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Convexité

Fonction convexe ou concave par les cordes et les tangentes, dérivée seconde, points d’inflexion, position par rapport à une tangente, lecture sur la courbe de f′, coût marginal et rendements.

À propos de cette page
Un QCM sur la convexité en trois niveaux de douze questions : définitions par cordes et tangentes, dérivée seconde, fonctions de référence, calcul d’intervalles de convexité et de points d’inflexion, tangentes, rendements, puis contre-exemples et lecture de la courbe de f′. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Si f″(x) ≥ 0 pour tout x d’un intervalle I, alors sur I la fonction f est :

    • A. concave
    • B. croissante
    • C. convexe
    • D. décroissante
    Réponse

    C. convexe — Le signe positif de la dérivée seconde caractérise la convexité. Il ne dit rien du sens de variation de f, qui dépend du signe de f′.

  2. La courbe représentative d’une fonction convexe est située :

    • A. au-dessus de chacune de ses tangentes
    • B. au-dessous de chacune de ses tangentes
    • C. au-dessus de l’axe des abscisses
    • D. au-dessous de l’axe des abscisses
    Réponse

    A. au-dessus de chacune de ses tangentes — C’est l’équivalence du cours : une fonction convexe a une courbe en cuvette, au-dessus de toutes ses tangentes. Rien n’est dit sur son signe.

  3. La fonction définie sur ℝ par f(x) = 5x² − 3x + 1 est :

    • A. concave sur ℝ
    • B. concave puis convexe
    • C. ni convexe ni concave
    • D. convexe sur ℝ
    Réponse

    D. convexe sur ℝ — f′(x) = 10x − 3 puis f″(x) = 10 > 0 pour tout réel x : la fonction est convexe sur ℝ.

  4. En un point d’inflexion, la courbe représentative de f :

    • A. traverse sa tangente
    • B. reste au-dessus de sa tangente
    • C. admet une tangente horizontale
    • D. reste au-dessous de sa tangente
    Réponse

    A. traverse sa tangente — Le changement de convexité fait passer la courbe d’un côté à l’autre de sa tangente. La tangente n’y est pas forcément horizontale.

  5. La dérivée seconde f″ d’une fonction f est :

    • A. le carré de la dérivée f′
    • B. la dérivée de la fonction f
    • C. la dérivée de la dérivée f′
    • D. la primitive de la dérivée f′
    Réponse

    C. la dérivée de la dérivée f′ — Par définition, f″ = (f′)′ : on dérive f, puis on dérive le résultat. Ce n’est pas un carré.

  6. La fonction définie sur ℝ par g(x) = −3x² + x est :

    • A. convexe sur ℝ
    • B. concave sur ℝ
    • C. convexe puis concave
    • D. concave puis convexe
    Réponse

    B. concave sur ℝ — g′(x) = −6x + 1 puis g″(x) = −6 < 0 pour tout réel x : g est concave sur ℝ, sa parabole est tournée vers le bas.

  7. Si la dérivée f′ est croissante sur un intervalle I, alors f est :

    • A. concave sur I
    • B. constante sur I
    • C. croissante sur I
    • D. convexe sur I
    Réponse

    D. convexe sur I — C’est la caractérisation de la convexité : f convexe sur I équivaut à f′ croissante sur I.

  8. Une fonction affine, comme f(x) = 4x − 7, est :

    • A. convexe seulement
    • B. à la fois convexe et concave
    • C. concave seulement
    • D. ni convexe ni concave
    Réponse

    B. à la fois convexe et concave — f″(x) = 0 est à la fois positive et négative au sens large. La droite est confondue avec ses cordes et ses tangentes.

  9. Si f est convexe sur [a ; b], entre les points A et B de sa courbe d’abscisses a et b, la courbe est :

    • A. au-dessus de la corde [AB]
    • B. confondue avec la corde [AB]
    • C. de part et d’autre de la corde [AB]
    • D. au-dessous de la corde [AB]
    Réponse

    D. au-dessous de la corde [AB] — C’est la définition de la convexité : entre deux de ses points, la courbe d’une fonction convexe est au-dessous de la corde qui les joint.

  10. Sur ]0 ; +∞[, la fonction logarithme népérien est :

    • A. concave
    • B. convexe
    • C. affine
    • D. ni convexe ni concave
    Réponse

    A. concave — (ln x)′ = 1/x est décroissante sur ]0 ; +∞[ (ou (ln x)″ = −1/x² < 0) : ln est concave.

  11. Au point d’abscisse a, une équation de la tangente à la courbe de f est :

    • A. y = f(a)(x − a) + f′(a)
    • B. y = f′(a)(x − a) + f(a)
    • C. y = f′(x)(x − a) + f(a)
    • D. y = f′(a)(x + a) + f(a)
    Réponse

    B. y = f′(a)(x − a) + f(a) — C’est la formule de 1re : coefficient directeur f′(a), et la droite passe par le point (a ; f(a)).

  12. Pour un coût total C(q), le coût marginal est :

    • A. le coût total divisé par q
    • B. la dérivée seconde C″
    • C. la dérivée C′
    • D. le coût de la première unité
    Réponse

    C. la dérivée C′ — Le coût marginal est C′(q), qui approche le coût de l’unité supplémentaire. C(q)/q est le coût moyen.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. Pour f(x) = x³ − 9x² + 2x, la fonction f est convexe sur :

    • A. ]−∞ ; 3]
    • B. [−3 ; +∞[
    • C. ]−∞ ; −3]
    • D. [3 ; +∞[
    Réponse

    D. [3 ; +∞[ — f′(x) = 3x² − 18x + 2 puis f″(x) = 6x − 18, positive pour x ≥ 3 : f est convexe sur [3 ; +∞[

  2. Pour f(x) = 2x³ + 6x² − x + 4, l’abscisse du point d’inflexion est :

    • A. 1
    • B. −1
    • C. −3
    • D. 3
    Réponse

    B. −1 — f″(x) = 12x + 12 s’annule en −1, en changeant de signe puisque f″ est affine de coefficient 12 > 0.

  3. Pour f(x) = x⁴ − 12x², les abscisses des points d’inflexion sont :

    • A. 0 et 2
    • B. −2 et 2
    • C. −√2 et √2
    • D. 0 seulement
    Réponse

    C. −√2 et √2 — f″(x) = 12x² − 24 s’annule pour x² = 2, soit x = −√2 ou x = √2, en changeant de signe dans les deux cas.

  4. Sur ]0 ; +∞[, la fonction f(x) = −2/x est :

    • A. convexe, car f″(x) > 0
    • B. ni convexe ni concave
    • C. affine, donc les deux
    • D. concave, car f″(x) < 0
    Réponse

    D. concave, car f″(x) < 0 — f′(x) = 2/x² puis f″(x) = −4/x³, strictement négative pour x > 0 : f est concave sur ]0 ; +∞[.

  5. Pour f(x) = −x³ + 9x² − 4, la fonction f est concave sur :

    • A. [3 ; +∞[
    • B. ]−∞ ; 3]
    • C. [9 ; +∞[
    • D. ]−∞ ; 9]
    Réponse

    A. [3 ; +∞[ — f″(x) = −6x + 18 est négative lorsque x ≥ 3 : f est concave sur [3 ; +∞[

  6. Si f″(x) = 3x − 6 pour tout réel x, le point de la courbe d’abscisse 2 est :

    • A. un maximum de f
    • B. un minimum de f
    • C. un point anguleux
    • D. un point d’inflexion
    Réponse

    D. un point d’inflexion — f″ s’annule en 2 en changeant de signe (négative avant, positive après) : la courbe change de convexité, c’est un point d’inflexion.

  7. Pour f(x) = x³ − 3x² + 2x, la tangente au point d’inflexion a pour équation :

    • A. y = x − 1
    • B. y = −x + 1
    • C. y = 2x
    • D. y = −x − 1
    Réponse

    B. y = −x + 1 — f″(x) = 6x − 6 s’annule en 1 ; f(1) = 0 et f′(1) = 3 − 6 + 2 = −1, d’où y = −1(x − 1) + 0 = −x + 1.

  8. Pour un coût total C(q) = q³ − 15q² + 90q, les rendements sont croissants pour :

    • A. 0 ≤ q < 15
    • B. q > 5
    • C. 0 ≤ q < 5
    • D. q > 15
    Réponse

    C. 0 ≤ q < 5 — C″(q) = 6q − 30 est négative pour q < 5 : le coût est concave, le coût marginal décroît, les rendements sont croissants.

  9. Pour f(x) = e^(2x), la dérivée seconde est :

    • A. f″(x) = 2e^(2x)
    • B. f″(x) = 4e^(2x)
    • C. f″(x) = e^(2x)
    • D. f″(x) = 4xe^(2x)
    Réponse

    B. f″(x) = 4e^(2x) — f′(x) = 2e^(2x), puis f″(x) = 2 × 2e^(2x) = 4e^(2x), strictement positive : f est convexe sur ℝ.

  10. f est convexe sur ℝ, avec f(2) = 1 et f′(2) = 3. On peut affirmer que :

    • A. f(4) ≤ 7
    • B. f(4) = 7
    • C. f(4) ≥ 7
    • D. f(4) ≤ 3
    Réponse

    C. f(4) ≥ 7 — La tangente en 2 est y = 3(x − 2) + 1 = 3x − 5, qui vaut 7 en 4. f est convexe : sa courbe est au-dessus de ses tangentes, donc f(4) ≥ 7.

  11. f′ est strictement croissante sur [0 ; 2] et strictement décroissante sur [2 ; 4]. Alors :

    • A. f admet un maximum local en 2
    • B. la courbe de f a une tangente horizontale en 2
    • C. la courbe de f a un point d’inflexion d’abscisse 2
    • D. f est convexe sur tout l’intervalle [0 ; 4]
    Réponse

    C. la courbe de f a un point d’inflexion d’abscisse 2 — f est convexe sur [0 ; 2] (f′ croissante) et concave sur [2 ; 4] (f′ décroissante) : la convexité change en 2, point d’inflexion.

  12. Sur ]0 ; +∞[, la fonction f(x) = ln x + x² est convexe sur :

    • A. [1/2 ; +∞[
    • B. ]0 ; √2/2]
    • C. [√2 ; +∞[
    • D. [√2/2 ; +∞[
    Réponse

    D. [√2/2 ; +∞[ — f′(x) = 1/x + 2x, f″(x) = −1/x² + 2 = (2x² − 1)/x², positive dès que x² ≥ 1/2, soit x ≥ √2/2 pour x > 0.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. « Si f″(a) = 0, alors le point d’abscisse a est un point d’inflexion. » Cette affirmation est :

    • A. vraie, c’est la définition même
    • B. vraie, si f est deux fois dérivable
    • C. fausse : il faut un changement de signe
    • D. fausse : il faut aussi que f′(a) = 0
    Réponse

    C. fausse : il faut un changement de signe — L’annulation est nécessaire mais pas suffisante. Contre-exemple : f(x) = x⁴ vérifie f″(0) = 0 et reste convexe sur ℝ.

  2. « Toute fonction convexe sur ℝ est croissante sur ℝ. » Cette affirmation est :

    • A. vraie, car f′ est positive
    • B. fausse : f(x) = x² − 8x le montre
    • C. vraie, car f″ est positive
    • D. fausse, elle est toujours décroissante
    Réponse

    B. fausse : f(x) = x² − 8x le montre — x² − 8x a pour dérivée seconde 2 > 0 : elle est convexe, et pourtant décroissante sur ]−∞ ; 4]. Convexité et croissance sont indépendantes.

  3. f est concave sur I et f′(c) = 0, avec c dans I. Alors f admet en c :

    • A. un minimum sur I
    • B. un point d’inflexion
    • C. aucune propriété particulière
    • D. un maximum sur I
    Réponse

    D. un maximum sur I — f concave signifie f′ décroissante : f′ est positive avant c et négative après, donc f croît puis décroît. C’est un maximum.

  4. Dire que f est concave sur un intervalle I équivaut à dire que :

    • A. f′ est décroissante sur I
    • B. f′ est négative sur I
    • C. f est décroissante sur I
    • D. f′ est concave sur I
    Réponse

    A. f′ est décroissante sur I — C’est la caractérisation du cours : f concave sur I équivaut à f′ décroissante sur I. C’est le sens de variation de f′ qui compte, et non son signe.

  5. f est convexe sur [0 ; 4], avec f(0) = 1 et f(4) = 9. On peut affirmer que :

    • A. f(1) ≥ 3
    • B. f(1) ≤ 3
    • C. f(1) = 3
    • D. f(1) ≤ 1
    Réponse

    B. f(1) ≤ 3 — La corde joignant (0 ; 1) et (4 ; 9) a pour équation y = 2x + 1, qui vaut 3 en 1. f étant convexe, sa courbe est au-dessous de cette corde sur [0 ; 4] : f(1) ≤ 3.

  6. Pour f(x) = (x − 4)⁴ + 2, le point de la courbe d’abscisse 4 est :

    • A. un minimum, sans inflexion
    • B. un point d’inflexion
    • C. un maximum, sans inflexion
    • D. un point où f n’est pas dérivable
    Réponse

    A. un minimum, sans inflexion — f″(x) = 12(x − 4)² ≥ 0 s’annule en 4 sans changer de signe : f reste convexe, et f′(4) = 0 donne un minimum égal à 2.

  7. Si f″ est positive sur I et ne s’annule qu’en un seul point de I, alors f est :

    • A. concave sur I
    • B. convexe sur une partie de I seulement
    • C. ni convexe ni concave
    • D. convexe sur I tout entier
    Réponse

    D. convexe sur I tout entier — La condition du cours est f″(x) ≥ 0 sur I, au sens large : une annulation isolée ne rompt pas la convexité.

  8. Un coût total dont la dérivée seconde est négative traduit :

    • A. un coût marginal croissant
    • B. des rendements croissants
    • C. un coût total décroissant
    • D. des rendements décroissants
    Réponse

    B. des rendements croissants — C″ < 0 signifie que C′, le coût marginal, décroît : chaque unité supplémentaire coûte moins cher, ce sont des rendements croissants.

  9. Sur [0 ; 3], la courbe de f′ est au-dessus de l’axe des abscisses et descend. Sur [0 ; 3], f est :

    • A. croissante et convexe
    • B. décroissante et concave
    • C. croissante et concave
    • D. décroissante et convexe
    Réponse

    C. croissante et concave — f′ positive : f croissante. f′ décroissante : f concave. Le signe de f′ et son sens de variation se lisent séparément.

  10. Pour f(x) = x³, le point de la courbe d’abscisse 0 est :

    • A. un minimum de f
    • B. un maximum de f
    • C. un point sans inflexion, car f′(0) = 0
    • D. un point d’inflexion à tangente horizontale
    Réponse

    D. un point d’inflexion à tangente horizontale — f″(x) = 6x change de signe en 0 : c’est un point d’inflexion, et f′(0) = 0 : la tangente y est l’axe des abscisses, que la courbe traverse.

  11. Le nombre cumulé de visiteurs d’une exposition est croissant et concave sur les jours 6 à 12. Sur cette période, il :

    • A. augmente de moins en moins vite
    • B. diminue de jour en jour
    • C. augmente de plus en plus vite
    • D. reste constant
    Réponse

    A. augmente de moins en moins vite — Croissant : il augmente. Concave : sa vitesse de variation (la dérivée) décroît. Il augmente donc de moins en moins vite.

  12. Combien de points d’inflexion la courbe de f(x) = x⁵ − 10x³ possède-t-elle ?

    • A. 1
    • B. 2
    • C. 3
    • D. 0
    Réponse

    C. 3 — f″(x) = 20x³ − 60x = 20x(x² − 3) s’annule en −√3, 0 et √3 en changeant de signe à chaque fois : trois points d’inflexion.

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