Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Dérivation — approfondissement
Étude approfondie des fonctions dérivées : règles de composition, dérivées successives et applications à l'optimisation (programme officiel Maths complémentaires Terminale)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée
/ 4 pts- Calculer la dérivée de $f(x) = e^{x^2 - 3x}$.
- Calculer la dérivée de $g(x) = \ln\!\left(\sqrt{x^2+1}\right)$.
- Calculer la dérivée de $h(x) = [\cos(2x)]^3$.
Exercice 2 — Dérivée seconde et convexité
/ 4 pts- Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ pour $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$.
- Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$ et donner les coordonnées du point d'inflexion.
- En quel(s) point(s) $f$ admet-elle des extrema locaux ? Utiliser $f''$ pour préciser leur nature.
Exercice 3 — Problème d'optimisation
/ 6 pts- Un agriculteur dispose de $120$ m de clôture pour délimiter un rectangle subdivisé en deux parties égales par une clôture médiane parallèle à la largeur.
- Appeler $x$ la largeur (en m) et exprimer la longueur $y$ en fonction de $x$ en utilisant la contrainte.
- Exprimer l'aire totale $A(x)$ en fonction de $x$ seul.
- Montrer que le domaine d'étude est $]0; 40[$, puis trouver la valeur de $x$ qui maximise $A$.
- Calculer l'aire maximale et les dimensions optimales.
Exercice 4 — Étude complète d'une fonction
/ 6 pts- Soit $f(x) = (x-1)e^x$ définie sur $\mathbb{R}$.
- Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
- Calculer $f''(x)$ et étudier la convexité de $f$. Donner les coordonnées du point d'inflexion.
- Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
- Tracer l'allure de la courbe en justifiant les éléments essentiels.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée
Corrigé :
1. $f'(x) = (2x-3)\,e^{x^2-3x}$ (dérivée de l'exposant : $u=x^2-3x$, $u'=2x-3$).
2. $g(x)=\tfrac{1}{2}\ln(x^2+1)$ donc $g'(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$.
3. $h'(x) = 3[\cos(2x)]^2\cdot(-\sin(2x))\cdot 2 = -6\sin(2x)\cos^2(2x)$.
Exercice 2 — Dérivée seconde et convexité
Corrigé :
1. $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$, $f''(x)=6x-12=6(x-2)$.
2. $f''(x)=0 \Leftrightarrow x=2$. $f''\lt 0$ sur $]-\infty;2[$ (concave), $f''\gt 0$ sur $]2;+\infty[$ (convexe). Point d'inflexion : $(2, f(2))=(2, 8-24+18-4)=(2,-2)$.
3. $f'(1)=0$ et $f''(1)=6(1-2)=-6\lt 0$ → maximum local en $x=1$, $f(1)=0$. $f'(3)=0$ et $f''(3)=6(3-2)=6\gt 0$ → minimum local en $x=3$, $f(3)=27-54+27-4=-4$.
Exercice 3 — Problème d'optimisation
Corrigé :
La contrainte en clôture : 3 côtés « largeur » ($3x$) + 2 côtés « longueur » ($2y$) = 120, donc $3x+2y=120 \Rightarrow y=\frac{120-3x}{2}=60-\frac{3x}{2}$.
Pour que $y\gt 0$ : $x\lt 40$ (et $x\gt 0$). Domaine : $]0;40[$.
$A(x) = x\cdot y = x\left(60-\tfrac{3x}{2}\right) = 60x - \tfrac{3x^2}{2}$.
$A'(x)=60-3x=0 \Rightarrow x=20$. $A''(x)=-3\lt 0$ → maximum.
Dimensions optimales : $x=20$ m, $y=60-30=30$ m. Aire maximale : $A(20)=20\times 30=600$ m².
Exercice 4 — Étude complète d'une fonction
Corrigé :
$f(x)=(x-1)e^x$.
$f'(x) = e^x + (x-1)e^x = xe^x$. Signe de $f'$ : $e^x\gt 0$ toujours, donc $f'(x)\gt 0 \Leftrightarrow x\gt 0$ ; $f'(x)\lt 0 \Leftrightarrow x\lt 0$. Minimum en $x=0$ : $f(0)=-1$. $f$ décroissante sur $]-\infty;0]$, croissante sur $[0;+\infty[$.
$f''(x)=(xe^x)'=e^x+xe^x=(x+1)e^x$. $f''(x)=0 \Leftrightarrow x=-1$. $f''\lt 0$ sur $]-\infty;-1[$ (concave), $f''\gt 0$ sur $]-1;+\infty[$ (convexe). Point d'inflexion en $(-1, f(-1))=(-1, -2e^{-1})$.
$\lim_{x\to-\infty} f(x)=0$ (car $xe^x\to 0$ et $-e^x\to 0$) ; $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
La courbe part de $0$ en $-\infty$, décroît jusqu'au minimum $-1$ en $x=0$, puis croît vers $+\infty$. Point d'inflexion en $(-1;-2/e)$.
Ce contrôle de maths complémentaires (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Dérivation — approfondissement » : 4 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée/ 4 pts
- Exercice 2 — Dérivée seconde et convexité/ 4 pts
- Exercice 3 — Problème d'optimisation/ 6 pts
- Exercice 4 — Étude complète d'une fonction/ 6 pts
Notions évaluées
Rappels : dérivées usuelles et règles de base, Dérivée d'une fonction composée (règle des chaînes), Dérivées successives — dérivée seconde, Signe de la dérivée et variations, Extrema locaux et critères du second ordre, Applications à l'optimisation.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
Voir tous les contrôles de maths complémentaires (option tle) Terminale · tous les devoirs surveillés corrigés
Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Dérivation — approfondissement » ?
- 60 minutes pour 4 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Dérivation — approfondissement » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale, soit Rappels : dérivées usuelles et règles de base, Dérivée d'une fonction composée (règle des chaînes), Dérivées successives — dérivée seconde, Signe de la dérivée et variations.
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