À propos de cette page
Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Convexité » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : dérivabilité et sens de variation, Définition géométrique de la convexité, Dérivée seconde et convexité, Points d'inflexion. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).
Au programme
1 · Rappels : dérivabilité et sens de variation
2 · Définition géométrique de la convexité
3 · Dérivée seconde et convexité
4 · Points d'inflexion
5 · Tableau de convexité
6 · Exemples fondamentaux
7 · Lien avec les tangentes
1Rappels : dérivabilité et sens de variation
En Terminale, on suppose que les fonctions étudiées sont deux fois dérivables sur un intervalle $I$.
Si $f$ est dérivable sur $I$, la dérivée $f'$ renseigne sur le sens de variation de $f$ :
- $f'(x) > 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ est strictement croissante sur $I$
- $f'(x) < 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ est strictement décroissante sur $I$
La dérivée seconde $f''$ est la dérivée de $f'$ : elle renseigne sur les variations de $f'$ et sur la courbure du graphe.
Notation. On note $f''$ ou $\dfrac{d^2f}{dx^2}$. Si $f(x)=x^3$, alors $f'(x)=3x^2$ et $f''(x)=6x$.
2Définition géométrique de la convexité
Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
- $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous $a, b \in I$, le segment $[AB]$ (où $A=(a,f(a))$ et $B=(b,f(b))$) est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$.
- $f$ est concave sur $I$ si le segment $[AB]$ est en dessous de la courbe.
Intuition visuelle. Une courbe convexe ressemble à un « U » (ouverte vers le haut comme $x^2$) ; une courbe concave ressemble à un « ∩ » (ouverte vers le bas comme $-x^2$).
En bleu : $f(x)=x^2$ (convexe, forme U) — en rouge : $g(x)=-x^2$ (concave, forme ∩)
Attention ! En France, le terme « convexe » correspond à ce que certains auteurs anglophones appellent « concave up ». Ne pas confondre les deux conventions.
3Dérivée seconde et convexité
Théorème. Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$.
- $f$ est convexe sur $I$ $\Longleftrightarrow$ $f''(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$
- $f$ est concave sur $I$ $\Longleftrightarrow$ $f''(x) \leq 0$ pour tout $x \in I$
Justification intuitive : si $f'' > 0$, alors $f'$ est croissante, ce qui signifie que la pente de la tangente augmente : la courbe se « redresse » vers le haut et est convexe.
| Signe de $f''(x)$ | Variation de $f'$ | Courbure |
|---|
| $f''(x) > 0$ | $f'$ croissante | Convexe (forme U) |
| $f''(x) < 0$ | $f'$ décroissante | Concave (forme ∩) |
| $f''(x) = 0$ | $f'$ stationnaire | Point d'inflexion éventuel |
Exemple. $f(x) = x^3 - 3x$
$f'(x) = 3x^2 - 3$, $f''(x) = 6x$.
• $f''(x) > 0 \Leftrightarrow x > 0$ : $f$ est convexe sur $]0;+\infty[$.
• $f''(x) < 0 \Leftrightarrow x < 0$ : $f$ est concave sur $]-\infty;0[$.
4Points d'inflexion
Définition. Un point $A = (x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ si la courbe traverse sa tangente en $A$, c'est-à-dire si $f$ change de sens de courbure en $x_0$.
Condition nécessaire. Si $A$ est un point d'inflexion, alors $f''(x_0) = 0$.
Condition suffisante. Si $f''(x_0) = 0$ et $f''$ change de signe en $x_0$, alors $A$ est un point d'inflexion.
Attention ! $f''(x_0) = 0$ seul ne suffit pas : il faut que $f''$ change de signe. Exemple : $f(x)=x^4$, $f''(0)=0$ mais $f''$ ne change pas de signe, donc $O$ n'est pas un point d'inflexion.
La courbe $f(x)=x^3$ traverse sa tangente horizontale en $O(0,0)$ : c'est un point d'inflexion.
Méthode pour chercher les points d'inflexion :- Calculer $f''(x)$.
- Résoudre $f''(x)=0$.
- Vérifier que $f''$ change de signe de part et d'autre de la solution.
- Calculer les coordonnées du point : $(x_0, f(x_0))$.
5Tableau de convexité
On complète le tableau de variations classique par une ligne de convexité indiquant les sens de courbure.
Exemple complet. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$
$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$
$f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$
| $x$ | $-\infty$ | | $1$ | | $+\infty$ |
|---|
| $f''(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | |
| Convexité | | Concave (∩) | Inflexion | Convexe (U) | |
Point d'inflexion en $x=1$ : $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$, soit le point $I(1, -1)$.
Astuce. Dessiner d'abord le tableau de signe de $f''$, puis en déduire la convexité de $f$. La ligne de convexité se lit directement.
6Exemples fondamentaux
| Fonction | $f''(x)$ | Convexité |
|---|
| $f(x)=x^2$ | $f''(x)=2 > 0$ | Convexe sur $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=-x^2$ | $f''(x)=-2 < 0$ | Concave sur $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=e^x$ | $f''(x)=e^x > 0$ | Convexe sur $\mathbb{R}$ |
| $f(x)=\ln x$ | $f''(x)=-\frac{1}{x^2} < 0$ | Concave sur $]0;+\infty[$ |
| $f(x)=x^3$ | $f''(x)=6x$ | Concave sur $]-\infty;0[$, convexe sur $]0;+\infty[$ |
Calcul pour $f(x)=e^x$. $f'(x)=e^x$, $f''(x)=e^x > 0$ pour tout $x$ : la courbe exponentielle est toujours convexe. Cela implique que $e^x \geq x+1$ pour tout $x$ (la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes).
La courbe $e^x$ est toujours au-dessus de la droite $y=x+1$ (tangente en $0$) : illustration de $e^x \geq x+1$.
7Lien avec les tangentes
Propriété fondamentale. Si $f$ est convexe sur $I$, alors la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$. Autrement dit, pour tous $x, a \in I$ :
$$f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$$Si $f$ est concave sur $I$, la courbe est en dessous de toutes ses tangentes.
Application. Puisque $f(x)=e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$, la tangente en $a=0$ est $y = x+1$, et on a :
$$e^x \geq x + 1 \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}$$Cette inégalité classique se démontre par convexité.
Méthode pour montrer une inégalité par convexité. Pour prouver $f(x) \geq g(x)$ : étudier $h=f-g$, calculer $h''$, conclure sur la convexité et la position relative.
Attention au point d'inflexion ! En un point d'inflexion $A$, la tangente traverse la courbe : la courbe n'est ni au-dessus ni en dessous de la tangente en ce point.
★À retenir
À retenir — Convexité :
• $f''(x) > 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ convexe sur $I$ (forme U, courbe au-dessus de ses tangentes).
• $f''(x) < 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ concave sur $I$ (forme ∩, courbe en dessous de ses tangentes).
• Point d'inflexion en $x_0$ : $f''(x_0)=0$ et $f''$ change de signe en $x_0$.
• Méthode : calculer $f''$, étudier son signe, dresser le tableau de convexité.