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Convexité

Fonction convexe ou concave par les cordes et les tangentes, dérivée seconde, points d’inflexion, position par rapport à une tangente, lecture sur la courbe de f′, coût marginal et rendements.

À propos de cette page

Ce cours de maths complémentaires de Terminale sur la convexité suit six parties : fonction convexe ou concave définie par les cordes et les tangentes, dérivée seconde et caractérisation par f″, points d’inflexion, position d’une courbe par rapport à une tangente, lecture de la convexité sur la courbe de f, de f′ ou le signe de f″, et interprétation économique (coût marginal, rendements croissants et décroissants).

Fonction convexe, fonction concave : sécantes et tangentes

Ce qu’il faut savoir

Sécante, corde. Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de la courbe $𝒞_{f}$ , la droite $(A B)$ est une sécante à la courbe et le segment $[A B]$ est une corde.

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous points $A$ et $B$ de $𝒞_{f}$ d’abscisses dans $I$ , la courbe est située au-dessous de la corde $[A B]$ entre $A$ et $B$ . $f$ est concave sur $I$ si, entre $A$ et $B$ , la courbe est située au-dessus de chacune de ses cordes.

Avec les tangentes (équivalence admise, $f$ dérivable sur $I$ ). $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $𝒞_{f}$ est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$ ; $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $𝒞_{f}$ est située au-dessous de chacune de ses tangentes.

Rappel de 1^re. La tangente à $𝒞_{f}$ au point d’abscisse $a$ a pour équation $y = f' (a) (x - a) + f (a)$ .

Fonctions de référence.

Fonction	convexe sur	concave sur
$x \mapsto x^{2}$	$ℝ$	—
$x \mapsto x^{3}$	$[0; + \infty [$	$] - \infty; 0]$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	$] 0; + \infty [$	$] - \infty; 0 [$
$x \mapsto \sqrt{x}$	—	$[0; + \infty [$
$x \mapsto e^{x}$	$ℝ$	—
$x \mapsto \ln x$	—	$] 0; + \infty [$
$x \mapsto m x + p$ (affine)	$ℝ$	$ℝ$

Une fonction convexe a une courbe « en cuvette », une fonction concave une courbe « en dôme ». Une fonction affine est à la fois convexe et concave : sa droite est confondue avec ses cordes et ses tangentes.

Exemples

Au-dessous d’une corde. La fonction carré est convexe sur $ℝ$ . Prenons $A (1; 1)$ et $B (4; 16)$ sur sa courbe. Le coefficient directeur de $(A B)$ vaut $\frac{16 - 1}{4 - 1} = 5$ , donc $(A B) : y = 5 x - 4$ . Pour $x \in [1; 4]$ : $(5 x - 4) - x^{2} = - (x - 1) (x - 4)$ ; or $x - 1 ⩾ 0$ et $x - 4 ⩽ 0$ , donc cette différence est positive ou nulle. Entre $A$ et $B$ , la parabole est bien au-dessous de la corde.

Au-dessus d’une tangente. La fonction inverse $g (x) = \frac{1}{x}$ est convexe sur $] 0; + \infty [$ . On a $g (2) = \frac{1}{2}$ et $g' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ , donc $g' (2) = - \frac{1}{4}$ et la tangente en $2$ est $T : y = - \frac{1}{4} (x - 2) + \frac{1}{2}$ , soit $y = 1 - \frac{x}{4}$ . Pour $x > 0$ : $\frac{1}{x} - (1 - \frac{x}{4})$ $= \frac{4 - 4 x + x^{2}}{4 x}$ $= \frac{(x - 2)^{2}}{4 x} ⩾ 0$ . La courbe est au-dessus de $T$ , qu’elle touche seulement au point d’abscisse $2$ .

Réflexe — Sur une courbe, je reconnais la convexité à sa forme (cuvette ou dôme). Pour l’exploiter : convexe, la courbe est au-dessous de ses cordes et au-dessus de ses tangentes ; concave, c’est l’inverse. Une tangente donne donc une inégalité « gratuite » dès que la convexité est connue.

Attention — « Au-dessous de la corde » ne vaut qu’entre $A$ et $B$ : en dehors, la courbe d’une fonction convexe passe au-dessus de la droite $(A B)$ . Et convexe ne veut pas dire croissante : la fonction carré est convexe sur $ℝ$ mais décroissante sur $] - \infty; 0]$ .

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Dérivée seconde et convexité

Ce qu’il faut savoir

Dérivée seconde. Si $f$ est dérivable sur $I$ et si sa dérivée $f'$ est elle-même dérivable sur $I$ , on dit que $f$ est deux fois dérivable sur $I$ et l’on note $f ″ = (f')^{'}$ la dérivée seconde de $f$ .

Caractérisations (admises). Soit $f$ dérivable sur $I$ : $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f'$ est croissante sur $I$ ; concave si et seulement si $f'$ est décroissante sur $I$ .

Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$ : $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f ″ (x) ⩾ 0$ pour tout $x$ de $I$ ; concave si et seulement si $f ″ (x) ⩽ 0$ pour tout $x$ de $I$ .

Le lien : $f ″$ est la dérivée de $f'$ , donc son signe donne le sens de variation de $f'$ .

Dérivées à connaître (rappels, voir Dérivation : approfondissement) : $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ ; ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ ; $(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ ; ${(e^{a x + b})}^{'} = a e^{a x + b}$ ; $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ ; $(u v)^{'} = u' v + u v'$ ; ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$ .

Exemples

Un polynôme. $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ sur $ℝ$ . $f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$ , puis $f ″ (x) = 12 x - 18$ . Or $f ″ (x) ⩾ 0 ⟺ x ⩾ \frac{3}{2}$ . Donc $f$ est concave sur $] - \infty; \frac{3}{2}]$ et convexe sur $[\frac{3}{2}; + \infty [$ .

Avec l’exponentielle. $g (x) = (x - 1) e^{x}$ sur $ℝ$ . Par la dérivée d’un produit : $g' (x) = e^{x} + (x - 1) e^{x} = x e^{x}$ , puis $g ″ (x) = e^{x} + x e^{x} = (x + 1) e^{x}$ . Comme $e^{x} > 0$ , $g ″ (x)$ a le signe de $x + 1$ : $g$ est concave sur $] - \infty; - 1]$ et convexe sur $[- 1; + \infty [$ .

Avec le logarithme. $h (x) = 2 x + 5 \ln x$ sur $] 0; + \infty [$ . $h' (x) = 2 + \frac{5}{x}$ , puis $h ″ (x) = - \frac{5}{x^{2}}$ . Pour tout $x > 0$ , $h ″ (x) < 0$ : $h$ est concave sur $] 0; + \infty [$ , bien qu’elle soit croissante ( $h' (x) > 0$ ).

Réflexe — Je dérive deux fois, je factorise $f ″ (x)$ en mettant à part les facteurs toujours positifs ( $e^{x}$ , un carré, $x$ sur $] 0; + \infty [$ ), je dresse le tableau de signes de $f ″$ , puis je conclus en nommant les intervalles : convexe là où $f ″ ⩾ 0$ , concave là où $f ″ ⩽ 0$ .

Attention — Le signe de $f ″$ ne donne pas les variations de $f$ : c’est le rôle du signe de $f'$ . Pour $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ , $f' (x) = 6 (x - 1) (x - 2)$ : $f$ est croissante sur $] - \infty; 1]$ et décroissante sur $[1; 2]$ , alors qu’elle est concave sur tout l’intervalle $] - \infty; \frac{3}{2}]$ .

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Points d’inflexion

Ce qu’il faut savoir

Définition. Soit $f$ dérivable sur $I$ et $a$ un réel de $I$ . Le point $A (a; f (a))$ est un point d’inflexion de $𝒞_{f}$ si la courbe change de convexité en $A$ : concave avant et convexe après, ou l’inverse. En un point d’inflexion, la courbe traverse sa tangente.

Propriété. Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$ , $𝒞_{f}$ admet un point d’inflexion d’abscisse $a$ si et seulement si $f ″$ s’annule en $a$ en changeant de signe.

L’annulation seule ne suffit pas : il faut le changement de signe.

Exemples

Un point d’inflexion. Pour $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ , on a vu que $f ″ (x) = 12 x - 18$ : elle s’annule en $\frac{3}{2}$ , négative avant et positive après. La courbe admet donc un point d’inflexion d’abscisse $\frac{3}{2}$ . Son ordonnée : $f (\frac{3}{2})$ $= 2 \times \frac{27}{8} - 9 \times \frac{9}{4} + 12 \times \frac{3}{2}$ $= \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 18$ $= \frac{9}{2}$ . Le point est $I (\frac{3}{2}; \frac{9}{2})$ ; la tangente $T$ en $I$ , de coefficient directeur $f' (\frac{3}{2}) = - \frac{3}{2}$ , traverse la courbe (figure).

Deux points d’inflexion. $k (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 3$ . $k ″ (x)$ $= 12 x^{2} - 12$ $= 12 (x - 1) (x + 1)$ : ce trinôme est positif à l’extérieur de ses racines $- 1$ et $1$ , négatif entre elles. $k ″$ change de signe en $- 1$ et en $1$ ; comme $k (- 1) = k (1) = 1 - 6 + 3 = - 2$ , les points d’inflexion sont $(- 1; - 2)$ et $(1; - 2)$ .

Contre-exemple à connaître. Pour $f (x) = x^{4}$ , $f ″ (x) = 12 x^{2}$ et $f ″ (0) = 0$ . Mais $f ″$ reste positive de part et d’autre de $0$ : $f$ est convexe sur $ℝ$ et l’origine n’est pas un point d’inflexion.

Réflexe — Pour trouver les points d’inflexion : je résous $f ″ (x) = 0$ , je vérifie dans le tableau de signes de $f ″$ qu’il y a bien un changement de signe, puis je calcule l’ordonnée avec $f$ (et non avec $f ″$ ).

Attention — « $f ″ (a) = 0$ » ne prouve pas l’inflexion (contre-exemple $x^{4}$ ). Et la tangente en un point d’inflexion n’est pas forcément horizontale : ici elle a pour coefficient directeur $- \frac{3}{2}$ .

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Position d’une courbe par rapport à une tangente

Ce qu’il faut savoir

Méthode générale. Pour situer $𝒞_{f}$ par rapport à sa tangente $T : y = f' (a) (x - a) + f (a)$ , on étudie le signe de la différence $d (x)$ $= f (x) - [f' (a) (x - a) + f (a)]$ :

• $d (x) ⩾ 0$ : la courbe est au-dessus de $T$ ; • $d (x) ⩽ 0$ : elle est au-dessous ; • $d$ change de signe en $a$ : la courbe traverse $T$ .

Comme $d (a) = 0$ , l’expression $d (x)$ se factorise par $(x - a)$ , souvent par $(x - a)^{2}$ ou $(x - a)^{3}$ pour un polynôme.

Raccourci par la convexité. Si $f$ est convexe sur $I$ , $𝒞_{f}$ est au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$ , sans aucun calcul ; si $f$ est concave, elle est au-dessous. Exemple : la fonction exponentielle est convexe sur $ℝ$ et sa tangente en $0$ a pour équation $y = x + 1$ , donc $e^{x} ⩾ x + 1$ pour tout réel $x$ .

Exemples

Un carré. $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ et $a = 1$ . $f (1) = 2$ et $f' (x) = 6 x - 2$ , donc $f' (1) = 4$ : $T : y = 4 (x - 1) + 2$ , soit $y = 4 x - 2$ . Alors $d (x)$ $= 3 x^{2} - 2 x + 1 - (4 x - 2)$ $= 3 x^{2} - 6 x + 3$ $= 3 (x - 1)^{2} ⩾ 0$ : la courbe est au-dessus de $T$ , avec un seul point de contact $(1; 2)$ . C’est cohérent : $f ″ (x) = 6 > 0$ , $f$ est convexe.

Un cube. $f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 7 x$ et $a = 1$ . $f (1) = 3$ et $f' (x) = 6 x^{2} - 12 x + 7$ , donc $f' (1) = 1$ : $T : y = (x - 1) + 3$ , soit $y = x + 2$ . Alors $d (x)$ $= 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x - 2$ $= 2 (x - 1)^{3}$ , qui a le signe de $x - 1$ : la courbe est au-dessous de $T$ sur $] - \infty; 1 [$ et au-dessus sur $] 1; + \infty [$ . Elle traverse sa tangente : le point $(1; 3)$ est un point d’inflexion (en effet $f ″ (x) = 12 x - 12$ change de signe en $1$ ).

Réflexe — Je forme $d (x)$ , je le factorise par une puissance de $(x - a)$ (identité remarquable, ou développement de la forme donnée par l’énoncé), j’étudie son signe et je conclus : au-dessus, au-dessous, ou traversée. Si la convexité est déjà connue sur tout l’intervalle, je conclus directement.

Attention — Le raccourci ne vaut que sur un intervalle où $f$ est convexe (ou concave) d’un seul tenant : autour d’un point d’inflexion, la courbe passe d’un côté à l’autre de sa tangente, et il faut étudier le signe de $d (x)$ .

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Lire la convexité : courbe de f, de f′ ou signe de f″

Ce qu’il faut savoir

Trois supports peuvent être donnés ; sur chacun, la convexité se lit différemment.

Support donné	Convexe / concave	Point d’inflexion
Courbe de $f$	en cuvette / en dôme	la forme s’inverse, la courbe traverse sa tangente
Courbe ou variations de $f'$	$f'$ croissante / décroissante	extremum de $f'$
Courbe ou signe de $f ″$	$f ″ ⩾ 0$ / $f ″ ⩽ 0$	$f ″$ s’annule en changeant de signe

Sur la courbe de $f'$ , il y a deux lectures : son signe donne les variations de $f$ , son sens de variation donne la convexité de $f$ .

Exemples

Variations de $f'$ . Une fonction $f$ est deux fois dérivable sur $[- 4; 5]$ ; sa dérivée $f'$ est strictement croissante sur $[- 4; 2]$ et strictement décroissante sur $[2; 5]$ , avec $f' (2) = 6$ .

$x$	$- 4$		$2$		$5$
$f'$		↗	$6$	↘

Donc $f$ est convexe sur $[- 4; 2]$ , concave sur $[2; 5]$ , et sa courbe a un point d’inflexion d’abscisse $2$ , où la tangente a pour coefficient directeur $f' (2) = 6$ .

Signe de $f ″$ . Une fonction $g$ est deux fois dérivable sur $[- 3; 4]$ et $g ″$ ne s’annule qu’en $- 1$ et en $2$ :

$x$	$- 3$		$- 1$		$2$		$4$
$g ″ (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$-$

$g$ est convexe sur $[- 3; - 1]$ et concave sur $[- 1; 4]$ . Un seul point d’inflexion, d’abscisse $- 1$ : en $2$ , $g ″$ s’annule sans changer de signe.

Courbe de $f$ . Sur la figure du cas « Points d’inflexion », la courbe est en dôme avant $I$ et en cuvette après : on lit concave puis convexe.

Réflexe — Je commence par lire le nom de la courbe donnée : $f$ , $f'$ ou $f ″$ . Pour $f'$ , je regarde si elle monte ou descend (convexité de $f$ ), et séparément si elle est au-dessus ou au-dessous de l’axe (variations de $f$ ).

Attention — Une courbe de $f'$ située au-dessus de l’axe des abscisses signifie que $f$ est croissante, pas qu’elle est convexe. Confondre les deux supports est l’erreur la plus fréquente de ce chapitre.

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Interpréter : coût marginal, rendements et vitesse de variation

Ce qu’il faut savoir

Soit $C (q)$ le coût total de production de $q$ unités. Sa dérivée $C' (q)$ est le coût marginal : le coût approché de l’unité supplémentaire produite.

Courbe de $C$	Coût marginal $C'$	Rendements
concave ( $C ″ ⩽ 0$ )	décroissant	croissants
point d’inflexion ( $C ″$ change de signe)	minimal (s’il décroît puis croît)	seuil entre les deux
convexe ( $C ″ ⩾ 0$ )	croissant	décroissants

Plus généralement, $f'$ est la vitesse de variation de $f$ . Une fonction croissante et convexe augmente de plus en plus vite ; croissante et concave, elle augmente de moins en moins vite. Au point d’inflexion, la vitesse $f'$ atteint un maximum ou un minimum local.

De même, une fonction d’utilité (de satisfaction) concave traduit une satisfaction qui augmente de moins en moins : chaque unité consommée apporte moins que la précédente.

Exemples

Un coût de production. Un fabricant de vélos produit $q$ dizaines de vélos par mois, $q \in [0; 15]$ , pour un coût total $C (q) = 0, 5 q^{3} - 9 q^{2} + 70 q + 100$ (en centaines d’euros). $C' (q) = 1, 5 q^{2} - 18 q + 70$ a pour discriminant $Δ$ $= 324 - 4 \times 1, 5 \times 70$ $= 324 - 420$ $= - 96 < 0$ : $C' (q) > 0$ , le coût total augmente. $C ″ (q) = 3 q - 18$ est négative sur $[0; 6]$ et positive sur $[6; 15]$ : rendements croissants jusqu’à $6$ dizaines de vélos, décroissants ensuite. Le coût marginal est minimal pour $q = 6$ : $C' (6) = 1, 5 \times 36 - 108 + 70 = 16$ centaines d’euros par dizaine de vélos. Le point d’inflexion est $(6; 304)$ , car $C (6) = 108 - 324 + 420 + 100 = 304$ .

Lire une phrase. « Le nombre d’inscrits augmente de moins en moins vite » : la fonction est croissante ( $f' ⩾ 0$ ) et concave ( $f'$ décroissante).

Réflexe — Je traduis le vocabulaire : « coût marginal » ou « vitesse » = dérivée $f'$ ; « de moins en moins vite » = $f'$ décroissante = concave ; « le coût marginal est minimal » ou « la croissance est la plus rapide » = point d’inflexion.

Attention — « Rendements décroissants » ne signifie pas que le coût total diminue : $C$ reste croissante, c’est le coût marginal $C'$ qui augmente. De même, une fonction concave peut très bien rester croissante.

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Pour aller plus loin

Dériver $e^{u}$ , $\ln u$ , $u^{2}$ . Les formules de dérivation utilisées ici pour calculer $f'$ puis $f ″$ sont démontrées et travaillées dans le chapitre Dérivation : approfondissement.

L’inégalité $\ln x ⩽ x - 1$ , qui traduit la concavité du logarithme par rapport à sa tangente en $1$ , est démontrée dans le chapitre Fonction logarithme népérien.

Courbe de Lorenz et indice de Gini. La courbe de Lorenz d’une répartition des revenus est modélisée par une fonction convexe (voir les problèmes) ; l’indice de Gini, qui mesure l’inégalité, se calcule avec une aire : chapitre Calcul intégral.

Pour aller plus loin. Les inégalités de convexité et leurs démonstrations sont approfondies dans le chapitre Convexité de spécialité maths.

À retenir

Convexe sur $I$ : la courbe est au-dessous de ses cordes et au-dessus de ses tangentes ; concave : l’inverse.
$f$ convexe $⟺$ $f'$ croissante $⟺$ $f ″ ⩾ 0$ ; $f$ concave $⟺$ $f'$ décroissante $⟺$ $f ″ ⩽ 0$ .
Point d’inflexion : la courbe change de convexité et traverse sa tangente ; $f ″$ s’annule en changeant de signe ( $x^{4}$ en $0$ n’en est pas un).
Position par rapport à $T : y = f' (a) (x - a) + f (a)$ : signe de $d (x) = f (x) - y_{T}$ , factorisé par une puissance de $(x - a)$ .
Courbe de $f'$ : son signe donne les variations de $f$ , son sens de variation donne la convexité de $f$ .
Coût concave : coût marginal décroissant, rendements croissants ; convexe : rendements décroissants ; au point d’inflexion, le coût marginal est minimal.

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’une fonction convexe ?

Une fonction est convexe sur un intervalle si, entre deux points quelconques de sa courbe, la courbe est au-dessous de la corde qui les joint. Pour une fonction dérivable, c’est équivalent (résultat admis) à : la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes. Concave : c’est l’inverse.

Comment étudier la convexité avec la dérivée seconde ?

On calcule f′ puis f″ = (f′)′, on factorise f″(x) et on dresse son tableau de signes : f est convexe là où f″ ≥ 0, concave là où f″ ≤ 0. Cela vient de ce que f est convexe si et seulement si f′ est croissante.

Comment trouver un point d’inflexion ?

On résout f″(x) = 0 et on vérifie que f″ change de signe en cette valeur ; l’ordonnée se calcule avec f. Si f″ s’annule sans changer de signe, comme x⁴ en 0, il n’y a pas de point d’inflexion. En un point d’inflexion, la courbe traverse sa tangente.

Comment savoir si une courbe est au-dessus ou au-dessous d’une tangente ?

On étudie le signe de d(x) = f(x) − [f′(a)(x − a) + f(a)], en le factorisant par une puissance de (x − a). Si la fonction est convexe sur l’intervalle, la courbe est directement au-dessus de toutes ses tangentes ; concave, au-dessous.

Comment lire la convexité sur la courbe de la dérivée ?

Sur la courbe de f′, c’est son sens de variation qui compte : f′ croissante donne f convexe, f′ décroissante donne f concave, un extremum de f′ donne un point d’inflexion. Le signe de f′, lui, donne les variations de f.

Que signifient rendements croissants et décroissants ?

Le coût marginal est la dérivée C′ du coût total. Si C est concave, C′ décroît : chaque unité coûte moins cher que la précédente, ce sont des rendements croissants. Si C est convexe, C′ croît : rendements décroissants. Au point d’inflexion, le coût marginal est minimal.

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