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Dérivation : approfondissement

Rappels de 1re (dérivées usuelles, produit, quotient, tangente), dérivées de x ↦ f(ax + b), de u², de eᵘ et de ln u, signe de la dérivée, tableau de variations et extremums.

À propos de cette page

Ce cours de maths complémentaires de Terminale sur la dérivation commence par les rappels de 1re (nombre dérivé, tangente, dérivées usuelles, produit et quotient), puis ajoute les dérivées de f(ax + b), de u², de eᵘ et de ln u, avec leurs démonstrations, avant d’en venir au signe de la dérivée et au tableau de variations. Chaque partie a ses exemples rédigés, un réflexe et le piège à éviter.

Rappels de 1re : nombre dérivé, tangente, dérivées usuelles et opérations

Ce qu’il faut savoir

Nombre dérivé. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$ . $f$ est dérivable en $a$ lorsque le taux de variation $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$ : cette limite est le nombre dérivé $f' (a)$ . C’est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$ , qui a pour équation $y = f' (a) (x - a) + f (a) .$

Dérivées usuelles.

$f (x)$	$f' (x)$	Valable sur
$k$ (constante)	$0$	$ℝ$
$x^{n}$ ( $n$ entier, $n ⩾ 1$ )	$n x^{n - 1}$	$ℝ$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x^{2}}$	$] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$	$] 0; + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$ℝ$

Opérations. Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ et $k$ est un réel : $(u + v)^{'} = u' + v'$ ; $(k u)^{'} = k u'$ ; $(u v)^{'} = u' v + u v'$ ; si $v$ ne s’annule pas sur $I$ , ${(\frac{1}{v})}^{'}$ $= - \frac{v'}{v^{2}}$ et ${(\frac{u}{v})}^{'}$ $= \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$ .

Ce chapitre ajoute à cette boîte à outils quatre formes nouvelles : $f (a x + b)$ , $u^{2}$ , $e^{u}$ et $\ln u$ .

Exemples

Un produit. $f (x) = (5 - 2 x) e^{x}$ sur $ℝ$ . Avec $u (x) = 5 - 2 x$ , $u' (x) = - 2$ , $v (x) = e^{x}$ et $v' (x) = e^{x}$ : $f' (x)$ $= - 2 e^{x} + (5 - 2 x) e^{x}$ $= (3 - 2 x) e^{x}$ .

Un quotient. $g (x) = \frac{3 x + 2}{x + 4}$ sur $] - 4; + \infty [$ , où $x + 4 \neq 0$ : $g' (x)$ $= \frac{3 (x + 4) - (3 x + 2) \times 1}{(x + 4)^{2}}$ $= \frac{10}{(x + 4)^{2}}$ .

Un quotient avec l’exponentielle. $k (x) = \frac{e^{x}}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ : $k' (x)$ $= \frac{e^{x} \times x - e^{x} \times 1}{x^{2}}$ $= \frac{(x - 1) e^{x}}{x^{2}}$ .

Une tangente. $h (x) = x^{3} - 2 x$ et $a = 1$ : $h (1) = - 1$ , $h' (x) = 3 x^{2} - 2$ , donc $h' (1) = 1$ . La tangente au point d’abscisse $1$ a pour équation $y = 1 \times (x - 1) + (- 1)$ , soit $y = x - 2$ .

Réflexe — Avant de dériver, je reconnais la structure de l’expression (somme, produit, quotient) et j’écris $u$ , $v$ , $u'$ , $v'$ à côté. Ensuite je simplifie en factorisant, par exemple par $e^{x}$ : c’est la forme factorisée qui servira pour le signe.

Attention — La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées : $(u v)^{'} \neq u' v'$ . Au numérateur de ${(\frac{u}{v})}^{'}$ , l’ordre compte : $u' v - u v'$ . Et $x \mapsto \sqrt{x}$ n’est pas dérivable en $0$ .

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Dérivée de x ↦ f(ax + b)

Ce qu’il faut savoir

Propriété. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , et $a$ , $b$ deux réels avec $a \neq 0$ . La fonction $g : x \mapsto f (a x + b)$ est dérivable en tout réel $x$ tel que $a x + b$ appartienne à $I$ , et $g' (x) = a f' (a x + b) .$

On dérive la fonction « extérieure » $f$ , on garde l’intérieur $a x + b$ tel quel, puis on multiplie par le coefficient $a$ .

Cas fréquents.

$g (x)$	$g' (x)$	Condition
$e^{a x + b}$	$a e^{a x + b}$	aucune
$(a x + b)^{n}$	$n a (a x + b)^{n - 1}$	$n$ entier, $n ⩾ 1$
$\sqrt{a x + b}$	$\frac{a}{2 \sqrt{a x + b}}$	$a x + b > 0$
$\frac{1}{a x + b}$	$- \frac{a}{(a x + b)^{2}}$	$a x + b \neq 0$

La formule de 1^re $(e^{k x})^{'} = k e^{k x}$ en est un cas particulier ( $a = k$ , $b = 0$ ).

Exemples

Démonstration. Soit $x$ tel que $X = a x + b$ appartienne à $I$ , et $h \neq 0$ . Le taux de variation de $g$ s’écrit $\frac{g (x + h) - g (x)}{h}$ $= \frac{f (X + a h) - f (X)}{h}$ $= a \times \frac{f (X + a h) - f (X)}{a h}$ . On pose $k = a h$ : $k \neq 0$ (car $a \neq 0$ ) et $k$ tend vers $0$ quand $h$ tend vers $0$ . Comme $f$ est dérivable en $X$ , $\frac{f (X + k) - f (X)}{k}$ tend vers $f' (X)$ . Le taux de variation de $g$ tend donc vers $a f' (X)$ : $g' (x) = a f' (a x + b)$ .

Exponentielle. $g (x) = e^{4 x - 1}$ sur $ℝ$ : $f = \exp$ , $f' = \exp$ et $a = 4$ , donc $g' (x) = 4 e^{4 x - 1}$ .

Racine carrée. $k (x) = \sqrt{3 x + 1}$ est dérivable là où $3 x + 1 > 0$ , soit sur $] - \frac{1}{3}; + \infty [$ , et $k' (x)$ $= 3 \times \frac{1}{2 \sqrt{3 x + 1}}$ $= \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 1}}$ .

Puissance. $m (x) = (5 - 2 x)^{4}$ sur $ℝ$ : la fonction extérieure est $x \mapsto x^{4}$ , de dérivée $4 x^{3}$ , et $a = - 2$ : $m' (x)$ $= - 2 \times 4 (5 - 2 x)^{3}$ $= - 8 (5 - 2 x)^{3}$ .

Inverse. $p (x) = \frac{3}{1 - 4 x}$ sur $] - \infty; \frac{1}{4} [$ : $p (x) = 3 \times \frac{1}{1 - 4 x}$ avec $a = - 4$ , donc $p' (x)$ $= 3 \times (- \frac{- 4}{(1 - 4 x)^{2}})$ $= \frac{12}{(1 - 4 x)^{2}}$ .

Réflexe — Je repère l’expression affine $a x + b$ « à l’intérieur », je dérive la fonction extérieure en recopiant $a x + b$ , et je multiplie par $a$ , avec son signe. Contrôle rapide : avec $a = 1$ et $b = 0$ , je dois retrouver la dérivée usuelle.

Attention — $(e^{- 3 x})^{'} = - 3 e^{- 3 x}$ , pas $e^{- 3 x}$ . Et ${((1 - x)^{3})}^{'}$ $= - 3 (1 - x)^{2}$ : le coefficient $a = - 1$ change le signe. Pour $\sqrt{a x + b}$ et $\frac{1}{a x + b}$ , on précise d’abord l’intervalle de dérivabilité.

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Dérivées de u² et de eᵘ

Ce qu’il faut savoir

Propriété. Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Fonction	Dérivée	Condition
$u^{2}$	$2 u' u$	aucune
$e^{u}$	$u' e^{u}$	aucune

Le schéma est le même : la dérivée de l’« extérieur » ( $x \mapsto x^{2}$ ou $\exp$ ) prise en $u$ , multipliée par la dérivée $u'$ de l’intérieur.

Signe. Comme $e^{u (x)} > 0$ pour tout $x$ , $(e^{u})^{'} (x)$ a le signe de $u' (x)$ : sur un intervalle, $e^{u}$ a les mêmes variations que $u$ .

Exemples

Pourquoi $(u^{2})^{'} = 2 u' u$ . $u^{2} = u \times u$ , donc, par la formule du produit, $(u^{2})^{'} = u' u + u u' = 2 u' u$ . La formule de $e^{u}$ est admise.

Un carré. $f (x) = (x^{2} + 3 x)^{2}$ : $u (x) = x^{2} + 3 x$ et $u' (x) = 2 x + 3$ , donc $f' (x) = 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x)$ .

Une exponentielle. $g (x) = e^{- x^{2}}$ : $u (x) = - x^{2}$ et $u' (x) = - 2 x$ , donc $g' (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$ . Comme $e^{- x^{2}} > 0$ , $g' (x)$ a le signe de $- 2 x$ : $g$ croît sur $] - \infty; 0]$ et décroît sur $[0; + \infty [$ , comme $u$ .

Un quotient dans l’exposant. $r (x) = e^{\frac{x}{x + 1}}$ sur $] - 1; + \infty [$ : $u (x) = \frac{x}{x + 1}$ et $u' (x)$ $= \frac{(x + 1) - x}{(x + 1)^{2}}$ $= \frac{1}{(x + 1)^{2}}$ , donc $r' (x)$ $= \frac{1}{(x + 1)^{2}} e^{\frac{x}{x + 1}}$ .

Deux formes emboîtées. $q (x) = (4 - e^{2 x})^{2}$ : forme $u^{2}$ avec $u (x) = 4 - e^{2 x}$ et $u' (x) = - 2 e^{2 x}$ (forme $e^{a x + b}$ , $a = 2$ ). Donc $q' (x)$ $= 2 \times (- 2 e^{2 x}) \times (4 - e^{2 x})$ $= - 4 e^{2 x} (4 - e^{2 x})$ .

Réflexe — J’écris $u (x)$ et $u' (x)$ sur une ligne à part, puis j’applique la formule. Pour étudier le signe, je mets de côté le facteur $e^{u (x)}$ , toujours strictement positif.

Attention — On ne dérive jamais « dans » l’exposant : $(e^{- x^{2}})^{'}$ n’est pas $e^{- 2 x}$ . Et $(u^{2})^{'} = 2 u' u$ , pas $2 u$ : pour $(6 - x)^{2}$ , $u' = - 1$ et la dérivée vaut $- 2 (6 - x)$ .

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Dérivée de ln u

Ce qu’il faut savoir

Le logarithme népérien (étudié dans le chapitre Fonction logarithme népérien). Pour tout réel $x > 0$ , $\ln x$ est l’unique réel dont l’exponentielle vaut $x$ : $e^{\ln x} = x$ . Ainsi $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$ ; $\ln x$ n’existe que pour $x > 0$ .

Dérivées. La fonction $\ln$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ . Si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ , alors $\ln u$ est dérivable sur $I$ et $(\ln u)^{'} = \frac{u'}{u} .$ En particulier, ${(\ln (a x + b))}^{'}$ $= \frac{a}{a x + b}$ là où $a x + b > 0$ .

Signe. Comme $u > 0$ , $(\ln u)^{'}$ a le signe de $u'$ : $\ln u$ a les mêmes variations que $u$ . Avec $u (x) = x$ : $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x} > 0$ , donc $\ln$ est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ .

Exemples

Démonstration (en admettant que $\ln u$ est dérivable). Pour tout $x$ de $I$ , $e^{\ln u (x)} = u (x)$ . On dérive les deux membres ; à gauche, c’est la forme $e^{v}$ avec $v = \ln u$ : $(\ln u)^{'} (x) \times e^{\ln u (x)}$ $= u' (x)$ , c’est-à-dire $(\ln u)^{'} (x) \times u (x) = u' (x)$ . Comme $u (x) \neq 0$ : $(\ln u)^{'} (x) = \frac{u' (x)}{u (x)}$ . Avec $u (x) = x$ , on retrouve $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ .

Forme $\ln (a x + b)$ . $h (x) = \ln (2 x + 7)$ est définie là où $2 x + 7 > 0$ , soit sur $] - 3, 5; + \infty [$ , et $h' (x) = \frac{2}{2 x + 7}$ .

Un trinôme toujours positif. $k (x) = \ln (2 x^{2} + 1)$ : $2 x^{2} + 1 ⩾ 1 > 0$ pour tout réel $x$ , donc $k$ est définie et dérivable sur $ℝ$ ; avec $u' (x) = 4 x$ , $k' (x) = \frac{4 x}{2 x^{2} + 1}$ .

Un domaine à chercher. $s (x) = \ln (4 - x^{2})$ : il faut $4 - x^{2} > 0$ , soit $- 2 < x < 2$ . Sur $] - 2; 2 [$ , $s' (x) = \frac{- 2 x}{4 - x^{2}}$ .

Un coefficient qui se simplifie. Sur $] 0; + \infty [$ , ${(\ln (7 x))}^{'}$ $= \frac{7}{7 x}$ $= \frac{1}{x}$ : même dérivée que $\ln x$ .

Réflexe — J’écris d’abord la condition $u (x) > 0$ et l’intervalle d’étude, puis $u' (x)$ , puis $\frac{u' (x)}{u (x)}$ . Pour le signe, le dénominateur $u (x)$ est positif : seul compte le signe de $u' (x)$ .

Attention — $(\ln u)^{'}$ n’est pas $\frac{1}{u}$ : la dérivée de $\ln (x^{2} + 7)$ est $\frac{2 x}{x^{2} + 7}$ , pas $\frac{1}{x^{2} + 7}$ . Et une dérivée calculée là où $u (x) ⩽ 0$ n’a aucun sens : le domaine se justifie avant tout calcul.

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Signe de la dérivée, tableau de variations et extremums

Ce qu’il faut savoir

Théorème (rappel de 1^re). Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ . Si $f' (x) > 0$ pour tout $x$ de $I$ , sauf en un nombre fini de points où $f'$ s’annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ ; si $f' (x) < 0$ (même réserve), $f$ est strictement décroissante sur $I$ ; si $f' (x) = 0$ pour tout $x$ de $I$ , $f$ est constante sur $I$ .

Extremum local. Si $f'$ s’annule en $a$ en changeant de signe, $f$ admet un extremum local en $a$ : un maximum si $f'$ passe de $+$ à $-$ , un minimum si $f'$ passe de $-$ à $+$ .

Étude en quatre étapes.
1. Intervalle d’étude et dérivabilité (domaine de $\ln u$ , de $\sqrt{u}$ , dénominateur non nul).
2. Calcul de $f' (x)$ , mis sous forme factorisée.
3. Signe : on écarte les facteurs de signe connu ( $e^{u (x)} > 0$ , un carré, un dénominateur positif, $x > 0$ …) et on étudie les autres.
4. Tableau : signe de $f' (x)$ , flèches, valeurs exactes aux points où $f'$ s’annule et aux bornes.

Maximum ou minimum sur un intervalle $[a; b]$ : on compare les extremums locaux et les valeurs $f (a)$ et $f (b)$ aux bornes.

Exemples

Un maximum. $g (x) = x e^{1 - x}$ sur $ℝ$ . Produit, avec $(e^{1 - x})^{'} = - e^{1 - x}$ (forme $e^{a x + b}$ , $a = - 1$ ) : $g' (x)$ $= 1 \times e^{1 - x} + x \times (- e^{1 - x})$ $= (1 - x) e^{1 - x}$ . Comme $e^{1 - x} > 0$ , $g' (x)$ a le signe de $1 - x$ : positif pour $x < 1$ , négatif pour $x > 1$ . Avec $g (1) = 1 \times e^{0} = 1$ :

$x$	$- \infty$		$1$		$+ \infty$
$g' (x)$		$+$	$0$	$-$
$g (x)$		↗	$1$	↘

$g$ admet un maximum en $1$ , égal à $1$ : pour tout réel $x$ , $x e^{1 - x} ⩽ 1$ .

Une dérivée de signe constant. $f (x) = \ln (x^{2} + 9) - x$ sur $ℝ$ (car $x^{2} + 9 > 0$ ). $f' (x)$ $= \frac{2 x}{x^{2} + 9} - 1$ $= \frac{2 x - x^{2} - 9}{x^{2} + 9}$ $= - \frac{x^{2} - 2 x + 9}{x^{2} + 9}$ . Le trinôme $x^{2} - 2 x + 9$ a pour discriminant $Δ = 4 - 36 = - 32 < 0$ : il est strictement positif. Donc $f' (x) < 0$ pour tout $x$ , et $f$ est strictement décroissante sur $ℝ$ , sans extremum.

Réflexe — Je ne conclus jamais sur les variations sans avoir écrit le signe de chaque facteur de $f' (x)$ . Pour un extremum, je donne la valeur exacte (avec $e$ ou $\ln$ ), puis une valeur approchée si on la demande.

Attention — $f' (a) = 0$ ne suffit pas : $x \mapsto x^{3}$ a une dérivée nulle en $0$ mais reste strictement croissante sur $ℝ$ (sa dérivée $3 x^{2}$ ne change pas de signe). Et on conclut sur un intervalle : $x \mapsto \frac{1}{x}$ décroît sur $] - \infty; 0 [$ et sur $] 0; + \infty [$ , mais pas sur leur réunion, puisque $\frac{1}{- 1} < \frac{1}{1}$ .

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Pour aller plus loin

Dérivée seconde et convexité. La dérivée de $f'$ se note $f ″$ ; son signe donne les variations de $f'$ et la convexité de la courbe (points d’inflexion) : chapitre Convexité.

Le logarithme pour lui-même. Propriétés algébriques ( $\ln (a b) = \ln a + \ln b$ ), limites, équations et inéquations : chapitre Fonction logarithme népérien.

Limites aux bornes et nombre de solutions. Les limites à placer aux extrémités d’un tableau de variations, et le nombre de solutions de $f (x) = k$ qu’on en déduit, sont dans le chapitre Limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires.

Lire les formules à l’envers. Reconnaître $2 u' u$ , $u' e^{u}$ ou $\frac{u'}{u}$ pour trouver une primitive : chapitre Primitives.

Pour aller plus loin (spécialité). La dérivée d’une composée quelconque $x \mapsto g (u (x))$ est traitée dans le chapitre de spécialité Compléments sur la dérivation : fonctions composées.

À retenir

Tangente au point d’abscisse $a$ : $y = f' (a) (x - a) + f (a)$ ; $(u v)^{'} = u' v + u v'$ et ${(\frac{u}{v})}^{'}$ $= \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$ .
${(f (a x + b))}^{'}$ $= a f' (a x + b)$ : par exemple $(e^{a x + b})^{'} = a e^{a x + b}$ .
$(u^{2})^{'} = 2 u' u$ et $(e^{u})^{'} = u' e^{u}$ ; comme $e^{u} > 0$ , $e^{u}$ a les mêmes variations que $u$ .
$(\ln u)^{'} = \frac{u'}{u}$ quand $u > 0$ : on justifie le domaine avant de dériver.
Variations : $f' (x)$ factorisée, facteurs de signe connu écartés, tableau de signes, puis flèches et valeurs exactes ; sur $[a; b]$ , on compare aussi $f (a)$ et $f (b)$ .

Questions fréquentes

Quelles dérivées de 1re faut-il connaître en Terminale ?

Les dérivées usuelles (xⁿ, 1/x, √x, eˣ) et les règles de calcul : somme, produit (u′v + uv′), inverse et quotient ((u′v − uv′)/v²). Elles servent aussi pour l’équation de la tangente y = f′(a)(x − a) + f(a).

Comment dériver f(ax + b) ?

On dérive la fonction extérieure en gardant ax + b à l’intérieur, puis on multiplie par a : la dérivée de f(ax + b) est a f′(ax + b). Par exemple, la dérivée de e^(3x + 1) est 3e^(3x + 1), et celle de (1 − x)³ est −3(1 − x)².

Quelle est la dérivée de eᵘ et de u² ?

(eᵘ)′ = u′eᵘ et (u²)′ = 2u′u. On écrit d’abord u et u′. Comme eᵘ est toujours strictement positive, la dérivée de eᵘ a le signe de u′ : eᵘ a les mêmes variations que u.

Comment dériver ln u ?

Si u est dérivable et strictement positive sur l’intervalle, (ln u)′ = u′/u. Il faut d’abord justifier que u(x) > 0 : c’est la condition pour que ln u(x) existe. Par exemple, la dérivée de ln(x² + 1) est 2x/(x² + 1).

Comment dresser un tableau de variations ?

On précise l’intervalle, on calcule f′(x) et on la factorise, on étudie le signe de chaque facteur (une exponentielle, un carré ou un dénominateur positif ne changent pas le signe), puis on place les flèches et les valeurs exactes des extremums et des bornes.

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