Qu'est-ce que la fonction logarithme népérien en maths complémentaires ?

C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle : pour tout réel x strictement positif, ln x est l'unique réel y tel que e^y = x. Elle est définie sur ]0 ; +∞[, avec ln 1 = 0 et ln e = 1.

Comment dériver ln(ax + b) en Terminale ?

Sur l'intervalle où ax + b > 0, la dérivée de ln(ax + b) est a/(ax + b). Par exemple, la dérivée de ln(3x − 2) est 3/(3x − 2) pour x > 2/3.

Comment résoudre une inéquation avec la fonction logarithme ?

On détermine d'abord l'ensemble où les expressions sous le ln sont strictement positives, puis on utilise la stricte croissance de ln : ln u s, on écrit n ln q > ln s et on change le sens de l'inégalité si l'on divise par ln q négatif (0 < q < 1).

À quoi sert la fonction logarithme en Terminale ?

Elle permet de résoudre les équations où l'inconnue est en exposant : calcul d'un seuil pour une suite géométrique, d'un temps de doublement ou d'une demi-vie. Elle sert aussi à construire les échelles logarithmiques comme le pH ou les décibels.

Quelle différence entre ln et log ?

ln est le logarithme népérien, qui vérifie ln e = 1. log est le logarithme décimal, défini par log x = ln x / ln 10 : il vérifie log 10 = 1 et log(10^n) = n, ce qui le rend pratique pour les échelles en puissances de 10.

Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Fonction logarithme népérien

Q: À quoi sert la fonction logarithme en Terminale ?

Elle permet de résoudre les équations où l'inconnue est en exposant : calcul d'un seuil pour une suite géométrique, d'un temps de doublement ou d'une demi-vie. Elle sert aussi à construire les échelles logarithmiques comme le pH ou les décibels.

Q: Quelle différence entre ln et log ?

ln est le logarithme népérien, qui vérifie ln e = 1. log est le logarithme décimal, défini par log x = ln x / ln 10 : il vérifie log 10 = 1 et log(10^n) = n, ce qui le rend pratique pour les échelles en puissances de 10.

Définition comme réciproque de l'exponentielle, propriétés algébriques, dérivée, variations, limites et résolution d'équations et d'inéquations

À propos de cette page

Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Fonction logarithme népérien » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel : ln, réciproque de l'exponentielle, Propriétés algébriques du logarithme, Dérivée de ln et de ln(ax + b), variations, Limites et courbe de la fonction logarithme. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).

L'essentiel : ln, réciproque de l'exponentielle

Définition. Pour tout réel

x > 0

, l'équation

e^{y} = x

admet une unique solution réelle

y

. On la note

\ln x

: c'est le logarithme népérien de

x

. La fonction

\ln

, définie sur

] 0; + \infty [

, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Équivalence fondamentale. Pour tout réel

x > 0

et tout réel

y

y = \ln x \Leftrightarrow x = e^{y} .

Conséquences :

\ln 1 = 0

;

\ln e = 1

;

e^{\ln x} = x

pour

x > 0

;

\ln (e^{y}) = y

pour tout réel

y

Exemple.

\ln (e^{- 6}) = - 6

;

e^{\ln 0, 4} = 0, 4

;

\ln x = - 1 \Leftrightarrow x = e^{- 1} \approx 0, 368

Courbes. Dans un repère orthonormé, les courbes de

\ln

et de

\exp

sont symétriques par rapport à la droite d'équation

y = x

: le point

(a; b)

est sur la courbe de

\exp

si et seulement si

(b; a)

est sur celle de

\ln

Propriétés algébriques du logarithme

Propriété fondamentale. Pour tous réels

a > 0

b > 0

\ln (a b) = \ln a + \ln b

.
Justification :

e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln a} \times e^{\ln b} = a b

, donc

\ln a + \ln b

est bien le logarithme de

a b

Propriété ( $a > 0$ , $b > 0$ , $n$ entier relatif)	Exemple
$\ln (\frac{1}{a}) = - \ln a$	$\ln \frac{1}{32} = - \ln (2^{5}) = - 5 \ln 2$
$\ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$	$\ln \frac{5}{4} = \ln 5 - 2 \ln 2$
$\ln (a^{n}) = n \ln a$	$\ln 12 = \ln (2^{2} \times 3) = 2 \ln 2 + \ln 3 \approx 2, 485$
$\ln \sqrt{a} = \frac{1}{2} \ln a$	$\ln \sqrt{10} = \frac{1}{2} \ln 10 \approx 1, 151$

Il n'existe aucune formule pour

\ln (a + b)

, ni pour le produit

\ln a \times \ln b

Dérivée de ln et de ln(ax + b), variations

Dérivée. La fonction

\ln

est dérivable sur

] 0; + \infty [

et, pour tout

x > 0

(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}

Variations et signe. Comme

\frac{1}{x} > 0

pour

x > 0

, la fonction

\ln

est strictement croissante sur

] 0; + \infty [

. Pour

a > 0

b > 0

\ln a = \ln b \Leftrightarrow a = b

\ln a < \ln b \Leftrightarrow a < b

.
Signe :

\ln x < 0

sur

] 0; 1 [

\ln 1 = 0

\ln x > 0

sur

] 1; + \infty [

Dérivée de $\ln (a x + b)$ . Soit

a \neq 0

b

deux réels. La fonction

f

définie par

f (x) = \ln (a x + b)

est dérivable sur l'intervalle où

a x + b > 0

, et

f^{'} (x) = \frac{a}{a x + b} .

Plus généralement, si

u

est dérivable et strictement positive,

(\ln u)^{'} = \frac{u^{'}}{u}

Exemple.

f (x) = \ln (3 x - 2)

est définie sur

] \frac{2}{3}; + \infty [

f^{'} (x) = \frac{3}{3 x - 2} > 0

f

y est strictement croissante.

Tangente en 1.

\ln 1 = 0

\ln^{'} (1) = 1

: la tangente à la courbe de

\ln

au point d'abscisse

1

a pour équation

y = x - 1

. La courbe est située sous cette tangente :

\ln x \leq x - 1

pour tout

x > 0

Limites et courbe de la fonction logarithme

Limites.

{lim}_{x \to 0^{+}} \ln x = - \infty

{lim}_{x \to + \infty} \ln x = + \infty

. L'axe des ordonnées (droite d'équation

x = 0

) est asymptote verticale à la courbe.

Limite d'une composée. Quand

x

tend vers

\frac{2}{3}

par valeurs supérieures,

3 x - 2

tend vers

0

par valeurs positives, donc

\ln (3 x - 2)

tend vers

- \infty

Une croissance très lente.

\ln x

tend vers

+ \infty

, mais lentement :

\ln (10^{6}) = 6 \ln 10 \approx 13, 8

. Pour que

\ln x

dépasse

50

, il faut

x > e^{50} \approx 5, 2 \times 10^{21}

Points repères de la courbe.

(e^{- 1}; - 1)

(1; 0)

(e; 1)

. La courbe coupe l'axe des abscisses en

x = 1

uniquement.

Équations et inéquations avec ln

Règles de résolution.
•

\ln u = \ln v \Leftrightarrow u = v

, à condition que

u > 0

v > 0

.
•

\ln u = k \Leftrightarrow u = e^{k}

, pour tout réel

k

.
•

e^{u} = k \Leftrightarrow u = \ln k

k > 0

; aucune solution si

k \leq 0

.
•

\ln u < \ln v \Leftrightarrow u < v

(avec

u > 0

v > 0

) ;

\ln u < k \Leftrightarrow 0 < u < e^{k}

Puissances $q^{n}$ avec $q > 0$ .

q^{n} = e^{n \ln q}

, donc

q^{n} > s \Leftrightarrow n \ln q > \ln s

(pour

s > 0

). On divise ensuite par

\ln q

: le sens de l'inégalité change si $0 < q < 1$ , car alors

\ln q < 0

Exemples.

e^{x} = 7 \Leftrightarrow x = \ln 7 \approx 1, 946

\ln x > 3 \Leftrightarrow x > e^{3} \approx 20, 09

(avec

x > 0

, automatiquement vérifié).

Applications : seuils, doublement, échelles logarithmiques

Temps de doublement. Une grandeur qui augmente de

t %

par période est multipliée par

q = 1 + \frac{t}{100}

à chaque période. Elle a doublé dès que

q^{n} \geq 2

, c'est-à-dire

n \geq \frac{\ln 2}{\ln q}

Exemple. À

5 %

par an :

\frac{\ln 2}{\ln 1, 05} \approx 14, 2

. La grandeur a doublé au bout de 15 ans.

Logarithme décimal. Pour

x > 0

\log x = \frac{\ln x}{\ln 10}

. Il a les mêmes propriétés algébriques que

\ln

, avec

\log 10 = 1

\log (10^{n}) = n

Échelles logarithmiques. Quand une grandeur varie sur plusieurs puissances de 10, on utilise son logarithme : pH

= - \log [H_{3} O^{+}]

; niveau sonore

L = 10 \log \frac{I}{I_{0}}

en décibels. Multiplier la grandeur par

10

ajoute

1

à son logarithme décimal. Sur un axe gradué en échelle logarithmique,

1

10

100

1 000

sont équidistants.

Exemple. Pour

[H_{3} O^{+}] = 2, 5 \times 10^{- 4}

mol/L : pH

= - \log (2, 5 \times 10^{- 4}) = 4 - \log 2, 5 \approx 3, 60

Méthodes

Méthode 1 — Résoudre une équation contenant ln

Déterminer l'ensemble où toutes les expressions sous un $\ln$ sont strictement positives.
Se ramener à $\ln A = \ln B$ ou à $\ln A = k$ grâce aux propriétés algébriques.
Écrire $A = B$ ou $A = e^{k}$ et résoudre.
Ne garder que les solutions appartenant à l'ensemble de l'étape 1.

Exemple rédigé. Résoudre

\ln (4 x - 1) = 2

. L'équation a un sens si

4 x - 1 > 0

, soit

x > \frac{1}{4}

. Alors

4 x - 1 = e^{2}

, donc

x = \frac{e^{2} + 1}{4} \approx 2, 097

, qui est bien supérieur à

\frac{1}{4}

. $S = {\frac{e^{2} + 1}{4}}$ .

Méthode 2 — Déterminer un seuil pour $q^{n}$

Isoler la puissance : $q^{n} < s$ (ou $q^{n} > s$ ).
Appliquer $\ln$ , strictement croissante, qui conserve l'ordre : $n \ln q < \ln s$ .
Diviser par $\ln q$ en tenant compte de son signe (négatif si $0 < q < 1$ ).
Conclure par le plus petit entier qui convient, puis le contrôler.

Exemple rédigé. Plus petit entier

n

tel que

0, 85^{n} < 0, 1

n \ln 0, 85 < \ln 0, 1

. Comme

\ln 0, 85 < 0

n > \frac{\ln 0, 1}{\ln 0, 85} \approx 14, 17

. Donc $n = 15$ . Contrôle :

0, 85^{14} \approx 0, 103

0, 85^{15} \approx 0, 087

Méthode 3 — Étudier une fonction contenant $\ln (a x + b)$

Ensemble de définition : résoudre $a x + b > 0$ .
Dériver avec $(\ln (a x + b))^{'} = \frac{a}{a x + b}$ et réduire au même dénominateur.
Étudier le signe du numérateur (le dénominateur est positif).
Dresser le tableau de variations et calculer les extremums.

Exemple rédigé.

h (x) = \ln (2 x + 1) - x

sur

] - \frac{1}{2}; + \infty [

h^{'} (x) = \frac{2}{2 x + 1} - 1 = \frac{1 - 2 x}{2 x + 1}

. Le dénominateur est positif ;

1 - 2 x > 0

pour

x < \frac{1}{2}

. Donc

h

est croissante sur

] - \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]

, décroissante sur

[\frac{1}{2}; + \infty [

, de maximum $h (\frac{1}{2}) = \ln 2 - \frac{1}{2} \approx 0, 193$ .

Pièges et erreurs classiques

Oublier l'ensemble de définition.

\ln (x - 5)

n'existe que pour

x > 5

. Une « solution » trouvée hors de cet ensemble doit être rejetée.

Inventer des formules.

\ln (a + b) \neq \ln a + \ln b

\ln a \times \ln b \neq \ln (a b)

. Seuls le produit, le quotient et la puissance se transforment.

Diviser par un logarithme négatif sans changer le sens. Si

0 < q < 1

, alors

\ln q < 0

: diviser par

\ln q

inverse l'inégalité.

Écrire le logarithme d'un nombre négatif.

e^{x} = - 2

n'a pas de solution : on n'écrit jamais

x = \ln (- 2)

Confondre signe de $x$ et signe de $\ln x$ .

\ln x < 0

signifie

0 < x < 1

, et non

x < 0

En bref

$\ln$ est définie sur $] 0; + \infty [$ : $y = \ln x \Leftrightarrow x = e^{y}$ ; $\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$ .
$\ln (a b) = \ln a + \ln b$ , $\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b$ , $\ln (a^{n}) = n \ln a$ .
$(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ et $(\ln (a x + b))^{'} = \frac{a}{a x + b}$ ; $\ln$ est strictement croissante.
$\ln x \to - \infty$ en $0^{+}$ , $\ln x \to + \infty$ en $+ \infty$ .
Équation ou inéquation : ensemble de définition d'abord ; $q^{n} > s \Leftrightarrow n \ln q > \ln s$ , sens inversé si l'on divise par $\ln q < 0$ .
Doublement : $n \geq \frac{\ln 2}{\ln q}$ ; $\log x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ pour les échelles logarithmiques.

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