Suites arithmétiques et croissance linéaire

B. uₙ = 9 − 4n — Seule uₙ = 9 − 4n est de la forme u₀ + nr : sa raison vaut −4. Les autres font intervenir un carré, une puissance ou un quotient, et leurs écarts successifs ne sont pas constants.

A. 7,2 — Dans l’écriture uₙ = u₀ + nr, le nombre qui multiplie n est la raison : r = 7,2. Le nombre 13 est le premier terme u₀, et 20,2 est la valeur de u₁.

C. 6,8 — On ajoute la raison au premier terme : u₁ = 8,4 + (−1,6) = 6,8. La réponse 10 viendrait d’une soustraction de la raison, −13,44 d’un produit.

D. strictement décroissante — Comme uₙ₊₁ − uₙ = r < 0, chaque terme est plus petit que le précédent : la suite est strictement décroissante. Ses premiers termes peuvent être positifs : le premier terme n’intervient pas dans le sens de variation.

B. 5,4 — La relation est celle d’une suite arithmétique : le nombre ajouté à chaque étape est la raison, 5,4. Elle se lit sur la relation de récurrence, sans connaître le premier terme.

C. u₀ + nr — Pour aller de u₀ à uₙ, on ajoute n fois la raison : uₙ = u₀ + nr. La formule avec (n − 1) sert quand le premier terme est u₁ ; la formule avec rⁿ ressemble à celle des suites géométriques.

D. alignés sur une droite — uₙ = u₀ + nr est une expression affine de n : les points sont sur la droite y = rx + u₀, qui ne passe par l’origine que si u₀ = 0.

A. strictement décroissante — f est affine de coefficient directeur m = −2 < 0 : elle est strictement décroissante sur ℝ. Le nombre 5 (ordonnée à l’origine) ne joue aucun rôle dans le sens de variation.

D. 4 — m = (14 − 2)/(4 − 1) = 12/3 = 4. Le nombre 12 est seulement l’écart des ordonnées, 3 l’écart des abscisses, et 1/4 vient d’une division dans le mauvais sens.

B. 31 — Le premier terme est de rang 1 : de u₁ à u₁₀, on ajoute 9 fois la raison, u₁₀ = 4 + 9 × 3 = 31. La réponse 34 vient de la formule 4 + 10 × 3, qui décale d’un rang.

A. 33 — B2 contient u₀, B3 u₁, B4 u₂ et B5 u₃ = 15 + 3 × 6 = 33. La réponse 39 correspond à u₄ : on a compté une ligne de trop, car B2 contient déjà le terme de rang 0.

C. Une tirelire qui reçoit 30 € par mois — Seule la tirelire augmente chaque mois de la même quantité (30 €) : on ajoute toujours le même nombre. Les trois autres évolutions se font en pourcentage ou en doublant : on multiplie, ce sont des suites géométriques.

C. −1,5 — On remonte de trois rangs en retirant trois fois la raison : u₀ = 4,8 − 3 × 2,1 = 4,8 − 6,3 = −1,5. Ajouter la raison au lieu de la retirer conduit à 11,1.

A. −3 — On remplace n par 12 : u₁₂ = 27 − 2,5 × 12 = 27 − 30 = −3. Le terme est négatif car la raison est négative et le rang assez grand.

D. 3,5 — On écrit u₁₀ = u₂ + 8r, donc 8r = 39 − 11 = 28 et r = 3,5. Diviser par 10 au lieu de 8, ou oublier de diviser, conduit aux autres propositions.

B. 14 — On résout 10 − 0,75n < 0, soit n > 10/0,75 = 13,33… : n = 14. On vérifie : u₁₃ = 10 − 9,75 = 0,25 > 0 et u₁₄ = 10 − 10,5 = −0,5 < 0.

C. 1,2 — On calcule uₙ₊₁ − uₙ = (6n + 1)/5 − (6n − 5)/5 = 6/5 = 1,2. La raison est 6/5, et non le numérateur 6 ; −1 est le premier terme u₀.

A. 4x − 3 — m = (21 − 5)/(6 − 2) = 16/4 = 4, puis 5 = 4 × 2 + p donne p = −3. Contrôle : f(6) = 24 − 3 = 21. L’expression 4x + 5 prend f(2) pour l’ordonnée à l’origine, 0,25x + 4,5 divise dans le mauvais sens.

D. 50 − 3n — La suite est arithmétique de raison −3 et de premier terme 50 : uₙ = u₀ + nr = 50 − 3n. Avec 47 − 3n, on aurait u₀ = 47 : c’est u₁ qui vaut 47.

B. 2 — Quand x augmente de 3, f(x) augmente de 6 : m = 6/3 = 2. Le nombre 6 est la hausse pour un pas de 3, pas pour une augmentation de 1 ; 4 est l’ordonnée à l’origine.

C. u₀ = 8 et r = −0,5 — uₙ = −0,5n + 8 : pour n = 0, u₀ = 8 (ordonnée à l’origine), et la raison est le coefficient directeur −0,5. La suite est donc décroissante, et u₁ = 7,5.

A. 13 — 12n > 150 donne n > 12,5 : le plus petit entier qui convient est 13. Le nombre 12,5 n’est pas un entier, et 12 ne convient pas : 150 + 144 = 294.

D. 3 — Entre les rangs 2 et 6, on franchit 4 rangs et l’ordonnée augmente de 12 : r = 12/4 = 3. Le nombre 12 est l’écart total, 4 l’écart des rangs.

B. 2 035 — L’année 2 026 + n, elle vaut 4 000 + 250n. 250n > 2 000 donne n > 8 : en 2 034 (n = 8), elle vaut exactement 6 000, sans le dépasser ; la première année est 2 035.

D. uₙ = n(n + 1)/2 — Pour uₙ = n(n + 1)/2, uₙ₊₁ − uₙ = n + 1, qui dépend de n. Les trois autres sont affines en n ou ajoutent toujours le même nombre : elles sont arithmétiques.

A. Elle n’est pas arithmétique — u₁ − u₀ = 3 mais u₂ − u₁ = 4 : deux différences distinctes prouvent que la différence n’est pas constante. Un contre-exemple suffit, sans connaître les termes suivants.

C. Strictement décroissante — uₙ₊₁ − uₙ = −3/7 < 0 : la suite est arithmétique de raison −3/7, donc strictement décroissante. Le signe du premier terme n’a aucune influence.

B. arithmétique de raison 2r — vₙ₊₁ − vₙ = 2uₙ₊₁ + 5 − (2uₙ + 5) = 2(uₙ₊₁ − uₙ) = 2r. Le 5 disparaît dans la différence : seule la multiplication par 2 agit sur la raison.

D. 27 — 120 − 4,5n > 0 donne n < 120/4,5 = 26,66… : les rangs 0 à 26 conviennent, soit 27 termes (on n’oublie pas le rang 0). u₂₆ = 3 > 0 et u₂₇ = −1,5 < 0.

B. Pour tous réels a et b — uₙ₊₁ − uₙ = a(n + 1) + b − (an + b) = a, constante quels que soient a et b : toute suite affine en n est arithmétique, de raison a et de premier terme b.

A. n > 22,5 — 90 − 4n < 0 ⟺ −4n < −90 ⟺ n > 22,5 : en divisant par −4, nombre négatif, on change le sens de l’inégalité. Le premier rang qui convient est 23.

C. 4 — De u₁ à u₁₀, il y a 9 rangs : 9r = 27, donc r = 3, puis u₀ = u₁ − r = 4. Diviser 27 par 10 donnerait r = 2,7 et u₀ = 4,3 ; 10 vient d’un ajout de la raison.

A. (2,5 ; 5,5) — Le point (2,5 ; 5,5) est bien sur la droite (3 × 2,5 − 2 = 5,5), mais 2,5 n’est pas un entier : ce n’est pas un rang. Les trois autres points ont une abscisse entière et vérifient y = 3x − 2.

C. 10 — 3n + 1 > 50 − 2n ⟺ 5n > 49 ⟺ n > 9,8 : n = 10. Vérification : u₉ = 28 < v₉ = 32 et u₁₀ = 31 > v₁₀ = 30.

D. 8 — u prend les valeurs 30, 26, 22, … : après k passages, u = 30 − 4k. La boucle s’arrête au premier k tel que 30 − 4k ⩽ 0, soit k ⩾ 7,5 : k = 8 (u = −2). La fonction renvoie n = 8, pas la valeur de u.

B. 2 040 — Elle gagne 18 en 6 ans, soit 3 par an. 40 + 3x = 100 donne x = 20 années après 2 020 : l’année 2 040. Compter les 20 ans à partir de 2 026 donnerait 2 046 par erreur.