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120 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

Le corrigé est-il fourni ?

Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale.

Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Limites des fonctions de référence et opérations, asymptotes horizontales et verticales, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, fonction strictement monotone et fonction réciproque, encadrement d’une solution de f(x) = k par balayage et dichotomie.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de deux heures sur 20 points, calculatrice autorisée, avec corrigé détaillé : calculs de limites, asymptotes d’une fonction rationnelle, nombre de solutions lu sur un tableau de variations, théorème des valeurs intermédiaires et fonction réciproque, dichotomie en Python.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

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Devoir surveillé – Limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Durée : 120 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Maths complémentaires (option Tle) Terminale

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Calculs de limites ★★

(4 pts)

Déterminer chaque limite en justifiant (opérations, forme indéterminée levée).

a) $lim_{x \to + \infty} (2 x^{4} - 9 x^{3} + 1)$
c) $lim_{x \to + \infty} \frac{9 x^{2} - 3}{6 - 4 x^{2}}$
b) $lim_{x \to - \infty} \frac{8 x - 5}{4 x^{2} - x}$
d) $lim_{x \to - \infty} \frac{3 + e^{x}}{2 - e^{x}}$

Exercice 2 – Asymptotes d’une fonction rationnelle ★★

(3 pts)

Soit $r (x) = \frac{3 x - 2}{5 - x}$ .

a)Donner l’ensemble de définition de $r$ et ses limites en $+ \infty$ et en $- \infty$ .
b)Déterminer les limites de $r$ en $5$ , à gauche et à droite, puis donner les équations des asymptotes à la courbe de $r$ .
c)Montrer que $r (x) + 3 = \frac{13}{5 - x}$ et en déduire la position de la courbe par rapport à son asymptote horizontale.

Exercice 3 – Tableau de variations et nombre de solutions ★★

(4 pts)

Une fonction $f$ continue sur $[- 3; 5]$ a le tableau de variations suivant.

$x$	$- 3$		$0$		$4$		$5$
$f (x)$	$- 2$	↗	$6$	↘	$1$	↗	$3$

a)Déterminer le nombre de solutions de l’équation $f (x) = 0$ sur $[- 3; 5]$ .
b)Déterminer le nombre de solutions de l’équation $f (x) = 2$ .
c)Déterminer le nombre de solutions de l’équation $f (x) = 7$ .
d)Un élève affirme que l’équation $f (x) = 4$ a trois solutions. Expliquer son erreur et donner le bon nombre de solutions.

Exercice 4 – Théorème des valeurs intermédiaires et fonction réciproque ★★★

(5 pts)

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 2$ .

a)Justifier que l’équation $f (x) = 0$ admet au moins une solution dans $[0; 1]$ .
b)Étudier le sens de variation de $f$ sur $[0; + \infty [$ .
c)Montrer que l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α$ dans $[0; + \infty [$ .
d)Donner un encadrement de $α$ d’amplitude $10^{- 2}$ , puis montrer que $α = \sqrt{3} - 1$ .
e)On note $g$ la fonction réciproque de la restriction de $f$ à $[0; + \infty [$ . Justifier que $g$ existe, puis calculer $g (18)$ .

Exercice 5 – Dichotomie en Python ★★★

(4 pts)

On considère le programme suivant.

def f(x):
    return x**2 - 7

def dichotomie(f, a, b, e):
    while b - a > e:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

a)Justifier que l’équation $x^{2} = 7$ admet une unique solution dans $[2; 3]$ .
b)Pour l’appel $d i c h o t o m i e (f, 2, 3, 0.005)$ , donner les valeurs de $a$ et $b$ après trois passages dans la boucle.
c)Combien de passages dans la boucle cet appel effectue-t-il ?
d)Un élève remplace le test par « si $f (m) > 0$ , alors $b = m$ ; sinon $a = m$ ». Expliquer pourquoi sa version convient pour $f$ , mais pas pour $g (x) = 7 - x^{2}$ sur $[2; 3]$ .

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Corrigé et barème – Limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Durée : 120 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Maths complémentaires (option Tle) Terminale

Exercice 1 – Calculs de limites ★★

(4 pts)

a)Forme « $+ \infty - \infty$ ». Pour $x \neq 0$ , on factorise par le terme dominant : $2 x^{4} - 9 x^{3} + 1 = x^{4} (2 - \frac{9}{x} + \frac{1}{x^{4}})$ . Par somme, la parenthèse tend vers $2$ ; et $lim_{x \to + \infty} x^{4} = + \infty$ . Par produit, la limite vaut $+ \infty$ . (1)
b)Forme « $\frac{\infty}{\infty}$ ». Pour $x \neq 0$ , on met $x$ en facteur en haut et $x^{2}$ en bas : $\frac{8 x - 5}{4 x^{2} - x} = \frac{x (8 - \frac{5}{x})}{x^{2} (4 - \frac{1}{x})} = \frac{1}{x} \times \frac{8 - \frac{5}{x}}{4 - \frac{1}{x}} .$ En $- \infty$ , $\frac{1}{x} \to 0$ et le second facteur tend vers $\frac{8}{4} = 2$ (somme et quotient). Par produit, la limite vaut $0 \times 2 = 0$ . (1)
c)Forme « $\frac{\infty}{\infty}$ ». Pour $x \neq 0$ , on factorise par $x^{2}$ en haut et en bas : $\frac{9 x^{2} - 3}{6 - 4 x^{2}} = \frac{9 - \frac{3}{x^{2}}}{\frac{6}{x^{2}} - 4}$ . Comme $\frac{3}{x^{2}} \to 0$ et $\frac{6}{x^{2}} \to 0$ , le numérateur tend vers $9$ et le dénominateur vers $- 4$ . Par quotient, la limite vaut $- \frac{9}{4}$ . (1)
d)Pas de forme indéterminée : $lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ , donc le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $2$ (somme). Par quotient, la limite vaut $\frac{3}{2}$ . (1)

Repère — En l’infini, une forme indéterminée avec des polynômes se lève en factorisant par le terme dominant : c’est lui qui impose la limite.

Exercice 2 – Asymptotes d’une fonction rationnelle ★★

(3 pts)

a)Le dénominateur s’annule en $5$ : $r$ est définie sur $ℝ ⧵ {5}$ . En $\pm \infty$ , forme « $\frac{\infty}{\infty}$ » ; pour $x \neq 0$ et $x \neq 5$ , $r (x) = \frac{x (3 - \frac{2}{x})}{x (\frac{5}{x} - 1)} = \frac{3 - \frac{2}{x}}{\frac{5}{x} - 1}$ . Le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $- 1$ : par quotient, $lim_{x \to + \infty} r (x) = lim_{x \to - \infty} r (x) = - 3$ . (1)
b)Le numérateur tend vers $3 \times 5 - 2 = 13 > 0$ . Si $x < 5$ , $5 - x > 0$ , donc $5 - x \to 0^{+}$ et, par quotient, $lim_{x \to 5^{-}} r (x) = + \infty$ . Si $x > 5$ , $5 - x \to 0^{-}$ et $lim_{x \to 5^{+}} r (x) = - \infty$ . Asymptotes : la droite d’équation $y = - 3$ (horizontale, en $+ \infty$ et en $- \infty$ ) et la droite d’équation $x = 5$ (verticale). (1)
c)Pour $x \neq 5$ : $r (x) + 3 = \frac{3 x - 2 + 3 (5 - x)}{5 - x} = \frac{3 x - 2 + 15 - 3 x}{5 - x} = \frac{13}{5 - x}$ . Le signe est celui de $5 - x$ : positif sur $] - \infty; 5 [$ , négatif sur $] 5; + \infty [$ . La courbe est au-dessus de la droite $y = - 3$ sur $] - \infty; 5 [$ et en dessous sur $] 5; + \infty [$ . (1)

Repère — Valeur interdite : le signe du dénominateur de chaque côté décide entre $+ \infty$ et $- \infty$ ; position : signe de $f (x) - ℓ$ .

Exercice 3 – Tableau de variations et nombre de solutions ★★

(4 pts)

a)Sur $[- 3; 0]$ , $f$ est continue et strictement croissante de $- 2$ à $6$ ; comme $0 \in [- 2; 6]$ , d’après le corollaire du TVI, l’équation $f (x) = 0$ a une unique solution dans $[- 3; 0]$ . Sur $[0; 5]$ , le minimum de $f$ vaut $1$ (atteint en $4$ ), donc $f (x) ⩾ 1 > 0$ : aucune solution. L’équation $f (x) = 0$ a exactement une solution. (1)
b)On applique le corollaire du TVI sur chaque intervalle de monotonie : $2 \in [- 2; 6]$ donne une solution dans $[- 3; 0]$ ; $2 \in [1; 6]$ en donne une dans $[0; 4]$ ; $2 \in [1; 3]$ en donne une dans $[4; 5]$ . Elles sont distinctes car $f (0) = 6 \neq 2$ et $f (4) = 1 \neq 2$ . L’équation $f (x) = 2$ a trois solutions. (1)
c)Le maximum de $f$ sur $[- 3; 5]$ vaut $6$ , atteint en $0$ . Comme $7 > 6$ , l’équation $f (x) = 7$ n’a aucune solution. (1)
d)Sur $[4; 5]$ , $f$ croît de $1$ à $3$ , donc $f (x) ⩽ 3 < 4$ : il n’y a pas de solution sur ce morceau, l’élève en a compté une de trop. $4 \in [- 2; 6]$ donne une solution dans $[- 3; 0]$ , et $4 \in [1; 6]$ une solution dans $[0; 4]$ ; elles sont distinctes car $f (0) = 6 \neq 4$ . L’équation $f (x) = 4$ a deux solutions. (1)

Repère — Pour compter les solutions de $f (x) = k$ , on applique le corollaire du TVI sur chaque flèche du tableau, puis on vérifie que les solutions sont distinctes.

Exercice 4 – Théorème des valeurs intermédiaires et fonction réciproque ★★★

(5 pts)

a) $f$ est continue sur $[0; 1]$ (polynôme). $f (0) = - 2 < 0$ et $f (1) = 1 + 3 - 2 = 2 > 0$ : $0$ est compris entre $f (0)$ et $f (1)$ . D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f (x) = 0$ admet au moins une solution dans $[0; 1]$ . (1)
b) $f$ est dérivable sur $ℝ$ et $f' (x) = 3 x^{2} + 6 x = 3 x (x + 2)$ . Sur $[0; + \infty [$ , $3 x ⩾ 0$ et $x + 2 > 0$ , donc $f' (x) ⩾ 0$ , et $f' (x) = 0$ seulement pour $x = 0$ . Donc $f$ est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ . (1)
c) $f$ est continue (polynôme) et strictement croissante sur $[0; + \infty [$ . $f (0) = - 2 < 0$ et, en $+ \infty$ , $f (x) = x^{3} (1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{3}})$ pour $x \neq 0$ , d’où $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ (produit). Comme $0 \in [- 2; + \infty [$ , d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α$ dans $[0; + \infty [$ ; d’après la question 1, $α \in [0; 1]$ . (1)
d)À la calculatrice : $f (0, 73) \approx - 0, 012 < 0$ et $f (0, 74) \approx 0, 048 > 0$ . Comme $f$ est strictement croissante, $0, 73 < α < 0, 74$ . Valeur exacte : avec $x = \sqrt{3} - 1$ : $x^{2} = 3 - 2 \sqrt{3} + 1 = 4 - 2 \sqrt{3}$ , puis $x^{3} = (\sqrt{3} - 1) (4 - 2 \sqrt{3}) = 4 \sqrt{3} - 6 - 4 + 2 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3} - 10$ . Donc $f (\sqrt{3} - 1) = 6 \sqrt{3} - 10 + 3 (4 - 2 \sqrt{3}) - 2 = 6 \sqrt{3} - 10 + 12 - 6 \sqrt{3} - 2 = 0$ . Comme $\sqrt{3} - 1 ⩾ 0$ et que la solution est unique sur $[0; + \infty [$ , $α = \sqrt{3} - 1$ (cohérent avec $\sqrt{3} - 1 \approx 0, 732$ ). (1)
e)Sur $[0; + \infty [$ , $f$ est continue et strictement croissante, de $f (0) = - 2$ vers $+ \infty$ : pour tout $y ⩾ - 2$ , l’équation $f (x) = y$ a une unique solution dans $[0; + \infty [$ , donc $f$ admet une fonction réciproque $g$ définie sur $[- 2; + \infty [$ . Comme $f (2) = 8 + 12 - 2 = 18$ et $2 ⩾ 0$ , on obtient $g (18) = 2$ . (1)

Repère — Le TVI seul donne l’existence ; la stricte monotonie donne l’unicité, et c’est elle aussi qui fait exister la fonction réciproque.

Exercice 5 – Dichotomie en Python ★★★

(4 pts)

a) $f$ est continue (polynôme), et $f' (x) = 2 x > 0$ sur $[2; 3]$ : $f$ y est strictement croissante. $f (2) = - 3 < 0$ et $f (3) = 2 > 0$ . D’après le corollaire du TVI, l’équation $f (x) = 0$ , c’est-à-dire $x^{2} = 7$ , admet une unique solution dans $[2; 3]$ : c’est $\sqrt{7}$ . (1)
b)Passage 1 : $m = 2, 5$ , $f (2, 5) = - 0, 75 < 0$ , même signe que $f (2)$ : $a = 2, 5$ , intervalle $[2, 5; 3]$ . Passage 2 : $m = 2, 75$ , $f (2, 75) = 0, 5625 > 0$ , signe contraire de $f (a)$ : $b = 2, 75$ , intervalle $[2, 5; 2, 75]$ . Passage 3 : $m = 2, 625$ , $f (2, 625) = - 0, 109375 < 0$ : $a = 2, 625$ . Après trois passages, $a = 2, 625$ et $b = 2, 75$ . (1)
c)Après $n$ passages, $b - a = \frac{1}{2^{n}}$ . La boucle s’arrête dès que $\frac{1}{2^{n}} ⩽ 0, 005$ , soit $2^{n} ⩾ 200$ . Or $2^{7} = 128$ et $2^{8} = 256$ : l’appel effectue $8$ passages. (1)
d)Pour $f$ , croissante, $f (m) > 0$ signifie $m > \sqrt{7}$ : la solution est à gauche de $m$ , et garder $[a; m]$ est juste. Pour $g$ , décroissante, $g (m) > 0$ signifie $m < \sqrt{7}$ : la solution est à droite de $m$ , mais le programme garde $[a; m]$ , qui ne la contient pas. Avec $g$ , on a $g (m) > 0$ à chaque passage : le programme pose toujours $b = m$ et converge vers $2$ , pas vers $\sqrt{7}$ . Le test « $f (a) \times f (m) ⩽ 0$ » compare les signes et convient dans les deux cas. (1)

Repère — La dichotomie divise l’amplitude par 2 à chaque passage : il faut $n$ passages avec $\frac{b - a}{2^{n}} ⩽ e$ .

Ce contrôle de maths complémentaires (option tle) Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires » : 5 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Calculs de limites ★★/ 4 pts
Exercice 2 — Asymptotes d’une fonction rationnelle ★★/ 3 pts
Exercice 3 — Tableau de variations et nombre de solutions ★★/ 4 pts
Exercice 4 — Théorème des valeurs intermédiaires et fonction réciproque ★★★/ 5 pts
Exercice 5 — Dichotomie en Python ★★★/ 4 pts

Notions évaluées

Limite en l’infini, limite en un réel, limites des fonctions de référence, opérations sur les limites, formes indéterminées, terme dominant, asymptote horizontale, asymptote verticale, position d’une courbe par rapport à une asymptote, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, fonction continue strictement monotone, fonction réciproque, nombre de solutions de f(x) = k, balayage, dichotomie.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires » ?: 120 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale, soit : limite finie ou infinie d’une fonction en l’infini ou en un réel ; limites des fonctions de référence (puissances, inverse, racine carrée, exponentielle) et opérations ; asymptotes horizontales et verticales ; continuité sur un intervalle ; théorème des valeurs intermédiaires (admis) et cas d’une fonction continue strictement monotone ; fonction réciproque d’une fonction continue strictement monotone ; nombre de solutions d’une équation f(x) = k ; encadrement d’une solution par balayage et par dichotomie (Python).

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