Qu'est-ce qu'une fonction exponentielle x ↦ aˣ en 1re ?

Pour un réel a strictement positif, c'est la fonction qui associe aˣ à tout réel x positif. Elle prolonge la suite géométrique (aⁿ) : aux entiers, elle prend les mêmes valeurs, et entre deux entiers elle relie ces valeurs sans cassure. Elle vérifie a⁰ = 1 et a¹ = a.

Comment savoir si une fonction aˣ est croissante ou décroissante ?

Tout dépend de la position de la base a par rapport à 1. Si a > 1, la fonction est strictement croissante ; si 0 < a < 1, elle est strictement décroissante ; si a = 1, elle est constante égale à 1.

Quel est le lien entre suite géométrique et fonction exponentielle ?

Une suite géométrique uₙ = u₀ × qⁿ n'est définie qu'aux entiers. La fonction x ↦ u₀ × qˣ prend les mêmes valeurs aux entiers et permet de calculer la grandeur à n'importe quel instant, par exemple au bout de 2,5 périodes.

Comment calculer un temps de doublement sans logarithme ?

On cherche x tel que aˣ = 2, où a est le coefficient multiplicateur par unité de temps. On encadre la solution avec le tableau de valeurs de la calculatrice au pas 1, puis on affine au pas 0,1 ou 0,01 ; on peut aussi lire graphiquement l'abscisse du point d'ordonnée 2V₀.

Comment trouver un taux mensuel équivalent à un taux annuel ?

Si le coefficient annuel est 1 + t, le coefficient mensuel est (1 + t)^(1/12), c'est-à-dire le nombre qui, élevé à la puissance 12, redonne 1 + t. On retranche 1 pour obtenir le taux : ce n'est jamais le taux annuel divisé par 12.

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Fonctions exponentielles x ↦ aˣ et variation exponentielle

Q: Quel est le lien entre suite géométrique et fonction exponentielle ?

Une suite géométrique uₙ = u₀ × qⁿ n'est définie qu'aux entiers. La fonction x ↦ u₀ × qˣ prend les mêmes valeurs aux entiers et permet de calculer la grandeur à n'importe quel instant, par exemple au bout de 2,5 périodes.

Q: Comment calculer un temps de doublement sans logarithme ?

On cherche x tel que aˣ = 2, où a est le coefficient multiplicateur par unité de temps. On encadre la solution avec le tableau de valeurs de la calculatrice au pas 1, puis on affine au pas 0,1 ou 0,01 ; on peut aussi lire graphiquement l'abscisse du point d'ordonnée 2V₀.

Q: Comment trouver un taux mensuel équivalent à un taux annuel ?

Si le coefficient annuel est 1 + t, le coefficient mensuel est (1 + t)^(1/12), c'est-à-dire le nombre qui, élevé à la puissance 12, redonne 1 + t. On retranche 1 pour obtenir le taux : ce n'est jamais le taux annuel divisé par 12.

Fonctions x ↦ aˣ (a > 0), propriétés algébriques, sens de variation, lien avec les suites géométriques et les évolutions à taux constant

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en première sur « Fonctions exponentielles x ↦ aˣ et variation exponentielle » suit le programme officiel de mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Des suites géométriques aux fonctions x ↦ aˣ, Propriétés algébriques, Sens de variation et courbes. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en mathématiques.

L'essentiel

Définition. Soit

a

un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base $a$ est la fonction

f

définie sur

[0; + \infty [

par

f (x) = a^{x}

. Elle prolonge aux réels positifs la suite géométrique

(a^{n})

: pour tout entier naturel

n

f (n) = a^{n}

Valeurs repères.

a^{0} = 1

a^{1} = a

a^{0, 5} = \sqrt{a}

. Pour tout

x ⩾ 0

a^{x} > 0

: une fonction exponentielle ne s'annule jamais.

Sens de variation (admis). Si

a > 1

x \mapsto a^{x}

est strictement croissante ; si

0 < a < 1

, elle est strictement décroissante ; si

a = 1

, elle est constante égale à 1.

Exemple. Pour

f (x) = 3^{x}

f (0) = 1

f (2) = 9

f (0, 5) = \sqrt{3} \approx 1, 73

. Comme

3 > 1

f

est strictement croissante.

Des suites géométriques aux fonctions x ↦ aˣ

Une suite géométrique $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ n'est définie qu'aux entiers : elle décrit une grandeur relevée à intervalles réguliers. La fonction $x \mapsto u_{0} \times q^{x}$ « remplit les trous » : aux entiers, elle prend les valeurs de la suite, et sa courbe relie les points $(n; u_{n})$ sans cassure.

Exposant $\frac{1}{n}$ . Pour

a > 0

n

entier

⩾ 1

a^{1 / n}

est l'unique réel positif dont la puissance

n

-ième vaut

a

{(a^{1 / n})}^{n} = a

. C'est la racine $n$ -ième de

a

; pour

n = 2

a^{1 / 2} = \sqrt{a}

Exemples.

16^{1 / 4} = 2

car

2^{4} = 16

;

27^{1 / 3} = 3

car

3^{3} = 27

;

3, 24^{1 / 2} = 1, 8

car

1, 8^{2} = 3, 24

Exposants fractionnaires. Plus généralement,

a^{p / n} = {(a^{1 / n})}^{p}

: par exemple

8^{2 / 3} = {(8^{1 / 3})}^{2} = 2^{2} = 4

Propriétés algébriques

Les règles de calcul sur les puissances entières restent vraies pour des exposants réels (propriétés admises).

Propriété ( $a, b > 0$ ; $x, y ⩾ 0$ )	Exemple
$a^{x + y} = a^{x} \times a^{y}$	$5^{0, 3} \times 5^{0, 7} = 5^{1} = 5$
$\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$ (si $x ⩾ y$ )	$\frac{10^{2, 6}}{10^{0, 6}} = 10^{2} = 100$
${(a^{x})}^{y} = a^{x y}$	${(7^{0, 5})}^{6} = 7^{3} = 343$
$(a \times b)^{x} = a^{x} \times b^{x}$	$2^{0, 5} \times 8^{0, 5} = 16^{0, 5} = 4$

Conséquence clé. Pour tout

x ⩾ 0

et tout

h ⩾ 0

a^{x + h} = a^{x} \times a^{h}

: augmenter

x

h

multiplie la valeur par

a^{h}

, quel que soit $x$ . En particulier, passer de

x

x + 1

multiplie par

a

: c'est la « raison » de la suite géométrique, étendue aux durées non entières.

Sens de variation et courbes

Toutes les courbes représentatives passent par le point $(0; 1)$ , puisque $a^{0} = 1$ .

Comparer deux puissances de même base. Si

a > 1

a^{x} < a^{y} ⟺ x < y

. Si

0 < a < 1

a^{x} < a^{y} ⟺ x > y

(l'ordre s'inverse).

Exemple.

0, 5^{1, 8} > 0, 5^{2, 3}

car

0 < 0, 5 < 1

1, 8 < 2, 3

Comparer deux bases. Si

0 < a < b

, alors pour tout

x > 0

a^{x} < b^{x}

: sur

] 0; + \infty [

, la courbe de base

b

est au-dessus de celle de base

a

(sur le graphique, celle de base 2 domine celle de base 1,25).

Allure. Pour

a > 1

, les valeurs finissent par dépasser n'importe quel seuil (croissance « explosive ») ; pour

0 < a < 1

, elles se rapprochent de 0 sans jamais l'atteindre.

Évolution à taux constant : croissance et décroissance exponentielles

Modèle. Une grandeur de valeur initiale

V_{0} > 0

qui évolue d'un taux

t

(écrit en décimal,

t > - 1

) par unité de temps est modélisée par

V (x) = V_{0} \times (1 + t)^{x}, x ⩾ 0 .

Le réel

1 + t

est le coefficient multiplicateur par unité de temps.

Taux	Coefficient	Évolution
$t > 0$	$1 + t > 1$	croissance exponentielle
$- 1 < t < 0$	$0 < 1 + t < 1$	décroissance exponentielle

Exemple. Une chaîne compte 4 000 abonnés et gagne 6 % d'abonnés par mois :

N (x) = 4 000 \times 1, 06^{x}

(

x

en mois). Au bout d'un mois et demi :

N (1, 5) = 4 000 \times 1, 06^{1, 5} \approx 4 365

abonnés.

Taux sur une fraction de période. Sur une durée

h

, le coefficient est

(1 + t)^{h}

, quel que soit l'instant de départ. Sur

\frac{1}{n}

d'unité, il vaut

(1 + t)^{1 / n}

: on en déduit le taux équivalent

(1 + t)^{1 / n} - 1

. De même, si une grandeur est multipliée par

C

n

périodes à taux constant, le coefficient par période est

C^{1 / n}

Temps de doublement et demi-vie

Temps de doublement. Pour une croissance exponentielle de coefficient

a > 1

, c'est la durée

T

telle que

a^{T} = 2

. Au bout de

T

, la grandeur a doublé ; elle double ensuite à nouveau tous les

T

. Il ne dépend pas de la valeur initiale, car

V_{0} \times a^{T} = 2 V_{0} ⟺ a^{T} = 2

Demi-vie. Pour une décroissance de coefficient

0 < a < 1

, c'est la durée

T

telle que

a^{T} = \frac{1}{2}

: la grandeur est divisée par 2 tous les

T

Sans logarithme, on les obtient de deux façons :

graphiquement : on trace la droite d'équation $y = 2 V_{0}$ (ou $y = \frac{V_{0}}{2}$ ) et on lit l'abscisse du point d'intersection avec la courbe ;
par tâtonnement : avec le tableau de valeurs de la calculatrice, on encadre au pas 1, puis on affine au pas 0,1, puis 0,01.

Exemple. Une grandeur perd 20 % par heure :

0, 8^{3} = 0, 512

0, 8^{4} = 0, 409 6

, puis

0, 8^{3, 1} \approx 0, 500 7

0, 8^{3, 2} \approx 0, 489 7

. La demi-vie est comprise entre 3,1 h et 3,2 h.

Méthodes

Méthode — Simplifier une expression avec les propriétés

Repérer une base commune (ou un exposant commun).
Appliquer la règle adaptée : produit → somme des exposants, quotient → différence, puissance d'une puissance → produit.
Calculer l'exposant obtenu, puis la valeur si elle est simple (racine connue).

Exemple rédigé.

A = \frac{9^{1, 2} \times 9^{0, 8}}{9^{0, 5}} = \frac{9^{2}}{9^{0, 5}} = 9^{1, 5} = 9 \times 9^{0, 5} = 9 \times 3 = 27

. Donc $A = 27$ .

Méthode — Modéliser une évolution à taux constant

Identifier la valeur initiale $V_{0}$ et l'unité de temps.
Traduire le taux en coefficient : hausse de $t$ → $1 + t$ ; baisse de $t$ → $1 - t$ .
Écrire $V (x) = V_{0} \times (1 + t)^{x}$ et en déduire le sens de variation.
Calculer à la calculatrice et conclure avec l'unité.

Exemple rédigé. Le volume d'un glacier, 1,8 km³ en 2020, diminue de 3,5 % par décennie. Le coefficient est

1 - 0, 035 = 0, 965

, donc

V (x) = 1, 8 \times 0, 965^{x}

(

x

en décennies). Comme

0 < 0, 965 < 1

V

est décroissante. En 2045,

x = 2, 5

V (2, 5) = 1, 8 \times 0, 965^{2, 5} \approx

1,65 km³.

Méthode — Déterminer un temps de doublement par tâtonnement

Écrire l'équation $a^{x} = 2$ (ou $V (x) = 2 V_{0}$ ).
Au pas 1, encadrer la solution entre deux entiers consécutifs.
Affiner au pas 0,1 (puis 0,01) entre ces deux entiers.
Conclure par une phrase, en justifiant par la monotonie.

Exemple rédigé. Une grandeur croît de 12 % par an : on cherche

x

tel que

1, 12^{x} = 2

. Au pas 1 :

1, 12^{6} \approx 1, 974

1, 12^{7} \approx 2, 211

. Au pas 0,1 :

1, 12^{6, 1} \approx 1, 996

1, 12^{6, 2} \approx 2, 019

. La fonction étant croissante, la grandeur double entre 6,1 et 6,2 ans : environ 6,2 ans.

Méthode — Calculer un taux équivalent avec l'exposant $\frac{1}{n}$

Écrire le coefficient $C$ sur la grande période.
Le coefficient sur $\frac{1}{n}$ de période est $C^{1 / n}$ .
Le taux équivalent est $C^{1 / n} - 1$ , converti en pourcentage.

Exemple rédigé. Hausse de 9 % par an :

C = 1, 09

. Coefficient mensuel :

1, 09^{1 / 12} \approx 1, 007 21

. Le taux mensuel équivalent est environ 0,72 % (et non

9 / 12 = 0, 75

%).

Pièges et erreurs classiques

Base et exposant confondus.

25^{0, 5} = \sqrt{25} = 5

, et non

25 \times 0, 5 = 12, 5

Pas de règle pour une somme.

a^{x} + a^{y} \neq a^{x + y}

en général : seuls les produits, quotients et puissances se simplifient.

Additionner les taux. +3 % par an pendant 10 ans donne un coefficient

1, 03^{10} \approx 1, 344

, soit +34,4 %, et non +30 %.

Diviser le taux. +21 % par an correspond à

\sqrt{1, 21} = 1, 1

, soit +10 % par semestre, et non +10,5 %.

Inéquations avec $0 < a < 1$ . La fonction est décroissante :

a^{x} < a^{y}

équivaut à

x > y

. Oublier d'inverser le sens est l'erreur la plus fréquente.

Base négative ou nulle.

x \mapsto a^{x}

n'est définie ici que pour

a > 0

(- 4)^{0, 5}

n'a pas de sens.

Temps de doublement. Il ne dépend pas de la valeur initiale et ne s'obtient pas en divisant 100 par le taux : à 12 % par an,

100 / 12 \approx 8, 3

ans, alors que le doublement a lieu vers 6,2 ans.

En bref

Pour $a > 0$ , $x \mapsto a^{x}$ prolonge la suite géométrique $(a^{n})$ aux réels positifs ; $a^{0} = 1$ , $a^{1 / n}$ est la racine $n$ -ième de $a$ .
$a^{x + y} = a^{x} a^{y}$ ; $\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$ ; $(a^{x})^{y} = a^{x y}$ ; $(a b)^{x} = a^{x} b^{x}$ ; aucune règle pour une somme.
$a > 1$ : strictement croissante ; $0 < a < 1$ : strictement décroissante ; $a = 1$ : constante. Toutes les courbes passent par $(0; 1)$ .
Évolution de taux $t$ par unité : $V (x) = V_{0} (1 + t)^{x}$ ; taux équivalent sur $\frac{1}{n}$ d'unité : $(1 + t)^{1 / n} - 1$ .
Temps de doublement ( $a^{T} = 2$ ) et demi-vie ( $a^{T} = \frac{1}{2}$ ) : lecture graphique ou tâtonnement ; ils ne dépendent pas de $V_{0}$ .

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