Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Convexité
Convexité, concavité et points d'inflexion — étude via la dérivée seconde (programme Maths complémentaires Tle)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 37 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Si $f''(x) \gt 0$ sur $I$, alors $f$ est :
- A. décroissante sur $I$
- B. convexe sur $I$
- C. concave sur $I$
- D. affine sur $I$
Réponse
B. convexe sur $I$ — f'' > 0 signifie que f' est croissante, ce qui correspond à la convexité.
Si $f''(x) \lt 0$ sur $I$, alors la courbe de $f$ est :
- A. au-dessus de ses tangentes
- B. en dessous de ses tangentes
- C. confondue avec ses tangentes
- D. parallèle à ses tangentes
Réponse
B. en dessous de ses tangentes — f concave => courbe en dessous de ses tangentes.
La dérivée seconde de $f(x) = x^2$ est :
- A. $2x$
- B. $2$
- C. $x$
- D. $0$
Réponse
B. $2$ — f'(x)=2x, f''(x)=2, constante positive.
La fonction $f(x) = x^2$ est :
- A. concave sur $\mathbb{R}$
- B. ni convexe ni concave
- C. convexe sur $\mathbb{R}$
- D. convexe sur $]-\infty;0[$
Réponse
C. convexe sur $\mathbb{R}$ — f''=2 > 0 partout, donc convexe sur ℝ.
La fonction $f(x) = -x^2 + 3x$ est :
- A. convexe sur $\mathbb{R}$
- B. concave sur $\mathbb{R}$
- C. convexe sur $]0;+\infty[$
- D. ni convexe ni concave
Réponse
B. concave sur $\mathbb{R}$ — f''=-2 < 0, donc concave sur ℝ.
Une courbe en forme de « ∩ » est :
- A. convexe
- B. concave
- C. affine
- D. aucune de ces réponses
Réponse
B. concave — La forme ∩ correspond à la concavité (ouverture vers le bas).
Un point d'inflexion est un point où :
- A. $f'(x_0)=0$
- B. $f(x_0)=0$
- C. la courbe change de sens de courbure
- D. la fonction s'annule
Réponse
C. la courbe change de sens de courbure — Par définition, un point d'inflexion est un changement de sens de courbure.
La dérivée seconde de $f(x) = e^x$ est :
- A. $x \cdot e^{x-1}$
- B. $e^x$
- C. $e^{2x}$
- D. $0$
Réponse
B. $e^x$ — La dérivée de eˣ est eˣ, donc f''=eˣ.
La fonction $f(x) = e^x$ est :
- A. concave puis convexe
- B. convexe sur $\mathbb{R}$
- C. concave sur $\mathbb{R}$
- D. affine
Réponse
B. convexe sur $\mathbb{R}$ — f''=eˣ > 0 partout, donc eˣ est convexe sur ℝ.
La dérivée seconde de $f(x) = \ln x$ ($x \gt 0$) est :
- A. $\frac{1}{x}$
- B. $-\frac{1}{x^2}$
- C. $\frac{1}{x^2}$
- D. $-\frac{1}{x}$
Réponse
B. $-\frac{1}{x^2}$ — f'=1/x, f''=-1/x².
La fonction $\ln x$ est :
- A. convexe sur $]0;+\infty[$
- B. concave sur $]0;+\infty[$
- C. affine
- D. ni convexe ni concave
Réponse
B. concave sur $]0;+\infty[$ — f''=-1/x² < 0 sur ]0;+∞[, donc ln est concave.
Pour $f(x) = x^3$, quel est le signe de $f''(x)$ pour $x \gt 0$ ?
- A. négatif
- B. nul
- C. positif
- D. non défini
Réponse
C. positif — f''(x)=6x > 0 pour x > 0 : la courbe est convexe sur ]0;+∞[.
Niveau moyen — 12 questions
La dérivée seconde de $f(x) = x^3 - 3x$ est :
- A. $3x^2 - 3$
- B. $6x$
- C. $6$
- D. $x^2$
Réponse
B. $6x$ — f'=3x²-3, f''=6x.
$f(x) = x^3 - 3x$ est concave sur :
- A. $]0;+\infty[$
- B. $]-\infty;0[$
- C. $\mathbb{R}$
- D. $]-1;1[$
Réponse
B. $]-\infty;0[$ — f''=6x < 0 ⟺ x < 0.
$f(x) = x^3 - 3x$ a un point d'inflexion en :
- A. $x=1$
- B. $x=0$
- C. $x=-1$
- D. $x=3$
Réponse
B. $x=0$ — f''(x)=6x=0 ⟺ x=0, et f'' change de signe.
Pour $f(x) = 2x^3 - 12x^2$, $f''(x) =$ :
- A. $6x^2 - 24x$
- B. $12x - 24$
- C. $6x - 12$
- D. $12x^2$
Réponse
B. $12x - 24$ — f'=6x²-24x, f''=12x-24.
Le point d'inflexion de $f(x) = 2x^3 - 12x^2$ est en $x =$ :
- A. $0$
- B. $2$
- C. $4$
- D. $6$
Réponse
B. $2$ — f''=12x-24=0 ⟺ x=2.
Si $f''(x_0)=0$ mais $f''$ ne change pas de signe en $x_0$, alors :
- A. $x_0$ est un point d'inflexion
- B. $x_0$ n'est pas un point d'inflexion
- C. $x_0$ est un extremum
- D. On ne peut rien conclure
Réponse
B. $x_0$ n'est pas un point d'inflexion — La condition de changement de signe est indispensable pour conclure à un point d'inflexion.
La dérivée seconde de $f(x) = x^4$ est :
- A. $4x^3$
- B. $12x^2$
- C. $12x$
- D. $4x$
Réponse
B. $12x^2$ — f'=4x³, f''=12x².
$f(x) = x^4$ a-t-il un point d'inflexion en $x=0$ ?
- A. Oui, car $f''(0)=0$
- B. Non, car $f''$ ne change pas de signe
- C. Oui, car $f'(0)=0$
- D. On ne peut pas savoir
Réponse
B. Non, car $f''$ ne change pas de signe — f''=12x²≥0 partout, ne change pas de signe : pas de point d'inflexion.
Si $f$ est convexe sur $I$, alors pour tous $a, b \in I$ :
- A. la corde $[AB]$ est en dessous de la courbe
- B. la corde $[AB]$ est au-dessus de la courbe
- C. la corde $[AB]$ coupe la courbe en son milieu
- D. la corde $[AB]$ est la tangente
Réponse
B. la corde $[AB]$ est au-dessus de la courbe — Définition de la convexité : la corde est au-dessus de la courbe.
Si $f$ est convexe sur $I$, la courbe est :
- A. en dessous de ses tangentes
- B. au-dessus de ses tangentes
- C. confondue avec ses tangentes
- D. parallèle à ses tangentes
Réponse
B. au-dessus de ses tangentes — Propriété fondamentale : une courbe convexe est au-dessus de toutes ses tangentes.
La dérivée seconde de $f(x) = \sin x$ est :
- A. $\cos x$
- B. $-\sin x$
- C. $-\cos x$
- D. $\sin x$
Réponse
B. $-\sin x$ — f'=cos x, f''=-sin x.
$\sin x$ est concave sur :
- A. $]0;\pi[$
- B. $]\pi;2\pi[$
- C. $[0;2\pi]$
- D. $]-\pi/2;\pi/2[$
Réponse
A. $]0;\pi[$ — f''=-sin x < 0 sur ]0;π[, donc concave sur ]0;π[.
Niveau difficile — 13 questions
Soit $f(x) = x^3 + ax^2$. Pour que $f$ ait un point d'inflexion en $x=-1$, il faut :
- A. $a = 3$
- B. $a = -3$
- C. $a = 1$
- D. $a = -1$
Réponse
A. $a = 3$ — f''=6x+2a=0 en x=-1 : -6+2a=0 => a=3.
Soit $f$ convexe sur $I$. Laquelle de ces inégalités est toujours vraie pour $a \in I$ ?
- A. $f(x) \leq f(a) + f'(a)(x-a)$
- B. $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$
- C. $f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$
- D. Aucune de ces réponses
Réponse
B. $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$ — Propriété fondamentale : f convexe ⟺ courbe au-dessus de ses tangentes.
La dérivée seconde de $f(x) = \frac{1}{x}$ ($x \gt 0$) est :
- A. $-\frac{1}{x^2}$
- B. $\frac{2}{x^3}$
- C. $-\frac{2}{x^3}$
- D. $\frac{1}{x^2}$
Réponse
B. $\frac{2}{x^3}$ — f'=-1/x², f''=2/x³.
$f(x) = \frac{1}{x}$ est convexe sur :
- A. $]-\infty;0[$
- B. $]0;+\infty[$
- C. $\mathbb{R}^*$
- D. Nulle part
Réponse
B. $]0;+\infty[$ — f''=2/x³ > 0 ⟺ x > 0.
Soit $f(x) = e^x - x - 1$. Quel est le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$ ?
- A. Toujours négatif
- B. Toujours positif ou nul
- C. Nul partout
- D. Alternativement positif et négatif
Réponse
B. Toujours positif ou nul — eˣ est convexe, donc eˣ ≥ tangente en 0 = x+1, soit eˣ-x-1 ≥ 0.
Si $f''$ est strictement positive sur $]a;b[$, que peut-on dire de $f'$ sur $]a;b[$ ?
- A. $f'$ est décroissante
- B. $f'$ est constante
- C. $f'$ est croissante
- D. On ne peut rien dire sur $f'$
Réponse
C. $f'$ est croissante — f'' > 0 ⟺ f' est croissante (f'' = (f')').
Laquelle de ces fonctions est convexe sur tout $\mathbb{R}$ ?
- A. $\sin x$
- B. $x^3$
- C. $\ln(x^2+1)$
- D. $e^x$
Réponse
D. $e^x$ — eˣ est la seule avec f''=eˣ > 0 partout. Les autres fonctions ont f'' qui change de signe.
Pour $f(x) = x^4 - 4x^3$, quelle est l'abscisse du point d'inflexion ?
- A. $x=0$
- B. $x=1$
- C. $x=2$
- D. $x=3$
Réponse
C. $x=2$ — f''=12x²-24x=12x(x-2). f''=0 en x=0 (pas de changement de signe) et x=2 (changement de signe). Point d'inflexion en x=2.
Si $f$ admet un point d'inflexion en $x_0$, alors la tangente en $x_0$ :
- A. est parallèle à l'axe des abscisses
- B. traverse la courbe en $x_0$
- C. est perpendiculaire à la courbe
- D. est la droite $y=x_0$
Réponse
B. traverse la courbe en $x_0$ — Par définition, en un point d'inflexion, la tangente traverse la courbe.
Soit $f$ deux fois dérivable. Si $f'(x_0)=0$ et $f''(x_0) \gt 0$, alors $x_0$ est :
- A. un point d'inflexion
- B. un minimum local
- C. un maximum local
- D. un point ordinaire
Réponse
B. un minimum local — Critère du second ordre : f'(x_0)=0 et f''(x_0) > 0 => minimum local.
Soit $f(x) = x \ln x$ ($x \gt 0$). $f''(x) =$ :
- A. $\ln x + 1$
- B. $\frac{1}{x}$
- C. $\frac{1}{x^2}$
- D. $\ln x$
Réponse
B. $\frac{1}{x}$ — f'=ln x+1, f''=1/x > 0 sur ]0;+∞[.
$f(x) = x \ln x$ est :
- A. concave sur $]0;+\infty[$
- B. convexe sur $]0;+\infty[$
- C. ni convexe ni concave
- D. convexe en 0 uniquement
Réponse
B. convexe sur $]0;+\infty[$ — f''=1/x > 0 sur ]0;+∞[, donc f est convexe.
Si $f$ et $g$ sont toutes deux convexes sur $I$, alors $f+g$ est :
- A. concave sur $I$
- B. convexe sur $I$
- C. affine sur $I$
- D. ni convexe ni concave
Réponse
B. convexe sur $I$ — (f+g)''=f''+g''. Si f''≥0 et g''≥0, alors (f+g)''≥0, donc f+g est convexe.
Cours particuliers de maths complémentaires (option tle) à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs