Limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Limite finie en $+\infty$. $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=\ell$ signifie que $f(x)$ devient aussi proche du réel $\ell$ que l’on veut, dès que $x$ est assez grand. Limite infinie. $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=+\infty$ signifie que $f(x)$ dépasse n’importe quel réel fixé, dès que $x$ est assez grand. Même idée en $-\infty$.

Limites de référence en l’infini ($n$ entier, $n⩾1$) :

Opérations (comme pour les suites ; $\ell$ et $\ell \prime$ réels). Somme : $\ell +(\pm \infty )=\pm \infty$ et $(+\infty )+(+\infty )=+\infty$. Produit : un réel non nul fois l’infini donne l’infini, avec la règle des signes. Quotient : ${\displaystyle \frac{\ell }{\pm \infty }}=0$ ; ${\displaystyle \frac{\pm \infty }{\ell \prime }}$ avec $\ell \prime \ne 0$ donne l’infini, avec la règle des signes.

Formes indéterminées : « $+\infty -\infty$ », « $0\times \infty$ », « ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ », « ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ ». Les règles ne concluent pas : il faut transformer l’écriture.

Terme dominant. En $+\infty$ ou en $-\infty$, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ; un quotient de polynômes a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré. On le justifie en factorisant par ces termes.

Asymptote horizontale. Si $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=\ell$ (ou en $-\infty$), la droite d’équation $y=\ell$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ (ou en $-\infty$).

Limite infinie en un réel. Si $a$ est une borne de l’ensemble de définition (souvent une valeur interdite), $\underset{x\to a}{lim}f(x)=+\infty$ signifie que $f(x)$ devient aussi grand que l’on veut quand $x$ se rapproche de $a$. On précise souvent le côté : $x\to a^{+}$ (avec $x>a$) ou $x\to a^{-}$ (avec $x<a$).

Limites de référence en $0$. ${\displaystyle \frac{1}{x}}\to +\infty$ en $0^{+}$ et $-\infty$ en $0^{-}$ ; ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}\to +\infty$ des deux côtés ; $x^n\to 0$ ; $\sqrt{x}\to 0$ ; $e^x\to 1$.

Règle « réel non nul sur $0^{\pm }$ ». Si le numérateur tend vers $\ell \ne 0$ et le dénominateur vers $0$ en gardant un signe constant ($0^{+}$ ou $0^{-}$), le quotient tend vers l’infini, avec le signe donné par la règle des signes.

Asymptote verticale. Si $f(x)$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ quand $x$ tend vers le réel $a$ (d’un côté au moins), la droite d’équation $x=a$ est asymptote verticale à la courbe de $f$.

Position par rapport à une asymptote horizontale $y=\ell$. On étudie le signe de $f(x)-\ell$ : positif, la courbe est au-dessus ; négatif, en dessous.

Continuité. Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ lorsque sa courbe se trace sur $I$ « sans lever le crayon » : ni saut, ni trou.

Fonctions continues (admis). Les polynômes et $x\mapsto e^x$ sont continus sur $ℝ$ ; $x\mapsto \sqrt{x}$ l’est sur $[0;+\infty [$ ; une fonction rationnelle l’est sur chaque intervalle de son ensemble de définition. Sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continus.

Dérivable implique continue (admis). Une fonction dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur $I$. La réciproque est fausse : $x\mapsto |x|$ est continue en $0$, mais sa courbe y forme un angle ; elle n’est pas dérivable en $0$.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI, admis). Si $f$ est continue sur $[a;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a;b]$.

Convention. Dans un tableau de variations, une flèche oblique signifie que la fonction est continue et strictement monotone sur l’intervalle correspondant.

Corollaire du TVI (cas strictement monotone). Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $[a;b]$. Le résultat reste vrai sur un intervalle ouvert ou non borné, en remplaçant $f(a)$ ou $f(b)$ par les limites aux bornes ; une limite n’est pas atteinte, donc $k$ doit être strictement compris entre elle et l’autre valeur.

Nombre de solutions de $f(x)=k$. On découpe le tableau de variations en intervalles où $f$ est strictement monotone, on applique le corollaire sur chacun, puis on vérifie que les solutions trouvées sont distinctes.

Fonction réciproque. Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, l’ensemble $J$ des valeurs prises est un intervalle et, pour tout $y$ de $J$, l’équation $f(x)=y$ a une unique solution $x$ dans $I$. La fonction qui à $y$ associe ce $x$ est la fonction réciproque de $f$, notée $f^{-1}$ : $f^{-1}(y)=x⟺f(x)=y$. Elle a le même sens de variation que $f$, et sa courbe est la symétrique de celle de $f$ par rapport à la droite d’équation $y=x$.

Balayage. On part de $a$ et on avance d’un pas $p$ ($1$, puis $0,1$, puis $0,01$…) en calculant les images, jusqu’au premier changement de signe de $f(x)-k$. La solution est alors encadrée entre deux valeurs distantes de $p$.

Dichotomie. Sur $[a;b]$ où $f$ est continue et change de signe, on calcule le milieu $m={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$ ; si $f(a)$ et $f(m)$ sont de signes contraires, la solution est dans $[a;m]$ (on pose $b=m$), sinon dans $[m;b]$ (on pose $a=m$). Après $n$ étapes, l’amplitude vaut ${\displaystyle \frac{b-a}{2^n}}$.

En Python : la boucle continue tant que l’amplitude dépasse la précision $e$ voulue.

def dichotomie(f, a, b, e):
    while b - a > e:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b