_0}}\times 100$, et ${\displaystyle \frac{V}{V_0}}$ est le coefficient multiplicateur depuis la référence, égal à $1+t$. Donc $I=100(1+t)$. Pour $t=0,045$ : $I=100\times 1,045=104,5$.

Une patinoire municipale a compté $25000$ entrées en 2021, $27000$ en 2022, $31000$ en 2023 et $24500$ en 2024. On prend 2021 comme année de référence.

1. Indice de 2022 :
   ${\displaystyle \frac{27000}{25000}}\times 100=108$.
2. Indice de 2023 :
   ${\displaystyle \frac{31000}{25000}}\times 100=124$.
3. Indice de 2024 :
   ${\displaystyle \frac{24500}{25000}}\times 100=98$ : la fréquentation de 2024 est inférieure de $2\%$ à celle de 2021.
4. La mairie vise un indice de $150$ en 2026. Montrer que cela revient à une hausse de $50\%$ depuis 2021 et donner le nombre d’entrées visé :
   Rédaction attendue. Un indice $150$ correspond au coefficient ${\displaystyle \frac{150}{100}}=1,5$ depuis 2021, soit $1+0,5$ : une hausse de $50\%$. Le nombre d’entrées visé est $25000\times 1,5=37500$.

L’indice d’une série (même base) passe d’une valeur à une autre. Pour une baisse, écris un taux négatif.

1. De $125$ à $150$ : taux d’évolution %
   ${\displaystyle \frac{150}{125}}=1,2$ : hausse de $20\%$ (pour $25$ points).
2. De $80$ à $100$ : taux d’évolution %
   ${\displaystyle \frac{100}{80}}=1,25$ : hausse de $25\%$, alors que l’indice gagne $20$ points.
3. De $120$ à $90$ : taux d’évolution %
   ${\displaystyle \frac{90}{120}}=0,75$ : baisse de $25\%$.
4. De $160$ à $200$ : variation de l’indice points
   $200-160=40$ points ; le taux d’évolution, lui, vaut ${\displaystyle \frac{200}{160}}-1=0,25$, soit $+25\%$.

Un indice des prix, en base 100 en 2015, vaut $112$ en 2022 et $117,6$ en 2023.

1. Variation de l’indice entre 2022 et 2023 : points
   $117,6-112=5,6$ points.
2. Taux d’évolution des prix entre 2022 et 2023 : %
   ${\displaystyle \frac{117,6}{112}}=1,05$ : hausse de $5\%$. Ce n’est pas $5,6\%$, car l’indice de départ n’est pas $100$.
3. Un produit coûtait $4,50$ € en 2015 et suit exactement cet indice. Prix en 2023, au centime : €
   L’indice $117,6$ correspond au coefficient $1,176$ depuis 2015 : $4,50\times 1,176=5,292$, soit $5,29$ €.

Le site A est passé de $40000$ à $52000$ visiteurs par mois entre 2022 et 2024, le site B de $250000$ à $300000$.

1. Indice de A en 2024 (base 100 en 2022) :
   ${\displaystyle \frac{52000}{40000}}\times 100=130$.
2. Indice de B en 2024 (base 100 en 2022) :
   ${\displaystyle \frac{300000}{250000}}\times 100=120$.
3. Différence entre les visiteurs gagnés par B et par A :
   B gagne $300000-250000=50000$ visiteurs, A en gagne $52000-40000=12000$ : différence $50000-12000=38000$.
4. Justifier quel site a la plus forte croissance relative. Écart entre les deux indices : points
   Rédaction attendue. En base 100 en 2022, les deux séries partent de $100$ : A atteint $130$ ($+30\%$), B atteint $120$ ($+20\%$). L’écart vaut $130-120=10$ points en faveur de A : A a la plus forte croissance relative, même si B gagne beaucoup plus de visiteurs en nombre, car il part d’une valeur bien plus grande.

Une série est décrite par des indices en base 100 en 2018 : $110$ en 2020, $125$ en 2022 et $135$ en 2024. On passe en base 100 en 2022.

1. Nouvel indice de 2018 :
   On divise tous les indices par $125$, puis on multiplie par $100$ : ${\displaystyle \frac{100}{125}}\times 100=80$.
2. Nouvel indice de 2020 :
   ${\displaystyle \frac{110}{125}}\times 100=88$.
3. Nouvel indice de 2024 :
   ${\displaystyle \frac{135}{125}}\times 100=108$.
4. Taux d’évolution de la série entre 2022 et 2024 : %
   ${\displaystyle \frac{135}{125}}=1,08$ : hausse de $8\%$ (lecture directe dans la nouvelle base : indice $108$).
5. Montrer que le coefficient multiplicateur entre 2018 et 2024 est le même dans les deux bases. Ce coefficient :
   Rédaction attendue. En base 100 en 2018 : ${\displaystyle \frac{135}{100}}=1,35$. En base 100 en 2022 : ${\displaystyle \frac{108}{80}}=1,35$. C’est le même quotient : changer de base divise les deux indices par le même nombre $125$, qui se simplifie dans le quotient. Les taux d’évolution ne dépendent donc pas de la base choisie.

Donne le taux d’évolution moyen par période, sans calculatrice (négatif pour une baisse).

1. $CM=1,191016$ sur $3$ périodes : %
   $1,{06}^3=1,191016$, donc $1,191{016}^{1/3}=1,06$ et $t_m=0,06$ : $+6\%$ par période.
2. $CM=0,49$ sur $2$ périodes : %
   $0,7^2=0,49$ et $0,7>0$, donc $0,{49}^{1/2}=0,7$ et $t_m=-0,3$ : $-30\%$ par période.
3. $CM=1,0201$ sur $2$ périodes : %
   $1,{01}^2=1,0201$, donc $t_m=1,01-1=0,01$ : $+1\%$ par période.
4. $CM=0,857375$ sur $3$ périodes : %
   $0,{95}^3=0,857375$, donc $t_m=0,95-1=-0,05$ : $-5\%$ par période.

Une grandeur passe de $500$ à $605$ en deux ans.

1. Coefficient multiplicateur global :
   $CM={\displaystyle \frac{605}{500}}=1,21$, soit une hausse globale de $21\%$.
2. Taux d’évolution annuel moyen : %
   $n=2$ et $1,1^2=1,21$, donc $1,{21}^{1/2}=1,1$ : $t_m=0,1$, soit $+10\%$ par an (et non $21÷2=10,5\%$).
3. Valeur au bout d’un an si la grandeur avait évolué au taux moyen :
   $500\times 1,1=550$. Vérification : $550\times 1,1=605$, on retrouve la valeur finale.

Compter les périodes, puis utiliser une valeur donnée. On donne $1,4^{1/7}\approx 1,0492$ ; $1,4^{1/8}\approx 1,0430$ ; $0,8^{1/3}\approx 0,9283$.

1. Le nombre d’abonnés d’un service est multiplié par $1,4$ entre 2018 et 2025. Nombre de périodes annuelles :
   De 2018 à 2025, il y a $2025-2018=7$ évolutions annuelles (et $8$ dates).
2. Taux d’évolution annuel moyen de ces abonnés, au centième de % : %
   $1+t_m=1,4^{1/7}\approx 1,0492$, donc $t_m\approx 0,0492$ : environ $+4,92\%$ par an.
3. Une production passe de $2000$ tonnes en 2021 à $1600$ tonnes en 2024. Taux annuel moyen, au centième de % (négatif pour une baisse) : %
   $CM={\displaystyle \frac{1600}{2000}}=0,8$ et $n=3$ : $1+t_m=0,8^{1/3}\approx 0,9283$, donc $t_m\approx -0,0717$, soit environ $-7,17\%$ par an.
4. Un élève prend $n=8$ pour les abonnés, sur la période 2018-2025. Expliquer son erreur. Taux annuel moyen (faux) qu’il obtient, au centième de % : %
   Rédaction attendue. Il calcule $1,4^{1/8}-1\approx 0,0430$, soit $4,30\%$ par an. C’est faux : on compte les évolutions, c’est-à-dire les intervalles entre deux années consécutives (2018-2019, …, 2024-2025), soit $7$ intervalles, alors qu’il y a $8$ années. Avec $n=7$, on trouve environ $4,92\%$, et la vérification le confirme : $1,0492^7\approx 1,3996$, presque exactement le coefficient global.

Une grandeur subit $n$ évolutions successives de taux $t_1$, $t_2$, …, $t_n$. On note $t_m$ son taux d’évolution moyen. On donne $1,{08}^{1/2}\approx 1,0392$.

1. Montrer que $1+t_m={[(1+t_1)(1+t_2)\cdots (1+t_n)]}^{1/n}$. Pour une hausse de $44\%$ suivie d’une baisse de $25\%$, taux d’évolution global : %
   Rédaction attendue. Notons $V_0>0$ la valeur initiale. Après les $n$ évolutions, la valeur finale est $V_0(1+t_1)(1+t_2)\cdots (1+t_n)$. Par définition, le taux moyen appliqué $n$ fois donne la même valeur finale : $V_0(1+t_m{)}^n=V_0(1+t_1)\cdots (1+t_n)$. En divisant par $V_0\ne 0$ : $(1+t_m{)}^n=(1+t_1)\cdots (1+t_n)$. Ce produit est strictement positif et $1+t_m>0$ : $1+t_m$ est le nombre positif dont la puissance $n$-ième vaut ce produit, d’où la formule. Ici $CM=1,44\times 0,75=1,08$ : hausse globale de $8\%$.
2. Taux moyen de ces deux évolutions, au centième de % : %
   $n=2$ : $1+t_m=1,{08}^{1/2}\approx 1,0392$, soit environ $+3,92\%$ par période (et non ${\displaystyle \frac{44-25}{2}}=9,5\%$).
3. Une grandeur vaut $250$ avant ces deux évolutions. Valeur finale :
   Avec les évolutions réelles : $250\times 1,44\times 0,75=250\times 1,08=270$. Avec deux fois le taux moyen : $250\times 1,0392^2\approx 269,98$, soit environ $270$ : on retrouve la même valeur finale (à l’arrondi près).

Complète (négatif pour une baisse).

1. La même hausse de $7\%$ se répète pendant $5$ ans. Taux d’évolution moyen : %
   Le coefficient global est $1,{07}^5$, et ${\left(1,{07}^5\right)}^{1/5}=1,07$ : quand toutes les évolutions sont égales, le taux moyen est ce taux commun, $+7\%$.
2. Une grandeur augmente en moyenne de $2\%$ par an pendant $3$ ans. Taux d’évolution global : %
   $CM=1,{02}^3=1,061208$ : hausse globale de $6,1208\%$, et non de $6\%$.
3. Une valeur de $1000$ baisse en moyenne de $8\%$ par an pendant $2$ ans. Valeur prévue :
   $1000\times 0,{92}^2=1000\times 0,8464=846,4$.
4. Après $+10\%$ puis $-10\%$, la moyenne des deux taux vaut $0\%$. On donne $0,{99}^{1/2}\approx 0,9950$. Taux moyen réel, au centième de % : %
   $CM=1,1\times 0,9=0,99$ et $n=2$ : $1+t_m\approx 0,9950$, soit $t_m\approx -0,50\%$ par période : la grandeur a baissé, la moyenne des taux ne le voit pas.

La population d’une commune est passée de $12500$ habitants en 2016 à $15000$ habitants en 2024. On donne $1,2^{1/8}\approx 1,0231$ et $1,2^{1/2}\approx 1,0954$.

1. Taux d’évolution global de la population entre 2016 et 2024 : %
   $CM={\displaystyle \frac{15000}{12500}}=1,2$, et $1,2-1=0,2$ : hausse globale de $20\%$ en huit ans.
2. Taux d’évolution annuel moyen, au centième de % : %
   De 2016 à 2024, $n=8$ : $1+t_m=1,2^{1/8}\approx 1,0231$, soit environ $+2,31\%$ par an.
3. Montrer que, si ce rythme se maintient, la population est multipliée par $1,2^{1/2}$ entre 2024 et 2028. Population estimée en 2028, à la centaine :
   Rédaction attendue. De 2024 à 2028, il y a $4$ ans : la population est multipliée par $(1+t_m{)}^4={\left(1,2^{1/8}\right)}^4=1,2^{4/8}=1,2^{1/2}$. Elle vaudrait donc environ $15000\times 1,0954=16431$, soit environ $16400$ habitants. C’est logique : en $4$ ans, la moitié des $8$ ans, on prend la racine carrée du coefficient de $8$ ans.

Le tarif d’un abonnement augmente de $8\%$ la première année, diminue de $3\%$ la deuxième, puis augmente de $12\%$ la troisième. On donne $1,173{312}^{1/3}\approx 1,0547$.

1. Coefficient multiplicateur sur les deux premières années :
   $1,08\times 0,97=1,0476$ : hausse de $4,76\%$ en deux ans (et non de $8-3=5\%$).
2. Taux d’évolution global sur les trois années, au centième de % : %
   $1,0476\times 1,12=1,173312$, et $1,173312-1=0,173312$ : environ $+17,33\%$ en trois ans.
3. Taux d’évolution annuel moyen, au centième de % : %
   $n=3$ : $1+t_m=1,173{312}^{1/3}\approx 1,0547$, soit environ $+5,47\%$ par an.
4. Un élève calcule la moyenne des trois taux. Résultat, au centième de % : %
   Rédaction attendue. Il calcule ${\displaystyle \frac{8-3+12}{3}}={\displaystyle \frac{17}{3}}\approx 5,67$. C’est inexact : les évolutions se composent en multipliant les coefficients, chacune s’appliquant à une valeur déjà modifiée. Avec trois hausses de $5,67\%$, on obtiendrait $1,0567^3\approx 1,1799$, plus que le coefficient réel $1,1733$. Le taux moyen se calcule avec la racine cubique du coefficient global : $5,47\%$.

Le nombre d’abonnés à un journal papier diminue de $6\%$ par an. On note $V_0$ le nombre initial d’abonnés et $V_n$ le nombre après $n$ années. On donne $0,{94}^8\approx 0,6096$ et $0,{94}^9\approx 0,5730$.

1. Exprimer $V_n$ en fonction de $V_0$ et de $n$, et préciser la nature de la suite $(V_n)$. Taux d’évolution global au bout de $2$ ans : %
   Rédaction attendue. Chaque année, le nombre d’abonnés est multiplié par $1-0,06=0,94$ : $V_{n+1}=0,94V_n$. La suite $(V_n)$ est géométrique de raison $0,94$ et de premier terme $V_0$, donc $V_n=V_0\times 0,{94}^n$. Comme $0<0,94<1$ et $V_0>0$, elle est décroissante. Au bout de $2$ ans : $0,{94}^2=0,8836$, soit une baisse de $11,64\%$ (et non de $12\%$).
2. Plus petit nombre d’années au bout duquel la baisse atteint au moins $40\%$ :
   On cherche $V_n⩽0,6V_0$, soit $0,{94}^n⩽0,6$. Or $0,{94}^8\approx 0,6096>0,6$ et $0,{94}^9\approx 0,5730⩽0,6$ ; la suite $(0,{94}^n)$ est décroissante : il faut $9$ ans.
3. Taux d’évolution global sur ces $9$ années, au centième de % : %
   Le coefficient global est $0,{94}^9\approx 0,5730$, donc le taux global vaut environ $0,5730-1=-0,4270$ : baisse d’environ $42,70\%$.
4. Le journal comptait $32000$ abonnés au départ. Nombre d’abonnés au bout de $9$ ans, à la centaine près :
   $V_9=32000\times 0,{94}^9\approx 32000\times 0,5730=18336$, soit environ $18300$ abonnés. Sur ces $9$ années, le taux annuel moyen est exactement $-6\%$ : la même évolution se répète, et ${\left(0,{94}^9\right)}^{1/9}=0,94$.

Une entreprise annonce une croissance moyenne de $20\%$ par an de son chiffre d’affaires sur les trois années de 2021 à 2024. Son chiffre d’affaires de 2021 était de $4,8$ millions d’euros.

1. Chiffre d’affaires de 2024, au centième de million d’euros :
   Coefficient global : $1,2^3=1,728$, donc $4,8\times 1,728=8,2944$, soit environ $8,29$ millions d’euros.
2. Les deux premières années, le chiffre d’affaires a augmenté de $50\%$, puis baissé de $10\%$. Évolution de la troisième année : %
   Les deux premières années donnent $1,5\times 0,9=1,35$. Le coefficient de la troisième année vérifie $1,35\times c=1,728$, donc $c={\displaystyle \frac{1,728}{1,35}}=1,28$ : hausse de $28\%$.
3. Le directeur affirme : « Si les mêmes évolutions s’étaient produites dans un autre ordre, le taux moyen aurait changé. » Justifier qu’il a tort. Coefficient global dans l’ordre $-10\%$, $+28\%$, $+50\%$ :
   Rédaction attendue. Le taux moyen ne dépend que du coefficient global et du nombre de périodes. Le coefficient global est le produit des coefficients annuels, qui ne dépend pas de l’ordre : $0,9\times 1,28\times 1,5=1,728$, comme $1,5\times 0,9\times 1,28$. Le taux moyen reste $1,{728}^{1/3}-1=0,2$ : seules les valeurs intermédiaires changeraient.