Fonctions exponentielles x ↦ aˣ et variation exponentielle

Fonctions x ↦ aˣ (a > 0), propriétés algébriques, sens de variation, lien avec les suites géométriques et les évolutions à taux constant

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Fonctions exponentielles x ↦ aˣ et variation exponentielle » en première permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de première et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, Des suites géométriques aux fonctions x ↦ aˣ, Propriétés algébriques, Sens de variation et courbes. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser mathématiques en première.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Images d'une fonction exponentielle

Facile

On considère la fonction $f$ définie sur $[0; + \infty [$ par $f (x) = 4^{x}$ .

a) Calculer $f (0)$ , $f (1)$ et $f (3)$ .
b) Calculer, sans calculatrice, $f (0, 5)$ et $f (1, 5)$ .
c) En déduire $f (2, 5)$ sans calculatrice.
d) Montrer que, pour tout $x ⩾ 0$ , $f (x + 0, 5) = 2 f (x)$ .

a) $f (0) = 4^{0} = 1$ ; $f (1) = 4^{1} = 4$ ; $f (3) = 4^{3} = 64$ . Donc $f (0) = 1$ , $f (1) = 4$ , $f (3) = 64$ .

b) $f (0, 5) = 4^{0, 5} = \sqrt{4} = 2$ . Avec $a^{x + y} = a^{x} \times a^{y}$ : $f (1, 5) = 4^{1 + 0, 5} = 4^{1} \times 4^{0, 5} = 4 \times 2 = 8$ . Donc $f (0, 5) = 2$ et $f (1, 5) = 8$ .

c) $f (2, 5) = 4^{2 + 0, 5} = 4^{2} \times 4^{0, 5} = 16 \times 2$ , donc $f (2, 5) = 32$ .

d) Pour tout $x ⩾ 0$ : $f (x + 0, 5) = 4^{x + 0, 5} = 4^{x} \times 4^{0, 5} = 4^{x} \times 2 = 2 f (x)$ . Augmenter $x$ de 0,5 double la valeur de $f$ , quel que soit $x$ : le temps de doublement de $f$ vaut 0,5.

Exercice 2 — Sens de variation et comparaisons

Facile

a) Donner, en justifiant, le sens de variation sur $[0; + \infty [$ des fonctions $x \mapsto 0, 62^{x}$ , $x \mapsto 1, 018^{x}$ et $x \mapsto {(\frac{5}{3})}^{x}$ .
b) Comparer, sans calculatrice, $0, 62^{2, 4}$ et $0, 62^{3, 1}$ .
c) Comparer, sans calculatrice, $1, 018^{0, 8}$ et $1$ .
d) Un élève affirme : « $x \mapsto {(\frac{5}{3})}^{x}$ est décroissante, car sa base est une fraction. » Expliquer son erreur.

a) Le sens de variation de $x \mapsto a^{x}$ dépend de la position de $a$ par rapport à 1.
• $0 < 0, 62 < 1$ : $x \mapsto 0, 62^{x}$ est strictement décroissante.
• $1, 018 > 1$ : $x \mapsto 1, 018^{x}$ est strictement croissante.
• $\frac{5}{3} \approx 1, 67 > 1$ : $x \mapsto {(\frac{5}{3})}^{x}$ est strictement croissante.

b) La fonction $x \mapsto 0, 62^{x}$ est strictement décroissante et $2, 4 < 3, 1$ , donc l'ordre s'inverse : $0, 62^{2, 4} > 0, 62^{3, 1}$ .

c) On écrit $1 = 1, 018^{0}$ . La fonction $x \mapsto 1, 018^{x}$ est strictement croissante et $0, 8 > 0$ , donc $1, 018^{0, 8} > 1$ .

d) Le critère n'est pas l'écriture de la base mais sa comparaison avec 1. Ici $\frac{5}{3} > 1$ (numérateur plus grand que le dénominateur), donc la fonction est croissante. Une base fractionnaire donne une fonction décroissante seulement si elle est comprise entre 0 et 1, comme $\frac{3}{5}$ .

Exercice 3 — Propriétés algébriques

Facile

Écrire chaque nombre sous forme d'un entier, sans calculatrice, en citant la propriété utilisée.

a) $A = 2^{0, 7} \times 2^{3, 3}$
b) $B = {(6^{1, 5})}^{2}$
c) $C = \frac{12^{2, 7}}{12^{0, 7}}$
d) $D = 0, 5^{0, 5} \times 98^{0, 5}$
e) $E = 625^{1 / 4}$

a) Produit de puissances de même base : $a^{x} \times a^{y} = a^{x + y}$ . $A = 2^{0, 7 + 3, 3} = 2^{4}$ , donc $A = 16$ .

b) Puissance d'une puissance : $(a^{x})^{y} = a^{x y}$ . $B = 6^{1, 5 \times 2} = 6^{3}$ , donc $B = 216$ .

c) Quotient : $\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$ (ici $2, 7 ⩾ 0, 7$ ). $C = 12^{2, 7 - 0, 7} = 12^{2}$ , donc $C = 144$ .

d) Même exposant : $a^{x} \times b^{x} = (a b)^{x}$ . $D = (0, 5 \times 98)^{0, 5} = 49^{0, 5} = \sqrt{49}$ , donc $D = 7$ .

e) $E$ est le réel positif dont la puissance 4 vaut 625. Or $5^{4} = 625$ , donc $E = 5$ .

Exercice 4 — D'une suite géométrique à une fonction

Moyen

Un biologiste estime qu'un étang comptait 800 carpes début 2024 et que leur nombre diminue de 15 % par an. On note $u_{n}$ le nombre de carpes au bout de $n$ années.

a) Justifier que la suite $(u_{n})$ est géométrique ; préciser sa raison et exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
b) On prolonge le modèle par $f (x) = 800 \times 0, 85^{x}$ pour $x ⩾ 0$ . Calculer $f (2, 5)$ , arrondi à l'unité, et interpréter.
c) Calculer $f (0, 5)$ et en déduire le taux d'évolution du nombre de carpes sur six mois, à 0,01 % près.
d) Déterminer le sens de variation de $f$ en justifiant.

a) Diminuer de 15 % revient à multiplier par $1 - 0, 15 = 0, 85$ . Donc $u_{n + 1} = 0, 85 u_{n}$ pour tout $n$ : la suite est géométrique de raison 0,85 et de premier terme $u_{0} = 800$ , d'où $u_{n} = 800 \times 0, 85^{n}$ .

b) $f (2, 5) = 800 \times 0, 85^{2, 5} \approx 800 \times 0, 666 1 \approx 532, 9$ . Au bout de deux ans et demi, c'est-à-dire mi-2026, l'étang compterait environ 533 carpes.

c) $f (0, 5) = 800 \times 0, 85^{0, 5} = 800 \sqrt{0, 85} \approx 737, 6$ : environ 738 carpes mi-2024. Sur six mois, le coefficient multiplicateur est $0, 85^{0, 5} \approx 0, 922 0$ ; le taux vaut $0, 922 0 - 1 \approx - 0, 078 0$ : baisse d'environ 7,80 % par semestre (et non 7,5 %).

d) Comme $0 < 0, 85 < 1$ , $x \mapsto 0, 85^{x}$ est strictement décroissante. Multiplier par le réel positif 800 conserve le sens de variation : $f$ est strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ .

Exercice 5 — Élimination d'un médicament

Moyen

Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang vaut 12 mg/L, puis elle diminue de 18 % par heure. On note $C (x)$ la concentration (en mg/L) $x$ heures après l'injection.

a) Exprimer $C (x)$ en fonction de $x$ .
b) Calculer $C (3, 5)$ , arrondi au centième.
c) Le médicament n'est plus actif en dessous de 3 mg/L. Déterminer par tâtonnement, au dixième d'heure près, à partir de quand ce seuil est franchi.
d) Une infirmière affirme qu'en 3 h 30 la concentration a baissé de $18 \times 3, 5 = 63$ %. Expliquer son erreur.

a) Une baisse de 18 % correspond au coefficient $1 - 0, 18 = 0, 82$ par heure, d'où $C (x) = 12 \times 0, 82^{x}$ pour $x ⩾ 0$ .

b) $C (3, 5) = 12 \times 0, 82^{3, 5} \approx 12 \times 0, 499 3$ , donc $C (3, 5) \approx 5, 99$ mg/L.

c) Comme $0 < 0, 82 < 1$ , $C$ est strictement décroissante. Au pas 1 : $C (6) = 12 \times 0, 82^{6} \approx 3, 648$ et $C (7) \approx 2, 991$ : le seuil est franchi entre 6 h et 7 h. Au pas 0,1 : $C (6, 9) \approx 3, 051 > 3$ et $C (7, 0) \approx 2, 991 < 3$ . La concentration passe sous 3 mg/L au bout d'environ 7,0 heures.

d) Les baisses successives ne s'additionnent pas : elles se multiplient, et chaque baisse de 18 % porte sur une concentration déjà diminuée. Le coefficient sur 3,5 h est $0, 82^{3, 5} \approx 0, 499 3$ , soit une baisse réelle d'environ 50,1 %, et non 63 %.

Exercice 6 — Exposant 1/n et taux équivalents

Moyen

a) Calculer sans calculatrice $32^{1 / 5}$ et $0, 062 5^{1 / 4}$ .
b) Le nombre d'utilisateurs d'une application a augmenté de 69 % en deux ans, à taux annuel constant. Déterminer ce taux annuel.
c) Déterminer le taux trimestriel équivalent à une hausse annuelle de 8 %, arrondi à 0,01 %.
d) Justifier qu'une hausse de 2 % par trimestre pendant un an ne correspond pas à une hausse annuelle de 8 %.

a) $2^{5} = 32$ et $2 > 0$ , donc $32^{1 / 5} = 2$ . $0, 5^{4} = 0, 062 5$ et $0, 5 > 0$ , donc $0, 062 5^{1 / 4} = 0, 5$ .

b) Le coefficient sur deux ans est $1, 69$ . Le coefficient annuel $c > 0$ vérifie $c^{2} = 1, 69$ , donc $c = 1, 69^{1 / 2} = 1, 3$ (car $1, 3^{2} = 1, 69$ ). Le taux annuel est +30 %.

c) Un an = 4 trimestres. Le coefficient trimestriel est $1, 08^{1 / 4} \approx 1, 019 43$ , d'où un taux trimestriel d'environ 1,94 %.

d) Quatre hausses de 2 % donnent le coefficient $1, 02^{4} = 1, 082 432 16$ , soit une hausse annuelle d'environ 8,24 % : les hausses se composent, chacune s'appliquant à une valeur déjà augmentée. C'est cohérent avec c) : le taux trimestriel équivalent à 8 % est inférieur à 2 %.

Exercice 7 — Temps de doublement d'une population

Moyen

Une ville compte 42 000 habitants et sa population augmente de 2,5 % par an. On modélise la population par $P (x) = 42 000 \times 1, 025^{x}$ , $x$ désignant le nombre d'années écoulées.

a) Justifier l'expression de $P (x)$ et le sens de variation de $P$ .
b) Calculer $P (28)$ et $P (29)$ , arrondis à l'unité.
c) En déduire un encadrement du temps de doublement de la population, puis l'affiner au dixième d'année par tâtonnement.
d) Montrer que ce temps de doublement ne dépend pas de la population initiale.

a) Une hausse de 2,5 % par an multiplie la population par $1, 025$ chaque année ; au bout de $x$ années, elle est multipliée par $1, 025^{x}$ , d'où $P (x) = 42 000 \times 1, 025^{x}$ . Comme $1, 025 > 1$ et $42 000 > 0$ , $P$ est strictement croissante.

b) $P (28) = 42 000 \times 1, 025^{28} \approx 42 000 \times 1, 996 5 \approx$ 83 853 ; $P (29) \approx 42 000 \times 2, 046 4 \approx$ 85 949.

c) La population a doublé quand $P (x) = 84 000$ . Or $P (28) < 84 000 < P (29)$ et $P$ est croissante : le doublement a lieu entre 28 et 29 ans. Au pas 0,1 : $P (28, 1) = 42 000 \times 1, 025^{28, 1} \approx 84 060 > 84 000$ . Le doublement a donc lieu entre 28,0 et 28,1 ans : environ 28,1 ans.

d) Pour une population initiale $P_{0} > 0$ quelconque : $P_{0} \times 1, 025^{x} = 2 P_{0} ⟺ 1, 025^{x} = 2$ (on divise par $P_{0} \neq 0$ ). L'équation ne contient plus $P_{0}$ : le temps de doublement ne dépend que du taux.

Exercice 8 — Comparer et résoudre

Difficile

a) Comparer $1, 6^{0, 75}$ et $2, 5^{0, 75}$ sans calculatrice.
b) Montrer que, pour tout $x ⩾ 0$ , $1, 6^{x} \times 0, 625^{x} = 1$ .
c) En déduire le sens de variation de $x \mapsto 0, 625^{x}$ à partir de celui de $x \mapsto 1, 6^{x}$ .
d) Résoudre dans $[0; + \infty [$ l'inéquation $2, 5^{x} ⩾ 6, 25$ .
e) Résoudre dans $[0; + \infty [$ l'inéquation $0, 4^{x + 1} > 0, 064$ .

a) On a $0 < 1, 6 < 2, 5$ et l'exposant $0, 75$ est strictement positif. Or, si $0 < a < b$ , alors $a^{x} < b^{x}$ pour tout $x > 0$ . Donc $1, 6^{0, 75} < 2, 5^{0, 75}$ .

b) Avec $a^{x} \times b^{x} = (a b)^{x}$ : $1, 6^{x} \times 0, 625^{x} = (1, 6 \times 0, 625)^{x} = 1^{x} = 1$ . L'égalité est démontrée.

c) D'après b), $0, 625^{x} = \frac{1}{1, 6^{x}}$ . Comme $1, 6 > 1$ , $x \mapsto 1, 6^{x}$ est strictement croissante et à valeurs strictement positives ; son inverse est donc strictement décroissant. $x \mapsto 0, 625^{x}$ est strictement décroissante, ce qui est cohérent avec $0 < 0, 625 < 1$ .

d) $6, 25 = 2, 5^{2}$ . Comme $2, 5 > 1$ , $x \mapsto 2, 5^{x}$ est strictement croissante : $2, 5^{x} ⩾ 2, 5^{2} ⟺ x ⩾ 2$ . $S = [2; + \infty [$ .

e) $0, 064 = 0, 4^{3}$ . Comme $0 < 0, 4 < 1$ , $x \mapsto 0, 4^{x}$ est strictement décroissante, donc l'ordre s'inverse : $0, 4^{x + 1} > 0, 4^{3} ⟺ x + 1 < 3 ⟺ x < 2$ . Avec $x ⩾ 0$ : $S = [0; 2 [$ .

Exercice 9 — Retrouver un modèle exponentiel

Difficile

Une grandeur est modélisée par $f (x) = k \times a^{x}$ , avec $k > 0$ et $a > 0$ , pour $x ⩾ 0$ . On sait que $f (0) = 250$ et $f (2) = 490$ .

a) Déterminer $k$ , puis $a$ .
b) Calculer $f (3, 5)$ , arrondi au dixième.
c) Déterminer le taux d'évolution de $f$ par demi-unité de temps, arrondi à 0,01 %.
d) Un élève répond « 20 % » à la question c). Expliquer son erreur.

a) $f (0) = k \times a^{0} = k$ , donc $k = 250$ . Ensuite $f (2) = 250 a^{2} = 490$ , d'où $a^{2} = \frac{490}{250} = 1, 96$ . Les réels de carré 1,96 sont $1, 4$ et $- 1, 4$ ; comme $a > 0$ , $a = 1, 4$ .

b) $f (3, 5) = 250 \times 1, 4^{3, 5} = 250 \times 1, 4^{3} \times 1, 4^{0, 5} = 250 \times 2, 744 \times \sqrt{1, 4} \approx 250 \times 3, 246 7$ , donc $f (3, 5) \approx 811, 7$ .

c) Pour tout $x ⩾ 0$ , $f (x + 0, 5) = 250 \times 1, 4^{x} \times 1, 4^{0, 5} = f (x) \times \sqrt{1, 4}$ . Le coefficient par demi-unité est $\sqrt{1, 4} \approx 1, 183 2$ : hausse d'environ 18,32 % par demi-unité.

d) L'élève a divisé par 2 le taux de 40 % par unité. Mais deux hausses successives de 20 % donnent le coefficient $1, 2^{2} = 1, 44 \neq 1, 4$ : les taux se composent, ils ne se partagent pas. Le coefficient sur une demi-unité est la racine carrée du coefficient sur une unité.

Exercice 10 — Demi-vie d'un isotope

Difficile

Un échantillon contient 40 g d'un isotope radioactif dont la masse diminue de 3 % par jour. On note $m (x)$ la masse (en g) restante après $x$ jours.

a) Exprimer $m (x)$ en fonction de $x$ .
b) Montrer que, pour tous réels $x ⩾ 0$ et $h ⩾ 0$ , le quotient $\frac{m (x + h)}{m (x)}$ ne dépend que de $h$ .
c) Déterminer par tâtonnement, au dixième de jour près, la demi-vie de cet isotope.
d) Sans nouveau tâtonnement, estimer au bout de combien de jours il reste 10 g. Justifier.
e) Un élève affirme qu'au bout de 34 jours il ne reste plus rien, car $3 \times 34 > 100$ . Expliquer son erreur et calculer la masse restante au dixième de gramme.

a) Le coefficient journalier est $1 - 0, 03 = 0, 97$ , donc $m (x) = 40 \times 0, 97^{x}$ .

b) $\frac{m (x + h)}{m (x)} = \frac{40 \times 0, 97^{x + h}}{40 \times 0, 97^{x}} = \frac{0, 97^{x} \times 0, 97^{h}}{0, 97^{x}} = 0, 97^{h}$ . Le quotient vaut $0, 97^{h}$ : il ne dépend que de la durée $h$ , pas de l'instant $x$ .

c) On cherche $x$ tel que $0, 97^{x} = 0, 5$ ; la fonction est strictement décroissante car $0 < 0, 97 < 1$ . Au pas 1 : $0, 97^{22} \approx 0, 511 7$ et $0, 97^{23} \approx 0, 496 3$ . Au pas 0,1 : $0, 97^{22, 7} \approx 0, 500 9$ et $0, 97^{22, 8} \approx 0, 499 3$ . La demi-vie est d'environ 22,8 jours (entre 22,7 et 22,8).

d) 10 g est le quart de 40 g. D'après b), la masse est divisée par 2 sur toute durée égale à la demi-vie $T$ , quel que soit le départ ; elle est donc divisée par 4 au bout de $2 T$ . Il reste 10 g au bout d'environ 45,5 jours (entre $2 \times 22, 7 = 45, 4$ et $2 \times 22, 8 = 45, 6$ ).

e) Les baisses de 3 % ne s'additionnent pas : chacune porte sur la masse restante, qui diminue. $m (34) = 40 \times 0, 97^{34} \approx 40 \times 0, 355 0$ , soit environ 14,2 g. De plus, $0, 97^{x} > 0$ pour tout $x$ : la masse ne s'annule jamais dans ce modèle.

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