Comment calculer les limites des fonctions en Terminale ?

On part des limites des fonctions de référence (puissances de x, inverse, racine carrée, exponentielle) et on applique les règles sur les sommes, produits et quotients. En cas de forme indéterminée, comme « l'infini moins l'infini » ou « l'infini sur l'infini », on factorise par le terme de plus haut degré : en l'infini, un polynôme a la même limite que ce terme, et un quotient de polynômes la même limite que le quotient des termes dominants.

Qu'est-ce que la continuité d'une fonction en Terminale ?

Une fonction est continue sur un intervalle lorsque sa courbe se trace sans lever le crayon, sans saut ni trou. Les polynômes, la racine carrée, l'exponentielle et les fonctions rationnelles sur chaque intervalle de leur ensemble de définition sont continues, et toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue.

À quoi sert le théorème des valeurs intermédiaires ?

Il prouve qu'une équation f(x) = k a au moins une solution dans [a ; b] dès que f est continue sur [a ; b] et que k est compris entre f(a) et f(b). Si f est en plus strictement monotone, la solution est unique. On l'encadre ensuite par balayage ou par dichotomie, à la calculatrice ou avec un programme Python.

Quelle différence entre asymptote horizontale et asymptote verticale ?

Une asymptote horizontale d'équation y = ℓ apparaît quand f(x) tend vers le réel ℓ lorsque x tend vers plus ou moins l'infini. Une asymptote verticale d'équation x = a apparaît quand f(x) tend vers plus ou moins l'infini lorsque x tend vers le réel a, souvent une valeur interdite où le dénominateur s'annule.

Que contient le chapitre sur les fonctions en maths complémentaires ?

L'intitulé officiel regroupe continuité, limites, théorème des valeurs intermédiaires, fonction réciproque, fonction logarithme népérien et dérivées de f(ax+b), e^u, ln u et u². Ce chapitre traite les limites, la continuité et le TVI ; ils servent ensuite pour la fonction logarithme et pour les suites récurrentes u(n+1) = f(u(n)).

Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Fonctions : limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Limites de fonctions, asymptotes, continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires et résolution approchée d'équations

À propos de cette page

Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Fonctions : limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Limites des fonctions de référence et opérations, Asymptotes horizontales et verticales, Continuité sur un intervalle. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).

L'essentiel

Limite en l'infini. Dire que

{lim}_{x \to + \infty} f (x) = ℓ

signifie que

f (x)

devient aussi proche du réel

ℓ

que l'on veut, dès que

x

est assez grand. Dire que

{lim}_{x \to + \infty} f (x) = + \infty

signifie que

f (x)

dépasse n'importe quel réel fixé, dès que

x

est assez grand. Même idée en

- \infty

Limite en un point. Si

a

est une borne de l'ensemble de définition (souvent une valeur interdite),

{lim}_{x \to a} f (x) = + \infty

signifie que

f (x)

devient aussi grand que l'on veut quand

x

se rapproche de

a

. On précise le côté :

x \to a^{+}

(avec

x > a

) ou

x \to a^{-}

(avec

x < a

Continuité. Une fonction

f

est continue sur un intervalle

I

lorsque sa courbe se trace sur

I

« sans lever le crayon » : ni saut, ni trou.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Si

f

est continue sur

[a; b]

, alors pour tout réel

k

compris entre

f (a)

f (b)

, l'équation

f (x) = k

admet au moins une solution dans

[a; b]

Limites des fonctions de référence et opérations

Fonction	en $+ \infty$	en $- \infty$	en $0$
$x^{n}$ ( $n \geq 1$ )	$+ \infty$	$+ \infty$ si $n$ pair, $- \infty$ si $n$ impair	$0$
$\frac{1}{x}$	$0$	$0$	$+ \infty$ en $0^{+}$ , $- \infty$ en $0^{-}$
$\frac{1}{x^{2}}$	$0$	$0$	$+ \infty$
$\sqrt{x}$	$+ \infty$	non définie	$0$
$e^{x}$	$+ \infty$	$0$	$1$

Opérations. Somme :

ℓ + (+ \infty) = + \infty

(+ \infty) + (+ \infty) = + \infty

. Produit : un réel non nul fois l'infini donne l'infini, avec la règle des signes. Quotient :

\frac{ℓ}{\pm \infty} = 0

;

\frac{ℓ}{0}

avec

ℓ \neq 0

donne l'infini, avec le signe de

ℓ

et celui du dénominateur (

0^{+}

0^{-}

Formes indéterminées.

+ \infty - (+ \infty)

0 \times \infty

\frac{\infty}{\infty}

\frac{0}{0}

: les règles ne concluent pas, il faut transformer l'écriture (factoriser, simplifier).

Terme dominant. En

+ \infty

ou en

- \infty

, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ; un quotient de polynômes a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré. On le justifie en factorisant par ce terme.

Exemple. Pour

x \neq 0

3 x^{3} - 5 x^{2} + 1 = x^{3} (3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{3}})

. En

- \infty

, la parenthèse tend vers

3

x^{3}

vers

- \infty

, donc

{lim}_{x \to - \infty} (3 x^{3} - 5 x^{2} + 1) = - \infty

Asymptotes horizontales et verticales

Asymptote horizontale. Si

{lim}_{x \to + \infty} f (x) = ℓ

(ou en

- \infty

), la droite d'équation

y = ℓ

est asymptote horizontale à la courbe de

f

+ \infty

(ou en

- \infty

Asymptote verticale. Si

f (x)

tend vers

+ \infty

- \infty

quand

x

tend vers le réel

a

(d'un côté au moins), la droite d'équation

x = a

est asymptote verticale à la courbe de

f

Exemple.

g (x) = \frac{2 x + 1}{x - 4}

sur

ℝ ⧵ {4}

. En

\pm \infty

, le quotient des termes dominants vaut

\frac{2 x}{x} = 2

: asymptote

y = 2

. En

4

, le numérateur tend vers

9 > 0

x - 4

tend vers

0^{+}

x > 4

, vers

0^{-}

x < 4

g (x) \to + \infty

à droite,

- \infty

à gauche. Asymptote verticale

x = 4

Position relative. Pour situer la courbe par rapport à l'asymptote

y = ℓ

, on étudie le signe de

f (x) - ℓ

: positif, la courbe est au-dessus ; négatif, en dessous.

Continuité sur un intervalle

Fonctions continues (admis). Les polynômes et

x \mapsto e^{x}

sont continus sur

ℝ

;

x \mapsto \sqrt{x}

l'est sur

[0; + \infty [

; une fonction rationnelle l'est sur chaque intervalle de son ensemble de définition. Sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continus.

Dérivable implique continue (admis). Une fonction dérivable sur un intervalle

I

est continue sur

I

. La réciproque est fausse :

x \mapsto | x |

est continue en

0

mais sa courbe y forme un angle, elle n'est pas dérivable en

0

Contre-exemple. Un tarif « par tranches » (stationnement facturé par heure entamée, tarif postal selon la masse) donne une courbe en escalier : elle saute à chaque changement de tranche, la fonction n'est pas continue en ces points.

Convention. Dans un tableau de variations, une flèche oblique signifie que la fonction est continue et strictement monotone sur l'intervalle correspondant.

Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire

Corollaire (cas strictement monotone). Si

f

est continue et strictement monotone sur

[a; b]

, alors pour tout réel

k

compris entre

f (a)

f (b)

, l'équation

f (x) = k

admet une unique solution dans

[a; b]

. Le résultat reste vrai sur un intervalle ouvert ou non borné, en remplaçant

f (a)

f (b)

par les limites aux bornes.

Exemple.

h (x) = x^{3} + x - 3

h

est continue (polynôme) et

h^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0

, donc

h

est strictement croissante sur

[1; 2]

h (1) = - 1 < 0

h (2) = 7 > 0

0

est compris entre

h (1)

h (2)

, donc

h (x) = 0

admet une unique solution

α

dans

[1; 2]

. À la calculatrice,

h (1, 2) \approx - 0, 072

h (1, 3) \approx 0, 497

, donc

1, 2 < α < 1, 3

Le TVI seul donne l'existence ; c'est la stricte monotonie qui donne l'unicité.

Résolution approchée : balayage et dichotomie

Balayage. On part de

a

et on avance d'un pas

p

(

0, 1

puis

0, 01

…) en calculant les images, jusqu'au premier changement de signe de

f (x) - k

. La solution est alors encadrée entre deux valeurs distantes de

p

Dichotomie. Sur

[a; b]

où

f

change de signe, on calcule le milieu

m = \frac{a + b}{2}

; si

f (a)

f (m)

sont de signes contraires, la solution est dans

[a; m]

, sinon dans

[m; b]

. Après

n

étapes, l'amplitude vaut

\frac{b - a}{2^{n}}

Étape	$a$	$b$	$m$	$h (m)$
1	1	2	1,5	1,875 (+)
2	1	1,5	1,25	≈ 0,203 (+)
3	1	1,25	1,125	≈ −0,451 (−)
4	1,125	1,25	1,1875	≈ −0,138 (−)

Après 4 étapes, $α \in [1, 1875; 1, 25]$ , intervalle d'amplitude $\frac{1}{2^{4}} = 0, 0625$ .

def dichotomie(f, a, b, e):
    while b - a > e:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

La dichotomie divise l'amplitude par 2 à chaque étape : 10 étapes la divisent par

2^{10} = 1024

, soit environ trois décimales gagnées.

Méthodes

Méthode — Calculer la limite en l'infini d'un quotient de polynômes

Repérer le terme de plus haut degré du numérateur et celui du dénominateur.
Factoriser chacun par son terme dominant, puis simplifier.
Utiliser $\frac{1}{x^{n}} \to 0$ en $\pm \infty$ .
Conclure par les règles d'opérations et interpréter (asymptote).

Exemple rédigé. Pour

x \neq 0

\frac{5 x^{2} - 3 x}{2 x^{2} + 7} = \frac{x^{2} (5 - \frac{3}{x})}{x^{2} (2 + \frac{7}{x^{2}})} = \frac{5 - \frac{3}{x}}{2 + \frac{7}{x^{2}}}

. En

+ \infty

\frac{3}{x} \to 0

\frac{7}{x^{2}} \to 0

, donc la limite vaut

\frac{5}{2}

. La droite

y = 2, 5

est asymptote horizontale.

Méthode — Limite en un point où le dénominateur s'annule

Calculer la limite du numérateur (réel non nul).
Étudier le signe du dénominateur de chaque côté du point (tableau de signes) : $0^{+}$ ou $0^{-}$ .
Appliquer la règle « réel non nul sur $0^{\pm}$ » avec la règle des signes.
Conclure : asymptote verticale.

Exemple rédigé.

k (x) = \frac{x - 6}{x + 2}

- 2

. Le numérateur tend vers

- 8 < 0

. Si

x > - 2

x + 2 \to 0^{+}

k (x) \to - \infty

; si

x < - 2

x + 2 \to 0^{-}

k (x) \to + \infty

. La droite

x = - 2

est asymptote verticale.

Méthode — Montrer qu'une équation a une unique solution et l'encadrer

Justifier la continuité de $f$ sur l'intervalle.
Prouver la stricte monotonie (signe de $f^{'}$ ).
Calculer les images ou les limites aux bornes et vérifier que $k$ est entre elles.
Appliquer le corollaire du TVI, puis encadrer par balayage ou dichotomie.

Exemple rédigé.

p (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 4

sur

[0; + \infty [

p

est continue (polynôme).

p^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x = 6 x (x + 1) \geq 0

, nul seulement en

0

p

est strictement croissante.

p (0) = - 4 < 0

{lim}_{x \to + \infty} p (x) = + \infty

(terme dominant

2 x^{3}

). Donc

p (x) = 0

admet une unique solution

α \geq 0

. Comme

p (0, 91) \approx - 0, 009

p (0, 92) \approx 0, 097

, on a

0, 91 < α < 0, 92

Pièges et erreurs classiques

« $\frac{\infty}{\infty} = 1$ » et « $\infty - \infty = 0$ » sont faux. Ce sont des formes indéterminées : la limite peut valoir n'importe quoi selon les fonctions. On factorise.

Oublier le côté.

\frac{1}{x}

n'a pas de limite en

0

: elle tend vers

+ \infty

à droite et vers

- \infty

à gauche. Toujours étudier le signe du dénominateur de chaque côté.

Existence n'est pas unicité. Le TVI garantit au moins une solution. Pour affirmer « exactement une », il faut la stricte monotonie sur l'intervalle.

La continuité est indispensable. Une fonction strictement croissante mais avec un saut peut « sauter par-dessus » la valeur

k

: l'équation n'a alors aucune solution.

Une courbe peut couper son asymptote horizontale.

x \mapsto \frac{x}{x^{2} + 1}

tend vers

0

\pm \infty

et vaut

0

x = 0

: la courbe traverse son asymptote

y = 0

En bref

En $\pm \infty$ , un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré ; un quotient de polynômes comme le quotient des termes dominants.
Limite finie $ℓ$ en $\pm \infty$ : asymptote horizontale $y = ℓ$ . Limite infinie en $a$ : asymptote verticale $x = a$ .
Formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ : on transforme l'écriture.
Continue = tracée sans lever le crayon ; dérivable implique continue.
TVI : continue sur $[a; b]$ et $k$ entre $f (a)$ et $f (b)$ donne au moins une solution ; avec la stricte monotonie, exactement une.
Dichotomie : après $n$ étapes, amplitude $\frac{b - a}{2^{n}}$ .

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