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Maths sans spécialité 1ʳᵉ

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Taux d'évolution moyen et indices

Coefficient multiplicateur et évolutions successives (rappels), indice base 100, points d’indice et changement de base, comparaison de deux séries, racine n-ième et taux d’évolution moyen, prévisions et erreurs classiques, sans calculatrice.

À propos de cette page
Un QCM sur les indices et le taux d’évolution moyen en trois niveaux de douze questions à quatre choix : lecture d’un indice, coefficient multiplicateur, quotient d’indices, points et pourcentages, changement de base, racine n-ième, taux moyen, nombre de périodes, prévision et évolution manquante. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Un indice en base 100 en 2 018 vaut 127 en 2 024. Quel est le taux d’évolution global entre 2 018 et 2 024 ?

    • A. +27 %
    • B. +127 %
    • C. +12,7 %
    • D. +2,7 %
    Réponse

    A. +27 % — Le taux vaut (127 − 100) ÷ 100 = 0,27, soit +27 % : l’indice 127 signifie que la valeur a été multipliée par 1,27.

  2. Une grandeur passe de 200 à 250. Quel est l’indice de la valeur finale, en base 100 sur la valeur initiale ?

    • A. 105
    • B. 125
    • C. 150
    • D. 80
    Réponse

    B. 125 — 250 ÷ 200 × 100 = 125 : l’indice 125 correspond à une hausse de 25 %. 80 serait l’indice de 200 en base 100 sur 250.

  3. Quel est le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 15 % ?

    • A. 1,15
    • B. 0,15
    • C. 0,85
    • D. −0,85
    Réponse

    C. 0,85 — Une baisse de taux t = −0,15 donne CM = 1 + t = 0,85. Un coefficient multiplicateur est toujours strictement positif.

  4. Le coefficient multiplicateur global sur 2 périodes vaut 1,96. Quel est le taux d’évolution moyen par période ?

    • A. +96 %
    • B. +48 %
    • C. +39,2 %
    • D. +40 %
    Réponse

    D. +40 % — 1,4² = 1,96, donc 1,961⁄2 = 1,4 et tₘ = 0,4, soit +40 % par période. 48 % serait le taux global divisé par 2.

  5. Un indice en base 100 vaut 92. Que signifie cette valeur ?

    • A. une baisse de 8 %
    • B. une hausse de 92 %
    • C. une baisse de 92 %
    • D. une hausse de 8 %
    Réponse

    A. une baisse de 8 % — (92 − 100) ÷ 100 = −0,08 : la grandeur a diminué de 8 % depuis la date de référence.

  6. Pour a > 0 et n entier non nul, que désigne le nombre a1⁄n ?

    • A. l’inverse du nombre aⁿ
    • B. la racine n-ième de a
    • C. le produit de a par 1/n
    • D. le quotient de a par n
    Réponse

    B. la racine n-ième de a — a1⁄n est l’unique nombre positif dont la puissance n-ième vaut a : (a1⁄n)ⁿ = a.

  7. La valeur de référence vaut 500 et l’indice d’une autre valeur vaut 118. Quelle est cette valeur ?

    • A. 618
    • B. 418
    • C. 590
    • D. 564
    Réponse

    C. 590 — V = 500 × 118 ÷ 100 = 500 × 1,18 = 590. On multiplie par l’indice divisé par 100 : on n’ajoute pas 118.

  8. Une grandeur augmente de 82,25 % la première année, puis reste stable la deuxième. Quel est son taux moyen annuel ?

    • A. +82,25 %
    • B. +41,125 %
    • C. +30 %
    • D. +35 %
    Réponse

    D. +35 % — CM = 1,8225 × 1 = 1,8225 et 1,35² = 1,8225, donc tₘ = 1,35 − 1 = 0,35 : +35 % par an, et non la moitié de 82,25 %.

  9. De 2 019 à 2 025, combien d’évolutions annuelles une série compte-t-elle ?

    • A. 6
    • B. 7
    • C. 5
    • D. 8
    Réponse

    A. 6 — On compte les intervalles entre deux années consécutives : 2 025 − 2 019 = 6 évolutions, pour 7 dates.

  10. Une hausse de 50 % suivie d’une baisse de 40 % donne un taux d’évolution global de :

    • A. +10 %
    • B. −10 %
    • C. +5 %
    • D. 0 %
    Réponse

    B. −10 % — CM = 1,5 × 0,6 = 0,9, donc le taux global vaut 0,9 − 1 = −0,1 : baisse de 10 %. Additionner les taux donnerait +10 %.

  11. Dans une même base, l’indice passe de 150 à 180. Quel est le taux d’évolution ?

    • A. +30 %
    • B. +16,7 %
    • C. +20 %
    • D. +3 %
    Réponse

    C. +20 % — On divise les indices : 180 ÷ 150 = 1,2, soit +20 %. Les 30 points ne sont pas des pourcentages, car l’indice de départ n’est pas 100.

  12. Une grandeur subit trois hausses successives de 11 %. Quel est son taux d’évolution moyen ?

    • A. +33 %
    • B. +36,8 %
    • C. +3,67 %
    • D. +11 %
    Réponse

    D. +11 % — Le coefficient global est 1,11³ et (1,11³)1⁄3 = 1,11 : quand toutes les évolutions sont égales, le taux moyen est ce taux commun. 36,8 % (environ) est le taux global, 33 % la somme des taux.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. Une grandeur passe de 640 à 800 en 5 ans. On donne 1,251⁄5 ≈ 1,045 6. Quel est son taux annuel moyen, arrondi à 0,01 % ?

    • A. +4,56 %
    • B. +5,00 %
    • C. +25,00 %
    • D. +4,17 %
    Réponse

    A. +4,56 % — CM = 800 ÷ 640 = 1,25 et 1,251⁄5 ≈ 1,045 6, soit environ +4,56 % par an. Diviser le taux global (+25 %) par 5 donnerait 5 %, ce qui est inexact ; 4,17 % (25 ÷ 6) ajoute l’erreur de compter 6 dates au lieu de 5 périodes.

  2. Dans une même base, l’indice vaut 104 en 2 020 et 143 en 2 024. Quel est le taux d’évolution entre ces deux années ?

    • A. +39 %
    • B. +37,5 %
    • C. +27,3 %
    • D. +3,9 %
    Réponse

    B. +37,5 % — On divise les indices : 143 ÷ 104 = 1,375, soit +37,5 %. La différence 143 − 104 = 39 s’exprime en points, pas en pourcentage.

  3. Un prix subit trois baisses successives de 10 %. Quel est le taux d’évolution global ?

    • A. −30 %
    • B. −24,3 %
    • C. −27,1 %
    • D. −29 %
    Réponse

    C. −27,1 % — CM = 0,9³ = 0,729, donc le taux global vaut 0,729 − 1 = −0,271, soit −27,1 %. Les taux ne s’additionnent pas.

  4. Un capital augmente de 2 % par an pendant 2 ans. Que vaut l’indice final, en base 100 au départ ?

    • A. 104
    • B. 102,02
    • C. 140,4
    • D. 104,04
    Réponse

    D. 104,04 — Coefficient global : 1,02² = 1,040 4, donc l’indice vaut 104,04. Deux fois 2 % donnerait 104, ce qui oublie que la seconde hausse porte sur un capital déjà augmenté.

  5. Un prix augmente de 30 %, puis diminue de 30 %. On donne 0,911⁄2 ≈ 0,953 9. Quel est le taux moyen sur les deux périodes, arrondi à 0,01 % ?

    • A. −4,61 %
    • B. 0,00 %
    • C. −9,00 %
    • D. −4,50 %
    Réponse

    A. −4,61 % — CM = 1,3 × 0,7 = 0,91 et 0,911⁄2 ≈ 0,953 9, soit environ −4,61 % par période. −9 % est le taux global ; une hausse et une baisse de même taux ne se compensent jamais.

  6. Un prix baisse de 4 % par an pendant 6 ans. On donne 0,966 ≈ 0,782 8. Quel est le taux d’évolution global ?

    • A. −24 %
    • B. environ −21,72 %
    • C. environ −26,53 %
    • D. environ −78,28 %
    Réponse

    B. environ −21,72 % — Le coefficient global est 0,966 ≈ 0,782 8, donc le taux global vaut environ −0,217 2, soit −21,72 %. Six fois 4 % donnerait −24 %, ce qui surestime la baisse.

  7. Un indice passe de 115 à 124. On donne 124 ÷ 115 ≈ 1,078 3. Quelle lecture est correcte ?

    • A. +9 points, soit +9 %
    • B. +9 %, soit +9 points
    • C. +9 points, soit environ +7,83 %
    • D. +9 points, soit environ +7,26 %
    Réponse

    C. +9 points, soit environ +7,83 % — L’écart vaut 124 − 115 = 9 points, et le taux vaut environ 1,078 3 − 1, soit +7,83 %. Points et pourcentage ne coïncident que si l’indice de départ vaut 100.

  8. Une population double en 15 ans. On donne 21⁄15 ≈ 1,047 3. Quel est son taux annuel moyen ?

    • A. environ +6,67 %
    • B. +5 %
    • C. +15 %
    • D. environ +4,73 %
    Réponse

    D. environ +4,73 % — CM = 2 et 21⁄15 ≈ 1,047 3, soit environ +4,73 % par an. Diviser 100 % par 15 donnerait environ 6,67 %, ce qui est inexact.

  9. Une grandeur passe de 625 à 784 en 2 ans. Quel est son taux annuel moyen ?

    • A. +12 %
    • B. +12,72 %
    • C. +25,44 %
    • D. +13 %
    Réponse

    A. +12 % — CM = 784 ÷ 625 = 1,254 4 et 1,12² = 1,254 4, donc tₘ = 0,12 : +12 % par an. 25,44 % est le taux global, 12,72 % sa moitié.

  10. Le taux d’évolution moyen d’une grandeur vaut +10 % par an sur 3 ans. Quel est son taux d’évolution global ?

    • A. +30 %
    • B. +33,1 %
    • C. +31 %
    • D. +13,31 %
    Réponse

    B. +33,1 % — Le coefficient global est (1 + tₘ)³ = 1,1³ = 1,331 : hausse globale de 33,1 %, et non de 30 %.

  11. En base 100 en 2 020, l’indice d’une série vaut 90 en 2 022. Quelle hausse ramènerait la série à son niveau de 2 020 ?

    • A. +10 %
    • B. environ +9,09 %
    • C. environ +11,11 %
    • D. +90 %
    Réponse

    C. environ +11,11 % — Il faut passer de l’indice 90 à l’indice 100 : 100 ÷ 90 ≈ 1,111 1, soit environ +11,11 %. Une baisse de 10 % ne se rattrape pas par une hausse de 10 %.

  12. Une grandeur de 2 000 évolue au taux moyen de +5 % par an. Quelle valeur prévoit-on 2 ans plus tard ?

    • A. 2 200
    • B. 2 100
    • C. 2 250
    • D. 2 205
    Réponse

    D. 2 205 — 2 000 × 1,05² = 2 000 × 1,102 5 = 2 205. Ajouter deux fois 5 % de 2 000 donnerait 2 200.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Une grandeur subit deux évolutions successives de taux t₁ et t₂. De quoi dépend son taux d’évolution moyen ?

    • A. uniquement du produit (1 + t₁)(1 + t₂)
    • B. de l’ordre des deux évolutions
    • C. de la somme des deux taux t₁ + t₂
    • D. de la valeur initiale de la grandeur
    Réponse

    A. uniquement du produit (1 + t₁)(1 + t₂) — (1 + tₘ)² = (1 + t₁)(1 + t₂) : seul ce produit intervient. Il ne dépend pas de l’ordre des facteurs, et la valeur initiale se simplifie.

  2. Une hausse de 50 % est suivie d’une baisse de 50 %. On donne 0,751⁄2 ≈ 0,866 0. Quel est le taux moyen par période ?

    • A. 0 %, les taux se compensent
    • B. environ −13,40 %
    • C. exactement −25 %
    • D. environ −12,50 %
    Réponse

    B. environ −13,40 % — CM = 1,5 × 0,5 = 0,75 et 0,751⁄2 ≈ 0,866 0, soit environ −13,40 % par période. −25 % est le taux global, pas le taux moyen.

  3. En base 100 en 2 020, une série a pour indices 80 en 2 021 et 96 en 2 023. En base 100 en 2 021, l’indice de 2 023 vaut :

    • A. 116
    • B. 96
    • C. 120
    • D. 104
    Réponse

    C. 120 — On divise par l’indice de la nouvelle référence : 96 ÷ 80 × 100 = 120. Ajouter les 16 points d’écart à 100 donnerait 116.

  4. Un indice en base 100 en 2 015 vaut 80 en 2 023. Que vaut l’indice de 2 015 en base 100 en 2 023 ?

    • A. 120
    • B. 80
    • C. 180
    • D. 125
    Réponse

    D. 125 — Changer de base revient à diviser par l’indice de la nouvelle référence : 100 ÷ 80 × 100 = 125. Une baisse de 20 % se rattrape par une hausse de 25 %.

  5. On connaît le taux d’évolution moyen annuel d’une grandeur sur 6 ans. Que peut-on en déduire avec certitude ?

    • A. l’évolution globale sur les 6 années
    • B. l’évolution de chaque année séparément
    • C. la valeur initiale prise par la grandeur
    • D. le nombre d’années de baisse
    Réponse

    A. l’évolution globale sur les 6 années — Le taux moyen redonne le coefficient global par (1 + tₘ)⁶, donc l’évolution globale. Il ne dit rien du détail des années ni des valeurs elles-mêmes.

  6. Une grandeur est multipliée par 0,64 en 4 ans. On donne 0,81⁄2 ≈ 0,894 4. Quel est son taux annuel moyen, arrondi à 0,01 % ?

    • A. −9,00 %
    • B. −10,56 %
    • C. −20,00 %
    • D. −16,00 %
    Réponse

    B. −10,56 % — 0,64 = 0,8², donc 0,641⁄4 = 0,81⁄2 ≈ 0,894 4 : environ −10,56 % par an. −20 % correspondrait à 2 ans, −9 % au taux global divisé par 4.

  7. Pourquoi un taux d’évolution moyen n’existe-t-il pas si une grandeur passe d’une valeur positive à une valeur négative ?

    • A. l’indice dépasserait alors 100
    • B. le taux global dépasserait 100 %
    • C. le coefficient global serait négatif
    • D. le coefficient global vaudrait 1
    Réponse

    C. le coefficient global serait négatif — Le coefficient multiplicateur global serait négatif, or CM1⁄n n’est défini que pour un nombre strictement positif : l’égalité (1 + tₘ)ⁿ = CM n’a pas de solution utilisable.

  8. En base 100 en 2 019, les indices d’une série valent 100, puis 112, puis 106, puis 131. On donne 1,311⁄3 ≈ 1,094 2. Quel est le taux moyen annuel sur ces trois années ?

    • A. environ +10,33 %
    • B. +31 %
    • C. +9 %
    • D. environ +9,42 %
    Réponse

    D. environ +9,42 % — Seuls comptent le premier et le dernier indice : CM = 1,31 et 1,311⁄3 ≈ 1,094 2, soit environ +9,42 % par an. Les valeurs intermédiaires n’interviennent pas.

  9. Sur 2 ans : +35 % puis −40 %. Que valent la moyenne des deux taux et le taux moyen ?

    • A. −2,5 % et −10 %
    • B. −10 % et −2,5 %
    • C. −2,5 % et −2,5 %
    • D. −5 % et −10 %
    Réponse

    A. −2,5 % et −10 % — Moyenne des taux : (35 − 40) ÷ 2 = −2,5 %. Mais CM = 1,35 × 0,6 = 0,81 = 0,9², donc tₘ = −10 % par an.

  10. Le taux moyen d’une grandeur vaut −5 % par an sur 4 ans. Quel est son taux global ?

    • A. −20 %
    • B. environ −18,55 %
    • C. environ −18,45 %
    • D. environ −81,45 %
    Réponse

    B. environ −18,55 % — CM = 0,95⁴ = 0,902 5² = 0,814 506 25, donc le taux global vaut environ −18,55 %. 0,814 5 est le coefficient, pas le taux.

  11. Sur 2 ans, le taux moyen d’une grandeur vaut +10 % ; la première année, elle a augmenté de 21 %. Quelle a été son évolution la seconde année ?

    • A. −1 %
    • B. +1 %
    • C. 0 %
    • D. −11 %
    Réponse

    C. 0 % — Coefficient global : 1,1² = 1,21. Celui de la seconde année vaut 1,21 ÷ 1,21 = 1 : la grandeur est restée stable.

  12. Des indices mensuels sont relevés de janvier à décembre d’une même année. Combien de périodes compte-t-on pour le taux moyen mensuel ?

    • A. 12
    • B. 10
    • C. 13
    • D. 11
    Réponse

    D. 11 — Il y a 12 relevés, donc 11 intervalles d’un mois entre janvier et décembre.

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