Dérivation : approfondissement

Calculer le nombre dérivé demandé (dérivées usuelles et opérations).

1. $f(x)=x^4-3x^2+2$ : $f\prime (1)=$
   $f\prime (x)=4x^3-6x$, donc $f\prime (1)=4-6=-2$.
2. $g(x)=6\sqrt{x}$ sur $]0;+\infty [$ : $g\prime (4)=$
   $g\prime (x)$ $=6\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$ $={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{x}}}$, donc $g\prime (4)={\displaystyle \frac{3}{2}}=1,5$.
3. $h(x)={\displaystyle \frac{5}{x}}$ sur $]-\infty ;0[$ : $h\prime (-1)=$
   $h(x)=5\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$, donc $h\prime (x)=-{\displaystyle \frac{5}{x^2}}$ et $h\prime (-1)=-{\displaystyle \frac{5}{1}}=-5$. Le carré $x^2$ est positif : la dérivée est négative, même pour $x<0$.
4. $k(x)=2e^x-x$ : $k\prime (0)=$
   $k\prime (x)=2e^x-1$, donc $k\prime (0)=2\times 1-1=1$.

Dériver, simplifier, puis donner le nombre demandé.

1. $f(x)=(x^2+4x+5)e^x$ sur $ℝ$. Sa dérivée s’écrit $f\prime (x)=(x+p{)}^2{e}^x$ avec $p=$
   Produit : $u(x)=x^2+4x+5$, $u\prime (x)=2x+4$, $v(x)=v\prime (x)=e^x$. $f\prime (x)$ $=(2x+4)e^x+(x^2+4x+5)e^x$ $=(x^2+6x+9)e^x$ $=(x+3{)}^2{e}^x$, donc $p=3$. Un carré est positif et ne s’annule ici qu’en $-3$ : $f$ est strictement croissante sur $ℝ$.
2. $g(x)={\displaystyle \frac{4x+1}{x-2}}$ sur $]2;+\infty [$. Sa dérivée s’écrit $g\prime (x)={\displaystyle \frac{k}{(x-2{)}^2}}$ avec $k=$
   Quotient : $g\prime (x)$ $={\displaystyle \frac{4(x-2)-(4x+1)\times 1}{(x-2{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{4x-8-4x-1}{(x-2{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{-9}{(x-2{)}^2}}$, donc $k=-9$ : $g$ est strictement décroissante sur $]2;+\infty [$.
3. $k(x)=(3x+1)e^{-4x}$ sur $ℝ$. Sa dérivée s’écrit $k\prime (x)=-(12x+c)e^{-4x}$ avec $c=$
   Produit : $u(x)=3x+1$, $u\prime (x)=3$, $v(x)=e^{-4x}$, $v\prime (x)=-4e^{-4x}$ (forme $e^{ax+b}$). $k\prime (x)$ $=3e^{-4x}+(3x+1)(-4e^{-4x})$ $=e^{-4x}(3-12x-4)$ $=-(12x+1)e^{-4x}$, donc $c=1$.
4. $m(x)={\displaystyle \frac{e^x}{x+1}}$ sur $]-1;+\infty [$ : $m\prime (0)=$
   Quotient, avec $v(x)=x+1\ne 0$ sur $]-1;+\infty [$ : $m\prime (x)$ $={\displaystyle \frac{e^x(x+1)-e^x\times 1}{(x+1{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{x{e}^x}{(x+1{)}^2}}$, donc $m\prime (0)=0$ : la tangente en $0$ est horizontale.

Soit $f(x)=(3x-5)e^x$ sur $ℝ$, et $T$ sa tangente au point d’abscisse $0$.

1. $f\prime (0)=$
   Produit : $f\prime (x)$ $=3e^x+(3x-5)e^x$ $=(3x-2)e^x$, donc $f\prime (0)=-2\times e^0=-2$.
2. Démontrer que $T$ a une équation de la forme $y=mx+p$, et préciser $p=$
   Rédaction attendue. $f$ est dérivable sur $ℝ$ comme produit de fonctions dérivables. La tangente au point d’abscisse $0$ a pour équation $y=f\prime (0)(x-0)+f(0)$. Or $f(0)=(0-5)e^0=-5$ et $f\prime (0)=-2$ (question précédente). Donc $T:y=-2x-5$ : $m=-2$ et $p=-5$.
3. $T$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse (écriture décimale)
   $-2x-5$ $=0⟺x$ $=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ $=-2,5$.

Soit $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+7}{x-3}}$ sur $]3;+\infty [$.

1. Démontrer que $f\prime (x)$ $={\displaystyle \frac{x^2-6x-7}{(x-3{)}^2}}$. Contrôle : $f\prime (4)=$
   Rédaction attendue. Sur $]3;+\infty [$, $x-3\ne 0$ : $f$ est dérivable comme quotient. Avec $u(x)=x^2+7$, $u\prime (x)=2x$, $v(x)=x-3$ et $v\prime (x)=1$ : $f\prime (x)$ $={\displaystyle \frac{2x(x-3)-(x^2+7)\times 1}{(x-3{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{2x^2-6x-x^2-7}{(x-3{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{x^2-6x-7}{(x-3{)}^2}}$. Contrôle : $f\prime (4)={\displaystyle \frac{16-24-7}{1}}=-15$.
2. Sur $]3;+\infty [$, la courbe de $f$ a une tangente horizontale au point d’abscisse
   Une tangente horizontale correspond à $f\prime (x)=0$. Or $x^2-6x-7=(x-7)(x+1)$ s’annule en $-1$ et en $7$, et seul $7$ appartient à $]3;+\infty [$. Le dénominateur étant positif, $f\prime (x)<0$ sur $]3;7[$ et $f\prime (x)>0$ sur $]7;+\infty [$.
3. Le minimum de $f$ sur $]3;+\infty [$ vaut
   $f$ décroît sur $]3;7]$ puis croît sur $[7;+\infty [$ : son minimum est $f(7)$ $={\displaystyle \frac{49+7}{7-3}}$ $={\displaystyle \frac{56}{4}}$ $=14$.

Dériver avec ${(f(ax+b))}^{\prime }$ $=af\prime (ax+b)$ et donner le coefficient demandé.

1. $f(x)=e^{5x+3}$ : $f\prime (x)=k{e}^{5x+3}$ avec $k=$
   Exponentielle et $a=5$ : $f\prime (x)=5e^{5x+3}$, sur $ℝ$.
2. $h(x)=(7-2x{)}^3$ : $h\prime (x)=k(7-2x{)}^2$ avec $k=$
   La fonction extérieure est $x\mapsto x^3$, de dérivée $3x^2$, et $a=-2$ : $h\prime (x)$ $=-2\times 3(7-2x{)}^2$ $=-6(7-2x{)}^2$.
3. $k(x)=\sqrt{6x+5}$ sur $]-{\displaystyle \frac{5}{6}};+\infty [$ : $k\prime (x)={\displaystyle \frac{c}{\sqrt{6x+5}}}$ avec $c=$
   $k$ est dérivable là où $6x+5>0$. Avec $a=6$ : $k\prime (x)$ $=6\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{6x+5}}}$ $={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6x+5}}}$.
4. $m(x)={\displaystyle \frac{1}{3x-1}}$ sur $]{\displaystyle \frac{1}{3}};+\infty [$ : $m\prime (x)={\displaystyle \frac{k}{(3x-1{)}^2}}$ avec $k=$
   La fonction extérieure est $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$, de dérivée $-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$, et $a=3$ : $m\prime (x)$ $=3\times (-{\displaystyle \frac{1}{(3x-1{)}^2}})$ $=-{\displaystyle \frac{3}{(3x-1{)}^2}}$.

Calculer le nombre dérivé. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(x)=e^{-\frac{x}{4}}$ : $f\prime (0)=$
   Ici $a=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ : $f\prime (x)$ $=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{e}^{-\frac{x}{4}}$, donc $f\prime (0)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}=-0,25$.
2. $g(x)=(2x-3{)}^4$ : $g\prime (1)=$
   $g\prime (x)$ $=2\times 4(2x-3{)}^3$ $=8(2x-3{)}^3$, donc $g\prime (1)$ $=8\times (-1{)}^3$ $=-8$.
3. $h(x)=\sqrt{10-2x}$ sur $]-\infty ;5[$ : $h\prime (3)=$
   Ici $a=-2$ : $h\prime (x)$ $={\displaystyle \frac{-2}{2\sqrt{10-2x}}}$ $=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10-2x}}}$, donc $h\prime (3)$ $=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4}}}$ $=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Soit $f(x)=e^{2x-4}$ sur $ℝ$.

1. $f\prime (2)=$
   $f\prime (x)=2e^{2x-4}$, donc $f\prime (2)=2e^0=2$.
2. Démontrer que la tangente au point d’abscisse $2$ a une équation de la forme $y=mx+p$, et préciser $p=$
   Rédaction attendue. $f$ est dérivable sur $ℝ$ (forme $e^{ax+b}$) et $f\prime (x)=2e^{2x-4}$. Au point d’abscisse $2$ : $f(2)=e^0=1$ et $f\prime (2)=2$. La tangente a pour équation $y$ $=f\prime (2)(x-2)+f(2)$ $=2(x-2)+1$, soit $y=2x-3$ : $m=2$ et $p=-3$.
3. La courbe de $f$ coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée $e^c$, avec $c=$
   $f(0)=e^{2\times 0-4}=e^{-4}$ : $c=-4$.

Une population de bactéries compte $N(t)=500e^{0,2t}$ individus au bout de $t$ heures ($t⩾0$). Sa vitesse de croissance à l’instant $t$ est $N\prime (t)$, en bactéries par heure.

1. Vitesse de croissance au départ : $N\prime (0)=$ bactéries par heure
   Forme $e^{at+b}$ avec $a=0,2$ : $N\prime (t)$ $=500\times 0,2e^{0,2t}$ $=100e^{0,2t}$, donc $N\prime (0)=100$.
2. Démontrer que pour tout $t⩾0$, $N\prime (t)=0,2N(t)$. Contrôle : quand la population compte $1500$ bactéries, la vitesse de croissance vaut bactéries par heure
   Rédaction attendue. $N$ est dérivable sur $[0;+\infty [$ et $N\prime (t)=100e^{0,2t}$. Par ailleurs $0,2N(t)$ $=0,2\times 500e^{0,2t}$ $=100e^{0,2t}$. Donc, pour tout $t⩾0$, $N\prime (t)=0,2N(t)$ : la vitesse de croissance est proportionnelle à l’effectif. Contrôle : $0,2\times 1500=300$ bactéries par heure.
3. Vitesse de croissance au bout de $5$ heures, arrondie à l’unité : bactéries par heure
   $N\prime (5)$ $=100e^{0,2\times 5}$ $=100e\approx 271,8$, soit environ $272$ bactéries par heure.

Ces fonctions sont définies et dérivables sur $ℝ$. Repérer $u$, dériver, puis calculer le nombre dérivé.

1. $f(x)=(x^2-5x+1{)}^2$ : $f\prime (1)=$
   Forme $u^2$ avec $u(x)=x^2-5x+1$ et $u\prime (x)=2x-5$ : $f\prime (x)=2(2x-5)(x^2-5x+1)$. Donc $f\prime (1)$ $=2\times (-3)\times (-3)$ $=18$.
2. $g(x)=e^{x^3+2x}$ : $g\prime (0)=$
   Forme $e^u$ avec $u(x)=x^3+2x$ et $u\prime (x)=3x^2+2$ : $g\prime (x)=(3x^2+2)e^{x^3+2x}$, donc $g\prime (0)=2e^0=2$.
3. $h(x)=(3-x^2{)}^2$ : $h\prime (1)=$
   $u(x)=3-x^2$ et $u\prime (x)=-2x$ : $h\prime (x)$ $=2\times (-2x)(3-x^2)$ $=-4x(3-x^2)$, donc $h\prime (1)=-4\times 2=-8$.
4. $k(x)=e^{x^2+3x}$ : $k\prime (0)=$
   $u\prime (x)=2x+3$ : $k\prime (x)=(2x+3)e^{x^2+3x}$, donc $k\prime (0)=3$.

Dériver, puis donner le nombre demandé.

1. $f(x)=e^{x^2}$ : $f\prime (x)=kx{e}^{x^2}$ avec $k=$
   $u(x)=x^2$, $u\prime (x)=2x$ : $f\prime (x)=2x{e}^{x^2}$.
2. $g(x)=e^{-3x^2+1}$ : $g\prime (x)=kx{e}^{-3x^2+1}$ avec $k=$
   $u(x)=-3x^2+1$, $u\prime (x)=-6x$ : $g\prime (x)=-6x{e}^{-3x^2+1}$. Comme $e^{-3x^2+1}>0$, $g$ croît sur $]-\infty ;0]$ et décroît sur $[0;+\infty [$.
3. $h(x)=(e^x+1{)}^2$ : $h\prime (0)=$
   $u(x)=e^x+1$, $u\prime (x)=e^x$ : $h\prime (x)=2e^x(e^x+1)$, donc $h\prime (0)=2\times 1\times 2=4$.

Soit $f(x)=(x^2-4{)}^2$ sur $ℝ$.

1. Démontrer que $f\prime (x)=4x(x-2)(x+2)$. Contrôle : $f\prime (1)=$
   Rédaction attendue. $f=u^2$ avec $u(x)=x^2-4$, dérivable sur $ℝ$, et $u\prime (x)=2x$. D’après $(u^2{)}^{\prime }=2u\prime u$ : $f\prime (x)$ $=2\times 2x\times (x^2-4)$ $=4x(x^2-4)$ $=4x(x-2)(x+2)$. Contrôle : $f\prime (1)$ $=4\times 1\times (-1)\times 3$ $=-12$.
2. $f$ admet un maximum local en $x=$
   Tableau de signes des trois facteurs $4x$, $x-2$, $x+2$ : $f\prime (x)<0$ sur $]-\infty ;-2[$, $>0$ sur $]-2;0[$, $<0$ sur $]0;2[$, $>0$ sur $]2;+\infty [$. $f\prime$ passe de $+$ à $-$ en $0$ : maximum local en $0$ ; en $-2$ et en $2$, $f\prime$ passe de $-$ à $+$ : minimums.
3. Ce maximum local vaut
   $f(0)=(0-4{)}^2=16$. Les deux minimums valent $f(-2)=f(2)=0$.

Un élève a rendu les dérivées suivantes, toutes fausses. Trouver l’erreur, puis donner la bonne réponse.

1. « La dérivée de $g(x)=e^{-4x^2}$ est $e^{-8x}$. » Correction : $g\prime (x)=kx{e}^{-4x^2}$ avec $k=$
   L’élève a dérivé « dans » l’exposant, ce qui n’a aucun sens. La formule est $(e^u{)}^{\prime }=u\prime e^u$ : avec $u(x)=-4x^2$ et $u\prime (x)=-8x$, $g\prime (x)=-8x{e}^{-4x^2}$.
2. « La dérivée de $h(x)=(5-x{)}^2$ est $2(5-x)$. » Correction : $h\prime (0)=$
   L’élève a oublié le facteur $u\prime$ dans $(u^2{)}^{\prime }=2u\prime u$. Ici $u(x)=5-x$ et $u\prime (x)=-1$, donc $h\prime (x)=-2(5-x)=2x-10$ et $h\prime (0)=-10$. Le signe est cohérent : $h$ décroît avant $5$ et croît après.

Soit $f(x)=e^{x^2-6x+5}$ sur $ℝ$.

1. Justifier que $f$ est dérivable sur $ℝ$ et calculer $f\prime (x)$ : $f\prime (x)=(2x+c)e^{x^2-6x+5}$ avec $c=$
   Rédaction attendue. La fonction $u:x\mapsto x^2-6x+5$ est un polynôme, donc dérivable sur $ℝ$, avec $u\prime (x)=2x-6$. D’après $(e^u{)}^{\prime }=u\prime e^u$, $f$ est dérivable sur $ℝ$ et $f\prime (x)=(2x-6)e^{x^2-6x+5}$ : $c=-6$.
2. Démontrer que $f$ admet un minimum sur $ℝ$, atteint en $x=$
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $e^{x^2-6x+5}>0$ : $f\prime (x)$ a le signe de $2x-6$, négatif pour $x<3$, nul en $3$, positif pour $x>3$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ;3]$ et strictement croissante sur $[3;+\infty [$ : elle admet un minimum en $3$.
3. Valeur approchée de ce minimum à ${10}^{-4}$ près :
   $f(3)$ $=e^{9-18+5}$ $=e^{-4}\approx 0,0183$.

Domaine, puis dérivée. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $g(x)=\ln (4x-9)$ est définie sur $]a;+\infty [$ avec $a=$ (écriture décimale)
   Il faut $4x-9>0$, soit $x>{\displaystyle \frac{9}{4}}=2,25$.
2. Sur cet intervalle, $g\prime (x)={\displaystyle \frac{k}{4x-9}}$ avec $k=$
   Forme $\ln (ax+b)$ avec $a=4$ : $g\prime (x)={\displaystyle \frac{4}{4x-9}}$.
3. $h(x)=\ln (x^2+6)$ sur $ℝ$ : $h\prime (1)=$
   Pour tout réel $x$, $x^2+6⩾6>0$ : $h$ est définie et dérivable sur $ℝ$. Avec $u\prime (x)=2x$ : $h\prime (x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+6}}$, donc $h\prime (1)={\displaystyle \frac{2}{7}}$.

Calculer le nombre dérivé. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $f(x)=\ln (2+e^x)$ sur $ℝ$ : $f\prime (0)=$
   $u(x)=2+e^x>0$ et $u\prime (x)=e^x$ : $f\prime (x)={\displaystyle \frac{e^x}{2+e^x}}$, donc $f\prime (0)={\displaystyle \frac{1}{3}}$.
2. $g(x)=\ln (3-x)$ sur $]-\infty ;3[$ : $g\prime (1)=$
   $u(x)=3-x>0$ pour $x<3$, et $u\prime (x)=-1$ : $g\prime (x)={\displaystyle \frac{-1}{3-x}}$, donc $g\prime (1)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.
3. $k(x)=x\ln (3x)$ sur $]0;+\infty [$ : $k\prime \left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=$
   Produit, avec ${(\ln (3x))}^{\prime }$ $={\displaystyle \frac{3}{3x}}$ $={\displaystyle \frac{1}{x}}$ : $k\prime (x)$ $=1\times \ln (3x)+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$ $=\ln (3x)+1$, donc $k\prime \left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$ $=\ln 1+1$ $=1$.
4. Un élève a écrit : « la dérivée de $f(x)=\ln (3x^2+5)$ est ${\displaystyle \frac{1}{3x^2+5}}$ ». Corriger son erreur, puis donner $f\prime (1)=$ (écriture décimale)
   L’élève a appliqué $(\ln x{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}$ sans tenir compte de l’intérieur. La formule est $(\ln u{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ : avec $u(x)=3x^2+5>0$ et $u\prime (x)=6x$, $f\prime (x)={\displaystyle \frac{6x}{3x^2+5}}$. Donc $f\prime (1)={\displaystyle \frac{6}{8}}=0,75$.

Soit $f(x)=\ln (x^2-4x+7)$.

1. Démontrer que $x^2-4x+7>0$ pour tout réel $x$, en l’écrivant sous la forme $(x-2{)}^2+c$ avec $c=$
   Rédaction attendue. Forme canonique : $x^2-4x+7$ $=(x-2{)}^2-4+7$ $=(x-2{)}^2+3$. Comme $(x-2{)}^2⩾0$, on obtient $x^2-4x+7⩾3>0$ pour tout réel $x$. Donc $f$ est définie et dérivable sur $ℝ$.
2. $f\prime (0)=$ (fraction)
   Avec $u\prime (x)=2x-4$ : $f\prime (x)$ $={\displaystyle \frac{2x-4}{x^2-4x+7}}$, donc $f\prime (0)=-{\displaystyle \frac{4}{7}}$.
3. Le minimum de $f$ sur $ℝ$ s’écrit $\ln m$, avec $m=$
   Le dénominateur est strictement positif : $f\prime (x)$ a le signe de $2x-4$, négatif pour $x<2$, positif pour $x>2$. $f$ décroît sur $]-\infty ;2]$ puis croît sur $[2;+\infty [$ : son minimum est $f(2)$ $=\ln (4-8+7)$ $=\ln 3\approx 1,099$.

Soit $f(x)=x-2\ln (x^2+4)$ sur $ℝ$.

1. Montrer que $f\prime (x)={\displaystyle \frac{(x-a{)}^2}{x^2+4}}$, avec $a=$
   $x^2+4>0$ : $f$ est dérivable sur $ℝ$ et $f\prime (x)$ $=1-2\times {\displaystyle \frac{2x}{x^2+4}}$ $={\displaystyle \frac{x^2+4-4x}{x^2+4}}$ $={\displaystyle \frac{(x-2{)}^2}{x^2+4}}$.
2. Démontrer que $f$ est strictement croissante sur $ℝ$. Contrôle : $f\prime (4)=$ (écriture décimale)
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $(x-2{)}^2⩾0$ et $x^2+4>0$, donc $f\prime (x)⩾0$, et $f\prime (x)=0$ seulement pour $x=2$. La dérivée est positive et ne s’annule qu’en un point : $f$ est strictement croissante sur $ℝ$. Contrôle : $f\prime (4)={\displaystyle \frac{4}{20}}=0,2$.
3. Valeur de $f(2)$ arrondie au centième :
   $f(2)=2-2\ln 8\approx -2,16$. En $2$, la tangente est horizontale, mais $f$ n’y a pas d’extremum : $f\prime$ ne change pas de signe.

On donne la dérivée $f\prime$ d’une fonction $f$ dérivable sur $ℝ$. Lire les variations de $f$.

1. $f\prime (x)=(5-x)e^x$ : $f$ est croissante sur $]-\infty ;b]$, avec $b=$
   $e^x>0$ : $f\prime (x)$ a le signe de $5-x$, positif pour $x<5$. $f$ est croissante sur $]-\infty ;5]$ puis décroissante : maximum en $5$.
2. $f\prime (x)={\displaystyle \frac{x+2}{x^2+1}}$ : $f$ admet un minimum en $x=$
   Le dénominateur est strictement positif : $f\prime (x)$ a le signe de $x+2$, négatif pour $x<-2$, positif pour $x>-2$. $f\prime$ passe de $-$ à $+$ en $-2$ : minimum.
3. $f\prime (x)=-2(x-1{)}^2{e}^{-x}$ : nombre d’extremums locaux de $f$ :
   $(x-1{)}^2⩾0$ et $e^{-x}>0$, donc $f\prime (x)⩽0$, nul seulement en $1$. $f\prime$ ne change jamais de signe : $f$ est strictement décroissante sur $ℝ$, sans extremum.

Soit $f(x)=x^2-8\ln x$ sur $]0;+\infty [$.

1. $f\prime (x)={\displaystyle \frac{2(x^2-c)}{x}}$ avec $c=$
   $f\prime (x)$ $=2x-{\displaystyle \frac{8}{x}}$ $={\displaystyle \frac{2x^2-8}{x}}$ $={\displaystyle \frac{2(x^2-4)}{x}}$.
2. Démontrer que $f$ admet un minimum sur $]0;+\infty [$, atteint en $x=$
   Rédaction attendue. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ et $f\prime (x)={\displaystyle \frac{2(x-2)(x+2)}{x}}$. Sur cet intervalle, $x>0$ et $x+2>0$ : $f\prime (x)$ a le signe de $x-2$, négatif sur $]0;2[$, positif sur $]2;+\infty [$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $]0;2]$ et strictement croissante sur $[2;+\infty [$ : elle admet un minimum en $2$.
3. Valeur de ce minimum arrondie au centième :
   $f(2)$ $=4-8\ln 2\approx 4-5,545\approx -1,55$.

Soit $f(x)=(2x-5{)}^2{e}^{-x}$ sur $ℝ$. Réponds avec une virgule.

1. Démontrer que $f\prime (x)=(2x-5)(9-2x)e^{-x}$. Contrôle : $f\prime (0)=$
   Rédaction attendue. $f=uv$ avec $u(x)=(2x-5{)}^2$ et $v(x)=e^{-x}$. D’après $(u^2{)}^{\prime }=2u\prime u$ appliquée à $x\mapsto 2x-5$ : $u\prime (x)$ $=2\times 2\times (2x-5)$ $=4(2x-5)$ ; et $v\prime (x)=-e^{-x}$. Donc $f\prime (x)$ $=4(2x-5)e^{-x}-(2x-5{)}^2{e}^{-x}$ $=(2x-5)e^{-x}[4-(2x-5)]$ $=(2x-5)(9-2x)e^{-x}$. Contrôle : $f\prime (0)$ $=(-5)\times 9\times 1$ $=-45$.
2. $f$ admet un maximum local en $x=$
   $e^{-x}>0$ : $f\prime (x)$ a le signe de $(2x-5)(9-2x)$, qui s’annule en $2,5$ et $4,5$ : négatif à l’extérieur des racines, positif entre elles. $f$ décroît sur $]-\infty ;2,5]$, croît sur $[2,5;4,5]$, décroît sur $[4,5;+\infty [$ : maximum local en $4,5$, minimum en $2,5$ (où $f(2,5)=0$).
3. Valeur approchée de ce maximum local au millième :
   $f(4,5)$ $=(9-5{)}^2{e}^{-4,5}$ $=16e^{-4,5}\approx 0,178$.

Soit $f(x)=x^2{e}^{-\frac{x}{2}}$ sur l’intervalle $[-2;6]$. Réponds avec une virgule.

1. Démontrer que $f\prime (x)$ $={\displaystyle \frac{x(4-x)}{2}}{e}^{-\frac{x}{2}}$. Contrôle : $f\prime (1)$ arrondi au centième vaut
   Rédaction attendue. Produit : $(x^2{)}^{\prime }=2x$ et ${\left(e^{-\frac{x}{2}}\right)}^{\prime }$ $=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-\frac{x}{2}}$ (forme $e^{ax+b}$). Donc $f\prime (x)$ $=2x{e}^{-\frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}{e}^{-\frac{x}{2}}$ $={\displaystyle \frac{4x-x^2}{2}}{e}^{-\frac{x}{2}}$ $={\displaystyle \frac{x(4-x)}{2}}{e}^{-\frac{x}{2}}$. Contrôle : $f\prime (1)$ $={\displaystyle \frac{3}{2}}{e}^{-0,5}\approx 0,91$.
2. Le maximum de $f$ sur $[-2;6]$ est atteint en $x=$
   Signe de $x(4-x)$ : $f$ décroît sur $[-2;0]$, croît sur $[0;4]$, décroît sur $[4;6]$. On compare le maximum local et la borne gauche : $f(4)=16e^{-2}\approx 2,17$, mais $f(-2)=4e\approx 10,87$. Le maximum sur $[-2;6]$ est atteint à la borne $-2$.
3. Valeur de ce maximum arrondie au centième :
   $f(-2)$ $=(-2{)}^2{e}^1$ $=4e\approx 10,87$.
4. Le minimum de $f$ sur $[-2;6]$ vaut
   Minimum local en $0$ : $f(0)=0$. Comme $f(6)=36e^{-3}\approx 1,79>0$, c’est le minimum sur tout l’intervalle (et $f(x)⩾0$ partout, produit d’un carré et d’une exponentielle).