Devoir surveillé : Limites, dérivation, logarithme népérien et convexité

1. a)Sur cet intervalle, $9-4x>0$. Forme $\ln (ax+b)$ avec $a=-4$ et $b=9$ : $f\prime (x)={\displaystyle \frac{-4}{9-4x}}$, que l'on peut aussi écrire ${\displaystyle \frac{4}{4x-9}}$. Comme $9-4x>0$, $f\prime (x)<0$ : $f$ est strictement décroissante. (0,5 pt pour la forme reconnue, 0,5 pt pour le coefficient $-4$ au numérateur) (1)
2. b)$2\ln 6=\ln \left(6^2\right)=\ln 36$, donc $A=\ln 36-\ln 9+\ln 8=\ln {\displaystyle \frac{36\times 8}{9}}=\ln 32$. Comme $32=2^5$, $A=5\ln 2$ : $k=5$. (0,5 pt pour le regroupement en un seul logarithme, 0,5 pt pour $k=5$) (1)
3. c)$3e^x-12<0⟺e^x<4⟺x<\ln 4$, car la fonction $\ln$ est strictement croissante (et $4>0$). $𝒮=]-\infty ;\ln 4[$, avec $\ln 4=2\ln 2\approx 1,386$. (0,5 pt pour $e^x<4$, 0,5 pt pour l'ensemble des solutions) (1)
4. d)Quand $x\to 0^{+}$ : $\ln x\to -\infty$, donc $2+\ln x\to -\infty$ (somme) ; et ${\displaystyle \frac{1}{x}}\to +\infty$. Par produit, ${\displaystyle \frac{2+\ln x}{x}}=(2+\ln x)\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\to -\infty$ : ce n'est pas une forme indéterminée. La droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe. (0,5 pt pour la limite justifiée, 0,5 pt pour l'asymptote) (1)
5. e)$k\prime (x)=2x+{\displaystyle \frac{6}{x}}$, puis $k″(x)=2-{\displaystyle \frac{6}{x^2}}={\displaystyle \frac{2(x^2-3)}{x^2}}$. Sur $]0;+\infty [$, $x^2>0$ : $k″(x)$ a le signe de $x^2-3$, négatif sur $\left]0;\sqrt{3}\right[$ et positif sur $]\sqrt{3};+\infty [$. Donc $k$ est concave sur $\left]0;\sqrt{3}\right]$ et convexe sur $[\sqrt{3};+\infty [$ ; $k″$ s'annule en changeant de signe en $\sqrt{3}$ : la courbe a un point d'inflexion d'abscisse $\sqrt{3}$. (0,5 pt pour $k″$, 0,5 pt pour la convexité et l'abscisse) (1)

Méthode — Avant de calculer, je nomme ce que j'utilise : la forme $\ln (ax+b)$ pour dériver, « par somme » ou « par produit » pour une limite, et le signe de la dérivée seconde, pas celui de la dérivée, pour la convexité.

1. a)En $0^{+}$ : $x-4\to -4$ et $2\ln x\to -\infty$ ; par somme, $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=-\infty$ : l'axe des ordonnées (droite d'équation $x=0$) est asymptote verticale à ${𝒞}_f$. En $+\infty$ : $x-4\to +\infty$ et $2\ln x\to +\infty$ ; par somme, $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=+\infty$ (ce n'est pas une forme indéterminée). (0,5 pt pour la limite en $0$ et l'asymptote, 0,5 pt pour la limite en $+\infty$) (1)
2. b)$f\prime (x)=1+{\displaystyle \frac{2}{x}}={\displaystyle \frac{x+2}{x}}$. Pour $x>0$, $x+2>0$ et $x>0$, donc $f\prime (x)>0$ : $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$. (0,5 pt pour la dérivée, 0,5 pt pour le signe et la conclusion) (1)
3. c)$f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty [$, avec $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=+\infty$ ; $0$ est strictement compris entre ces deux limites. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0;+\infty [$. De plus, $f(2)=-2+2\ln 2\approx -0,61<0$ et $f(3)=-1+2\ln 3\approx 1,20>0$ ; comme $f$ est strictement croissante et $f(\alpha )=0$, on a $2<\alpha <3$. (0,5 pt pour les trois hypothèses du corollaire, 0,5 pt pour l'encadrement) (1)
4. d)Par balayage à la calculatrice : $f(2,31)\approx -0,016<0$ et $f(2,32)\approx 0,003>0$, donc $2,31<\alpha <2,32$. Comme $f$ est strictement croissante et $f(\alpha )=0$ : $f(x)<0$ sur $]0;\alpha [$, $f(\alpha )=0$ et $f(x)>0$ sur $]\alpha ;+\infty [$. (0,5 pt pour l'encadrement justifié par les deux images, 0,5 pt pour le signe) (1)
5. e)$f″(x)=-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}<0$ sur $]0;+\infty [$ : $f$ est concave. $f(2)=-2+2\ln 2$ (question c) et $f\prime (2)=1+{\displaystyle \frac{2}{2}}=2$, donc $T:y=2(x-2)-2+2\ln 2$, soit $y=2x-6+2\ln 2$. La courbe d'une fonction concave est au-dessous de chacune de ses tangentes : ${𝒞}_f$ est au-dessous de $T$ sur $]0;+\infty [$, avec un seul point de contact $(2;-2+2\ln 2)$. (0,5 pt pour la concavité, 0,5 pt pour la tangente et la position) (1)

Piège — Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence ; c'est la stricte croissance qui donne l'unicité. Sur $]0;+\infty [$, ce sont les limites $-\infty$ et $+\infty$ qui jouent le rôle de $f(a)$ et $f(b)$.

1. a)Sur $[-2;1]$, $f\prime$ est strictement croissante et s'annule en $-1$ : $f\prime (x)<0$ sur $[-2;-1[$ et $f\prime (x)>0$ sur $]-1;1]$. Sur $[1;6]$, $f\prime$ est strictement décroissante et s'annule en $4$ : $f\prime (x)>0$ sur $[1;4[$ et $f\prime (x)<0$ sur $]4;6]$.

   $x$	$-2$		$-1$		$4$		$6$
   $f\prime (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
   $f(x)$	$-3$	↘	$-5$	↗	$7$	↘	$5$

   (0,5 pt pour le signe de $f\prime$, 0,5 pt pour les variations de $f$) (1)
2. b)$f$ est convexe là où $f\prime$ est croissante, soit sur $[-2;1]$, et concave là où $f\prime$ est décroissante, soit sur $[1;6]$. La convexité change en $1$ : ${𝒞}_f$ a un point d'inflexion, le point $(1;1)$ car $f(1)=1$. (0,5 pt pour les intervalles, 0,5 pt pour le point d'inflexion) (1)
3. c)Une tangente est horizontale là où $f\prime (x)=0$, c'est-à-dire seulement en $-1$ et en $4$ (question a). Il y a donc deux tangentes horizontales : au point $(-1;-5)$, d'équation $y=-5$, et au point $(4;7)$, d'équation $y=7$. (0,5 pt pour les abscisses, 0,5 pt pour les points et les équations) (1)
4. d)D'après le tableau, $f\prime (1)=4$, et $f(1)=1$ : $T:y=4(x-1)+1$, soit $y=4x-3$. Sur $[-2;1]$, $f$ est convexe : ${𝒞}_f$ est au-dessus de $T$. Sur $[1;6]$, $f$ est concave : ${𝒞}_f$ est au-dessous de $T$. La courbe traverse sa tangente au point d'inflexion. (0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour la position de chaque côté) (1)
5. e)Sur $[-2;-1]$, $f(x)⩽f(-2)=-3<6$ : aucune solution. Sur $[-1;4]$, $f$ est continue et strictement croissante de $-5$ à $7$, et $6\in [-5;7]$ : une unique solution (corollaire du TVI). Sur $[4;6]$, $f$ est continue et strictement décroissante de $7$ à $5$, et $6\in [5;7]$ : une unique solution. Elles sont distinctes car $f(4)=7\ne 6$. L'équation $f(x)=6$ a deux solutions sur $[-2;6]$. (0,5 pt pour l'étude sur chaque intervalle, 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Erreur fréquente — Sur un tableau de $f\prime$, il y a deux lectures à ne pas mélanger : le signe de $f\prime$ donne les variations de $f$, et le sens de variation de $f\prime$ donne la convexité de $f$.

1. a)$M(0)=200\ln 1=0$ : au départ, elle ne connaît aucun mot. $M(12)=200\ln (3+1)=200\ln 4\approx 277$ mots. (0,5 pt par valeur) (1)
2. b)Forme $\ln (at+b)$ avec $a=0,25$ : $M\prime (t)=200\times {\displaystyle \frac{0,25}{0,25t+1}}={\displaystyle \frac{50}{0,25t+1}}={\displaystyle \frac{200}{t+4}}$ (on multiplie le numérateur et le dénominateur par $4$). Pour $t⩾0$, $t+4>0$, donc $M\prime (t)>0$ : $M$ est strictement croissante sur $[0;+\infty [$. (0,5 pt pour la dérivée, 0,5 pt pour le sens de variation) (1)
3. c)$M\prime (t)=200\times {\displaystyle \frac{1}{t+4}}$, donc $M″(t)=200\times (-{\displaystyle \frac{1}{(t+4{)}^2}})=-{\displaystyle \frac{200}{(t+4{)}^2}}<0$ : $M$ est concave sur $[0;+\infty [$. Le rythme d'apprentissage $M\prime$ diminue : l'élève apprend des mots chaque semaine, mais de moins en moins (par exemple $M\prime (0)=50$ mots par semaine au début et $M\prime (46)=4$ mots par semaine après $46$ semaines). (0,5 pt pour $M″$ et la concavité, 0,5 pt pour l'interprétation) (1)
4. d)$M(t)=600⟺\ln (0,25t+1)=3⟺0,25t+1=e^3⟺t=4(e^3-1)$. Or $4(e^3-1)\approx 76,34$ : l'élève connaît $600$ mots au bout d'environ $76,34$ semaines, donc au cours de la ${77}^{\text{e}}$ semaine (contrôle : $M(76)=200\ln 20\approx 599,1$ et $M(77)\approx 601,6$). (0,5 pt pour la valeur exacte, 0,5 pt pour la valeur approchée) (1)
5. e)$t+4\to +\infty$, donc $M\prime (t)={\displaystyle \frac{200}{t+4}}\to 0$. Quand $t\to +\infty$, $0,25t+1\to +\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{lim}\ln X=+\infty$, donc $\underset{t\to +\infty }{lim}M(t)=+\infty$. Le camarade a tort : selon ce modèle, le nombre de mots dépasse n'importe quelle valeur, mais très lentement (par exemple $1000$ mots au bout de $4(e^5-1)\approx 590$ semaines, plus de $11$ ans). Dans la réalité, ce modèle ne vaut que sur une durée limitée. (0,5 pt pour les deux limites, 0,5 pt pour la réponse argumentée) (1)

Astuce — « De moins en moins vite » se lit sur la concavité. Une vitesse qui tend vers $0$ ne suffit pas à borner une fonction : $\ln$ en est l'exemple type.

1. a)Pour tout réel $x$, $x^2+1⩾1>0$. Forme $e^u$ avec $u(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$ et, par la forme ${\displaystyle \frac{1}{v}}$, $u\prime (x)=-{\displaystyle \frac{2x}{{(x^2+1)}^2}}$ : $f\prime (x)=-{\displaystyle \frac{2x}{{(x^2+1)}^2}}{e}^{\frac{1}{x^2+1}}$. Comme $e^{\frac{1}{x^2+1}}>0$ et ${(x^2+1)}^2>0$, $f\prime (x)$ a le signe de $-2x$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ;0]$ et strictement décroissante sur $[0;+\infty [$, de maximum $f(0)=e^1=e$. (0,5 pt pour la dérivée, 0,5 pt pour les variations et le maximum) (1)
2. b)Le trinôme $x^2+4x+7$ a pour discriminant $\Delta =16-28=-12<0$ et un coefficient dominant $1>0$ : il est strictement positif sur $ℝ$ (on peut aussi écrire $x^2+4x+7=(x+2{)}^2+3⩾3$). Forme $\ln u$ : $g\prime (x)={\displaystyle \frac{2x+4}{x^2+4x+7}}$, du signe de $2x+4$. $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty ;-2]$, strictement croissante sur $[-2;+\infty [$, de minimum $g(-2)=\ln 3$. (0,5 pt pour le domaine justifié, 0,5 pt pour la dérivée et les variations) (1)
3. c)Conditions : $x+2>0$ et $x-1>0$, soit $x>1$. Sur $]1;+\infty [$ : $\ln (x+2)-\ln (x-1)=\ln {\displaystyle \frac{x+2}{x-1}}$, et, $\ln$ étant strictement croissante, $\ln {\displaystyle \frac{x+2}{x-1}}⩾\ln 4⟺{\displaystyle \frac{x+2}{x-1}}⩾4⟺x+2⩾4(x-1)$ (car $x-1>0$) $⟺6⩾3x⟺x⩽2$. Avec la condition : $𝒮=]1;2]$. (0,5 pt pour les conditions et le quotient, 0,5 pt pour l'ensemble des solutions) (1)
4. d)Forme ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$. On factorise par $e^x>0$ en haut et en bas : ${\displaystyle \frac{3e^x-1}{e^x+2}}={\displaystyle \frac{3-e^{-x}}{1+2e^{-x}}}$, avec $e^{-x}={\displaystyle \frac{1}{e^x}}\to 0$ en $+\infty$. Le numérateur tend vers $3$, le dénominateur vers $1$ : par quotient, la limite vaut $3$. La droite d'équation $y=3$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$. (0,5 pt pour la factorisation, 0,5 pt pour la limite et l'asymptote) (1)

Astuce — Une forme indéterminée avec des exponentielles se lève comme avec des polynômes : on factorise en haut et en bas par le terme qui l'emporte, ici $e^x$.

1. a)Faux. Par la dérivée d'un produit : $f\prime (x)=e^x+x{e}^x=(x+1)e^x$, puis $f″(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x$, du signe de $x+2$ car $e^x>0$. Sur $]-\infty ;-2[$, $f″(x)<0$ : la fonction y est concave. Elle n'est convexe que sur $[-2;+\infty [$ (point d'inflexion d'abscisse $-2$). (0,5 pt pour $f″$, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
2. b)Vrai. Soit $k(x)=e^x+x-3$ : $k\prime (x)=e^x+1>0$, donc $k$ est continue et strictement croissante sur $ℝ$. $k(0)=-2<0$ et $k(1)=e-2\approx 0,72>0$ : d'après le corollaire du TVI, $k(x)=0$ a une unique solution dans $[0;1]$. Hors de cet intervalle, $k(x)<k(0)<0$ si $x<0$ et $k(x)>k(1)>0$ si $x>1$. L'équation a donc une seule solution réelle (environ $0,79$). (0,5 pt pour la stricte croissance, 0,5 pt pour l'existence et l'unicité sur $ℝ$) (1)
3. c)Faux. La fonction exponentielle est convexe sur $ℝ$ (sa dérivée seconde $e^x$ est positive), mais elle n'a pas de minimum : pour tout réel $a$, $e^{a-1}<e^a$, donc aucune valeur $e^a$ n'est la plus petite (les valeurs se rapprochent de $0$ en $-\infty$ sans l'atteindre). Une fonction affine non constante est un autre contre-exemple. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour le contre-exemple justifié) (1)
4. d)Vrai. $f$ est dérivable et concave sur $[0;+\infty [$ : sa courbe est au-dessous de chacune de ses tangentes, en particulier de la tangente au point d'abscisse $0$, d'équation $y=f\prime (0)(x-0)+f(0)$, soit $y=f\prime (0)x$. Donc $f(x)⩽f\prime (0)x$ pour tout $x⩾0$. Exemple : $f(x)=\ln (1+x)$ vérifie $f(0)=0$, $f\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{1+x}}$, $f\prime (0)=1$ et $f″(x)=-{\displaystyle \frac{1}{(1+x{)}^2}}<0$ : $\ln (1+x)⩽x$ pour tout $x⩾0$. (0,5 pt pour la tangente en $0$, 0,5 pt pour la position de la courbe) (1)

Piège — Une affirmation « pour tout $x$ » tombe dès qu'un seul intervalle la contredit ; une affirmation « une unique solution » demande les deux moitiés : existence par le TVI, unicité par la stricte monotonie.

1. a)En $-\infty$ : $e^x\to 0$ et $e^{2x}={\left(e^x\right)}^2\to 0$, donc $\underset{x\to -\infty }{lim}f(x)=5$ : la droite d'équation $y=5$ est asymptote horizontale à ${𝒞}_f$ en $-\infty$. En $+\infty$ : forme « $+\infty -\infty$ ». On factorise : $f(x)=e^x(e^x-6)+5$ ; $e^x\to +\infty$ et $e^x-6\to +\infty$, donc, par produit puis par somme, $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=+\infty$. (0,5 pt pour la limite en $-\infty$ et l'asymptote, 0,5 pt pour la limite en $+\infty$) (1)
2. b)${\left(e^{2x}\right)}^{\prime }=2e^{2x}$ (forme $e^{ax+b}$), donc $f\prime (x)=2e^{2x}-6e^x=2e^x(e^x-3)$. Comme $2e^x>0$, $f\prime (x)$ a le signe de $e^x-3$ : négatif si $x<\ln 3$, positif si $x>\ln 3$. $f(\ln 3)={\left(e^{\ln 3}\right)}^2-6e^{\ln 3}+5=9-18+5=-4$.

   $x$	$-\infty$		$\ln 3$		$+\infty$
   $f\prime (x)$		$-$	$0$	$+$
   $f(x)$	$5$	↘	$-4$	↗	$+\infty$

   Le minimum de $f$ vaut $-4$, atteint en $\ln 3$. (0,5 pt pour la dérivée et son signe, 0,5 pt pour le tableau et le minimum) (1)
3. c)Avec $X=e^x>0$ : $X^2-6X+5=0$, $\Delta =36-20=16$, d'où $X=1$ ou $X=5$, tous deux strictement positifs. $e^x=1⟺x=0$ et $e^x=5⟺x=\ln 5$ : $𝒮=\{0;\ln 5\}$. Contrôle : sur $]-\infty ;\ln 3]$, $f$ décroît strictement de $5$ (limite non atteinte) à $-4$, et $0\in ]-4;5[$ donne une unique solution ; sur $[\ln 3;+\infty [$, $f$ croît strictement de $-4$ vers $+\infty$ : une unique solution. On retrouve deux solutions, avec $0<\ln 3<\ln 5$. (0,5 pt pour la résolution, 0,5 pt pour le contrôle par le tableau) (1)
4. d)$f″(x)=4e^{2x}-6e^x=2e^x(2e^x-3)$, du signe de $2e^x-3$ : négatif si $x<\ln {\displaystyle \frac{3}{2}}$, positif si $x>\ln {\displaystyle \frac{3}{2}}$. $f$ est concave sur $]-\infty ;\ln {\displaystyle \frac{3}{2}}]$ et convexe sur $[\ln {\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty [$ ; $f″$ change de signe en $\ln {\displaystyle \frac{3}{2}}$. $f\left(\ln {\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{9}{4}}-9+5=-{\displaystyle \frac{7}{4}}$, donc $I(\ln {\displaystyle \frac{3}{2}};-{\displaystyle \frac{7}{4}})$, et $f\prime \left(\ln {\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=2\times {\displaystyle \frac{3}{2}}\times ({\displaystyle \frac{3}{2}}-3)=-{\displaystyle \frac{9}{2}}$ : c'est en $I$ que $f$ décroît le plus vite. (0,5 pt pour la convexité, 0,5 pt pour $I$ et le coefficient directeur) (1)

Méthode — Dès qu'une expression ne contient que $e^x$ et $e^{2x}={\left(e^x\right)}^2$, je pose $X=e^x$, avec $X>0$ : équation, signe et factorisation deviennent ceux d'un trinôme.

1. a)$L(0)=60e^{-2e^0}=60e^{-2}\approx 8,1$ cm. Quand $t\to +\infty$, $-0,3t\to -\infty$, donc $e^{-0,3t}\to 0$ et $-2e^{-0,3t}\to 0$ ; comme $\underset{X\to 0}{lim}{e}^X=e^0=1$, $\underset{t\to +\infty }{lim}L(t)=60$. Le sandre mesure environ $8,1$ cm à son lâcher ; sa longueur se rapproche de $60$ cm sans l'atteindre (la droite d'équation $y=60$ est asymptote horizontale). (0,5 pt pour $L(0)$, 0,5 pt pour la limite interprétée) (1)
2. b)Forme $e^u$ avec $u(t)=-2e^{-0,3t}$ et $u\prime (t)=-2\times (-0,3)e^{-0,3t}=0,6e^{-0,3t}$ : $L\prime (t)=60\times 0,6e^{-0,3t}{e}^{u(t)}=36e^{-0,3t}{e}^{-2e^{-0,3t}}$. Les deux exponentielles sont strictement positives, donc $L\prime (t)>0$ : $L$ est strictement croissante sur $[0;+\infty [$. (0,5 pt pour $u\prime$ et la dérivée, 0,5 pt pour le sens de variation) (1)
3. c)$10,8e^{-0,3t}>0$ et $e^{-2e^{-0,3t}}>0$ : $L″(t)$ a le signe de $2e^{-0,3t}-1$. Or $2e^{-0,3t}-1>0⟺e^{-0,3t}>{\displaystyle \frac{1}{2}}⟺-0,3t>-\ln 2⟺t<{\displaystyle \frac{\ln 2}{0,3}}={\displaystyle \frac{10\ln 2}{3}}$. $L$ est convexe sur $\left[0;t_I\right]$ et concave sur $[t_I;+\infty [$, avec $t_I={\displaystyle \frac{10\ln 2}{3}}\approx 2,31$ ans ; $L″$ y change de signe : point d'inflexion. En $t_I$, $e^{-0,3t_I}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc $L(t_I)=60e^{-1}={\displaystyle \frac{60}{e}}\approx 22,07$ cm et $L\prime (t_I)=36\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\times e^{-1}={\displaystyle \frac{18}{e}}\approx 6,62$ cm par an. $L\prime$ croît puis décroît : c'est vers $2,3$ ans, à environ $22$ cm, que le sandre grandit le plus vite (environ $6,6$ cm par an), puis de moins en moins vite. (0,5 pt pour la convexité et $t_I$, 0,5 pt pour les valeurs exactes et l'interprétation) (1)
4. d)$L$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;+\infty [$, avec $L(0)\approx 8,1<45<60=\underset{t\to +\infty }{lim}L(t)$ : d'après le corollaire du TVI, $L(t)=45$ a une unique solution $t_V$. $L(t)=45⟺e^{-2e^{-0,3t}}=0,75⟺-2e^{-0,3t}=\ln 0,75⟺e^{-0,3t}={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln {\displaystyle \frac{4}{3}}$ (car $-\ln 0,75=\ln {\displaystyle \frac{4}{3}}>0$) $⟺t=-{\displaystyle \frac{10}{3}}\ln \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\ln {\displaystyle \frac{4}{3}}\right)$. Donc $t_V={\displaystyle \frac{10}{3}}\ln \left({\displaystyle \frac{2}{\ln (4/3)}}\right)\approx 6,46$ ans (contrôle : $L(6,46)\approx 44,99$ et $L(6,47)\approx 45,03$). (0,5 pt pour l'unicité, 0,5 pt pour la valeur exacte et approchée) (1)

Erreur fréquente — Le point d'inflexion n'est pas le moment où le poisson cesse de grandir : c'est celui où il grandit le plus vite, car $L\prime$ y passe de croissante à décroissante. La longueur, elle, augmente toujours.

1. a)Perdre $15\%$ revient à multiplier par $0,85$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $0,85$ et $v_n=24000\times 0,{85}^n$. $v_n<10000⟺0,{85}^n<{\displaystyle \frac{5}{12}}⟺n\ln 0,85<\ln {\displaystyle \frac{5}{12}}$ ($\ln$ strictement croissante) $⟺n>{\displaystyle \frac{\ln (5/12)}{\ln 0,85}}$, car $\ln 0,85<0$ (le sens change). Or ${\displaystyle \frac{\ln (5/12)}{\ln 0,85}}\approx 5,39$ : c'est au bout de $6$ ans. Contrôle : $v_5\approx 10649$ € et $v_6\approx 9052$ €. (0,5 pt pour l'inéquation avec le changement de sens, 0,5 pt pour $n=6$) (1)
2. b)$V(n)=24000e^{n\ln 0,85}=24000{\left(e^{\ln 0,85}\right)}^n=24000\times 0,{85}^n=v_n$. Forme $e^{at}$ avec $a=-k$ : $V\prime (t)=-24000k{e}^{-kt}$. Comme $k=-\ln 0,85\approx 0,1625>0$, $V\prime (t)<0$ : $V$ est strictement décroissante. $V\prime (0)=-24000k=24000\ln 0,85\approx -3900$ : au moment de l'achat, la voiture perd de la valeur au rythme d'environ $3900$ € par an. (0,5 pt pour la vérification et la dérivée, 0,5 pt pour le sens de variation et $V\prime (0)$ interprété) (1)
3. c)$V″(t)=24000k^2{e}^{-kt}>0$ : $V$ est convexe. Sa dérivée $V\prime$ est croissante, de plus en plus proche de $0$ : la voiture perd de la valeur de moins en moins vite. Quand $t\to +\infty$, $-kt\to -\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{lim}{e}^X=0$ : $\underset{t\to +\infty }{lim}V(t)=0$. La valeur se rapproche de $0$ sans jamais l'atteindre ; l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe. (0,5 pt pour la convexité interprétée, 0,5 pt pour la limite interprétée) (1)
4. d)La valeur est divisée par $2$ à l'instant $T$ tel que $V(T)=12000$ : $V(T)=12000⟺e^{-kT}={\displaystyle \frac{1}{2}}⟺-kT=-\ln 2⟺T={\displaystyle \frac{\ln 2}{k}}=-{\displaystyle \frac{\ln 2}{\ln 0,85}}\approx 4,27$ ans. Le vendeur a tort : au bout de $4$ ans, la voiture vaut encore $24000\times 0,{85}^4\approx 12528$ €, plus de la moitié de son prix. La voiture perd moins de $2000$ € par an quand $V\prime (t)>-2000$, soit $24000k{e}^{-kt}<2000⟺e^{-kt}<{\displaystyle \frac{1}{12k}}⟺-kt<-\ln (12k)⟺t>{\displaystyle \frac{\ln (12k)}{k}}$ (car $k>0$). Donc $t_1={\displaystyle \frac{\ln (12k)}{k}}={\displaystyle \frac{\ln (-12\ln 0,85)}{-\ln 0,85}}\approx 4,11$ ans. (0,5 pt pour $T$ et la réponse au vendeur, 0,5 pt pour $t_1$) (1)

Astuce — Une évolution d'un même pourcentage chaque année s'écrit au choix $0,{85}^n$ ou $e^{n\ln 0,85}$ : la première forme sert aux seuils, la seconde à dériver et à étudier la convexité.

1. a)$\ln \prime (x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ et $\ln ″(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}<0$ : $\ln$ est concave sur $]0;+\infty [$. $T_a:y={\displaystyle \frac{1}{a}}(x-a)+\ln a$, soit $y={\displaystyle \frac{x}{a}}+\ln a-1$. La courbe d'une fonction concave est au-dessous de chacune de ses tangentes : pour tout $x>0$, $\ln x⩽{\displaystyle \frac{x}{a}}+\ln a-1$. (0,5 pt pour la concavité et la tangente, 0,5 pt pour l'inégalité) (1)
2. b)Avec $x=2$ et $a=e$ : $\ln 2⩽{\displaystyle \frac{2}{e}}+1-1={\displaystyle \frac{2}{e}}$. Avec $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $a=1$ : $\ln {\displaystyle \frac{1}{2}}⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}-1$, soit $-\ln 2⩽-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc $\ln 2⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$ (on peut aussi prendre $x=2$ et $a=4$). Ainsi $0,5⩽\ln 2⩽{\displaystyle \frac{2}{e}}\approx 0,736$, ce qui est cohérent avec $\ln 2\approx 0,693$. (0,5 pt par inégalité) (1)
3. c)Soit $A(a;\ln a)$ et $B(b;\ln b)$. Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}};{\displaystyle \frac{\ln a+\ln b}{2}}\right)$, et son abscisse est comprise entre $a$ et $b$. $\ln$ étant concave, sa courbe est au-dessus de la corde $[AB]$ entre $A$ et $B$ ; en l'abscisse ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$ : $\ln \left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)⩾{\displaystyle \frac{\ln a+\ln b}{2}}$. Or ${\displaystyle \frac{\ln a+\ln b}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (ab)=\ln \sqrt{ab}$ ; $\ln$ étant strictement croissante, ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}⩾\sqrt{ab}$ (l'égalité est évidente si $a=b$). (0,5 pt pour la position par rapport à la corde, 0,5 pt pour le passage à $\sqrt{ab}$) (1)
4. d)$\phi \prime (x)={\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{2-x}{2x}}$, du signe de $2-x$ : $\phi$ est strictement croissante sur $]0;2]$ et strictement décroissante sur $[2;+\infty [$. Sur $]0;2]$ : $\phi (1)=0$, et la stricte monotonie interdit une autre solution. Sur $\left[2;e^2\right]$ : $\phi$ est continue, strictement décroissante, $\phi (2)=\ln 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\approx 0,19>0$ (l'inégalité large de la question b ne suffit pas pour le signe strict) et $\phi \left(e^2\right)=2-{\displaystyle \frac{e^2-1}{2}}={\displaystyle \frac{5-e^2}{2}}<0$ : une unique solution $\beta$ (corollaire du TVI). Sur $[e^2;+\infty [$, $\phi (x)⩽\phi \left(e^2\right)<0$ : aucune. À la calculatrice : $\phi (3,51)\approx 0,0006>0$ et $\phi (3,52)\approx -0,0015<0$, donc $3,51<\beta <3,52$. (0,5 pt pour l'étude de $\phi$ et les deux solutions, 0,5 pt pour l'encadrement) (1)
5. e)$D$ passe par les points $(1;0)$ et $(\beta ;\ln \beta )$ de la courbe de $\ln$ (car $\phi (1)=\phi (\beta )=0$) : c'est une sécante, et le segment qui joint ces deux points est une corde. D'après l'étude de d) : $\phi$ croît strictement sur $]0;2]$ et s'annule en $1$, décroît strictement sur $[2;+\infty [$ et s'annule en $\beta$. Donc $\phi (x)<0$ sur $]0;1[$, $\phi (x)>0$ sur $]1;\beta [$ et $\phi (x)<0$ sur $]\beta ;+\infty [$. La courbe de $\ln$ est au-dessus de $D$ entre les deux points d'intersection, comme l'annonce la concavité (au-dessus de ses cordes), et au-dessous de $D$ en dehors. (0,5 pt pour la sécante, 0,5 pt pour le signe et la position) (1)