Comment déterminer la convexité d'une fonction ?

On étudie le signe de la dérivée seconde f'' : si f''(x) > 0 la courbe est convexe, si f''(x) < 0 elle est concave.

Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?

Un point d'inflexion est un point où la courbe change de sens de courbure, c'est-à-dire où f'' s'annule en changeant de signe.

Quelle est la différence entre convexe et concave ?

Une courbe est convexe (tournée vers le bas) quand f'' > 0, concave (tournée vers le haut) quand f'' < 0.

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Convexité

Q: Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?

Un point d'inflexion est un point où la courbe change de sens de courbure, c'est-à-dire où f'' s'annule en changeant de signe.

Q: Quelle est la différence entre convexe et concave ?

Une courbe est convexe (tournée vers le bas) quand f'' > 0, concave (tournée vers le haut) quand f'' < 0.

Convexité, concavité et points d'inflexion — étude via la dérivée seconde (programme Maths complémentaires Tle)

À propos de cette page

Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Convexité » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : dérivabilité et sens de variation, Définition géométrique de la convexité, Dérivée seconde et convexité, Points d'inflexion. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).

Rappels : dérivabilité et sens de variation

En Terminale, on suppose que les fonctions étudiées sont deux fois dérivables sur un intervalle $I$.

Si $f$ est dérivable sur $I$, la dérivée $f'$ renseigne sur le sens de variation de $f$ :

$f'(x) \gt 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ est strictement croissante sur $I$
$f'(x) \lt 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ est strictement décroissante sur $I$

La dérivée seconde $f''$ est la dérivée de $f'$ : elle renseigne sur les variations de $f'$ et sur la courbure du graphe.

Notation. On note $f''$ ou $\dfrac{d^2f}{dx^2}$. Si $f(x)=x^3$, alors $f'(x)=3x^2$ et $f''(x)=6x$.

Définition géométrique de la convexité

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

$f$ est convexe sur $I$ si, pour tous $a, b \in I$, le segment $[AB]$ (où $A=(a,f(a))$ et $B=(b,f(b))$) est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$.
$f$ est concave sur $I$ si le segment $[AB]$ est en dessous de la courbe.

Intuition visuelle. Une courbe convexe ressemble à un « U » (ouverte vers le haut comme $x^2$) ; une courbe concave ressemble à un « ∩ » (ouverte vers le bas comme $-x^2$).

En bleu : $f(x)=x^2$ (convexe, forme U) — en rouge : $g(x)=-x^2$ (concave, forme ∩)

Attention ! En France, le terme « convexe » correspond à ce que certains auteurs anglophones appellent « concave up ». Ne pas confondre les deux conventions.

Dérivée seconde et convexité

Théorème. Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$.

$f$ est convexe sur $I$ $\Longleftrightarrow$ $f''(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$
$f$ est concave sur $I$ $\Longleftrightarrow$ $f''(x) \leq 0$ pour tout $x \in I$

Justification intuitive : si $f'' \gt 0$, alors $f'$ est croissante, ce qui signifie que la pente de la tangente augmente : la courbe se « redresse » vers le haut et est convexe.

Signe de $f''(x)$	Variation de $f'$	Courbure
$f''(x) \gt 0$	$f'$ croissante	Convexe (forme U)
$f''(x) \lt 0$	$f'$ décroissante	Concave (forme ∩)
$f''(x) = 0$	$f'$ stationnaire	Point d'inflexion éventuel

Exemple. $f(x) = x^3 - 3x$
$f'(x) = 3x^2 - 3$, $f''(x) = 6x$.
• $f''(x) \gt 0 \Leftrightarrow x \gt 0$ : $f$ est convexe sur $]0;+\infty[$.
• $f''(x) \lt 0 \Leftrightarrow x \lt 0$ : $f$ est concave sur $]-\infty;0[$.

Points d'inflexion

Définition. Un point $A = (x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ si la courbe traverse sa tangente en $A$, c'est-à-dire si $f$ change de sens de courbure en $x_0$.

Condition nécessaire. Si $A$ est un point d'inflexion, alors $f''(x_0) = 0$.
Condition suffisante. Si $f''(x_0) = 0$ et $f''$ change de signe en $x_0$, alors $A$ est un point d'inflexion.

Attention ! $f''(x_0) = 0$ seul ne suffit pas : il faut que $f''$ change de signe. Exemple : $f(x)=x^4$, $f''(0)=0$ mais $f''$ ne change pas de signe, donc $O$ n'est pas un point d'inflexion.

La courbe $f(x)=x^3$ traverse sa tangente horizontale en $O(0,0)$ : c'est un point d'inflexion.

Méthode pour chercher les points d'inflexion :

Calculer $f''(x)$.
Résoudre $f''(x)=0$.
Vérifier que $f''$ change de signe de part et d'autre de la solution.
Calculer les coordonnées du point : $(x_0, f(x_0))$.

Tableau de convexité

On complète le tableau de variations classique par une ligne de convexité indiquant les sens de courbure.

Exemple complet. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$
$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$
$f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$f''(x)$		$-$	$0$	$+$
Convexité		Concave (∩)	Inflexion	Convexe (U)

Point d'inflexion en $x=1$ : $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$, soit le point $I(1, -1)$.

Astuce. Dessiner d'abord le tableau de signe de $f''$, puis en déduire la convexité de $f$. La ligne de convexité se lit directement.

Exemples fondamentaux

Fonction	$f''(x)$	Convexité
$f(x)=x^2$	$f''(x)=2 \gt 0$	Convexe sur $\mathbb{R}$
$f(x)=-x^2$	$f''(x)=-2 \lt 0$	Concave sur $\mathbb{R}$
$f(x)=e^x$	$f''(x)=e^x \gt 0$	Convexe sur $\mathbb{R}$
$f(x)=\ln x$	$f''(x)=-\frac{1}{x^2} \lt 0$	Concave sur $]0;+\infty[$
$f(x)=x^3$	$f''(x)=6x$	Concave sur $]-\infty;0[$, convexe sur $]0;+\infty[$

Calcul pour $f(x)=e^x$. $f'(x)=e^x$, $f''(x)=e^x \gt 0$ pour tout $x$ : la courbe exponentielle est toujours convexe. Cela implique que $e^x \geq x+1$ pour tout $x$ (la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes).

La courbe $e^x$ est toujours au-dessus de la droite $y=x+1$ (tangente en $0$) : illustration de $e^x \geq x+1$.

Lien avec les tangentes

Propriété fondamentale. Si $f$ est convexe sur $I$, alors la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$. Autrement dit, pour tous $x, a \in I$ :
$$f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$$Si $f$ est concave sur $I$, la courbe est en dessous de toutes ses tangentes.

Application. Puisque $f(x)=e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$, la tangente en $a=0$ est $y = x+1$, et on a :
$$e^x \geq x + 1 \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}$$Cette inégalité classique se démontre par convexité.

Méthode pour montrer une inégalité par convexité. Pour prouver $f(x) \geq g(x)$ : étudier $h=f-g$, calculer $h''$, conclure sur la convexité et la position relative.

Attention au point d'inflexion ! En un point d'inflexion $A$, la tangente traverse la courbe : la courbe n'est ni au-dessus ni en dessous de la tangente en ce point.

À retenir — Convexité

$f''(x) \gt 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ convexe sur $I$ (forme U, courbe au-dessus de ses tangentes).
$f''(x) \lt 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ concave sur $I$ (forme ∩, courbe en dessous de ses tangentes).
Point d'inflexion en $x_0$ : $f''(x_0)=0$ et $f''$ change de signe en $x_0$.
Méthode : calculer $f''$, étudier son signe, dresser le tableau de convexité.

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