Fonctions exponentielles x ↦ aˣ

Calcule sans calculatrice.

1. $3^2\times 3^3=$
   Même base : on additionne les exposants. $3^2\times 3^3=3^{2+3}=3^5=243$.
2. ${\displaystyle \frac{{10}^7}{{10}^4}}=$
   Même base : on soustrait les exposants. ${\displaystyle \frac{{10}^7}{{10}^4}}={10}^{7-4}={10}^3=1000$.
3. ${\left(0,5^2\right)}^3=$
   Puissance d’une puissance : on multiplie les exposants. ${\left(0,5^2\right)}^3=0,5^6=0,{25}^3=0,015625$.
4. $4^3\times 0,{25}^3=$
   Même exposant : on multiplie les bases. $4^3\times 0,{25}^3=(4\times 0,25{)}^3=1^3=1$.

Donne la valeur exacte, sans calculatrice.

1. $\sqrt{0,49}=$
   $0,7^2=0,49$ et $0,7>0$, donc $\sqrt{0,49}=0,7$.
2. $\sqrt{1,69}=$
   $1,3^2=1,69$ et $1,3>0$, donc $\sqrt{1,69}=1,3$.
3. $\sqrt{8}\times \sqrt{2}=$
   $\sqrt{8}\times \sqrt{2}=\sqrt{8\times 2}=\sqrt{16}=4$.
4. Le nombre positif dont le carré vaut $2,25$ :
   $1,5^2=2,25$ et $1,5>0$ : c’est $\sqrt{2,25}=1,5$.

Un vignoble a produit $40000$ bouteilles en 2026. À cause de la sécheresse, on prévoit une baisse de $20\%$ par an. On note $u_n$ la production prévue, en bouteilles, l’année $2026+n$.

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique, puis donner $u_n$ en fonction de $n$. Raison :
   Rédaction attendue. Baisser de $20\%$, c’est multiplier par $1-0,2=0,8$. Chaque année, la production est multipliée par $0,8$ : $u_{n+1}=0,8\times u_n$, donc $(u_n)$ est géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0=40000$, et $u_n=40000\times 0,8^n$.
2. $u_2=$ bouteilles
   $u_2=40000\times 0,8^2=40000\times 0,64=25600$ bouteilles.
3. Baisse globale de la production entre 2026 et 2029 : %
   Trois baisses successives : coefficient global $0,8^3=0,512$. Or $1-0,512=0,488$ : la production baisse de $48,8\%$, et non de $3\times 20=60\%$.

Justifie chaque résultat en citant la règle utilisée.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $4^n\times {25}^n={100}^n$. En déduire $4^3\times {25}^3=$
   Rédaction attendue. Les deux puissances ont le même exposant $n$ : on multiplie les bases, $(a\times b{)}^n=a^n\times b^n$. Donc $4^n\times {25}^n=(4\times 25{)}^n={100}^n$. Pour $n=3$ : $4^3\times {25}^3={100}^3=1000000$.
2. ${\displaystyle \frac{2^5\times 2^3}{{\left(2^4\right)}^2}}=$
   Numérateur : $2^{5+3}=2^8$. Dénominateur : ${\left(2^4\right)}^2=2^{4\times 2}=2^8$. Le quotient vaut ${\displaystyle \frac{2^8}{2^8}}=2^0=1$.
3. Un élève écrit $\sqrt{9+16}=3+4=7$. Valeur exacte de $\sqrt{9+16}$ :
   Il n’y a pas de règle pour la racine d’une somme : on calcule d’abord sous la racine. $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, et non $7$. Contrôle : $5^2=25$, alors que $7^2=49$.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0;+\infty [$ par $f(x)={16}^x$ et $g(x)=0,{36}^x$. Calcule sans calculatrice.

1. $f(0)=$
   Pour toute base $a>0$, $a^0=1$ : $f(0)={16}^0=1$.
2. $f(2)=$
   Aux entiers, la fonction prolonge la suite $({16}^n)$ : $f(2)={16}^2=256$.
3. $f(0,5)=$
   $a^{0,5}=\sqrt{a}$ : $f(0,5)=\sqrt{16}=4$, et non $16\times 0,5=8$.
4. $g(0,5)=$
   $g(0,5)=\sqrt{0,36}=0,6$ (et non $0,36\times 0,5=0,18$).
5. $g(2)=$
   $g(2)=0,{36}^2=0,1296$.

Chaque grandeur est modélisée par $V(x)=V_0\times a^x$, où $x$ est le temps écoulé dans l’unité indiquée. Donne le coefficient $a$.

1. Un site compte $4000$ abonnés et en gagne $6\%$ par mois : $a=$
   Hausse de $6\%$ par mois : $a=1+0,06=1,06>1$, croissance exponentielle, $V(x)=4000\times 1,{06}^x$.
2. Le volume d’un glacier diminue de $3,5\%$ par décennie : $a=$
   Baisse de $3,5\%$ : $a=1-0,035=0,965$, compris entre $0$ et $1$ : décroissance exponentielle.
3. Le nombre de bactéries d’une culture double chaque heure : $a=$
   Doubler, c’est multiplier par $2$ : $a=2$, soit une hausse de $100\%$ par heure.
4. Une voiture perd le quart de sa valeur chaque année : $a=$
   Perdre le quart, c’est garder les trois quarts : $a=1-0,25=0,75$.

Un biologiste estime qu’un étang comptait $800$ carpes début 2024 et que ce nombre diminue de $15\%$ par an. On note $u_n$ le nombre de carpes au bout de $n$ années, et on prolonge le modèle par la fonction $f$ définie par $f(x)=800\times 0,{85}^x$ pour $x⩾0$. On donne $0,{85}^{0,5}\approx 0,922$ et $0,{85}^{2,5}\approx 0,6661$.

1. Justifier que $(u_n)$ est géométrique, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$. Contrôle : $u_2=$
   Rédaction attendue. Diminuer de $15\%$ revient à multiplier par $1-0,15=0,85$. Donc $u_{n+1}=0,85\times u_n$ pour tout $n$ : la suite est géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $u_0=800$, d’où $u_n=800\times 0,{85}^n$. Contrôle : $u_2=800\times 0,7225=578$ carpes.
2. Nombre de carpes estimé mi-2024, arrondi à l’unité :
   Mi-2024 correspond à $x=0,5$ : $f(0,5)=800\times 0,{85}^{0,5}\approx 800\times 0,922=737,6$, soit environ $738$ carpes. La suite ne donnait que les valeurs de début d’année ; la fonction donne aussi les valeurs entre deux relevés.
3. Nombre de carpes estimé mi-2026, arrondi à l’unité :
   Mi-2026 correspond à $x=2,5$ : $f(2,5)\approx 800\times 0,6661=532,88$, soit environ $533$ carpes.

Une grandeur est modélisée par $f(x)=k\times a^x$, avec $k>0$ et $a>0$, pour $x⩾0$. On sait que $f(0)=250$ et $f(2)=490$.

1. $k=$
   $f(0)=k\times a^0=k\times 1=k$, donc $k=250$.
2. Déterminer $a$ en justifiant. $a=$
   Rédaction attendue. $f(2)=250\times a^2=490$, d’où $a^2={\displaystyle \frac{490}{250}}=1,96$. Les réels dont le carré vaut $1,96$ sont $1,4$ et $-1,4$ ; la base d’une fonction exponentielle est strictement positive, donc $a=1,4$, et $f(x)=250\times 1,4^x$.
3. $f(1)=$
   $f(1)=250\times 1,4=350$. Contrôle : $350\times 1,4=490=f(2)$.
4. $f(3)=$
   $f(3)=250\times 1,4^3=250\times 2,744=686$ ; ou, de proche en proche, $f(3)=f(2)\times 1,4=490\times 1,4=686$.

Écris chaque nombre sous la forme d’un entier, sans calculatrice, en citant la propriété utilisée.

1. $A=2^{0,7}\times 2^{3,3}=$
   Produit de puissances de même base : $a^x\times a^y=a^{x+y}$. $A=2^{0,7+3,3}=2^4=16$.
2. $B={\left(6^{1,5}\right)}^2=$
   Puissance d’une puissance : ${\left(a^x\right)}^y=a^{xy}$. $B=6^{1,5\times 2}=6^3=216$.
3. $C={\displaystyle \frac{{12}^{2,7}}{{12}^{0,7}}}=$
   Quotient de puissances de même base : ${\displaystyle \frac{a^x}{a^y}}=a^{x-y}$ (ici $2,7⩾0,7$). $C={12}^{2,7-0,7}={12}^2=144$.
4. $D=0,5^{0,5}\times {98}^{0,5}=$
   Même exposant : $a^x\times b^x=(ab{)}^x$. $D=(0,5\times 98{)}^{0,5}={49}^{0,5}=\sqrt{49}=7$.

Écris chaque nombre sous la forme $a^y$ et donne l’exposant $y$.

1. $5^{1,2}\times 5^{0,3}=5^y$ avec $y=$
   $5^{1,2}\times 5^{0,3}=5^{1,2+0,3}=5^{1,5}$.
2. ${\left(3^{0,4}\right)}^5=3^y$ avec $y=$
   ${\left(3^{0,4}\right)}^5=3^{0,4\times 5}=3^2$ : on multiplie les exposants (et non $0,4+5$).
3. ${\displaystyle \frac{{10}^{4,5}}{{10}^{1,7}}}={10}^y$ avec $y=$
   ${\displaystyle \frac{{10}^{4,5}}{{10}^{1,7}}}={10}^{4,5-1,7}={10}^{2,8}$.
4. $4^{0,25}\times 4^{0,25}=4^y$ avec $y=$
   $4^{0,25}\times 4^{0,25}=4^{0,25+0,25}=4^{0,5}$, c’est-à-dire $\sqrt{4}=2$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=4^x$.

1. $f(1,5)=$
   $f(1,5)=4^{1+0,5}=4^1\times 4^{0,5}=4\times 2=8$.
2. $f(2,5)=$
   $f(2,5)=4^{2+0,5}=4^2\times 4^{0,5}=16\times 2=32$.
3. Montrer que, pour tout $x⩾0$, $f(x+0,5)=2f(x)$. En déduire $f(3,5)=$
   Rédaction attendue. Pour tout $x⩾0$, $f(x+0,5)=4^{x+0,5}=4^x\times 4^{0,5}=4^x\times 2=2f(x)$. Augmenter $x$ de $0,5$ double la valeur de $f$, quel que soit $x$. Donc $f(3,5)=2f(3)=2\times 64=128$.

Un capital placé à intérêts composés est modélisé par $C(x)=2000\times 1,{44}^x$, en euros, où $x$ est le temps écoulé en décennies ($x=1$ correspond à $10$ ans).

1. Montrer que, pour tout $x⩾0$, $C(x+0,5)=1,2\times C(x)$. Contrôle : $C(0,5)=$ €
   Rédaction attendue. Pour tout $x⩾0$, $C(x+0,5)=2000\times 1,{44}^x\times 1,{44}^{0,5}$. Or $1,{44}^{0,5}=\sqrt{1,44}=1,2$, donc $C(x+0,5)=1,2\times C(x)$ : sur toute période de $5$ ans, le capital augmente de $20\%$. Contrôle : $C(0,5)=2000\times 1,2=2400$ €.
2. Capital au bout de $15$ ans : €
   $15$ ans correspondent à $x=1,5$ : $C(1,5)=1,2\times C(1)=1,2\times 2000\times 1,44=1,2\times 2880=3456$ €.
3. Capital au bout de $25$ ans : €
   $x=2,5$ : $C(2,5)=2000\times 1,{44}^2\times 1,{44}^{0,5}=2000\times 2,0736\times 1,2=4976,64$ €.

Calcule sans calculatrice, en justifiant par une puissance.

1. ${243}^{1/5}=$
   $3^5=243$ et $3>0$, donc ${243}^{1/5}=3$.
2. $0,{0625}^{1/4}=$
   $0,5^4=0,0625$ et $0,5>0$, donc $0,{0625}^{1/4}=0,5$.
3. ${625}^{1/4}=$
   $5^4=625$ et $5>0$, donc ${625}^{1/4}=5$.
4. $1{000}^{1/3}=$
   ${10}^3=1000$ et $10>0$, donc $1{000}^{1/3}=10$.
5. $0,{027}^{1/3}=$
   $0,3^3=0,027$ et $0,3>0$, donc $0,{027}^{1/3}=0,3$.

Calcule sans calculatrice, avec $a^{p/n}={\left(a^{1/n}\right)}^p$.

1. ${16}^{3/4}=$
   ${16}^{1/4}=2$ car $2^4=16$ ; donc ${16}^{3/4}=2^3=8$.
2. ${27}^{2/3}=$
   ${27}^{1/3}=3$ car $3^3=27$ ; donc ${27}^{2/3}=3^2=9$.
3. ${100}^{1,5}=$
   $1,5={\displaystyle \frac{3}{2}}$ : ${100}^{1,5}={\left({100}^{1/2}\right)}^3={10}^3=1000$.
4. $0,{36}^{1,5}=$
   $0,{36}^{1,5}={\left(\sqrt{0,36}\right)}^3=0,6^3=0,216$.

Pour chaque situation, détermine sans calculatrice le coefficient multiplicateur ou le taux demandé.

1. Un placement rapporte $4,04\%$ par an, à intérêts composés. Coefficient sur un semestre :
   Sur un an, le capital est multiplié par $1,0404$. Un semestre est la moitié d’un an : coefficient $1,{0404}^{1/2}=1,02$, car $1,{02}^2=1,0404$ (soit $+2\%$ par semestre).
2. Une population de lapins est multipliée par $1,728$ chaque année. Coefficient sur $4$ mois :
   $4$ mois font ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ d’année : coefficient $1,{728}^{1/3}=1,2$, car $1,2^3=1,728$ ($+20\%$ tous les $4$ mois).
3. Une substance perd $27,1\%$ de sa masse chaque jour. Baisse de sa masse toutes les $8$ heures : %
   Coefficient journalier : $1-0,271=0,729$. $8$ heures font ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ de jour : coefficient $0,{729}^{1/3}=0,9$, car $0,9^3=0,729$. La masse baisse de $10\%$ toutes les $8$ heures, et non de $27,1÷3\approx 9,03\%$.

On s’intéresse à une hausse annuelle de $8\%$. On donne $1,{08}^{1/4}\approx 1,0194$, $1,{08}^{1/12}\approx 1,0064$ et $1,{02}^4=1,08243216$.

1. Taux trimestriel équivalent, en % arrondi au centième :
   Un an compte $4$ trimestres : le coefficient trimestriel est $1,{08}^{1/4}\approx 1,0194$, d’où un taux trimestriel d’environ $1,94\%$.
2. Justifier qu’une hausse de $2\%$ par trimestre pendant un an ne correspond pas à une hausse annuelle de $8\%$. Hausse annuelle obtenue, en % arrondi au centième :
   Rédaction attendue. Quatre hausses successives de $2\%$ ont pour coefficient global $1,{02}^4=1,08243216$, soit une hausse annuelle d’environ $8,24\%$ : les hausses se composent, chacune s’appliquant à une valeur déjà augmentée. C’est cohérent avec la question précédente : pour obtenir exactement $8\%$ par an, il faut un peu moins de $2\%$ par trimestre.
3. Un élève affirme : « le taux mensuel équivalent est $8÷12\approx 0,67\%$ ». Taux mensuel équivalent, en % arrondi au centième :
   Un mois est ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ d’année : le coefficient mensuel est $1,{08}^{1/12}\approx 1,0064$, soit environ $0,64\%$ par mois. Diviser le taux par $12$ oublie que les hausses mensuelles se composent.

Donne le sens de variation de chaque fonction sur $[0;+\infty [$ (écris croissante, décroissante ou constante).

1. $x\mapsto 0,{62}^x$ :
   $0<0,62<1$ : la fonction est strictement décroissante.
2. $x\mapsto 1,{018}^x$ :
   $1,018>1$ : la fonction est strictement croissante, même si elle monte lentement.
3. $x\mapsto {\left({\displaystyle \frac{5}{3}}\right)}^x$ :
   ${\displaystyle \frac{5}{3}}\approx 1,67>1$ (numérateur plus grand que le dénominateur) : la fonction est strictement croissante. Une base écrite en fraction n’est pas forcément inférieure à $1$.
4. $x\mapsto 2500\times 0,{99}^x$ :
   $2500>0$ et $0<0,99<1$ : la fonction est strictement décroissante, malgré le grand coefficient $2500$.

Compare sans calculatrice, en justifiant par le sens de variation.

1. $0,{62}^{2,4}$ et $0,{62}^{3,1}$ : le plus grand a pour exposant
   $x\mapsto 0,{62}^x$ est strictement décroissante et $2,4<3,1$, donc $0,{62}^{2,4}>0,{62}^{3,1}$ : le plus grand a l’exposant $2,4$.
2. $3^{1,5}$ et $3^{1,05}$ : le plus grand a pour exposant
   $x\mapsto 3^x$ est strictement croissante et $1,5>1,05$, donc $3^{1,5}>3^{1,05}$.
3. $0,9^{0,5}$, $0,9^2$ et $0,9^{1,2}$ : le plus petit a pour exposant
   $x\mapsto 0,9^x$ est strictement décroissante : le plus petit nombre a le plus grand exposant, $2$. Ainsi $0,9^2<0,9^{1,2}<0,9^{0,5}$.
4. $2,6^{0,7}$ et $1,9^{0,7}$ : le plus grand a pour base
   Même exposant $0,7>0$ et $1,9<2,6$ : ${\displaystyle \frac{2,6^{0,7}}{1,9^{0,7}}}={\left({\displaystyle \frac{2,6}{1,9}}\right)}^{0,7}>1$, car ${\displaystyle \frac{2,6}{1,9}}>1$. Donc $2,6^{0,7}>1,9^{0,7}$.

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur $[0;4]$ par $f(x)=k\times a^x$, avec $k>0$ et $a>0$.

1. Lecture de $f(0)$ : $k=$
   La courbe coupe l’axe des ordonnées au point $(0;2)$. Or $f(0)=k\times a^0=k$, donc $k=2$.
2. Lecture de $f(1)$, puis $a=$
   On lit $f(1)=3$. Or $f(1)=k\times a=2a$, donc $a={\displaystyle \frac{3}{2}}=1,5$ : $f(x)=2\times 1,5^x$, croissante car $1,5>1$.
3. Les solutions de l’inéquation $f(x)⩾4,5$ sont les $x$ de $[0;4]$ tels que $x⩾m$, avec $m=$
   On lit que la courbe passe par le point $(2;4,5)$, et le calcul le confirme : $f(2)=2\times 1,5^2=2\times 2,25=4,5$. Comme $f$ est croissante, $f(x)⩾4,5⟺x⩾2$ : $S=[2;4]$.
4. $f(4)$, par le calcul :
   $f(4)=2\times 1,5^4=2\times 5,0625=10,125$, ce qui est cohérent avec la courbe (un peu au-dessus de $10$).

Sans calculatrice.

1. Montrer que, pour tout $x⩾0$, $1,6^x\times 0,{625}^x=1$. Contrôle : $1,6\times 0,625=$
   Rédaction attendue. Même exposant : $1,6^x\times 0,{625}^x=(1,6\times 0,625{)}^x=1^x=1$. Donc $0,{625}^x={\displaystyle \frac{1}{1,6^x}}$ : quand $1,6^x$ augmente, son inverse diminue, ce qui confirme que $x\mapsto 0,{625}^x$ est décroissante ($0<0,625<1$).
2. $1,6^{0,75}$ et $2,2^{0,75}$ : le plus grand a pour base
   $0<1,6<2,2$ et $0,75>0$ : ${\displaystyle \frac{2,2^{0,75}}{1,6^{0,75}}}={\left({\displaystyle \frac{2,2}{1,6}}\right)}^{0,75}>1$, donc $1,6^{0,75}<2,2^{0,75}$.
3. On résout dans $[0;+\infty [$ l’inéquation $2,5^x⩾6,25$. $S=[m;+\infty [$ avec $m=$
   $6,25=2,5^2$. Comme $2,5>1$, $x\mapsto 2,5^x$ est strictement croissante : $2,5^x⩾2,5^2⟺x⩾2$. $S=[2;+\infty [$.
4. On résout dans $[0;+\infty [$ l’inéquation $0,4^{x+1}>0,064$. $S=[0;b[$ avec $b=$
   $0,064=0,4^3$. Comme $0<0,4<1$, $x\mapsto 0,4^x$ est strictement décroissante : $0,4^{x+1}>0,4^3⟺x+1<3⟺x<2$. $S=[0;2[$ : le sens de l’inégalité s’inverse.

Sans calculatrice. On donne $\sqrt{2}\approx 1,414$.

1. Une population double tous les $3$ ans. Au bout de $9$ ans, elle est multipliée par
   $9$ ans font $3$ temps de doublement : la population est multipliée par $2^3=8$.
2. Une substance a une demi-vie de $6$ heures. Au bout de $18$ heures, il en reste %
   $18$ heures font $3$ demi-vies : il reste $0,5^3=0,125$, soit $12,5\%$ de la quantité initiale.
3. Population de la première question : au bout d’un an et demi, elle est multipliée par environ (au centième)
   Un an et demi est la moitié d’un temps de doublement : avec $x$ en temps de doublement, la population est multipliée par $2^x$, et $2^{0,5}=\sqrt{2}\approx 1,414$. Elle est multipliée par environ $1,41$, et non par $1,5$ : à mi-parcours, la moitié de la hausse n’est pas encore atteinte.
4. Le nombre de vues d’une vidéo double chaque jour. Au bout de $10$ jours, il est multiplié par
   $10$ doublements : multiplié par $2^{10}=1024$, soit environ mille fois plus. C’est l’ordre de grandeur à retenir : dix doublements font à peu près $\times 1000$.
5. Une grandeur est multipliée par $4$ chaque heure. Son temps de doublement, en minutes :
   On cherche $T$ tel que $4^T=2$. Or $4^{0,5}=\sqrt{4}=2$ : $T=0,5$ heure, soit $30$ minutes.

Dans un bassin de décantation, la concentration d’un polluant vaut $12$ mg/L, puis elle diminue de $18\%$ par heure. On note $C(x)$ la concentration, en mg/L, $x$ heures plus tard. On donne : $0,{82}^{3,5}\approx 0,4993$ ; $0,{82}^{6,9}\approx 0,2543$ ; $0,{82}^7\approx 0,2493$.

1. Concentration au bout d’une heure : $C(1)=$ mg/L
   Une baisse de $18\%$ correspond au coefficient $1-0,18=0,82$ par heure : $C(x)=12\times 0,{82}^x$, strictement décroissante, et $C(1)=12\times 0,82=9,84$ mg/L.
2. $C(3,5)$, arrondi au centième : mg/L
   $C(3,5)=12\times 0,{82}^{3,5}\approx 12\times 0,4993=5,9916$, soit environ $5,99$ mg/L.
3. L’eau peut être rejetée quand la concentration est inférieure à $3$ mg/L. À partir de combien d’heures (au dixième) ?
   $C(6,9)\approx 12\times 0,2543=3,0516>3$ et $C(7)\approx 12\times 0,2493=2,9916<3$. $C$ est décroissante : la concentration passe sous $3$ mg/L au bout d’environ $7,0$ heures.
4. Un technicien affirme qu’en $3$ h $30$ la concentration a baissé de $18\times 3,5=63\%$. Baisse réelle, en % au dixième :
   Les baisses ne s’additionnent pas : chacune porte sur une concentration déjà diminuée. Le coefficient sur $3,5$ h est $0,{82}^{3,5}\approx 0,4993$, soit une baisse d’environ $1-0,4993=0,5007$, c’est-à-dire $50,1\%$, et non $63\%$.

Une ville compte $42000$ habitants, et sa population augmente de $2,5\%$ par an. On la modélise par $P(x)=42000\times 1,{025}^x$, $x$ en années. On donne $1,{025}^{28}\approx 1,9965$ et $1,{025}^{28,1}\approx 2,0014$.

1. $P(28)$, arrondi à l’unité :
   $P(28)\approx 42000\times 1,9965=83853$ habitants : la population n’a pas encore doublé ($84000$).
2. À partir de combien d’années (au dixième) la population a-t-elle doublé ?
   On cherche $P(x)⩾84000$, c’est-à-dire $1,{025}^x⩾2$. $1,{025}^{28}\approx 1,9965<2$ et $1,{025}^{28,1}\approx 2,0014>2$ ; $P$ est croissante : la population a doublé au bout d’environ $28,1$ ans.
3. Montrer que ce temps de doublement ne dépend pas de la population initiale. Au bout de $56,2$ ans, la population a été multipliée au moins par
   Rédaction attendue. Pour une population initiale $P_0>0$ quelconque : $P_0\times 1,{025}^x=2P_0⟺1,{025}^x=2$ (on divise par $P_0\ne 0$). L’équation ne contient plus $P_0$ : le temps de doublement ne dépend que du taux. Donc la population double encore sur les $28,1$ années suivantes : en $56,2$ ans, elle est multipliée au moins par $2\times 2=4$.

Un échantillon contient $40$ g d’un isotope radioactif dont la masse diminue de $3\%$ par jour. On note $m(x)$ la masse, en g, restante après $x$ jours. On donne : $0,{97}^{22,7}\approx 0,5009$ ; $0,{97}^{22,8}\approx 0,4993$ ; $0,{97}^{34}\approx 0,3550$.

1. Montrer que, pour tous réels $x⩾0$ et $h⩾0$, le quotient ${\displaystyle \frac{m(x+h)}{m(x)}}$ ne dépend que de $h$. Contrôle : pour $h=2$ jours, ce quotient vaut
   Rédaction attendue. Le coefficient journalier est $1-0,03=0,97$, donc $m(x)=40\times 0,{97}^x$. Alors ${\displaystyle \frac{m(x+h)}{m(x)}}={\displaystyle \frac{40\times 0,{97}^x\times 0,{97}^h}{40\times 0,{97}^x}}=0,{97}^h$ : le quotient ne dépend que de la durée $h$, pas de l’instant $x$. Pour $h=2$, il vaut $0,{97}^2=0,9409$ : la masse perd $5,91\%$ en deux jours, quel que soit le jour de départ.
2. À partir de combien de jours (au dixième) la masse est-elle divisée par $2$ ?
   On cherche $0,{97}^x⩽0,5$. $0,{97}^{22,7}\approx 0,5009>0,5$ et $0,{97}^{22,8}\approx 0,4993<0,5$ ; la fonction est décroissante : la masse est divisée par $2$ au bout d’environ $22,8$ jours. C’est la demi-vie.
3. Il reste $10$ g au bout d’un nombre de demi-vies égal à
   $10$ g est le quart de $40$ g. D’après la première question, la masse est divisée par $2$ sur toute durée égale à la demi-vie, quel que soit le départ : divisée par $4$ au bout de $2$ demi-vies, soit environ $45,5$ jours.
4. Un élève affirme qu’au bout de $34$ jours il ne reste plus rien, car $3\times 34>100$. Masse restante au bout de $34$ jours, au dixième de gramme :
   Les baisses de $3\%$ ne s’additionnent pas : chacune porte sur la masse restante. $m(34)\approx 40\times 0,3550=14,2$ g. De plus, $0,{97}^x>0$ pour tout $x$ : dans ce modèle, la masse ne s’annule jamais.