Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Convexité

Fonction convexe ou concave par les cordes et les tangentes, dérivée seconde, points d’inflexion, position par rapport à une tangente, lecture sur la courbe de f′, coût marginal et rendements.

À propos de cette page

Quatre problèmes corrigés de maths complémentaires sur la convexité : le coût de production d’une fonderie et ses rendements, la courbe de Lorenz qui mesure les inégalités de revenus, les utilisateurs d’une application et le ralentissement des inscriptions, et une étude complète avec repérage des points d’inflexion par un programme Python.

4 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je traduis l’énoncé : coût marginal, vitesse, accélération, « de moins en moins vite », « part des revenus » deviennent f′, f″, convexe ou concave.
Je calcule f′ puis f″ et j’étudie le signe de f″ (fonction affine, trinôme, facteur positif mis à part).
Je conclus sur la convexité en nommant les intervalles, et je cherche les points d’inflexion (annulation avec changement de signe).
J’exploite : position par rapport à une tangente ou à une corde, extremum de f′ au point d’inflexion.
J’interprète chaque résultat dans la situation, avec son unité.

Problème 1 · Coût de production d’une fonderie★★★Facile

Une fonderie produit chaque jour

q

tonnes d’un alliage, avec

0 ⩽ q ⩽ 25

. Le coût total de production, en milliers d’euros, est modélisé par

C (q) = 0, 2 q^{3} - 6 q^{2} + 80 q

. Le coût marginal est la dérivée

C'

1. Calculer $C' (q)$ et démontrer que $C$ est strictement croissante sur $[0; 25]$ . Contrôle : $C' (0) =$
Rédaction attendue. $C$ est une fonction polynôme, dérivable sur $[0; 25]$ , et $C' (q) = 0, 6 q^{2} - 12 q + 80$ . C’est un trinôme de discriminant $Δ$ $= 144 - 4 \times 0, 6 \times 80$ $= 144 - 192$ $= - 48 < 0$ : il ne s’annule pas et garde le signe de son coefficient dominant $0, 6 > 0$ . Donc $C' (q) > 0$ et $C$ est strictement croissante sur $[0; 25]$ : le coût total augmente avec la production. Contrôle : $C' (0) = 80$ .
2. $C ″ (q)$ s’annule pour $q =$
$C ″ (q) = 1, 2 q - 12$ ; $C ″ (q) = 0 ⟺ q = 10$ . $C ″$ est négative sur $[0; 10]$ et positive sur $[10; 25]$ .
3. Justifier que la courbe de $C$ a un point d’inflexion et donner son ordonnée : milliers d’euros
Rédaction attendue. $C ″ (q) = 1, 2 q - 12$ est une fonction affine de coefficient $1, 2 > 0$ , nulle en $10$ : elle est négative sur $[0; 10 [$ et positive sur $] 10; 25]$ . Donc $C$ est concave sur $[0; 10]$ et convexe sur $[10; 25]$ ; $C ″$ s’annule en $10$ en changeant de signe : la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse $10$ . $C (10)$ $= 0, 2 \times 1 000 - 6 \times 100 + 80 \times 10$ $= 200 - 600 + 800$ $= 400$ : le point d’inflexion est $(10; 400)$ .
4. Interpréter ce point en termes de rendements. Coût marginal minimal, en milliers d’euros par tonne :
Sur $[0; 10]$ , $C$ est concave : le coût marginal $C'$ décroît, chaque tonne supplémentaire coûte moins cher que la précédente, ce sont des rendements croissants. Sur $[10; 25]$ , $C$ est convexe : $C'$ croît, rendements décroissants. Le coût marginal est donc minimal en $q = 10$ : $C' (10)$ $= 0, 6 \times 100 - 12 \times 10 + 80$ $= 60 - 120 + 80$ $= 20$ milliers d’euros par tonne.
5. La fonderie passe de $8$ à $16$ tonnes par jour. Coût marginal à $16$ tonnes : milliers d’euros par tonne
$C' (16)$ $= 0, 6 \times 256 - 12 \times 16 + 80$ $= 153, 6 - 192 + 80$ $= 41, 6$ , contre $C' (8)$ $= 0, 6 \times 64 - 96 + 80$ $= 38, 4 - 96 + 80$ $= 22, 4$ à $8$ tonnes. À $16$ tonnes, la tonne supplémentaire coûte bien plus cher : $16$ est dans la zone convexe, celle des rendements décroissants.

Problème 2 · Courbe de Lorenz : mesurer les inégalités★★★Moyen

On range la population d’un pays de la personne la moins riche à la plus riche. Pour

x \in [0; 1]

L (x)

est la part des revenus perçue par la proportion

x

de la population la moins riche : par exemple,

L (0, 4) = 0, 1

signifierait que les

40 %

les moins riches perçoivent

10 %

des revenus. La courbe de

L

s’appelle une courbe de Lorenz. On modélise

L (x) = 0, 2 x + 0, 8 x^{3}

sur

[0; 1]

1. Vérifier que $L (0) = 0$ et $L (1) = 1$ . D’après le modèle, les $50 %$ les moins riches perçoivent % des revenus
$L (0) = 0$ et $L (1) = 0, 2 + 0, 8 = 1$ : une part nulle de la population perçoit une part nulle des revenus, et la population entière perçoit la totalité des revenus. $L (0, 5)$ $= 0, 2 \times 0, 5 + 0, 8 \times 0, 125$ $= 0, 1 + 0, 1$ $= 0, 2$ : les $50 %$ les moins riches perçoivent $20 %$ des revenus.
2. Démontrer que $L$ est croissante et convexe sur $[0; 1]$ . Contrôle : $L ″ (0, 5) =$
Rédaction attendue. $L$ est un polynôme, deux fois dérivable : $L' (x) = 0, 2 + 2, 4 x^{2}$ et $L ″ (x) = 4, 8 x$ . Pour tout $x \in [0; 1]$ , $L' (x) ⩾ 0, 2 > 0$ : $L$ est strictement croissante. Et $L ″ (x) = 4, 8 x ⩾ 0$ sur $[0; 1]$ : $L$ est convexe sur $[0; 1]$ . Contrôle : $L ″ (0, 5) = 4, 8 \times 0, 5 = 2, 4$ .
3. À l’aide de la corde joignant les points $(0; 0)$ et $(1; 1)$ , justifier que $L (x) ⩽ x$ pour tout $x \in [0; 1]$ . Pour $x = 0, 5$ , l’écart $x - L (x)$ vaut
Rédaction attendue. Les points $O (0; 0)$ et $U (1; 1)$ sont sur la courbe de $L$ ; la droite $(O U)$ a pour équation $y = x$ (la première bissectrice). $L$ est convexe sur $[0; 1]$ : entre $O$ et $U$ , sa courbe est au-dessous de la corde $[O U]$ . Donc $L (x) ⩽ x$ pour tout $x \in [0; 1]$ : la proportion $x$ la moins riche perçoit au plus la part $x$ des revenus. Si les revenus étaient répartis de façon parfaitement égale, on aurait $L (x) = x$ . Pour $x = 0, 5$ : $0, 5 - 0, 2 = 0, 3$ .
4. Part des revenus perçue par les $10 %$ les plus riches, en % :
Les $90 %$ les moins riches perçoivent $L (0, 9)$ $= 0, 2 \times 0, 9 + 0, 8 \times 0, 729$ $= 0, 18 + 0, 5832$ $= 0, 7632$ . Les $10 %$ les plus riches perçoivent le reste : $1 - 0, 7632 = 0, 2368$ , soit $23, 68 %$ .
5. L’écart $E (x) = x - L (x) = 0, 8 x - 0, 8 x^{3}$ mesure l’éloignement à l’égalité. Démontrer qu’il est maximal pour $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ; arrondi au centième, ce maximum vaut
Rédaction attendue. $E' (x)$ $= 0, 8 - 2, 4 x^{2}$ $= 2, 4 (\frac{1}{3} - x^{2})$ . Sur $[0; 1]$ , $E' (x) ⩾ 0 ⟺ x^{2} ⩽ \frac{1}{3} ⟺ x ⩽ \frac{1}{\sqrt{3}}$ . $E$ est croissante sur $[0; \frac{1}{\sqrt{3}}]$ et décroissante sur $[\frac{1}{\sqrt{3}}; 1]$ : son maximum est $E (\frac{1}{\sqrt{3}})$ $= 0, 8 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times (1 - \frac{1}{3})$ $\approx 0, 31$ . En ce point, $L' (x) = 1$ : la tangente à la courbe de Lorenz est parallèle à la première bissectrice ( $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0, 58$ , soit $58 %$ de la population).

Problème 3 · Les utilisateurs d’une application★★★Moyen

Le nombre d’utilisateurs inscrits sur une application, en milliers,

t

mois après son lancement, est modélisé sur

[0; 15]

par

N (t) = - 0, 4 t^{3} + 9 t^{2} + 12 t

1. $N ″ (t) = - 2, 4 t +$
$N' (t) = - 1, 2 t^{2} + 18 t + 12$ , puis $N ″ (t) = - 2, 4 t + 18$ .
2. Démontrer que le nombre d’inscrits ne cesse d’augmenter sur $[0; 15]$ . Contrôle : $N' (15) =$
Rédaction attendue. $N'$ est un trinôme de coefficient dominant $- 1, 2 < 0$ : il est positif entre ses racines et négatif à l’extérieur. Or $N' (0) = 12 > 0$ et $N' (15)$ $= - 1, 2 \times 225 + 18 \times 15 + 12$ $= - 270 + 270 + 12$ $= 12 > 0$ : $0$ et $15$ sont entre les racines, donc tout l’intervalle $[0; 15]$ aussi. Ainsi $N' (t) > 0$ sur $[0; 15]$ : $N$ est strictement croissante.
3. Étudier la convexité de $N$ et justifier l’existence d’un point d’inflexion. Son abscisse est $t =$
Rédaction attendue. $N ″ (t) ⩾ 0 ⟺ - 2, 4 t ⩾ - 18 ⟺ t ⩽ 7, 5$ . $N$ est convexe sur $[0; 7, 5]$ et concave sur $[7, 5; 15]$ . $N ″$ s’annule en $7, 5$ en changeant de signe : la courbe a un point d’inflexion d’abscisse $7, 5$ . $N (7, 5)$ $= - 0, 4 \times 421, 875 + 9 \times 56, 25 + 90$ $= - 168, 75 + 506, 25 + 90$ $= 427, 5$ : $427 500$ inscrits au bout de $7, 5$ mois.
4. Vitesse maximale des inscriptions, en milliers par mois :
$N'$ est la vitesse des inscriptions. $N ″ = (N')^{'}$ est positive avant $7, 5$ puis négative : $N'$ croît puis décroît, maximale en $7, 5$ . $N' (7, 5)$ $= - 1, 2 \times 56, 25 + 135 + 12$ $= - 67, 5 + 135 + 12$ $= 79, 5$ milliers par mois. Avant, les inscriptions s’accélèrent ; après, elles ralentissent.
5. Démontrer que $N' (3) = N' (12)$ et expliquer pourquoi. Valeur commune :
Rédaction attendue. $N' (3)$ $= - 1, 2 \times 9 + 54 + 12$ $= - 10, 8 + 54 + 12$ $= 55, 2$ et $N' (12)$ $= - 1, 2 \times 144 + 216 + 12$ $= - 172, 8 + 216 + 12$ $= 55, 2$ . Explication : $N'$ est un trinôme, sa courbe est une parabole symétrique par rapport à la droite d’équation $t = \frac{- 18}{2 \times (- 1, 2)} = 7, 5$ , abscisse du point d’inflexion. Or $3$ et $12$ sont symétriques par rapport à $7, 5$ : $7, 5 - 3 = 12 - 7, 5 = 4, 5$ .
6. La directrice affirme : « à partir du huitième mois, l’application perd des inscrits ». Expliquer son erreur. Nombre d’inscrits au bout de $15$ mois, en milliers :
Rédaction attendue. Elle confond convexité et sens de variation. Après $7, 5$ mois, c’est $N ″$ qui devient négative : $N'$ décroît, les inscriptions ralentissent. Mais $N'$ reste strictement positive sur $[0; 15]$ (question 2), donc $N$ reste croissante : le nombre d’inscrits augmente toujours, de moins en moins vite. $N (15)$ $= - 0, 4 \times 3 375 + 9 \times 225 + 180$ $= - 1 350 + 2 025 + 180$ $= 855$ milliers, bien plus que $427, 5$ milliers à $7, 5$ mois.

Problème 4 · Étude complète et repérage des inflexions en Python★★★Difficile

Soit

f

la fonction définie sur

ℝ

par

f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2} + 5

, de courbe

𝒞_{f}

1. Montrer que $f' (x) = 4 x (x - 3)^{2}$ et dresser le tableau de variations de $f$ . Minimum de $f$ sur $ℝ$ :
Rédaction attendue. $f' (x)$ $= 4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$ $= 4 x (x^{2} - 6 x + 9)$ $= 4 x (x - 3)^{2}$ . Le facteur $(x - 3)^{2}$ est positif ou nul : $f' (x)$ a le signe de $4 x$ , sauf en $3$ où il s’annule sans changer de signe. $f$ est décroissante sur $] - \infty; 0]$ et croissante sur $[0; + \infty [$ : son minimum est $f (0) = 5$ .
2. $f ″ (x) = 12 (x - 1) (x - b)$ avec $b =$
$f ″ (x)$ $= 12 x^{2} - 48 x + 36$ $= 12 (x^{2} - 4 x + 3)$ ; le trinôme $x^{2} - 4 x + 3$ a pour racines évidentes $1$ et $3$ (somme $4$ , produit $3$ ) : $f ″ (x) = 12 (x - 1) (x - 3)$ .
3. Étudier la convexité de $f$ . Les points d’inflexion sont $I (1; 16)$ et $J (3; y_{J})$ avec $y_{J} =$
$f ″$ est un trinôme de coefficient dominant $12 > 0$ : positif à l’extérieur de $1$ et $3$ , négatif entre. $f$ est convexe sur $] - \infty; 1]$ et sur $[3; + \infty [$ , concave sur $[1; 3]$ . $f ″$ change de signe en $1$ et en $3$ : $f (1) = 1 - 8 + 18 + 5 = 16$ et $f (3) = 81 - 216 + 162 + 5 = 32$ .
4. La tangente $T$ en $I$ a pour équation $y = 16 x$ . Démontrer que $f (x) - 16 x = (x - 1)^{3} (x - 5)$ et étudier la position de $𝒞_{f}$ par rapport à $T$ . $T$ recoupe la courbe au point d’abscisse
Rédaction attendue. $f' (1) = 4 \times 1 \times 4 = 16$ et $f (1) = 16$ : $T : y = 16 (x - 1) + 16 = 16 x$ . Ensuite $(x - 1)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ , donc $(x - 1)^{3} (x - 5)$ $= x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{3} + 15 x^{2} + 3 x^{2} - 15 x - x + 5$ $= x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2} - 16 x + 5$ , qui est bien $f (x) - 16 x$ . Signe : $(x - 1)^{3}$ a le signe de $x - 1$ , et $x - 5$ change de signe en $5$ . La différence est positive sur $] - \infty; 1 [$ , négative sur $] 1; 5 [$ , positive sur $] 5; + \infty [$ : $𝒞_{f}$ est au-dessus de $T$ , puis au-dessous, puis au-dessus. Elle traverse $T$ en $I$ (point d’inflexion) et la recoupe au point d’abscisse $5$ , sans y changer de convexité.
5. On exécute ce programme :
def f2(x): return 12*x**2 - 48*x + 36 def cherche(a, b, p): x = a L = [] while x < b: if f2(x) * f2(x + p) < 0: L.append(round(x, 2)) x = x + p return L print(cherche(0.05, 5, 0.1))
La fonction f2 calcule $f ″ (x)$ . Le programme affiche une liste de deux nombres : et
cherche parcourt $0, 05$ ; $0, 15$ ; $0, 25$ ; … de $0, 1$ en $0, 1$ , et garde $x$ lorsque $f ″ (x) \times f ″ (x + 0, 1) < 0$ , c’est-à-dire lorsque $f ″$ change de signe entre $x$ et $x + 0, 1$ . Or $f ″$ change de signe en $1$ et en $3$ : entre $0, 95$ et $1, 05$ , puis entre $2, 95$ et $3, 05$ . Le programme affiche [0.95, 2.95] : les abscisses des points d’inflexion sont dans $[0, 95; 1, 05]$ et dans $[2, 95; 3, 05]$ .
6. Un élève affirme : « $f' (3) = 0$ , donc $f$ admet un extremum en $3$ . » Expliquer son erreur. Contrôle : $f' (2) =$
Rédaction attendue. Pour un extremum, $f'$ doit s’annuler en changeant de signe. Ici $f' (x) = 4 x (x - 3)^{2}$ : autour de $3$ , $4 x > 0$ et $(x - 3)^{2} ⩾ 0$ , donc $f'$ reste positive de part et d’autre de $3$ (par exemple $f' (2) = 4 \times 2 \times 1 = 8$ et $f' (4) = 16$ ). $f$ est croissante autour de $3$ : pas d’extremum, seulement une tangente horizontale. Ce point est le point d’inflexion $J (3; 32)$ : la courbe y traverse sa tangente horizontale.

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