Fonctions exponentielles x ↦ aˣ

Puissances d’exposant entier. Pour un réel $a$ et un entier $n⩾1$, $a^n=a\times a\times \dots \times a$ ($n$ facteurs), et $a^0=1$ pour $a\ne 0$. Pour tous entiers naturels $m$ et $p$ (avec $a$ et $b$ non nuls quand on divise) :

• $a^m\times a^p=a^{m+p}$ et ${\displaystyle \frac{a^m}{a^p}}=a^{m-p}$ si $m⩾p$ ;
• ${\left(a^m\right)}^p=a^{mp}$ ;
• $(a\times b{)}^n=a^n\times b^n$ et ${\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^n={\displaystyle \frac{a^n}{b^n}}$.

Racine carrée. Pour $a⩾0$, $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ : ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$. Pour $a⩾0$ et $b⩾0$, $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$. Il n’y a pas de règle pour une somme : en général, $\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Suites géométriques. Une grandeur multipliée par le même nombre $q>0$ à chaque étape forme une suite géométrique : $u_n=u_0\times q^n$. Une évolution de $t\%$ répétée $n$ fois a pour coefficient multiplicateur global ${(1+{\displaystyle \frac{t}{100}})}^n$. Les fonctions de ce chapitre prolongent ces suites entre deux entiers.

Définition. Soit $a$ un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base $a$ est la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=a^x$. Pour tout entier naturel $n$, $f(n)=a^n$ : elle prolonge la suite géométrique $(a^n)$ aux réels positifs non entiers, et sa courbe relie les points $(n;a^n)$ sans cassure.

Valeurs à connaître. $a^0=1$ et $a^1=a$ ; $a^{0,5}=\sqrt{a}$ (justifié dans la partie suivante). Pour tout $x⩾0$, $a^x>0$ : une fonction exponentielle ne s’annule jamais. Si $a=1$, $1^x=1$ pour tout $x$.

Croissance et décroissance exponentielles. Une grandeur qui est multipliée par le même nombre $a$ sur chaque unité de temps évolue de façon exponentielle. Si elle vaut $V_0>0$ au départ, elle est modélisée par $V(x)=V_0\times a^x$ pour $x⩾0$, avec $a=1+t$ pour un taux $t$ (écrit en décimal) par unité de temps :

• $a>1$ (hausse) : croissance exponentielle ;
• $0<a<1$ (baisse) : décroissance exponentielle.

Le phénomène est discret si on ne le relève qu’à intervalles réguliers (suite $u_n=V_0\times a^n$), continu s’il a une valeur à chaque instant (fonction $V$).

Retrouver le modèle. Si $f(x)=k\times a^x$, alors $k=f(0)$ (valeur initiale) et $a={\displaystyle \frac{f(1)}{f(0)}}$ ; avec $f(0)$ et $f(2)$ : $a^2={\displaystyle \frac{f(2)}{f(0)}}$, et $a>0$.

Les règles des puissances entières restent vraies pour des exposants réels positifs (propriétés admises). Pour tous réels $a>0$, $b>0$, $x⩾0$ et $y⩾0$ :

• $a^{x+y}=a^x\times a^y$ ;
• ${\displaystyle \frac{a^x}{a^y}}=a^{x-y}$ si $x⩾y$ ;
• ${\left(a^x\right)}^y=a^{xy}$ ;
• $(a\times b{)}^x=a^x\times b^x$ et ${\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^x={\displaystyle \frac{a^x}{b^x}}$.

Pourquoi $a^{0,5}=\sqrt{a}$. ${\left(a^{0,5}\right)}^2=a^{0,5\times 2}=a^1=a$, et $a^{0,5}>0$ : c’est le nombre positif dont le carré vaut $a$, donc $\sqrt{a}$.

Conséquence : même durée, même coefficient. Si $f(x)=k\times a^x$, alors pour tous $x⩾0$ et $h⩾0$, $f(x+h)=k\times a^x\times a^h=f(x)\times a^h$. Sur toute durée $h$, la grandeur est multipliée par $a^h$, quel que soit l’instant de départ. Pour $h=1$, on retrouve la raison $a$ de la suite géométrique.

Définition. Pour $a>0$ et un entier $n⩾1$, $a^{1/n}$ est l’unique réel positif dont la puissance $n$-ième vaut $a$ : ${\left(a^{1/n}\right)}^n=a^{\frac{1}{n}\times n}=a^1=a$. On l’appelle la racine $n$-ième de $a$. Pour $n=2$, $a^{1/2}=\sqrt{a}$ ; pour $n=3$, $a^{1/3}$ est la racine cubique de $a$.

Exposant fractionnaire. Pour des entiers $p⩾0$ et $n⩾1$ : $a^{p/n}={\left(a^{1/n}\right)}^p$.

Coefficient sur une fraction de période. Si une grandeur est multipliée par $C$ sur une période (un an, un jour, une heure…), alors sur ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ de période elle est multipliée par $C^{1/n}$ : en effet, $n$ durées de ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ de période font une période, et ${\left(C^{1/n}\right)}^n=C$. Le taux sur ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ de période, $C^{1/n}-1$, est le taux équivalent : il est différent du taux de la période divisé par $n$.

Sens de variation (admis). Sur $[0;+\infty [$, la fonction $x\mapsto a^x$ est :

• strictement croissante si $a>1$ ;
• strictement décroissante si $0<a<1$ ;
• constante, égale à $1$, si $a=1$.

C’est le même critère que pour la suite géométrique $(a^n)$ : on compare la base à $1$. Pour $f(x)=k\times a^x$ avec $k>0$, le sens de variation est celui de $x\mapsto a^x$.

Courbes. Toutes les courbes passent par le point $(0;1)$, car $a^0=1$, et par le point $(1;a)$. Pour $a>1$, la courbe monte de plus en plus vite et finit par dépasser n’importe quelle valeur ; pour $0<a<1$, elle descend et se rapproche de l’axe des abscisses sans jamais l’atteindre.

Comparer et résoudre. Si $a>1$ : $a^x<a^y⟺x<y$. Si $0<a<1$, l’ordre s’inverse : $a^x<a^y⟺x>y$. Pour résoudre $a^x⩾c$, on écrit $c$ comme une puissance de $a$, puis on compare les exposants.

Comparer deux bases. Si $0<a<b$ et $x>0$ : ${\displaystyle \frac{b^x}{a^x}}={\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}^x>1$, car ${\displaystyle \frac{b}{a}}>1$ ; donc $a^x<b^x$. Pour $x>0$, la courbe de plus grande base est au-dessus.

Problème de seuil. Pour $V(x)=V_0\times a^x$, on cherche à partir de quand $V(x)⩾S$ (ou $V(x)⩽S$) : on divise par $V_0$ pour comparer $a^x$ à ${\displaystyle \frac{S}{V_0}}$. On conclut :

• par le calcul, si ${\displaystyle \frac{S}{V_0}}$ est une puissance connue de $a$ ;
• graphiquement, en lisant l’abscisse du point d’intersection de la courbe avec la droite d’équation $y=S$ ;
• avec un tableau de valeurs (ou un programme) : on encadre au pas $1$, puis au pas $0,1$, et on justifie par le sens de variation.

Temps de doublement, demi-vie. Pour $a>1$, le temps de doublement est la durée $T$ telle que $a^T=2$ ; pour $0<a<1$, la demi-vie est la durée $T$ telle que $a^T=0,5$. Comme $V(x+T)=V(x)\times a^T$, la grandeur double (ou est divisée par $2$) sur toute durée $T$, quelle que soit sa valeur de départ : au bout de $2T$, elle est multipliée (ou divisée) par $4$, au bout de $3T$ par $8$. En prenant $T$ comme unité de temps, la grandeur vaut $V_0\times 2^x$ (doublement) ou $V_0\times 0,5^x$ (demi-vie) au bout de $x$ fois $T$ ; une durée $t$ correspond à $x={\displaystyle \frac{t}{T}}$.

Ordres de grandeur. Dix doublements multiplient par $2^{10}=1024$, soit environ $1000$ : une croissance exponentielle devient vite énorme, et une décroissance exponentielle rend une quantité très petite sans jamais l’annuler.