Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Fonctions exponentielles x ↦ aˣ

Puissances entières et racine carrée (rappels de seconde), fonction x ↦ aˣ qui prolonge une suite géométrique, croissance et décroissance exponentielles, propriétés algébriques, exposant 1/n et fraction de période, sens de variation et courbes, seuils, temps de doublement et demi-vie, sans calculatrice.

À propos de cette page

Quatre problèmes corrigés sans calculatrice, les valeurs utiles étant données : une culture de bactéries et son temps de doublement, la lumière qui faiblit sous la surface de l’océan, deux prévisions de fréquentation d’un site (linéaire contre exponentielle) et la dépollution d’un lac avec une fonction Python de seuil.

4 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je définis le modèle : ce que représente $x$ (heures, mois, mètres de profondeur), la valeur initiale $V_{0}$ et le coefficient $a$ sur une unité (un pourcentage devient un coefficient multiplicateur).
Je justifie la croissance ou la décroissance exponentielle : « multipliée par le même nombre sur chaque unité », donc $V (x) = V_{0} \times a^{x}$ , et je compare $a$ à $1$ pour le sens de variation.
Pour une durée non entière, j’utilise les propriétés : $V (x + h) = V (x) \times a^{h}$ , $a^{0, 5} = \sqrt{a}$ , et sur $\frac{1}{n}$ d’unité le coefficient $a^{1 / n}$ ; je prends les valeurs données par l’énoncé.
Pour un seuil, je divise par $V_{0}$ , j’encadre avec deux valeurs consécutives du tableau (au pas $1$ , puis $0, 1$ ) et je conclus avec le sens de variation.
Je conclus dans le contexte (heure, mois, profondeur), avec l’unité, et je regarde si le modèle reste réaliste.

Problème 1 · Croissance d’une culture bactérienne★★★Moyen

Dans un laboratoire, on mesure toutes les heures la concentration d’une culture de bactéries, en bactéries par mL.

Temps (h)	$0$	$1$	$2$	$3$
Concentration	$1 500$	$2 130$	$3 025$	$4 295$

On donne :

\sqrt{1, 42} \approx 1, 191 6

;

1, 42^{2, 5} \approx 2, 402 8

;

1, 42^{1, 97} \approx 1, 995 3

;

1, 42^{1, 98} \approx 2, 002 3

;

1, 42^{10, 5} \approx 39, 72

;

1, 42^{10, 6} \approx 41, 14

1. Calculer les écarts et les quotients de deux mesures consécutives, puis expliquer pourquoi un modèle exponentiel convient. Écart entre la deuxième et la troisième mesure :
Rédaction attendue. Écarts : $2 130 - 1 500 = 630$ , $3 025 - 2 130 = 895$ , $4 295 - 3 025 = 1 270$ : ils ne sont pas constants, le modèle n’est pas linéaire. Quotients : $\frac{2 130}{1 500} = 1, 42$ , $\frac{3 025}{2 130} \approx 1, 420$ et $\frac{4 295}{3 025} \approx 1, 420$ : la concentration est multipliée chaque heure par presque le même nombre, $1, 42$ . Une évolution à taux constant se modélise par une croissance exponentielle.
2. On modélise la concentration par $N (x) = 1 500 \times 1, 42^{x}$ , $x$ en heures. Taux d’évolution horaire : %
Le coefficient horaire est $1, 42 = 1 + 0, 42$ : hausse de $42 %$ par heure. Comme $1, 42 > 1$ et $1 500 > 0$ , $N$ est strictement croissante.
3. Concentration au bout de $2$ h $30$ min, arrondie à l’unité : bactéries par mL
$2$ h $30$ min correspondent à $x = 2, 5$ : $N (2, 5) = 1 500 \times 1, 42^{2, 5} \approx 1 500 \times 2, 402 8 = 3 604, 2$ , soit environ $3 604$ bactéries par mL.
4. Déterminer le taux d’évolution par demi-heure, en % arrondi au centième :
Rédaction attendue. Pour tout $x ⩾ 0$ , $N (x + 0, 5) = 1 500 \times 1, 42^{x} \times 1, 42^{0, 5} = N (x) \times \sqrt{1, 42}$ . Sur toute demi-heure, la concentration est multipliée par $\sqrt{1, 42} \approx 1, 191 6$ , soit une hausse d’environ $19, 16 %$ , et non $42 \div 2 = 21 %$ .
5. À partir de combien d’heures (au centième) la concentration a-t-elle doublé ?
On cherche $1, 42^{x} ⩾ 2$ . $1, 42^{1, 97} \approx 1, 995 3 < 2$ et $1, 42^{1, 98} \approx 2, 002 3 > 2$ ; $N$ est croissante : la concentration double au bout d’environ $1, 98$ h, soit à peu près $1$ h $59$ min. C’est le temps de doublement : il ne dépend pas de la concentration de départ.
6. Le milieu ne peut pas contenir plus de $60 000$ bactéries par mL. À partir de quand (au dixième d’heure) le modèle prévoit-il de dépasser cette valeur ?
$N (x) > 60 000 ⟺ 1, 42^{x} > \frac{60 000}{1 500} = 40$ . Or $1, 42^{10, 5} \approx 39, 72 < 40$ et $1, 42^{10, 6} \approx 41, 14 > 40$ : à partir d’environ $10, 6$ h. Au-delà, le modèle n’est plus valable, car la croissance est limitée par le milieu.

Problème 2 · La lumière sous la surface de l’océan★★★Moyen

Dans une eau de mer claire, l’intensité lumineuse diminue de

12 %

par mètre de profondeur. On note

I (x)

l’intensité à

x

mètres de profondeur, en pourcentage de l’intensité en surface :

I (0) = 100

. On donne :

0, 88^{4, 5} \approx 0, 562 6

;

0, 88^{5, 4} \approx 0, 501 4

;

0, 88^{5, 5} \approx 0, 495 1

;

0, 88^{36} \approx 0, 010 03

;

0, 88^{37} \approx 0, 008 83

;

0, 75^{16} \approx 0, 010 02

;

0, 75^{17} \approx 0, 007 52

1. Exprimer $I (x)$ en fonction de $x$ et justifier le sens de variation de $I$ . Contrôle : intensité à $2$ m de profondeur, en % :
Rédaction attendue. Diminuer de $12 %$ revient à multiplier par $1 - 0, 12 = 0, 88$ à chaque mètre, d’où $I (x) = 100 \times 0, 88^{x}$ . Comme $100 > 0$ et $0 < 0, 88 < 1$ , $I$ est strictement décroissante : plus on descend, moins il y a de lumière. Contrôle : $I (2) = 100 \times 0, 88^{2} = 100 \times 0, 7744 = 77, 44$ .
2. Intensité à $4, 5$ m de profondeur, en % arrondi au dixième :
$I (4, 5) = 100 \times 0, 88^{4, 5} \approx 100 \times 0, 562 6 = 56, 26$ : environ $56, 3 %$ de l’intensité en surface.
3. À partir de quelle profondeur (au dixième de mètre) l’intensité est-elle inférieure à la moitié de celle de la surface ?
On cherche $0, 88^{x} < 0, 5$ . $0, 88^{5, 4} \approx 0, 501 4 > 0, 5$ et $0, 88^{5, 5} \approx 0, 495 1 < 0, 5$ ; $I$ est décroissante : à partir d’environ $5, 5$ m (l’intensité est divisée par $2$ entre $5, 4$ et $5, 5$ m).
4. Montrer que, pour tous $x ⩾ 0$ et $d ⩾ 0$ , $I (x + d) = I (x) \times 0, 88^{d}$ . En déduire combien de fois l’intensité est divisée par $2$ entre la surface et la profondeur où elle vaut $25 %$ :
Rédaction attendue. $I (x + d) = 100 \times 0, 88^{x + d} = 100 \times 0, 88^{x} \times 0, 88^{d} = I (x) \times 0, 88^{d}$ : descendre de $d$ mètres multiplie toujours l’intensité par $0, 88^{d}$ , quelle que soit la profondeur de départ. Avec $d$ égal à la profondeur de demi-intensité, l’intensité est donc à nouveau divisée par $2$ : $25 %$ est atteint après $2$ divisions par $2$ , à une profondeur double (entre $10, 8$ et $11$ m).
5. La photosynthèse n’est possible que si l’intensité dépasse $1 %$ de celle de la surface. Épaisseur de cette « zone éclairée », au mètre près : m
On cherche jusqu’où $0, 88^{x} > 0, 01$ . $I (36) \approx 1, 003 > 1$ et $I (37) \approx 0, 883 < 1$ : la zone éclairée a une épaisseur d’environ $36$ m.
6. Dans une eau troublée, l’intensité diminue de $25 %$ par mètre. Nouvelle épaisseur de la zone éclairée, au mètre près : m
Le coefficient devient $0, 75$ . Sans calcul : pour $x > 0$ , $0, 75 < 0, 88$ donne $0, 75^{x} < 0, 88^{x}$ , il y a moins de lumière à chaque profondeur, donc le seuil de $1 %$ est atteint plus haut. Avec les valeurs données : $0, 75^{16} \approx 0, 010 02 > 0, 01$ et $0, 75^{17} \approx 0, 007 52 < 0, 01$ : environ $16$ m, moins de la moitié de l’épaisseur en eau claire.

Problème 3 · Deux prévisions de fréquentation★★★Difficile

Un site web reçoit

5 000

visiteurs par mois à son lancement. Deux prévisions sont proposées,

x

désignant le nombre de mois écoulés (

x ⩾ 0

) :
• modèle A : la fréquentation augmente de

300

visiteurs par mois,

A (x) = 5 000 + 300 x

;
• modèle B : la fréquentation augmente de

4 %

par mois.
On donne :

1, 04^{6} \approx 1, 265 3

;

1, 04^{12} \approx 1, 601 0

;

1, 04^{20} \approx 2, 191 1

;

1, 04^{21} \approx 2, 278 8

;

1, 04^{20, 3} \approx 2, 217 1

;

1, 04^{20, 4} \approx 2, 225 8

1. Justifier que le modèle B s’écrit $B (x) = 5 000 \times 1, 04^{x}$ et donner son sens de variation. Contrôle : $B (1) =$
Rédaction attendue. Une hausse de $4 %$ par mois multiplie la fréquentation par $1, 04$ chaque mois ; sur $x$ mois, elle est multipliée par $1, 04^{x}$ , d’où $B (x) = 5 000 \times 1, 04^{x}$ . Comme $5 000 > 0$ et $1, 04 > 1$ , $B$ est strictement croissante. Contrôle : $B (1) = 5 000 \times 1, 04 = 5 200$ .
2. $B (6)$ , arrondi à l’unité :
$B (6) \approx 5 000 \times 1, 265 3 = 6 326, 5$ , soit environ $6 327$ visiteurs. Or $A (6) = 5 000 + 300 \times 6 = 6 800$ : au bout de $6$ mois, le modèle A prévoit davantage de visiteurs.
3. Taux d’évolution sur un an prévu par le modèle B, en % arrondi au dixième :
Sur $12$ mois, le coefficient est $1, 04^{12} \approx 1, 601 0$ : hausse d’environ $60, 1 %$ par an. Ce n’est pas $12 \times 4 = 48 %$ , car les hausses mensuelles se composent : chaque mois, les $4 %$ portent sur une fréquentation déjà augmentée.
4. Montrer que $B (20) < A (20)$ et $B (21) > A (21)$ . Contrôle : $A (21) =$
Rédaction attendue. $A (20) = 5 000 + 6 000 = 11 000$ et $B (20) \approx 5 000 \times 2, 191 1 = 10 955, 5$ , donc $B (20) < A (20)$ . $A (21) = 5 000 + 6 300 = 11 300$ et $B (21) \approx 5 000 \times 2, 278 8 = 11 394$ , donc $B (21) > A (21)$ .
5. À partir de combien de mois (au dixième) le modèle B dépasse-t-il le modèle A ?
D’après la question précédente, le dépassement a lieu entre $20$ et $21$ mois. $B (20, 3) \approx 5 000 \times 2, 217 1 = 11 085, 5$ , inférieur à $A (20, 3) = 11 090$ ; $B (20, 4) \approx 5 000 \times 2, 225 8 = 11 129$ , supérieur à $A (20, 4) = 11 120$ . Le modèle B dépasse le modèle A à partir d’environ $20, 4$ mois.
6. Dans le modèle B, la hausse mensuelle vaut $4 %$ de la fréquentation du moment. Hausse mensuelle quand la fréquentation atteint $10 000$ visiteurs : visiteurs
$4 %$ de $10 000$ : $0, 04 \times 10 000 = 400$ visiteurs, plus que les $300$ du modèle A. Au départ, B n’ajoute que $200$ visiteurs par mois ( $4 %$ de $5 000$ ), moins que A ; au-delà de $7 500$ visiteurs, il en ajoute plus de $300$ , et cette hausse grandit avec la fréquentation. C’est pourquoi une croissance exponentielle finit toujours par dépasser une croissance linéaire, et l’écart ne cesse ensuite de grandir.

Problème 4 · Dépollution d’un lac et algorithme de seuil★★★Difficile

Au début d’un plan de dépollution, la concentration en nitrates d’un lac vaut

62

mg/L. On admet qu’elle diminue ensuite de

9 %

par an. On note

C (x)

la concentration, en mg/L, après

x

années. On donne :

0, 91^{0, 5} \approx 0, 953 9

;

0, 91^{2, 2} \approx 0, 812 6

;

0, 91^{2, 3} \approx 0, 805 0

;

0, 91^{9, 6} \approx 0, 404 4

;

0, 91^{9, 7} \approx 0, 400 6

;

0, 91^{10} \approx 0, 389 4

1. Exprimer $C (x)$ en fonction de $x$ et étudier le sens de variation de $C$ . Contrôle : $C (2)$ , arrondi au centième : mg/L
Rédaction attendue. Le coefficient annuel est $1 - 0, 09 = 0, 91$ , d’où $C (x) = 62 \times 0, 91^{x}$ . Comme $62 > 0$ et $0 < 0, 91 < 1$ , $C$ est strictement décroissante : la concentration baisse chaque année. Contrôle : $C (2) = 62 \times 0, 91^{2} = 62 \times 0, 8281 = 51, 342 2$ , soit environ $51, 34$ mg/L.
2. Concentration au bout de $18$ mois, arrondie au dixième : mg/L
$18$ mois font $1, 5$ an : $C (1, 5) = 62 \times 0, 91^{1} \times 0, 91^{0, 5} \approx 62 \times 0, 91 \times 0, 953 9$ . Or $62 \times 0, 91 = 56, 42$ et $56, 42 \times 0, 953 9 \approx 53, 82$ : environ $53, 8$ mg/L.
3. La norme de potabilité est de $50$ mg/L. À partir de combien d’années (au dixième) la concentration passe-t-elle sous cette norme ?
$C (2, 2) \approx 62 \times 0, 812 6 \approx 50, 38 > 50$ et $C (2, 3) \approx 62 \times 0, 805 0 = 49, 91 < 50$ . $C$ est décroissante : la concentration passe sous $50$ mg/L au bout d’environ $2, 3$ ans.
4. On considère la fonction Python suivante.
def seuil(c0, coef, s): n = 0 while c0 * coef**(n/10) >= s: n = n + 1 return n/10
Valeur renvoyée par seuil(62, 0.91, 25) :
La variable n compte des dixièmes d’année : tant que la concentration à l’instant $\frac{n}{10}$ est supérieure ou égale à s, on avance d’un dixième. La fonction renvoie donc le premier instant, au dixième d’année, où la concentration est strictement inférieure à s. Ici $C (9, 6) \approx 62 \times 0, 404 4 \approx 25, 07 ⩾ 25$ et $C (9, 7) \approx 62 \times 0, 400 6 \approx 24, 84 < 25$ : la fonction renvoie 9.7.
5. Un élu annonce : « $9 %$ de baisse par an pendant $10$ ans, c’est une baisse de $90 %$ . » Baisse réelle sur $10$ ans, en % arrondi au dixième :
Les baisses ne s’additionnent pas : chaque année, les $9 %$ portent sur une concentration déjà réduite. Le coefficient sur $10$ ans est $0, 91^{10} \approx 0, 389 4$ , soit une baisse d’environ $1 - 0, 389 4 = 0, 610 6$ , c’est-à-dire $61, 1 %$ : la concentration passe de $62$ à environ $24, 1$ mg/L, loin d’une baisse de $90 %$ .

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