Fonction logarithme népérien

Définition comme réciproque de l'exponentielle, propriétés algébriques, dérivée, variations, limites et résolution d'équations et d'inéquations

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Fonction logarithme népérien » en terminale permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en maths complémentaires (option tle). Ils suivent le programme officiel de terminale et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel : ln, réciproque de l'exponentielle, Propriétés algébriques du logarithme, Dérivée de ln et de ln(ax + b), variations, Limites et courbe de la fonction logarithme. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en maths complémentaires (option tle) en terminale.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Élimination d'un médicament

Moyen

On injecte à un patient, à l'instant $t = 0$ , une dose d'un médicament. La concentration dans le sang, en mg/L, est modélisée pour $t \geq 0$ ( $t$ en heures) par $C (t) = 14 e^{- 0, 23 t}$ . Le médicament est efficace tant que sa concentration est supérieure ou égale à $1$ mg/L.

1. Calculer $C (0)$ et $C (4)$ (arrondi au centième).
2. Étudier le sens de variation de $C$ sur $[0; + \infty [$ .
3. a) Déterminer la demi-vie du médicament, c'est-à-dire le temps $T$ au bout duquel la concentration initiale est divisée par deux.
3. b) Montrer que pour tout $t \geq 0$ , $C (t + T) = \frac{C (t)}{2}$ .
4. Pendant combien de temps le médicament est-il efficace ? Donner le résultat en heures et minutes.
5. Le médecin prévoit une seconde injection lorsque la concentration atteint $20 %$ de la concentration initiale. Au bout de combien de temps ?

1. $C (0) = 14 e^{0} = 14$ mg/L. $C (4) = 14 e^{- 0, 92} \approx 14 \times 0, 3985$ , soit $C (0) = 14$ mg/L et $C (4) \approx 5, 58$ mg/L.

2. $C^{'} (t) = 14 \times (- 0, 23) e^{- 0, 23 t} = - 3, 22 e^{- 0, 23 t}$ . Une exponentielle est strictement positive, donc $C^{'} (t) < 0$ : $C$ est strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ .

3. a) $C (T) = 7 \Leftrightarrow 14 e^{- 0, 23 T} = 7 \Leftrightarrow e^{- 0, 23 T} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow - 0, 23 T = \ln \frac{1}{2} = - \ln 2$ . Donc $T = \frac{\ln 2}{0, 23} \approx 3, 01$ h, soit environ 3 h 01 min.

3. b) Pour $t \geq 0$ : $C (t + T) = 14 e^{- 0, 23 t - 0, 23 T} = 14 e^{- 0, 23 t} \times e^{- 0, 23 T}$ . Or $0, 23 T = \ln 2$ , donc $e^{- 0, 23 T} = e^{- \ln 2} = \frac{1}{2}$ . Ainsi $C (t + T) = \frac{C (t)}{2}$ : la concentration est divisée par deux toutes les $T$ heures, quel que soit l'instant de départ.

4. $C (t) \geq 1 \Leftrightarrow e^{- 0, 23 t} \geq \frac{1}{14}$ . La fonction $\ln$ est strictement croissante : $- 0, 23 t \geq \ln \frac{1}{14} = - \ln 14$ , puis en divisant par $- 0, 23 < 0$ (le sens change) : $t \leq \frac{\ln 14}{0, 23} \approx 11, 474$ . Or $0, 474 \times 60 \approx 28$ . Le médicament est efficace pendant environ 11 h 28 min.

5. $C (t) = 0, 2 \times 14 \Leftrightarrow e^{- 0, 23 t} = 0, 2 \Leftrightarrow - 0, 23 t = \ln 0, 2 = - \ln 5 \Leftrightarrow t = \frac{\ln 5}{0, 23} \approx 6, 998$ . La seconde injection a lieu au bout d'environ 7 h, bien avant la fin de l'efficacité trouvée au 4.

Problème 2 — Niveaux sonores en atelier

Moyen

Le niveau sonore $L$ , en décibels (dB), d'un son d'intensité $I$ (en W/m²) est $L = 10 \log \frac{I}{I_{0}}$ , avec $I_{0} = 10^{- 12}$ W/m² et $\log x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ . Au-delà de $85$ dB, le port d'une protection auditive est obligatoire. Quand $n$ machines identiques fonctionnent ensemble, leurs intensités s'ajoutent.

1. Calculer le niveau sonore d'une perceuse d'intensité $I = 3, 2 \times 10^{- 5}$ W/m² (au dixième de dB).
2. Montrer que si l'intensité est multipliée par $2$ , le niveau sonore augmente d'environ $3$ dB.
3. Déterminer l'intensité correspondant au seuil de $85$ dB.
4. Une machine seule produit $72$ dB. Montrer que $n$ machines identiques produisent $72 + 10 \log n$ dB, puis déterminer le nombre minimal de machines à partir duquel la protection est obligatoire.
5. Un technicien affirme : « deux machines à 72 dB produisent 144 dB ». Expliquer son erreur.

1. $\frac{I}{I_{0}} = \frac{3, 2 \times 10^{- 5}}{10^{- 12}} = 3, 2 \times 10^{7}$ . Avec les propriétés du logarithme : $\log (3, 2 \times 10^{7}) = \log 3, 2 + 7 \approx 7, 505$ . $L \approx 75, 1$ dB.

2. Niveau pour $2 I$ : $10 \log \frac{2 I}{I_{0}} = 10 (\log 2 + \log \frac{I}{I_{0}}) = 10 \log 2 + L$ . Or $10 \log 2 = \frac{10 \ln 2}{\ln 10} \approx 3, 01$ . Doubler l'intensité ajoute environ 3 dB.

3. $10 \log \frac{I}{I_{0}} = 85 \Leftrightarrow \ln \frac{I}{I_{0}} = 8, 5 \ln 10 \Leftrightarrow \frac{I}{I_{0}} = e^{8, 5 \ln 10} = 10^{8, 5}$ . Donc $I = 10^{- 12} \times 10^{8, 5} = 10^{- 3, 5}$ , soit $I \approx 3, 16 \times 10^{- 4}$ W/m².

4. Si $I_{1}$ est l'intensité d'une machine, $n$ machines produisent $n I_{1}$ : $10 \log \frac{n I_{1}}{I_{0}} = 10 \log n + 10 \log \frac{I_{1}}{I_{0}} = 10 \log n + 72$ . On cherche $72 + 10 \log n \geq 85 \Leftrightarrow \log n \geq 1, 3 \Leftrightarrow \ln n \geq 1, 3 \ln 10 \Leftrightarrow n \geq 10^{1, 3} \approx 19, 95$ . La protection est obligatoire à partir de 20 machines.

5. Ce sont les intensités qui s'additionnent, pas les niveaux en décibels. D'après la question 4 avec $n = 2$ (ou la question 2), deux machines produisent $72 + 10 \log 2 \approx 75$ dB. 144 dB est faux : le bon niveau est environ 75 dB.

Problème 3 — Bénéfice d'une entreprise

Difficile

Une entreprise fabrique entre $0$ et $4 000$ objets par semaine. Pour $q$ centaines d'objets ( $q \in [0; 40]$ ), le bénéfice hebdomadaire, en milliers d'euros, est modélisé par $B (q) = 30 \ln (q + 1) - 2 q$ .

1. Montrer que pour tout $q \in [0; 40]$ , $B^{'} (q) = \frac{28 - 2 q}{q + 1}$ .
2. Dresser le tableau de variations de $B$ sur $[0; 40]$ , avec les valeurs de $B (0)$ , $B (14)$ et $B (40)$ arrondies au centième.
3. Quelle production maximise le bénéfice ? Quel est ce bénéfice maximal, à l'euro près ?
4. a) Montrer que l'équation $B (q) = 40$ admet une unique solution $β$ dans $[0; 14]$ et une unique solution $α$ dans $[14; 40]$ .
4. b) Donner un encadrement de $α$ et de $β$ entre deux entiers consécutifs.
5. En déduire les productions, en nombre entier de centaines d'objets, pour lesquelles le bénéfice est d'au moins $40 000$ €.

1. Sur $[0; 40]$ , $q + 1 > 0$ . Avec $(\ln (a q + b))^{'} = \frac{a}{a q + b}$ : $B^{'} (q) = \frac{30}{q + 1} - 2 = \frac{30 - 2 (q + 1)}{q + 1}$ , soit $B^{'} (q) = \frac{28 - 2 q}{q + 1}$ .

2. Le dénominateur est positif ; $28 - 2 q > 0 \Leftrightarrow q < 14$ . $B$ est donc croissante sur $[0; 14]$ et décroissante sur $[14; 40]$ . $B (0) = 30 \ln 1 = 0$ ; $B (14) = 30 \ln 15 - 28 \approx 53, 24$ ; $B (40) = 30 \ln 41 - 80 \approx 31, 41$ .

$q$	$0$		$14$		$40$
$B^{'} (q)$		$+$	$0$	$-$
$B$	$0$	croissante	$53, 24$	décroissante	$31, 41$

3. Le maximum est atteint pour $q = 14$ : 1 400 objets par semaine, pour un bénéfice de $30 \ln 15 - 28 \approx 53, 241$ milliers d'euros, soit environ 53 241 €.

4. a) Sur $[0; 14]$ , $B$ est continue (car dérivable) et strictement croissante, avec $B (0) = 0 < 40$ et $B (14) \approx 53, 24 > 40$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires (cas strictement monotone), l'équation $B (q) = 40$ a une unique solution $β$ dans $[0; 14]$ . Sur $[14; 40]$ , $B$ est continue et strictement décroissante avec $B (14) > 40$ et $B (40) \approx 31, 41 < 40$ : unique solution $α$ . L'équation a exactement une solution dans chaque intervalle.

4. b) $B (3) = 30 \ln 4 - 6 \approx 35, 59$ et $B (4) = 30 \ln 5 - 8 \approx 40, 28$ , donc $3 < β < 4$ . $B (32) = 30 \ln 33 - 64 \approx 40, 90$ et $B (33) = 30 \ln 34 - 66 \approx 39, 79$ , donc $32 < α < 33$ .

5. D'après les variations, $B (q) \geq 40 \Leftrightarrow q \in [β; α]$ . Les entiers de cet intervalle vont de $4$ à $32$ . Le bénéfice atteint au moins 40 000 € pour une production de 400 à 3 200 objets par semaine (par centaines entières).

Problème 4 — Phosphates dans un lac

Difficile

Un lac contient $600$ tonnes de phosphates au 1^er janvier 2026. Chaque année, $12 %$ des phosphates présents sont éliminés naturellement, et l'agriculture en apporte $30$ tonnes. On note $u_{n}$ la masse de phosphates, en tonnes, au 1^er janvier $2026 + n$ : $u_{0} = 600$ et $u_{n + 1} = 0, 88 u_{n} + 30$ .

1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
2. On pose $v_{n} = u_{n} - 250$ . Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
3. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis la limite de $(u_{n})$ . Interpréter.
4. Au bout de combien d'années l'écart $v_{n}$ entre la masse de phosphates et $250$ tonnes aura-t-il au moins diminué de moitié ?
5. Déterminer par le calcul le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 260$ .
6. Écrire une fonction Python $s e u i l ()$ qui renvoie l'entier de la question 5 sans utiliser de logarithme.

1. $u_{1} = 0, 88 \times 600 + 30 = 528 + 30$ , soit $u_{1} = 558$ . $u_{2} = 0, 88 \times 558 + 30 = 491, 04 + 30$ , soit $u_{2} = 521, 04$ .

2. Pour tout $n$ : $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 250 = 0, 88 u_{n} + 30 - 250 = 0, 88 u_{n} - 220 = 0, 88 (u_{n} - 250) = 0, 88 v_{n}$ . $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 88$ et de premier terme $v_{0} = 600 - 250 = 350$ .

3. $v_{n} = 350 \times 0, 88^{n}$ , donc $u_{n} = 250 + 350 \times 0, 88^{n}$ . Comme $0 < 0, 88 < 1$ , $0, 88^{n} \to 0$ , donc ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = 250$ : à long terme, la masse de phosphates se stabilise vers 250 tonnes (les pertes, $12 %$ de 250, compensent alors les 30 tonnes apportées).

4. $v_{n} \leq \frac{350}{2} \Leftrightarrow 0, 88^{n} \leq 0, 5 \Leftrightarrow n \ln 0, 88 \leq \ln 0, 5$ . Comme $\ln 0, 88 < 0$ , le sens change : $n \geq \frac{\ln 0, 5}{\ln 0, 88} \approx 5, 42$ . L'écart est divisé par deux au bout de 6 ans (contrôle : $0, 88^{5} \approx 0, 528$ , $0, 88^{6} \approx 0, 464$ ).

5. $u_{n} < 260 \Leftrightarrow 350 \times 0, 88^{n} < 10 \Leftrightarrow 0, 88^{n} < \frac{1}{35} \Leftrightarrow n \ln 0, 88 < - \ln 35 \Leftrightarrow n > \frac{- \ln 35}{\ln 0, 88} \approx 27, 81$ (division par $\ln 0, 88 < 0$ ). $n = 28$ , soit en 2054. Contrôle : $u_{27} \approx 261, 09$ et $u_{28} \approx 259, 76$ .

6. On calcule les termes de proche en proche tant que le seuil n'est pas franchi :

def seuil():
    u = 600
    n = 0
    while u >= 260:
        u = 0.88 * u + 30
        n = n + 1
    return n

La boucle s'arrête dès que $u_{n} < 260$ ; la fonction renvoie 28, conformément à la question 5.

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