Dérivation : approfondissement

1. a)Forme $e^{ax+b}$ avec $a=6$ : $f$ est dérivable sur $ℝ$ et $f\prime (x)=6e^{6x-5}$. (1)
2. b)$g$ est définie et dérivable là où $7x+2>0$, soit sur $]-{\displaystyle \frac{2}{7}};+\infty [$. Forme $\ln (ax+b)$ avec $a=7$ : $g\prime (x)={\displaystyle \frac{7}{7x+2}}$. (1)
3. c)Forme $u^2$ avec $u(x)=x^2+4x$ et $u\prime (x)=2x+4$. D’après $(u^2{)}^{\prime }=2u\prime u$ : $h\prime (x)$ $=2(2x+4)(x^2+4x)$ $=4(x+2)(x^2+4x)$ $=4x(x+2)(x+4)$. (1)
4. d)Forme $e^u$ avec $u(x)=-x^2+3$ et $u\prime (x)=-2x$. D’après $(e^u{)}^{\prime }=u\prime e^u$ : $k\prime (x)=-2x{e}^{-x^2+3}$. (1)

Repère — Écrire $u$ et $u\prime$ avant d’appliquer la formule : c’est là que se perdent la plupart des points.

1. a)$f$ est un produit $uv$ avec $u(x)=1-x$, $u\prime (x)=-1$, $v(x)=e^{2x}$ et $v\prime (x)=2e^{2x}$ (forme $e^{ax+b}$). Donc $f\prime (x)$ $=-e^{2x}+(1-x)\times 2e^{2x}$ $=e^{2x}(-1+2-2x)$ $=(1-2x)e^{2x}$. (1)
2. b)$f(0)=1\times e^0=1$ et $f\prime (0)=1\times e^0=1$. La tangente a pour équation $y=f\prime (0)(x-0)+f(0)$, soit $T:y=x+1$. (1)
3. c)Comme $e^{2x}>0$, $f\prime (x)$ a le signe de $1-2x$ : positif pour $x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$, nul en ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, négatif pour $x>{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   $x$	$-\infty$		$\frac{1}{2}$		$+\infty$
   $f\prime (x)$		$+$	$0$	$-$
   $f(x)$		↗	$\frac{e}{2}$	↘

   $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ;{\displaystyle \frac{1}{2}}]$ et strictement décroissante sur $[{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty [$. Son maximum est $f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^1$ $={\displaystyle \frac{e}{2}}\approx 1,36$. (1)
4. d)L’élève a multiplié les dérivées : $(1-x{)}^{\prime }\times (e^{2x}{)}^{\prime }$ $=-1\times 2e^{2x}$ $=-2e^{2x}$. Or la dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées : $(uv{)}^{\prime }=u\prime v+uv\prime$, ce qui donne $(1-2x)e^{2x}$. (1)

Repère — Produit : $u\prime v+uv\prime$, puis on factorise par l’exponentielle pour lire le signe.

1. a)Produit $uv$ avec $u(x)=x-6$, $u\prime (x)=1$, $v(x)=e^{\frac{x}{2}}$ et $v\prime (x)$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{\frac{x}{2}}$ (forme $e^{ax+b}$ avec $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$). Donc $f\prime (x)$ $=e^{\frac{x}{2}}+(x-6)\times {\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{\frac{x}{2}}$ $=e^{\frac{x}{2}}\times {\displaystyle \frac{2+x-6}{2}}$ $={\displaystyle \frac{x-4}{2}}{e}^{\frac{x}{2}}$. (1)
2. b)Comme $e^{\frac{x}{2}}>0$ et $2>0$, $f\prime (x)$ a le signe de $x-4$ : $f\prime (x)<0$ sur $[0;4[$, $f\prime (4)=0$ et $f\prime (x)>0$ sur $]4;8]$. (1)
3. c)$f(0)=-6$, $f(4)=-2e^2$, $f(8)=2e^4$.

   $x$	$0$		$4$		$8$
   $f\prime (x)$		$-$	$0$	$+$
   $f(x)$	$-6$	↘	$-2e^2$	↗	$2e^4$

   $f$ est strictement décroissante sur $[0;4]$ et strictement croissante sur $[4;8]$. (1)
4. d)D’après le tableau, le minimum de $f$ sur $[0;8]$ est atteint en $4$ : il vaut $-2e^2\approx -14,78$. (Le maximum, atteint à la borne $8$, vaut $2e^4\approx 109,20$.) (1)

Repère — Sur un intervalle fermé, le tableau donne aussi les valeurs aux bornes : un extremum peut s’y trouver.

1. a)Forme $e^{at+b}$ avec $a=-{\displaystyle \frac{1}{5}}$ : $c\prime (t)$ $=12\times (-{\displaystyle \frac{1}{5}})e^{-\frac{t}{5}}$ $=-2,4e^{-\frac{t}{5}}$. Comme $e^{-\frac{t}{5}}>0$, $c\prime (t)<0$ : $c$ est strictement décroissante sur $[0;30]$. (1)
2. b)$c\prime (0)=-2,4e^0=-2,4$. Au début de l’observation, la concentration diminue d’environ $2,4$ mg/L par jour. (1)
3. c)Pour tout $t$, $12e^{-\frac{t}{5}}>0$, donc $c(t)>8$ : la concentration reste au-dessus de $8$ mg/L. $c(30)$ $=8+12e^{-6}\approx 8,03$ mg/L. (1)
4. d)$c(t)$ $=10⟺12e^{-\frac{t}{5}}$ $=2⟺e^{-\frac{t}{5}}$ $={\displaystyle \frac{1}{6}}⟺e^{\frac{t}{5}}$ $=6⟺{\displaystyle \frac{t}{5}}$ $=\ln 6$ (définition de $\ln$). Donc $t=5\ln 6\approx 8,96$ jours, qui appartient bien à $[0;30]$. (1)

Repère — La dérivée est une vitesse de variation : son signe dit si la grandeur monte ou baisse, sa valeur dit à quel rythme.

1. a)Forme $u^2$ avec $u(x)=\ln x-2$ et $u\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. D’après $(u^2{)}^{\prime }=2u\prime u$ : $f\prime (x)$ $=2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\times (\ln x-2)$ $={\displaystyle \frac{2(\ln x-2)}{x}}$. (1)
2. b)Sur $]0;+\infty [$, $x>0$ : $f\prime (x)$ a le signe de $\ln x-2$. Or $\ln$ est strictement croissante et $\ln (e^2)=2$ : $\ln x-2<0$ pour $0<x<e^2$ et $\ln x-2>0$ pour $x>e^2$.

   $x$	$0$		$e^2$		$+\infty$
   $f\prime (x)$		$-$	$0$	$+$
   $f(x)$		↘	$0$	↗

   $f$ est strictement décroissante sur $]0;e^2]$ et strictement croissante sur $[e^2;+\infty [$. (1)
3. c)Le minimum est $f(e^2)=(2-2{)}^2=0$, atteint en $x=e^2\approx 7,389$. (1)
4. d)L’élève a appliqué « $(u^2{)}^{\prime }=2u$ » au lieu de $(u^2{)}^{\prime }=2u\prime u$ : il a oublié de multiplier par la dérivée de l’intérieur, ici $u\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Par exemple en $x=e$, sa formule donne $2(1-2)=-2$, alors que $f\prime (e)$ $={\displaystyle \frac{2(1-2)}{e}}$ $=-{\displaystyle \frac{2}{e}}\approx -0,74$. (1)

Repère — Un carré atteint son minimum $0$ là où ce qu’il contient s’annule.