Combien de temps dure ce contrôle sur « Fonctions exponentielles x ↦ aˣ » ?

60 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

Le corrigé est-il fourni ?

Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de maths sans spécialité de première ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Fonctions exponentielles x ↦ aˣ » du programme officiel de maths sans spécialité en première.

Maths sans spécialité 1ʳᵉ

Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Fonctions exponentielles x ↦ aˣ

Puissances entières et racine carrée (rappels de seconde), fonction x ↦ aˣ qui prolonge une suite géométrique, croissance et décroissance exponentielles, propriétés algébriques, exposant 1/n et fraction de période, sens de variation et courbes, seuils, temps de doublement et demi-vie, sans calculatrice.

À propos de cette page

Un devoir surveillé d’une heure sur 20 points, sans calculatrice, avec corrigé détaillé : huit automatismes, des propriétés et l’exposant 1/n, des comparaisons et inéquations, une datation au carbone 14 avec des fractions de demi-vie, et un club dont les adhérents diminuent de 14 % par an.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 60 min · Noté sur 20

60:00

benprofparticulier.frMaths sans spécialité · 1ʳᵉ

Devoir surveillé – Fonctions exponentielles x ↦ aˣ

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths sans spécialité 1ʳᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Automatismes ★★

(4 pts)

Sans calculatrice. Donner chaque résultat en détaillant le calcul (0,5 point par question).

a)Calculer $25^{1, 5}$ .
b)Écrire $11^{0, 8} \times 11^{1, 2}$ sous la forme d’un entier.
c)Calculer $0, 0016^{1 / 4}$ .
d)Donner le coefficient multiplicateur associé à une baisse de $6 %$ .
e)Donner le sens de variation de $x \mapsto 0, 35^{x}$ sur $[0; + \infty [$ .
f)Comparer $1, 13^{2, 6}$ et $1, 13^{2, 06}$ .
g) $f (x) = k \times a^{x}$ avec $f (0) = 500$ et $f (1) = 600$ . Donner $k$ et $a$ .
h)Une population de bactéries double toutes les $4$ heures. Par combien est-elle multipliée en $12$ heures ?

Exercice 2 – Propriétés et exposant 1/n ★★

(4 pts)

Sans calculatrice. Justifier chaque réponse (1 point par question).

a)Simplifier ${(1, 5^{4})}^{0, 5}$ , puis donner sa valeur décimale.
b)Un élève écrit $2^{0, 5} + 2^{0, 5} = 2^{1}$ . Expliquer son erreur et écrire correctement cette somme sous la forme $2^{y}$ .
c)Calculer $8^{4 / 3}$ .
d)Un livret rapporte $6, 09 %$ par an, à intérêts composés. Déterminer le taux semestriel équivalent.

Exercice 3 – Variations, comparaisons et inéquations ★★

(4 pts)

Sans calculatrice. Justifier chaque réponse par le sens de variation d’une fonction exponentielle (1 point par question).

a)Comparer $0, 35^{0, 6}$ et $0, 45^{0, 6}$ .
b)Résoudre dans $[0; + \infty [$ l’inéquation $0, 2^{x} ⩾ 0, 008$ .
c)Résoudre dans $[0; + \infty [$ l’inéquation $3^{2 x} < 81$ .
d)Donner le sens de variation de $g (x) = 4 \times 1, 25^{x}$ sur $[0; + \infty [$ , puis comparer $g (0, 5)$ et $g (0, 7)$ .

Exercice 4 – Datation au carbone 14 ★★★

(4 pts)

Dans un organisme mort, le nombre de noyaux de carbone 14 est divisé par $2$ tous les $5 730$ ans environ : c’est la demi-vie du carbone 14. On mesure le temps $x$ en nombre de demi-vies et on note $N_{0}$ le nombre de noyaux à la mort de l’organisme, de sorte que $N (x) = N_{0} \times 0, 5^{x}$ . On donne $\sqrt{0, 5} \approx 0, 707 1$ . (1 point par question)

a)Quelle proportion des noyaux initiaux reste-t-il au bout de $11 460$ ans ?
b)Montrer qu’au bout de $2 865$ ans, il reste environ $70, 7 %$ des noyaux initiaux.
c)En déduire la proportion restante au bout de $8 595$ ans, arrondie au dixième de pourcentage.
d)Un os ne contient plus que $12, 5 %$ du carbone 14 initial. Estimer son âge.

Exercice 5 – Baisse du nombre d’adhérents ★★★

(4 pts)

Un club compte $3 200$ adhérents, et ce nombre diminue de $14 %$ par an. On note $N (x)$ le nombre d’adhérents au bout de $x$ années. On donne : $0, 86^{0, 5} \approx 0, 927 4$ ; $0, 86^{2, 5} \approx 0, 685 9$ ; $0, 86^{3, 1} \approx 0, 626 5$ ; $0, 86^{3, 2} \approx 0, 617 2$ . (1 point par question)

a)Exprimer $N (x)$ en fonction de $x$ et justifier le sens de variation de $N$ .
b)Calculer $N (2, 5)$ , arrondi à l’unité.
c)Le président affirme : « $- 14 %$ par an, c’est $- 7 %$ par semestre. » Expliquer son erreur et donner le taux semestriel, à $0, 01 %$ près.
d)À partir de combien d’années, au dixième près, le club comptera-t-il moins de $2 000$ adhérents ?

Bon courage !

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Corrigé et barème – Fonctions exponentielles x ↦ aˣ

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths sans spécialité 1ʳᵉ

Exercice 1 – Automatismes ★★

(4 pts)

a) $25^{1, 5} = 25^{1} \times 25^{0, 5} = 25 \times 5 = 125$ . (0,5)
b)Même base : $11^{0, 8 + 1, 2} = 11^{2} = 121$ . (0,5)
c) $0, 2^{4} = 0, 04^{2} = 0, 0016$ et $0, 2 > 0$ , donc $0, 0016^{1 / 4} = 0, 2$ . (0,5)
d)Coefficient multiplicateur : $1 - 0, 06 = 0, 94$ . (0,5)
e) $0 < 0, 35 < 1$ : la fonction est strictement décroissante. (0,5)
f) $1, 13 > 1$ : la fonction $x \mapsto 1, 13^{x}$ est croissante, et $2, 6 > 2, 06$ , donc $1, 13^{2, 6} > 1, 13^{2, 06}$ . (0,5)
g) $k = f (0) = 500$ et $a = \frac{f (1)}{f (0)} = \frac{600}{500} = 1, 2$ . (0,5)
h) $12$ heures font $3$ temps de doublement : multipliée par $2^{3} = 8$ . (0,5)

Repère — Une puissance d’exposant non entier se ramène à des puissances simples : a^0,5 = √a, a^(1/n) est le nombre positif dont la puissance n-ième vaut a.

Exercice 2 – Propriétés et exposant 1/n ★★

(4 pts)

a)Puissance d’une puissance : ${(1, 5^{4})}^{0, 5} = 1, 5^{4 \times 0, 5} = 1, 5^{2} = 2, 25$ . (1)
b)Aucune règle ne porte sur une somme : l’élève a additionné les exposants comme pour un produit. En fait, $2^{0, 5} + 2^{0, 5} = 2 \times 2^{0, 5} = 2^{1} \times 2^{0, 5} = 2^{1, 5}$ (environ $2, 83$ , et non $2$ ). (1)
c) $8^{1 / 3} = 2$ car $2^{3} = 8$ et $2 > 0$ ; donc $8^{4 / 3} = {(8^{1 / 3})}^{4} = 2^{4} = 16$ . (1)
d)Sur un an, le capital est multiplié par $1, 0609$ ; sur un semestre, par $1, 0609^{1 / 2} = 1, 03$ , car $1, 03^{2} = 1, 0609$ et $1, 03 > 0$ . Le taux semestriel équivalent est $3 %$ , et non $6, 09 \div 2 = 3, 045 %$ . (1)

Repère — Les propriétés portent sur des produits, des quotients et des puissances, jamais sur des sommes ; sur une fraction de période, on prend une racine du coefficient, on ne divise pas le taux.

Exercice 3 – Variations, comparaisons et inéquations ★★

(4 pts)

a)Même exposant $0, 6 > 0$ et $0 < 0, 35 < 0, 45$ : $\frac{0, 45^{0, 6}}{0, 35^{0, 6}} = {(\frac{0, 45}{0, 35})}^{0, 6} > 1$ , car $\frac{0, 45}{0, 35} > 1$ . Donc $0, 35^{0, 6} < 0, 45^{0, 6}$ . (1)
b) $0, 008 = 0, 2^{3}$ . Comme $0 < 0, 2 < 1$ , la fonction $x \mapsto 0, 2^{x}$ est strictement décroissante : $0, 2^{x} ⩾ 0, 2^{3} ⟺ x ⩽ 3$ . $S = [0; 3]$ . (1)
c) $3^{2 x} = {(3^{2})}^{x} = 9^{x}$ et $81 = 9^{2}$ . Comme $9 > 1$ , $9^{x} < 9^{2} ⟺ x < 2$ . $S = [0; 2 [$ . (1)
d) $4 > 0$ et $1, 25 > 1$ : $g$ est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ . Comme $0, 5 < 0, 7$ , $g (0, 5) < g (0, 7)$ . (1)

Repère — Pour comparer ou résoudre, on écrit tout avec la même base, puis on compare les exposants en inversant le sens si la base est comprise entre 0 et 1.

Exercice 4 – Datation au carbone 14 ★★★

(4 pts)

a) $11 460 = 2 \times 5 730$ : $x = 2$ demi-vies, et $0, 5^{2} = 0, 25$ . Il reste $25 %$ des noyaux. (1)
b) $2 865 = 0, 5 \times 5 730$ : $x = 0, 5$ , et $N (0, 5) = N_{0} \times 0, 5^{0, 5} = N_{0} \times \sqrt{0, 5} \approx 0, 707 1 N_{0}$ . Il reste environ $70, 7 %$ des noyaux, et non $75 %$ : la moitié de la baisse n’est pas atteinte à mi-parcours. (1)
c) $8 595 = 1, 5 \times 5 730$ : $N (1, 5) = N_{0} \times 0, 5^{1} \times 0, 5^{0, 5} \approx N_{0} \times 0, 5 \times 0, 707 1 = 0, 353 55 N_{0}$ : il reste environ $35, 4 %$ des noyaux, et non $37, 5 %$ (milieu de $50 %$ et $25 %$ ). (1)
d) $12, 5 % = 0, 125 = 0, 5^{3}$ . La fonction $x \mapsto 0, 5^{x}$ est strictement décroissante, donc $N (x) = 0, 125 N_{0} ⟺ x = 3$ : trois demi-vies, soit environ $3 \times 5 730 = 17 190$ ans. (1)

Repère — En prenant la demi-vie comme unité de temps, le modèle s’écrit N₀ × 0,5ˣ : une fraction de demi-vie se traite avec les propriétés de aˣ.

Exercice 5 – Baisse du nombre d’adhérents ★★★

(4 pts)

a)Baisse de $14 %$ : coefficient $1 - 0, 14 = 0, 86$ par an, donc $N (x) = 3 200 \times 0, 86^{x}$ . Comme $3 200 > 0$ et $0 < 0, 86 < 1$ , $N$ est strictement décroissante. (1)
b) $N (2, 5) \approx 3 200 \times 0, 685 9 = 2 194, 88$ , soit environ $2 195$ adhérents. (1)
c)Les taux ne se divisent pas : sur un semestre, le coefficient est $0, 86^{0, 5} \approx 0, 927 4$ , soit une baisse d’environ $1 - 0, 927 4 = 0, 072 6$ , c’est-à-dire $- 7, 26 %$ par semestre. Contrôle : deux baisses de $7 %$ donneraient $0, 93^{2} = 0, 8649$ , une baisse annuelle de $13, 51 %$ seulement. (1)
d) $N (x) < 2 000 ⟺ 0, 86^{x} < \frac{2 000}{3 200} = 0, 625$ . Or $0, 86^{3, 1} \approx 0, 626 5 > 0, 625$ et $0, 86^{3, 2} \approx 0, 617 2 < 0, 625$ . $N$ est décroissante : le club comptera moins de $2 000$ adhérents à partir d’environ $3, 2$ ans. (1)

Repère — Un seuil se ramène à comparer aˣ au quotient S ÷ V₀ ; deux valeurs consécutives qui encadrent ce quotient donnent la réponse au dixième.

Ce contrôle de maths sans spécialité 1ʳᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Fonctions exponentielles x ↦ aˣ » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Automatismes ★★/ 4 pts
Exercice 2 — Propriétés et exposant 1/n ★★/ 4 pts
Exercice 3 — Variations, comparaisons et inéquations ★★/ 4 pts
Exercice 4 — Datation au carbone 14 ★★★/ 4 pts
Exercice 5 — Baisse du nombre d’adhérents ★★★/ 4 pts

Notions évaluées

Puissance, racine carrée, suite géométrique, fonction exponentielle de base a, croissance exponentielle, décroissance exponentielle, propriétés algébriques, exposant 1/n, racine n-ième, coefficient sur une fraction de période, taux équivalent, sens de variation, courbe représentative, comparaison, inéquation, problème de seuil, temps de doublement, demi-vie, ordre de grandeur.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Fonctions exponentielles x ↦ aˣ » ?: 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de maths sans spécialité de première ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Fonctions exponentielles x ↦ aˣ » du programme officiel de maths sans spécialité en première, soit : puissances d’exposant entier et racine carrée (rappels de seconde) ; fonction x ↦ aˣ (a > 0, x ⩾ 0), prolongement des suites géométriques de raison positive ; reconnaître et modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle ; propriétés algébriques (admises) ; cas particulier de l’exposant 1/n ; sens de variation et représentation graphique ; problème de seuil par le calcul, graphiquement ou avec un outil numérique ; ordres de grandeur.

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