Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Suites arithmétiques et croissance linéaire

Fonctions affines et croissance linéaire (rappels de seconde), suite arithmétique définie par récurrence ou de façon explicite, raison, terme de rang n, sens de variation, représentation graphique et problèmes de seuil, sans calculatrice.

À propos de cette page

Quatre problèmes corrigés sans calculatrice, dans l’esprit de l’épreuve anticipée : un plan d’épargne avec formule de tableur, la dépollution d’un bassin avec un programme Python, la fréquentation d’une piste cyclable lue sur un graphique, et le recul d’un glacier imaginaire qui montre les limites d’un modèle linéaire.

4 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je définis la suite : ce que représente $n$ (mois, semaine, année), le premier terme ( $u_{0}$ ou $u_{1}$ ) et la quantité ajoutée ou retirée à chaque étape.
Je justifie qu’elle est arithmétique : « augmente (ou diminue) de la même quantité à chaque étape », donc $u_{n + 1} = u_{n} + r$ .
J’écris la forme explicite $u_{n} = u_{0} + n r$ et je calcule les termes demandés à la main.
Pour un seuil, je résous l’inéquation, j’encadre le quotient par deux multiples consécutifs et je vérifie deux rangs consécutifs.
Je conclus dans le contexte (année, nombre de semaines…) et je regarde si le modèle reste réaliste (pas de quantité négative).

Problème 1 · Un plan d’épargne mensuel★★★Facile

Le 1er janvier, Léa ouvre un compte d’épargne non rémunéré sur lequel elle dépose

250

€. À la fin de chaque mois, elle y verse

45

€. On note

u_{n}

le montant, en euros, disponible sur le compte après

n

versements mensuels ; ainsi

u_{0} = 250

. Le même jour, son frère Malo ouvre un compte identique avec un dépôt de

820

€ et des versements mensuels de

18

€ ; on note

v_{n}

le montant de son compte après

n

versements.

1. Justifier que $(u_{n})$ est arithmétique et exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ . Contrôle : $u_{1} =$ €
Rédaction attendue. D’un mois au suivant, le montant augmente toujours de $45$ € : pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = u_{n} + 45$ . La suite $(u_{n})$ est donc arithmétique de raison $45$ et de premier terme $u_{0} = 250$ , d’où $u_{n} = 250 + 45 n$ . Contrôle : $u_{1} = 295$ €.
2. Les montants sont calculés dans une feuille de tableur : $n$ en colonne A, $u_{n}$ en colonne B, et $u_{0} = 250$ en B2. Formule à saisir en B3 puis à recopier vers le bas :
Chaque cellule contient le terme précédent augmenté de $45$ : =B2+45 en B3, qui devient =B3+45 en B4 une fois recopiée, et ainsi de suite.
3. Montant disponible au bout de $3$ ans : €
$3$ ans font $36$ versements : $u_{36} = 250 + 45 \times 36 = 250 + 1 620 = 1 870$ €.
4. Nombre de versements à partir duquel le montant dépasse strictement $1 500$ € :
$250 + 45 n > 1 500 ⟺ 45 n > 1 250 ⟺ n > \frac{1 250}{45}$ . Or $45 \times 27 = 1 215$ et $45 \times 28 = 1 260$ : $n = 28$ . Vérification : $u_{27} = 1 465$ € et $u_{28} = 1 510$ €.
5. Montrer que la suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = u_{n} - v_{n}$ est arithmétique. Contrôle : sa raison vaut
Rédaction attendue. Comme pour Léa, $(v_{n})$ est arithmétique de raison $18$ et de premier terme $820$ : $v_{n} = 820 + 18 n$ . Pour tout $n$ , $w_{n} = 250 + 45 n - (820 + 18 n) = - 570 + 27 n$ , donc $w_{n + 1} - w_{n} = 27$ : la différence est constante, $(w_{n})$ est arithmétique de raison $27$ , de premier terme $w_{0} = - 570$ .
6. À partir de quel versement Léa possède-t-elle strictement plus d’argent que Malo ?
On cherche $w_{n} > 0$ : $27 n > 570 ⟺ n > \frac{570}{27}$ . Or $27 \times 21 = 567$ et $27 \times 22 = 594$ : $n = 22$ . Vérification : $u_{21} = 1 195$ € contre $v_{21} = 1 198$ € ; $u_{22} = 1 240$ € contre $v_{22} = 1 216$ €. Comme $(w_{n})$ est croissante (raison $27 > 0$ ), Léa reste devant ensuite.

Problème 2 · La dépollution d’un bassin★★★Moyen

Un bassin industriel contient

1 240

kg de boues polluées. Une station de traitement en retire

85

kg chaque semaine. On note

q_{n}

la masse de boues, en kilogrammes, restant dans le bassin après

n

semaines de traitement ; ainsi

q_{0} = 1 240

. On donne la fonction Python suivante.

def seuil():
    n = 0
    q = 1240
    while q >= 100:
        q = q - 85
        n = n + 1
    return n

1. Justifier que $(q_{n})$ est arithmétique et exprimer $q_{n}$ en fonction de $n$ . Contrôle : $q_{8} =$ kg
Rédaction attendue. Chaque semaine, la masse diminue de la même quantité : $q_{n + 1} = q_{n} - 85 = q_{n} + (- 85)$ . La suite $(q_{n})$ est arithmétique de raison $- 85$ et de premier terme $q_{0} = 1 240$ , d’où $q_{n} = 1 240 - 85 n$ . La raison est négative : la suite est décroissante, ce qui traduit la dépollution. Contrôle : $q_{8} = 1 240 - 680 = 560$ kg.
2. Au bout de combien de semaines la masse restante passe-t-elle sous $300$ kg ?
$1 240 - 85 n < 300 ⟺ 85 n > 940 ⟺ n > \frac{940}{85}$ . Or $85 \times 11 = 935$ et $85 \times 12 = 1 020$ : $n = 12$ . Vérification : $q_{11} = 305$ kg et $q_{12} = 220$ kg. La marge est faible : d’où l’intérêt de vérifier le rang précédent.
3. Valeur renvoyée par seuil() :
La boucle continue tant que $q ⩾ 100$ : la fonction renvoie le premier rang tel que $q_{n} < 100$ . $1 240 - 85 n < 100 ⟺ 85 n > 1 140$ ; $85 \times 13 = 1 105$ et $85 \times 14 = 1 190$ : $n = 14$ ( $q_{13} = 135$ kg, $q_{14} = 50$ kg).
4. Justifier que le modèle cesse d’être valable, et donner le premier rang où il donne une masse négative :
Rédaction attendue. Une masse de boues ne peut pas être négative. Or $q_{n} < 0 ⟺ 85 n > 1 240$ ; $85 \times 14 = 1 190$ et $85 \times 15 = 1 275$ , donc dès $n = 15$ : $q_{15} = 1 240 - 1 275 = - 35$ kg, ce qui n’a pas de sens. Le modèle n’est valable que jusqu’à la $14^{e}$ semaine ( $q_{14} = 50$ kg) : la dernière semaine, la station ne retire que $50$ kg.
5. Masse totale de boues extraite au bout de $12$ semaines : kg
Première méthode : $12 \times 85 = 1 020$ kg. Seconde méthode : $q_{0} - q_{12} = 1 240 - 220 = 1 020$ kg. Les deux calculs concordent.

Problème 3 · Une nouvelle piste cyclable★★★Moyen

Un compteur relève chaque semaine le nombre de passages de vélos sur une piste cyclable ouverte en mars. On note

c_{n}

le nombre de passages la semaine

n

, la semaine d’ouverture étant la semaine

0

. Le graphique donne

c_{n}

pour les six premières semaines ; les points sont alignés et on admet que l’évolution continue de la même façon.

1. Lire $c_{0}$ et $c_{2}$ , puis justifier que $(c_{n})$ est arithmétique. Contrôle : raison $r =$
Rédaction attendue. On lit $c_{0} = 1 200$ et $c_{2} = 1 500$ . Les points $(n; c_{n})$ sont alignés : la suite est arithmétique, et sa raison est le coefficient directeur de la droite, $r = \frac{c_{2} - c_{0}}{2} = \frac{1 500 - 1 200}{2} = 150$ . Chaque semaine, la piste gagne $150$ passages.
2. $c_{20} =$
$c_{n} = 1 200 + 150 n$ , donc $c_{20} = 1 200 + 3 000 = 4 200$ passages.
3. La mairie vise strictement plus de $5 000$ passages par semaine. Première semaine où l’objectif est atteint :
$1 200 + 150 n > 5 000 ⟺ 150 n > 3 800 ⟺ n > \frac{3 800}{150} = \frac{76}{3}$ . Or $3 \times 25 = 75$ et $3 \times 26 = 78$ : $n = 26$ . Vérification : $c_{25} = 4 950$ et $c_{26} = 5 100$ .
4. Sur une autre piste, ouverte la même semaine, le nombre de passages la semaine $n$ est $d_{n} = 2 000 + 90 n$ . Première semaine où la piste étudiée ( $c_{n}$ ) compte strictement plus de passages que cette autre piste :
$1 200 + 150 n > 2 000 + 90 n ⟺ 60 n > 800 ⟺ n > \frac{40}{3}$ . Or $3 \times 13 = 39$ et $3 \times 14 = 42$ : $n = 14$ . Vérification : $c_{13} = 3 150 < d_{13} = 3 170$ et $c_{14} = 3 300 > d_{14} = 3 260$ . La piste qui part plus bas la dépasse, car sa raison est plus grande.

Problème 4 · Le recul d’un glacier★★★Difficile

On étudie un glacier de montagne imaginaire dont la langue mesure

4 200

m en 2026. On suppose dans un premier temps qu’elle recule de

35

m par an. On note

L_{n}

sa longueur, en mètres, l’année

2026 + n

1. Justifier que $L_{n} = 4 200 - 35 n$ . Contrôle : $L_{10} =$ m
Rédaction attendue. Chaque année, la longueur diminue de la même quantité, $35$ m : $L_{n + 1} = L_{n} - 35$ . La suite $(L_{n})$ est arithmétique de raison $- 35$ et de premier terme $L_{0} = 4 200$ , donc $L_{n} = 4 200 - 35 n$ . Contrôle : $L_{10} = 4 200 - 350 = 3 850$ m.
2. Première année où la langue mesure moins de $3$ km :
$4 200 - 35 n < 3 000 ⟺ 35 n > 1 200 ⟺ n > \frac{1 200}{35} = \frac{240}{7}$ . Or $7 \times 34 = 238$ et $7 \times 35 = 245$ : $n = 35$ , soit l’année $2026 + 35 = 2061$ ( $L_{34} = 3 010$ m, $L_{35} = 2 975$ m).
3. Selon ce modèle, en quelle année la langue aurait-elle entièrement disparu ?
$4 200 - 35 n ⩽ 0 ⟺ n ⩾ \frac{4 200}{35} = 120$ : $L_{120} = 0$ , soit l’année $2026 + 120 = 2146$ .
4. On suppose maintenant que le recul s’accélère : $35$ m en 2026, puis $2$ m de plus chaque année. Le recul $R_{n}$ de l’année $2026 + n$ forme une suite arithmétique : $R_{10} =$ m
$(R_{n})$ est arithmétique de premier terme $R_{0} = 35$ et de raison $2$ : $R_{n} = 35 + 2 n$ , donc $R_{10} = 35 + 20 = 55$ m.
5. Première année où le recul annuel dépasse strictement $100$ m :
$35 + 2 n > 100 ⟺ 2 n > 65 ⟺ n > 32, 5$ : $n = 33$ , soit l’année $2059$ ( $R_{32} = 99$ m, $R_{33} = 101$ m). Dans ce second modèle, la longueur $L_{n}$ ne diminue plus de la même quantité chaque année : elle n’est plus une suite arithmétique, et le glacier disparaît bien avant 2146.

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