Fonctions : limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Limites de fonctions, asymptotes, continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires et résolution approchée d'équations

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Ce QCM sur « Fonctions : limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires » en terminale teste tes connaissances en maths complémentaires (option tle) de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : L'essentiel, Limites des fonctions de référence et opérations, Asymptotes horizontales et verticales, Continuité sur un intervalle. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en maths complémentaires (option tle) en terminale.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

${lim}_{x \to + \infty} \frac{1}{x^{2}}$ vaut :
- A. $+ \infty$
- B. $0$
- C. $1$
- D. $- \infty$
Réponse
B. $0$ — $x^{2} \to + \infty$ , et un réel divisé par une quantité qui tend vers l'infini tend vers $0$ .
${lim}_{x \to - \infty} e^{x}$ vaut :
- A. $- \infty$
- B. $1$
- C. $+ \infty$
- D. $0$
Réponse
D. $0$ — Limite de référence : l'exponentielle tend vers $0$ en $- \infty$ (et reste strictement positive).
Si ${lim}_{x \to + \infty} f (x) = - 4$ , alors :
- A. la droite $y = - 4$ est asymptote à la courbe
- B. la droite $x = - 4$ est asymptote à la courbe
- C. $f (x) = - 4$ dès que $x$ est assez grand
- D. la courbe coupe l'axe des ordonnées en $- 4$
Réponse
A. la droite $y = - 4$ est asymptote à la courbe — Une limite finie $ℓ$ en l'infini donne une asymptote horizontale d'équation $y = ℓ$ ; $f (x)$ s'en approche sans forcément l'atteindre.
${lim}_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}$ vaut :
- A. $0$
- B. $- \infty$
- C. $+ \infty$
- D. n'existe pas
Réponse
C. $+ \infty$ — Pour $x > 0$ proche de $0$ , $\frac{1}{x}$ est positif et devient aussi grand que l'on veut. (Sans préciser le côté, la limite en $0$ n'existerait pas.)
Graphiquement, une fonction est continue sur un intervalle $I$ lorsque :
- A. sa courbe est une droite
- B. elle est croissante sur $I$
- C. sa courbe se trace sans lever le crayon
- D. sa courbe admet une asymptote horizontale
Réponse
C. sa courbe se trace sans lever le crayon — C'est l'approche graphique de la continuité : aucun saut, aucun trou sur $I$ .
Soit $f$ continue sur $[a; b]$ et $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ . L'équation $f (x) = k$ admet :
- A. au moins une solution dans $[a; b]$
- B. exactement une solution dans $[a; b]$
- C. au plus une solution dans $[a; b]$
- D. aucune solution hors de $[a; b]$
Réponse
A. au moins une solution dans $[a; b]$ — C'est l'énoncé du TVI : existence d'au moins une solution. L'unicité demande en plus la stricte monotonie.
La droite d'équation $x = 5$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ lorsque :
- A. ${lim}_{x \to + \infty} f (x) = 5$
- B. $f (5) = 0$
- C. ${lim}_{x \to 5} f (x) = 0$
- D. ${lim}_{x \to 5^{+}} f (x) = - \infty$
Réponse
D. ${lim}_{x \to 5^{+}} f (x) = - \infty$ — Une limite infinie quand $x$ tend vers $5$ , même d'un seul côté, donne l'asymptote verticale $x = 5$ . Une limite finie en $+ \infty$ donnerait une asymptote horizontale.
${lim}_{x \to + \infty} (x^{3} + x)$ vaut :
- A. $0$
- B. $+ \infty$
- C. forme indéterminée
- D. $- \infty$
Réponse
B. $+ \infty$ — Somme de deux quantités qui tendent vers $+ \infty$ : la limite est $+ \infty$ , ce n'est pas une forme indéterminée.

Niveau moyen — 8 questions

${lim}_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2} - 7 x}{x^{2} + 2}$ vaut :
- A. $0$
- B. $- 7$
- C. $3$
- D. $+ \infty$
Réponse
C. $3$ — Quotient des termes dominants : $\frac{3 x^{2}}{x^{2}} = 3$ . En factorisant : $\frac{3 - \frac{7}{x}}{1 + \frac{2}{x^{2}}} \to 3$ .
${lim}_{x \to - \infty} (- x^{3} + 4 x)$ vaut :
- A. $+ \infty$
- B. $- \infty$
- C. $4$
- D. on ne peut pas conclure
Réponse
A. $+ \infty$ — $- x^{3} + 4 x = x^{3} (- 1 + \frac{4}{x^{2}})$ : la parenthèse tend vers $- 1$ et $x^{3} \to - \infty$ , d'où $+ \infty$ .
${lim}_{x \to 2^{-}} \frac{5}{x - 2}$ vaut :
- A. $0$
- B. $5$
- C. $+ \infty$
- D. $- \infty$
Réponse
D. $- \infty$ — Si $x < 2$ , $x - 2 \to 0^{-}$ ; $5 > 0$ divisé par $0^{-}$ donne $- \infty$ .
Les asymptotes de la courbe de $f (x) = \frac{6 x - 1}{2 x + 3}$ ont pour équations :
- A. $y = 6$ et $x = - 3$
- B. $y = 3$ et $x = - \frac{3}{2}$
- C. $y = - \frac{1}{3}$ et $x = \frac{3}{2}$
- D. $y = 3$ et $x = \frac{3}{2}$
Réponse
B. $y = 3$ et $x = - \frac{3}{2}$ — En $\pm \infty$ : $\frac{6 x}{2 x} = 3$ . Le dénominateur s'annule en $- \frac{3}{2}$ , où le numérateur vaut $- 10 \neq 0$ : asymptote verticale $x = - \frac{3}{2}$ .
$f (x) = x^{3} - 12 x + 5$ vérifie $f (- 2) = 21$ et $f (2) = - 11$ , avec $f^{'}$ qui s'annule en $- 2$ et $2$ . Sur $ℝ$ , l'équation $f (x) = 0$ a :
- A. une seule solution
- B. deux solutions
- C. trois solutions
- D. aucune solution
Réponse
C. trois solutions — $f$ croît de $- \infty$ à $21$ , décroît de $21$ à $- 11$ , puis croît de $- 11$ à $+ \infty$ : $0$ est atteint une fois sur chaque intervalle.
$f$ est continue, $f (1) = - 3$ , $f (2) = 4$ et $f (1, 5) = 0, 8$ . Après une étape de dichotomie, la solution de $f (x) = 0$ est dans :
- A. [1 ; 1,5]
- B. [1,5 ; 2]
- C. [1,25 ; 1,5]
- D. [1 ; 1,25]
Réponse
A. [1 ; 1,5] — $f (1)$ et $f (1, 5)$ sont de signes contraires : on garde $[1; 1, 5]$ .
On balaie $[3; 4]$ au pas de $0, 1$ pour résoudre $x^{2} = 11$ . Le premier changement de signe de $x^{2} - 11$ a lieu entre :
- A. 3,2 et 3,3
- B. 3,3 et 3,4
- C. 3,4 et 3,5
- D. 3,31 et 3,32
Réponse
B. 3,3 et 3,4 — $3, 3^{2} = 10, 89 < 11$ et $3, 4^{2} = 11, 56 > 11$ . (Le pas de $0, 1$ ne peut pas donner 3,31 et 3,32.)
${lim}_{x \to + \infty} (\sqrt{x} - x)$ vaut :
- A. $0$
- B. $+ \infty$
- C. on ne peut pas conclure
- D. $- \infty$
Réponse
D. $- \infty$ — Forme $\infty - \infty$ levée par factorisation : $\sqrt{x} (1 - \sqrt{x})$ , produit de $+ \infty$ par $- \infty$ , donc $- \infty$ .

Niveau difficile — 8 questions

$f$ est continue sur $[0; 3]$ avec $f (0) = 2$ et $f (3) = - 1$ . On peut affirmer que :
- A. $f$ s'annule au moins une fois sur $[0; 3]$
- B. $f$ s'annule exactement une fois sur $[0; 3]$
- C. $f$ est décroissante sur $[0; 3]$
- D. $f (x)$ reste entre $- 1$ et $2$ sur $[0; 3]$
Réponse
A. $f$ s'annule au moins une fois sur $[0; 3]$ — Le TVI donne l'existence. Sans monotonie, ni l'unicité, ni le sens de variation, ni un encadrement des valeurs ne sont garantis.
$f$ est strictement croissante sur $[- 1; 4]$ , $f (- 1) = - 2$ et $f (4) = 6$ ; on ne sait rien d'autre. L'équation $f (x) = 0$ :
- A. a exactement une solution dans $[- 1; 4]$
- B. a au moins une solution
- C. a exactement deux solutions
- D. peut n'avoir aucune solution
Réponse
D. peut n'avoir aucune solution — Sans continuité, $f$ peut sauter par-dessus $0$ . La stricte monotonie garantit seulement qu'il y a au plus une solution.
${lim}_{x \to + \infty} \frac{x^{2} - 5 x^{3}}{2 x^{3} + 1}$ vaut :
- A. $\frac{1}{2}$
- B. $- \frac{5}{2}$
- C. $- \infty$
- D. pas de limite (forme indéterminée)
Réponse
B. $- \frac{5}{2}$ — Les termes dominants sont $- 5 x^{3}$ et $2 x^{3}$ ; attention à l'ordre des termes au numérateur. Limite : $- \frac{5}{2}$ .
${lim}_{x \to + \infty} f (x) = 1$ et $f (x) < 1$ pour tout réel $x$ . Alors :
- A. la courbe est au-dessus de la droite $y = 1$
- B. la courbe coupe la droite $y = 1$ une fois
- C. $y = 1$ est asymptote, courbe en dessous
- D. la droite $x = 1$ est asymptote verticale
Réponse
C. $y = 1$ est asymptote, courbe en dessous — Limite finie $1$ : asymptote horizontale $y = 1$ ; $f (x) - 1 < 0$ : la courbe est sous l'asymptote.
La courbe d'une fonction peut-elle couper son asymptote horizontale ?
- A. non, jamais
- B. oui, c'est possible
- C. seulement si $f$ est croissante
- D. seulement si $f$ est paire
Réponse
B. oui, c'est possible — Exemple : $f (x) = 1 + \frac{x - 2}{x^{2} + 3}$ tend vers $1$ en $\pm \infty$ et vaut $1$ en $x = 2$ .
Quand $x$ tend vers $- 1$ , $\frac{4}{(x + 1)^{2}}$ tend vers :
- A. $+ \infty$ des deux côtés
- B. $+ \infty$ à droite, $- \infty$ à gauche
- C. $0$
- D. pas de limite
Réponse
A. $+ \infty$ des deux côtés — Un carré est positif : $(x + 1)^{2} \to 0^{+}$ des deux côtés, donc la limite est $+ \infty$ à gauche comme à droite.
Par dichotomie sur $[0; 1]$ , combien d'étapes faut-il au minimum pour un encadrement d'amplitude au plus $10^{- 4}$ ?
- A. $4$
- B. $13$
- C. $14$
- D. $10^{4}$
Réponse
C. $14$ — Il faut $\frac{1}{2^{n}} \leq 10^{- 4}$ , soit $2^{n} \geq 10 000$ : $2^{13} = 8 192$ ne suffit pas, $2^{14} = 16 384$ convient.
En $+ \infty$ , $f (x) \to 0$ et $g (x) \to + \infty$ . La limite de $f (x) \times g (x)$ :
- A. vaut $0$ car un produit par 0 est toujours nul
- B. vaut $+ \infty$
- C. vaut $1$
- D. on ne peut pas conclure en général
Réponse
D. on ne peut pas conclure en général — $0 \times \infty$ est une forme indéterminée : avec $f (x) = \frac{1}{x}$ , $g (x) = x^{2}$ on obtient $+ \infty$ ; avec $g (x) = x$ , on obtient $1$ .

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