Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Dérivation — approfondissement
Étude approfondie des fonctions dérivées : règles de composition, dérivées successives et applications à l'optimisation (programme officiel Maths complémentaires Terminale)
À propos de cette page
Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Dérivation — approfondissement » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : dérivées usuelles et règles de base, Dérivée d'une fonction composée (règle des chaînes), Dérivées successives — dérivée seconde, Signe de la dérivée et variations. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).
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Rappels : dérivées usuelles et règles de base
En Terminale Maths complémentaires, on s'appuie sur les dérivées vues en Première pour aller plus loin. Voici les résultats fondamentaux à maîtriser.
| Fonction $f$ | Dérivée $f'$ | Domaine |
|---|---|---|
| $c$ (constante) | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n\in\mathbb{Z}$) | $nx^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}^*$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]0;+\infty[$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ | $]0;+\infty[$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
Règles de calcul : pour $u$ et $v$ dérivables et $k$ constante :
- $(ku)' = k\,u'$
- $(u+v)' = u'+v'$
- $(uv)' = u'v + uv'$
- $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ (avec $v\neq 0$)
Astuce. Apprendre les dérivées usuelles avec leurs domaines évite les erreurs de définition.
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Dérivée d'une fonction composée (règle des chaînes)
Théorème (règle des chaînes). Soient $f$ dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur $f(I)$. Alors la fonction composée $g\circ f$ est dérivable sur $I$ et :
$$\boxed{(g\circ f)'(x) = g'(f(x))\cdot f'(x)}$$
$$\boxed{(g\circ f)'(x) = g'(f(x))\cdot f'(x)}$$
En pratique, on pose $u = f(x)$ (la fonction « intérieure ») et on dérive la fonction « extérieure » $g$ évaluée en $u$, multipliée par la dérivée de $u$.
Exemple 1. Calculer la dérivée de $h(x) = e^{3x^2-1}$.
On pose $u = 3x^2-1$, donc $u' = 6x$ et $g(u) = e^u$, $g'(u)=e^u$.
$$h'(x) = e^{3x^2-1}\cdot 6x = 6x\,e^{3x^2-1}$$
On pose $u = 3x^2-1$, donc $u' = 6x$ et $g(u) = e^u$, $g'(u)=e^u$.
$$h'(x) = e^{3x^2-1}\cdot 6x = 6x\,e^{3x^2-1}$$
Exemple 2. Calculer la dérivée de $k(x) = \ln(x^2+1)$.
$u = x^2+1$, $u'=2x$, $g(u)=\ln u$, $g'(u)=\dfrac{1}{u}$.
$$k'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$$
$u = x^2+1$, $u'=2x$, $g(u)=\ln u$, $g'(u)=\dfrac{1}{u}$.
$$k'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$$
Cas particuliers importants :
| $h(x)$ | $h'(x)$ |
|---|---|
| $[f(x)]^n$ | $n\,[f(x)]^{n-1}\cdot f'(x)$ |
| $\sqrt{f(x)}$ | $\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ |
| $e^{f(x)}$ | $f'(x)\,e^{f(x)}$ |
| $\ln(f(x))$ | $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ |
| $\sin(f(x))$ | $f'(x)\cos(f(x))$ |
| $\cos(f(x))$ | $-f'(x)\sin(f(x))$ |
Attention ! Ne pas oublier de multiplier par $f'(x)$ (dérivée de l'intérieur). C'est l'erreur la plus fréquente !
$e^{2x}$ croît bien plus vite que $e^x$ : sa dérivée $2e^{2x}$ est le double, illustrant la règle des chaînes.
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Dérivées successives — dérivée seconde
Définition. Si $f$ est dérivable sur $I$, on peut étudier si $f'$ est elle-même dérivable. Si c'est le cas, on définit la dérivée seconde de $f$ :
$$f'' = (f')'$$
On note aussi $f^{(n)}$ la dérivée d'ordre $n$ de $f$, obtenue en dérivant $n$ fois.
$$f'' = (f')'$$
On note aussi $f^{(n)}$ la dérivée d'ordre $n$ de $f$, obtenue en dérivant $n$ fois.
Exemple. $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2$
$f'(x) = 4x^3 - 6x$
$f''(x) = 12x^2 - 6$
$f^{(3)}(x) = 24x$
$f^{(4)}(x) = 24$ (constante)
$f^{(5)}(x) = 0$
$f'(x) = 4x^3 - 6x$
$f''(x) = 12x^2 - 6$
$f^{(3)}(x) = 24x$
$f^{(4)}(x) = 24$ (constante)
$f^{(5)}(x) = 0$
Dérivées secondes des fonctions usuelles :
| $f(x)$ | $f'(x)$ | $f''(x)$ |
|---|---|---|
| $e^x$ | $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ | $n(n-1)x^{n-2}$ |
Astuce. Pour $e^{f(x)}$, la dérivée seconde vaut $[f''(x) + (f'(x))^2]\,e^{f(x)}$. Vérifiez-le par la règle des chaînes appliquée à $f'(x)\,e^{f(x)}$.
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Signe de la dérivée et variations
Théorème fondamental. Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$.
- Si $f'(x) \gt 0$ pour tout $x\in I$ : $f$ est strictement croissante sur $I$.
- Si $f'(x) \lt 0$ pour tout $x\in I$ : $f$ est strictement décroissante sur $I$.
- Si $f'(x) = 0$ pour tout $x\in I$ : $f$ est constante sur $I$.
Exemple. Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x + 1$.
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1) = 3(x-1)(x+1)$
$f'(x) \gt 0 \Leftrightarrow x \lt -1$ ou $x \gt 1$
$f'(x) \lt 0 \Leftrightarrow -1 \lt x \lt 1$
Donc $f$ est croissante sur $]-\infty;-1]$, décroissante sur $[-1;1]$, croissante sur $[1;+\infty[$.
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1) = 3(x-1)(x+1)$
$f'(x) \gt 0 \Leftrightarrow x \lt -1$ ou $x \gt 1$
$f'(x) \lt 0 \Leftrightarrow -1 \lt x \lt 1$
Donc $f$ est croissante sur $]-\infty;-1]$, décroissante sur $[-1;1]$, croissante sur $[1;+\infty[$.
$f'$ s'annule en $x=-1$ (maximum local) et $x=1$ (minimum local). $f'$ négatif sur $[-1;1]$ correspond à $f$ décroissante.
Attention ! Un point où $f'(a)=0$ n'est pas nécessairement un extremum (ex : $f(x)=x^3$ en $x=0$).
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Extrema locaux et critères du second ordre
Définitions. On dit que $f$ admet :
- un maximum local en $a$ s'il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $f(x)\leq f(a)$ pour tout $x\in V$.
- un minimum local en $a$ si $f(x)\geq f(a)$ pour tout $x$ dans un voisinage de $a$.
Condition nécessaire. Si $f$ est dérivable en $a$ et admet un extremum local en $a$, alors $f'(a)=0$.
(Réciproque fausse : $f'(a)=0$ n'implique pas nécessairement un extremum.)
(Réciproque fausse : $f'(a)=0$ n'implique pas nécessairement un extremum.)
Critère du premier ordre. Si $f'$ change de signe en $a$ :
- de $+$ à $-$ : maximum local en $a$
- de $-$ à $+$ : minimum local en $a$
- pas de changement de signe : pas d'extremum en $a$ (point d'inflexion possible)
Critère du second ordre. Si $f'(a)=0$ et $f''(a)\neq 0$ :
- $f''(a) \gt 0$ ⇒ minimum local en $a$
- $f''(a) \lt 0$ ⇒ maximum local en $a$
- $f''(a) = 0$ : test non concluant (revenir au critère du premier ordre)
Exemple. $f(x)= e^x - 2x$
$f'(x) = e^x - 2$, s'annule en $x = \ln 2$.
$f''(x) = e^x$, $f''(\ln 2) = 2 \gt 0$ ⇒ minimum local en $x=\ln 2$.
$f(\ln 2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0{,}614$.
$f'(x) = e^x - 2$, s'annule en $x = \ln 2$.
$f''(x) = e^x$, $f''(\ln 2) = 2 \gt 0$ ⇒ minimum local en $x=\ln 2$.
$f(\ln 2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0{,}614$.
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Applications à l'optimisation
La dérivation permet de résoudre des problèmes d'optimisation : trouver la valeur d'une quantité qui maximise ou minimise une grandeur (coût, surface, volume, profit…).
Méthode générale.
- Définir la variable $x$ et son domaine $D$.
- Exprimer la quantité à optimiser comme fonction $f(x)$.
- Calculer $f'(x)$, résoudre $f'(x)=0$ sur $D$.
- Vérifier la nature de l'extremum (tableau de signe, critère du second ordre).
- Conclure dans le contexte du problème.
Exemple : clôture de jardin. On dispose de $40$ m de grillage pour enclore un rectangle appuyé contre un mur (un côté libre). Maximiser l'aire.
Soient $x$ la largeur (côté perpendiculaire au mur) et $y$ la longueur (parallèle au mur).
Contrainte : $2x + y = 40$, donc $y = 40 - 2x$, $x\in ]0;20[$.
Aire : $A(x) = x(40-2x) = 40x - 2x^2$.
$A'(x) = 40 - 4x = 0 \Rightarrow x = 10$.
$A''(x) = -4 \lt 0$ ⇒ maximum. Aire maximale : $A(10) = 200\,\text{m}^2$.
Soient $x$ la largeur (côté perpendiculaire au mur) et $y$ la longueur (parallèle au mur).
Contrainte : $2x + y = 40$, donc $y = 40 - 2x$, $x\in ]0;20[$.
Aire : $A(x) = x(40-2x) = 40x - 2x^2$.
$A'(x) = 40 - 4x = 0 \Rightarrow x = 10$.
$A''(x) = -4 \lt 0$ ⇒ maximum. Aire maximale : $A(10) = 200\,\text{m}^2$.
Astuce. En physique, économie, biologie : toujours vérifier que la valeur obtenue est bien dans le domaine de définition du problème (grandeur positive, angle entre 0 et $\pi$, etc.).
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Dérivation et convexité — lien avec f''
Définitions. Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$.
- $f$ est convexe sur $I$ si $f''(x)\geq 0$ pour tout $x\in I$ (courbe au-dessus de ses tangentes).
- $f$ est concave sur $I$ si $f''(x)\leq 0$ pour tout $x\in I$ (courbe en dessous de ses tangentes).
Point d'inflexion. $a$ est un point d'inflexion de $f$ si $f''$ change de signe en $a$. La courbe traverse alors sa tangente en ce point.
Exemple. $f(x) = x^3$.
$f''(x) = 6x$. Donc $f$ est concave sur $]-\infty;0[$ et convexe sur $]0;+\infty[$.
En $x=0$ : $f''(0)=0$ et $f''$ change de signe ⇒ point d'inflexion en $(0;0)$.
$f''(x) = 6x$. Donc $f$ est concave sur $]-\infty;0[$ et convexe sur $]0;+\infty[$.
En $x=0$ : $f''(0)=0$ et $f''$ change de signe ⇒ point d'inflexion en $(0;0)$.
$f''(x)=6x$ change de signe en $x=0$ : point d'inflexion de $f(x)=x^3$ à l'origine.
- $f'' \gt 0$ ↔ $f'$ croissante ↔ $f$ convexe (« souriant »)
- $f'' \lt 0$ ↔ $f'$ décroissante ↔ $f$ concave (« triste »)
Attention ! $f''(a)=0$ ne suffit pas à conclure qu'il y a un point d'inflexion en $a$ : il faut que $f''$ change de signe.
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Synthèse des méthodes
Pour étudier complètement une fonction $f$ en Maths complémentaires, voici la marche à suivre :
Plan d'étude complète.
- Domaine de définition : chercher les valeurs interdites ($\ln$, $\sqrt{\phantom{x}}$, dénominateur nul…).
- Dérivée $f'$ : utiliser les règles usuelles et la règle des chaînes.
- Signe de $f'$ et tableau de variations.
- Dérivée seconde $f''$ : étudier la convexité et les points d'inflexion.
- Limites aux bornes.
- Représentation graphique : tracer avec toutes ces informations.
Exemple récapitulatif. $f(x) = xe^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.
$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$.
$f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1$. Maximum local en $x=1$ : $f(1)=e^{-1}$.
$f''(x) = -(1-x)e^{-x} + e^{-x} = (x-2)e^{-x}$.
$f''(x)=0 \Leftrightarrow x=2$ : point d'inflexion en $(2, 2e^{-2})$.
$f$ convexe sur $]2;+\infty[$, concave sur $]-\infty;2[$.
$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$.
$f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1$. Maximum local en $x=1$ : $f(1)=e^{-1}$.
$f''(x) = -(1-x)e^{-x} + e^{-x} = (x-2)e^{-x}$.
$f''(x)=0 \Leftrightarrow x=2$ : point d'inflexion en $(2, 2e^{-2})$.
$f$ convexe sur $]2;+\infty[$, concave sur $]-\infty;2[$.
À retenir. La règle des chaînes, la dérivée seconde et les critères d'extrema forment les trois piliers de ce chapitre. Entraînez-vous à les combiner sur des fonctions variées !
À retenir
- Dérivation — approfondissement : l'essentiel
- Règle des chaînes : $(g\circ f)'(x) = g'(f(x))\cdot f'(x)$ — toujours multiplier par la dérivée de l'intérieur.
- Dérivée seconde $f'' = (f')'$ — renseigne sur la convexité et la nature des extrema.
- Extremum local en $a$ : condition nécessaire $f'(a)=0$ ; si $f''(a)\gt 0$ → minimum, $f''(a)\lt 0$ → maximum.
- Convexité : $f''\gt 0$ ↔ convexe (souriant) ; $f''\lt 0$ ↔ concave (triste). Point d'inflexion si $f''$ change de signe.
- Optimisation : exprimer la quantité en fonction d'une seule variable, dériver, annuler, vérifier la nature.
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