Suites arithmétiques et croissance linéaire

Pour chaque fonction affine, donne le nombre demandé.

1. $f(x)=4,5x-2$ : coefficient directeur $m=$
   $f(x)=mx+p$ avec $m=4,5$ et $p=-2$ : le coefficient directeur est le nombre qui multiplie $x$.
2. $g(x)=7-0,8x$ : ordonnée à l’origine $p=$
   $g(x)=-0,8x+7$ : $m=-0,8$ et $p=7$. L’ordre d’écriture ne change rien : $p$ est le terme sans $x$, et $g(0)=7$.
3. $h(x)=-3x+10$ : $h(4)=$
   $h(4)=-3\times 4+10=-12+10=-2$.
4. $k(x)=0,6x+2,4$ : l’antécédent de $5,4$ par $k$ est $x=$
   $0,6x+2,4=5,4⟺0,6x=3⟺x={\displaystyle \frac{3}{0,6}}=5$. Contrôle : $k(5)=3+2,4=5,4$.
5. La fonction $g(x)=7-0,8x$ est (écris croissante ou décroissante)
   Son coefficient directeur $m=-0,8$ est négatif : $g$ est strictement décroissante sur $ℝ$, même si son ordonnée à l’origine $7$ est positive.

Donne le coefficient directeur de la droite $(AB)$.

1. $A(1;4)$ et $B(3;10)$ : $m=$
   $m={\displaystyle \frac{10-4}{3-1}}={\displaystyle \frac{6}{2}}=3$.
2. $A(-2;5)$ et $B(4;2)$ : $m=$
   $m={\displaystyle \frac{2-5}{4-(-2)}}={\displaystyle \frac{-3}{6}}=-0,5$ : la droite descend, la fonction associée est décroissante.
3. $A(0;1,5)$ et $B(5;1,5)$ : $m=$
   $m={\displaystyle \frac{1,5-1,5}{5-0}}=0$ : la droite est horizontale, la fonction est constante.

Une entreprise de déneigement facture $35$ € de déplacement, puis $18$ € par heure de travail. On note $f(x)$ le prix, en euros, d’une intervention de $x$ heures.

1. Justifier que $f$ est une fonction affine et donner $f(x)$. Contrôle : $f(0,5)=$ €
   Rédaction attendue. Chaque heure ajoute la même somme, $18$ €, au prix de départ $35$ € : pour $x$ heures, $f(x)=18x+35$. C’est une fonction affine, de coefficient directeur $m=18$ (le prix d’une heure de plus) et d’ordonnée à l’origine $p=35$ (le déplacement). Contrôle : $f(0,5)=18\times 0,5+35=9+35=44$ €.
2. Durée d’une intervention facturée $170$ € : heures
   $18x+35=170⟺18x=135⟺x={\displaystyle \frac{135}{18}}=7,5$ heures, soit $7$ h $30$ min.
3. Un concurrent facture $26$ € l’heure, sans déplacement. Plus petit nombre entier d’heures à partir duquel la première entreprise est strictement moins chère :
   On cherche $18x+35<26x$, soit $35<8x$, donc $x>{\displaystyle \frac{35}{8}}=4,375$. Le plus petit entier est $5$. Contrôle : pour $4$ h, $107$ € contre $104$ € ; pour $5$ h, $125$ € contre $130$ €.

Le prix d’un abonnement annuel à un club nautique a évolué ainsi : $31$ € en 2020, $33,40$ € en 2022, $35,80$ € en 2024 et $38,20$ € en 2026. On note $x$ le nombre d’années écoulées depuis 2020.

1. Justifier que le prix a une croissance linéaire. Augmentation par an : €
   Rédaction attendue. Tous les deux ans, le prix augmente de $33,4-31=2,4$ €, puis de $35,8-33,4=2,4$ €, puis de $38,2-35,8=2,4$ € : la même hausse pendant des durées égales, la croissance est linéaire. Par an, la hausse est ${\displaystyle \frac{2,4}{2}}=1,2$ € : c’est le coefficient directeur.
2. Le prix l’année $2020+x$ s’écrit $f(x)=mx+p$. Ordonnée à l’origine $p=$
   En 2020, $x=0$ et le prix vaut $31$ € : $p=31$, donc $f(x)=1,2x+31$. Contrôle : $f(6)=7,2+31=38,2$, le prix de 2026.
3. Prix prévu en 2031 si l’évolution continue : €
   2031 correspond à $x=11$ : $f(11)=1,2\times 11+31=13,2+31=44,2$ €.
4. Première année où le prix dépasserait $50$ € :
   $1,2x+31>50⟺1,2x>19⟺x>{\displaystyle \frac{19}{1,2}}$. Or $1,2\times 15=18$ et $1,2\times 16=19,2$ : le plus petit entier est $x=16$, soit l’année $2020+16=2036$ ($f(15)=49$ €, $f(16)=50,2$ €).

Calcule le terme demandé de proche en proche.

1. $u_0=4$ et $u_{n+1}=u_n+6$ : $u_3=$
   $u_1=10$, $u_2=16$, $u_3=22$ : on ajoute $6$ à chaque rang.
2. $v_0=50$ et $v_{n+1}=v_n-7,5$ : $v_2=$
   $v_1=50-7,5=42,5$, puis $v_2=42,5-7,5=35$.
3. $w_1=-3$ et $w_{n+1}=w_n+2,4$ : $w_4=$
   Le premier terme est de rang $1$ : $w_2=-0,6$, $w_3=1,8$, $w_4=4,2$ (trois ajouts de $2,4$).
4. $t_0=2$ et $t_{n+1}=3t_n-1$ : $t_2=$
   $t_1=3\times 2-1=5$, puis $t_2=3\times 5-1=14$. Cette suite n’est pas arithmétique : $t_1-t_0=3$ mais $t_2-t_1=9$.

Chaque suite est arithmétique : donne sa raison.

1. $u_n=6n-11$ : $r=$
   $u_{n+1}-u_n=6(n+1)-11-(6n-11)=6$. Le premier terme est $u_0=-11$.
2. $w_0=9$ et $w_{n+1}=w_n-1,25$ : $r=$
   $w_{n+1}=w_n+(-1,25)$ : on ajoute toujours $-1,25$, la raison est négative.
3. $u_n={\displaystyle \frac{3n-4}{2}}$ : $r=$
   $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{3(n+1)-4-(3n-4)}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}=1,5$.
4. Au tableur, $u_0$ est en B2 et la formule =B2+r est recopiée vers le bas. On lit $17$ en B2 et $29$ en B5 : $r=$
   B5 contient $u_3$ : $u_3=u_0+3r$, donc $3r=29-17=12$ et $r=4$.

On considère la suite $(d_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $d_n={\displaystyle \frac{11n+3}{4}}$.

1. Démontrer que $(d_n)$ est arithmétique. Contrôle : raison $r=$
   Rédaction attendue. Pour tout entier naturel $n$, $d_{n+1}={\displaystyle \frac{11(n+1)+3}{4}}={\displaystyle \frac{11n+14}{4}}$. Donc $d_{n+1}-d_n={\displaystyle \frac{11n+14-11n-3}{4}}={\displaystyle \frac{11}{4}}=2,75$. Cette différence ne dépend pas de $n$ : la suite $(d_n)$ est arithmétique de raison $2,75$.
2. $d_0=$
   $d_0={\displaystyle \frac{11\times 0+3}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}=0,75$.
3. $d_{12}=$
   $d_{12}={\displaystyle \frac{11\times 12+3}{4}}={\displaystyle \frac{135}{4}}=33,75$. Contrôle avec la raison : $0,75+12\times 2,75=0,75+33=33,75$.

On considère les suites définies pour tout entier naturel $n$ par $p_n={\displaystyle \frac{5n+1}{n+2}}$ et $v_n=n^2+2n$.

1. $p_0=$
   $p_0={\displaystyle \frac{1}{2}}=0,5$.
2. Justifier que $(p_n)$ n’est pas arithmétique. Contrôle : $p_2-p_1=$
   Rédaction attendue. $p_1={\displaystyle \frac{6}{3}}=2$ et $p_2={\displaystyle \frac{11}{4}}=2,75$. Donc $p_1-p_0=2-0,5=1,5$ et $p_2-p_1=2,75-2=0,75$. Ces deux différences ne sont pas égales : $p_{n+1}-p_n$ n’est pas constante, la suite $(p_n)$ n’est pas arithmétique. Un élève qui dirait « le numérateur augmente de $5$ à chaque rang » oublie que le dénominateur change aussi.
3. $v_{n+1}-v_n=2n+$
   $v_{n+1}=(n+1{)}^2+2(n+1)=n^2+4n+3$, donc $v_{n+1}-v_n=n^2+4n+3-n^2-2n=2n+3$.
4. $v_{n+1}-v_n$ dépend de $n$ : la suite $(v_n)$ n’est pas arithmétique. Valeur de cette différence pour $n=10$ :
   $2\times 10+3=23$, alors qu’elle vaut $3$ pour $n=0$ : l’écart grandit, la suite n’est pas arithmétique.

$(a_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $a_0=-7$ et de raison $r=2,8$.

1. $a_3=$
   $a_1=-7+2,8=-4,2$ ; $a_2=-1,4$ ; $a_3=1,4$. Ou directement : $a_3=-7+3\times 2,8=-7+8,4=1,4$.
2. $a_{20}=$
   $a_n=-7+2,8n$, donc $a_{20}=-7+56=49$.
3. Rang du terme égal à $91$ : $n=$
   $-7+2,8n=91⟺2,8n=98⟺n={\displaystyle \frac{98}{2,8}}=35$. Contrôle : $a_{35}=-7+98=91$.

Calcule le terme demandé de chaque suite arithmétique.

1. $b_1=5$ et $r=3$ : $b_{15}=$
   Premier terme de rang $1$ : $b_{15}=b_1+14r=5+42=47$.
2. $c_0=5$ et $r=3$ : $c_{15}=$
   Premier terme de rang $0$ : $c_{15}=c_0+15r=5+45=50$. Même raison qu’au-dessus, mais un rang de plus à franchir.
3. $e_6=40$ et $r=-4$ : $e_{20}=$
   $e_{20}=e_6+14r=40-56=-16$.
4. $g_1=100$ et $r=-2,5$ : $g_{41}=$
   $g_{41}=g_1+40r=100-100=0$.

$(c_n)$ est une suite arithmétique telle que $c_4=10,1$ et $c_{12}=28,5$.

1. Raison $r=$
   $c_{12}=c_4+8r$, donc $8r=28,5-10,1=18,4$ et $r={\displaystyle \frac{18,4}{8}}=2,3$.
2. $c_0=$
   $c_0=c_4-4r=10,1-9,2=0,9$ : $c_n=0,9+2,3n$. Contrôle : $0,9+2,3\times 12=0,9+27,6=28,5$.
3. $c_{30}=$
   $c_{30}=0,9+2,3\times 30=0,9+69=69,9$.
4. Justifier que $50$ n’est pas un terme de la suite. Contrôle : le plus grand rang $n$ tel que $c_n<50$ est
   Rédaction attendue. $0,9+2,3n=50⟺2,3n=49,1⟺n={\displaystyle \frac{49,1}{2,3}}={\displaystyle \frac{491}{23}}$. Or $23\times 21=483$ et $23\times 22=506$ : ce quotient est entre $21$ et $22$, ce n’est pas un entier, donc $50$ n’est pas un terme de la suite. On a $c_{21}=0,9+48,3=49,2<50$ et $c_{22}=0,9+50,6=51,5>50$ : le plus grand rang tel que $c_n<50$ est $21$.
5. Plus petit rang $n$ tel que $c_n>100$ :
   $0,9+2,3n>100⟺2,3n>99,1⟺23n>991$. Or $23\times 43=989$ et $23\times 44=1012$ : $n=44$. Vérification : $c_{43}=0,9+98,9=99,8$ et $c_{44}=0,9+101,2=102,1$.

On construit une frise de carrés accolés avec des allumettes. La figure n° $1$ (un carré) demande $4$ allumettes ; chaque figure suivante s’obtient en accolant un carré de plus, ce qui demande $3$ allumettes supplémentaires. On note $a_n$ le nombre d’allumettes de la figure n° $n$, pour $n⩾1$.

1. $a_5=$
   $a_2=7$, $a_3=10$, $a_4=13$, $a_5=16$ : on ajoute $3$ allumettes par carré.
2. Démontrer que $a_n=3n+1$ pour tout $n⩾1$. Contrôle : $a_{40}=$
   Rédaction attendue. Pour tout $n⩾1$, $a_{n+1}=a_n+3$ : la suite $(a_n)$ est arithmétique de raison $3$, de premier terme $a_1=4$. Le premier terme étant de rang $1$, $a_n=a_1+(n-1)\times 3=4+3n-3=3n+1$. Contrôle : $a_{40}=120+1=121$.
3. Numéro de la figure qui demande $181$ allumettes :
   $3n+1=181⟺3n=180⟺n=60$.
4. Avec $200$ allumettes, numéro de la plus grande figure que l’on peut construire :
   $3n+1⩽200⟺3n⩽199⟺n⩽{\displaystyle \frac{199}{3}}$. Or $3\times 66=198$ et $3\times 67=201$ : $n=66$ ($a_{66}=199$ et $a_{67}=202$).

Donne le sens de variation de chaque suite : écris croissante, décroissante ou constante.

1. $u_n=3+0,2n$ : la suite est
   $u_{n+1}-u_n=0,2>0$ : la suite est arithmétique de raison positive, donc strictement croissante.
2. $u_0=100$ et $u_{n+1}=u_n-4$ : la suite est
   On ajoute $-4$ à chaque rang : raison $-4<0$, la suite est strictement décroissante, même si elle part de $100$.
3. $u_n={\displaystyle \frac{9-2n}{3}}$ : la suite est
   $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{9-2(n+1)-(9-2n)}{3}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}<0$ : strictement décroissante.
4. $u_0=-5$ et $u_{n+1}=u_n+0$ : la suite est
   La raison est nulle : tous les termes valent $-5$, la suite est constante.

Les points $(n;u_n)$ d’une suite arithmétique $(u_n)$ sont sur la droite d’équation $y=1,2x+7$.

1. $u_0=$
   $u_n=1,2n+7$ : pour $n=0$, $u_0=7$, l’ordonnée à l’origine de la droite.
2. $u_1=$
   La raison est le coefficient directeur de la droite, $r=1,2$ : $u_1=u_0+r=7+1,2=8,2$.
3. $u_5=$
   $u_5=1,2\times 5+7=6+7=13$.

Les points ci-dessous représentent les premiers termes d’une suite $(u_n)$.

1. $u_0=$
   Le point d’abscisse $0$ a pour ordonnée $8$ : $u_0=8$.
2. Justifier que $(u_n)$ est arithmétique et décroissante. Contrôle : raison $r=$
   Rédaction attendue. On lit $u_0=8$, $u_2=5$ et $u_4=2$. Les points sont alignés : d’un point au suivant, on descend toujours de $1,5$ ($u_1=6,5$, $u_2=5$, $u_3=3,5$…), donc $(u_n)$ est arithmétique de raison $r={\displaystyle \frac{u_4-u_0}{4}}={\displaystyle \frac{2-8}{4}}=-1,5$. La raison est négative : la suite est strictement décroissante.
3. $u_{12}=$
   $u_n=8-1,5n$, donc $u_{12}=8-18=-10$.
4. Premier rang pour lequel le point est sous l’axe des abscisses :
   $8-1,5n<0⟺1,5n>8⟺n>{\displaystyle \frac{16}{3}}$, soit $n>5,33\dots$ : $n=6$ ($u_5=0,5$ et $u_6=-1$).

Les points $A(3;9)$ et $B(7;3)$ appartiennent à la représentation graphique d’une suite arithmétique $(w_n)$.

1. Justifier le sens de variation de $(w_n)$. Contrôle : raison $r=$
   Rédaction attendue. Les points de la suite sont alignés et $A$, $B$ en font partie : la raison est le coefficient directeur de la droite $(AB)$, $r={\displaystyle \frac{3-9}{7-3}}={\displaystyle \frac{-6}{4}}=-1,5$. Comme $r<0$, la suite $(w_n)$ est strictement décroissante.
2. $w_0=$
   $w_0=w_3-3r=9+4,5=13,5$ : la droite a pour équation $y=-1,5x+13,5$.
3. Rang du point situé sur l’axe des abscisses :
   $13,5-1,5n=0⟺n={\displaystyle \frac{13,5}{1,5}}=9$ : le point $(9;0)$ appartient à la représentation.
4. Ordonnée du point de rang $11$ :
   $w_{11}=13,5-1,5\times 11=13,5-16,5=-3$.

Donne le plus petit entier naturel $n$ qui vérifie l’inégalité.

1. $4+3n>50$ : $n=$
   $3n>46⟺n>{\displaystyle \frac{46}{3}}$ ; $3\times 15=45$ et $3\times 16=48$ : $n=16$.
2. $120-8n<0$ : $n=$
   $8n>120⟺n>15$ (inégalité stricte) : $n=15$ donne $0$, qui n’est pas strictement négatif, donc $n=16$.
3. $2,5n+10⩾60$ : $n=$
   $2,5n⩾50⟺n⩾20$ : cette fois l’égalité est permise, $n=20$.

$(f_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $f_n=92-3,5n$.

1. Plus petit rang $n$ tel que $f_n<50$ :
   $92-3,5n<50⟺3,5n>42⟺n>12$ : l’inégalité est stricte, $f_{12}=50$ ne convient pas, donc $n=13$ ($f_{13}=46,5$).
2. Plus petit rang $n$ tel que $f_n<0$ :
   $3,5n>92⟺n>{\displaystyle \frac{92}{3,5}}$ ; $3,5\times 26=91$ et $3,5\times 27=94,5$ : $n=27$. Vérification : $f_{26}=1>0$ et $f_{27}=-2,5<0$.

Un club de lecture compte $38$ membres en septembre 2026 et en gagne $7$ chaque mois. On note $a_n$ le nombre de membres $n$ mois après septembre 2026.

1. Justifier que $a_n=38+7n$. Contrôle : $a_{12}=$
   Rédaction attendue. Chaque mois, le nombre de membres augmente de la même quantité : $a_{n+1}=a_n+7$. La suite $(a_n)$ est arithmétique de raison $7$ et de premier terme $a_0=38$, donc $a_n=38+7n$ pour tout entier naturel $n$. Contrôle : $a_{12}=38+84=122$.
2. Plus petit nombre de mois $n$ tel que le club compte strictement plus de $150$ membres :
   $38+7n>150⟺7n>112⟺n>16$ : $a_{16}=150$ exactement ne convient pas, donc $n=17$ ($a_{17}=157$), soit en février 2028.
3. Le local ne peut accueillir plus de $200$ membres. Plus grand nombre de mois $n$ pour lequel $a_n⩽200$ :
   $38+7n⩽200⟺7n⩽162$ ; $7\times 23=161$ et $7\times 24=168$ : $n=23$ ($a_{23}=199$, $a_{24}=206$).

On considère les suites définies par $u_n=500-12n$ et $v_n=140+18n$, et la fonction Python ci-dessous.
def rang():
    n = 0
    u = 500
    v = 140
    while v <= u:
        u = u - 12
        v = v + 18
        n = n + 1
    return n

1. Justifier que la suite $(d_n)$ définie par $d_n=v_n-u_n$ est arithmétique. Contrôle : sa raison vaut
   Rédaction attendue. Pour tout entier naturel $n$, $d_n=140+18n-(500-12n)=-360+30n$. Donc $d_{n+1}-d_n=-360+30(n+1)-(-360+30n)=30$ : la différence est constante, $(d_n)$ est arithmétique de raison $30$.
2. $d_0=$
   $d_0=140-500=-360$.
3. Valeur renvoyée par rang() :
   La boucle continue tant que $v⩽u$, c’est-à-dire $d_n⩽0$. Or $d_n>0⟺30n>360⟺n>12$ : pour $n=12$, $d_{12}=0$ ($u_{12}=v_{12}=356$), la boucle continue ; elle s’arrête à $n=13$. La fonction renvoie $13$.
4. Si l’on remplace v <= u par v < u, la fonction renvoie
   La boucle s’arrête dès que $v⩾u$, c’est-à-dire $d_n⩾0$ : c’est le cas dès $n=12$, où $u_{12}=v_{12}=356$.