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Limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Limites des fonctions de référence et opérations, asymptotes horizontales et verticales, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, fonction strictement monotone et fonction réciproque, encadrement d’une solution de f(x) = k par balayage et dichotomie.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
La limite de 1/x² quand x tend vers +∞ est :
- A. +∞
- B. 0
- C. 1
- D. −∞
Réponse
B. 0 — x² tend vers +∞, et un réel divisé par une quantité qui tend vers l'infini tend vers 0.
La limite de eˣ quand x tend vers −∞ est :
- A. −∞
- B. 1
- C. +∞
- D. 0
Réponse
D. 0 — Limite de référence : l'exponentielle tend vers 0 en −∞, en restant strictement positive.
Si f(x) tend vers −4 quand x tend vers +∞, alors :
- A. la droite y = −4 est asymptote à la courbe en +∞
- B. la droite x = −4 est asymptote à la courbe en +∞
- C. f(x) = −4 dès que x est assez grand
- D. la courbe coupe l'axe des ordonnées en −4
Réponse
A. la droite y = −4 est asymptote à la courbe en +∞ — Une limite finie ℓ en l'infini donne une asymptote horizontale d'équation y = ℓ ; f(x) s'en approche sans forcément l'atteindre.
La limite de 1/x quand x tend vers 0 avec x > 0 est :
- A. 0
- B. −∞
- C. +∞
- D. elle n'existe pas
Réponse
C. +∞ — Pour x > 0 proche de 0, 1/x est positif et devient aussi grand que l'on veut. Sans préciser le côté, la limite en 0 n'existerait pas.
Graphiquement, une fonction est continue sur un intervalle I lorsque :
- A. sa courbe est une droite
- B. elle est croissante sur I
- C. sa courbe se trace sans lever le crayon
- D. sa courbe admet une asymptote horizontale sur I
Réponse
C. sa courbe se trace sans lever le crayon — C'est l'approche graphique de la continuité : aucun saut, aucun trou sur I.
f est continue sur [a ; b] et k est compris entre f(a) et f(b). L'équation f(x) = k admet :
- A. exactement une solution dans [a ; b]
- B. au moins une solution dans [a ; b]
- C. au plus une solution dans [a ; b]
- D. aucune solution en dehors de [a ; b]
Réponse
B. au moins une solution dans [a ; b] — C'est l'énoncé du théorème des valeurs intermédiaires : existence d'au moins une solution. L'unicité demande en plus la stricte monotonie.
La droite d'équation x = 5 est asymptote verticale à la courbe de f lorsque :
- A. f(x) tend vers 5 quand x tend vers +∞ ou −∞
- B. f(5) = 0
- C. f(x) tend vers 0 quand x tend vers 5
- D. f(x) tend vers −∞ quand x tend vers 5⁺
Réponse
D. f(x) tend vers −∞ quand x tend vers 5⁺ — Une limite infinie quand x tend vers 5, même d'un seul côté, donne l'asymptote verticale x = 5. Une limite finie en l'infini donnerait une asymptote horizontale.
La limite de x³ + x quand x tend vers +∞ est :
- A. 0
- B. +∞
- C. une forme indéterminée
- D. −∞
Réponse
B. +∞ — Somme de deux quantités qui tendent vers +∞ : la limite est +∞. Ce n'est pas une forme indéterminée.
La limite de x³ quand x tend vers −∞ est :
- A. +∞
- B. −∞
- C. 0
- D. −1
Réponse
B. −∞ — La puissance 3 est impaire : x³ garde le signe de x, et tend vers −∞ en −∞.
La fonction x ↦ 1/x est continue :
- A. sur ℝ tout entier, y compris en 0
- B. sur [0 ; +∞[
- C. sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[
- D. seulement sur ]0 ; +∞[
Réponse
C. sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ — Une fonction rationnelle est continue sur chaque intervalle de son ensemble de définition ; 1/x n'est pas définie en 0.
f est continue et strictement croissante sur ℝ, et f(2) = 7. Sa fonction réciproque g vérifie :
- A. g(7) = 2
- B. g(2) = 7
- C. g(7) = 1/7
- D. g(2) = 1/2
Réponse
A. g(7) = 2 — g(y) = x équivaut à f(x) = y : comme f(2) = 7, g(7) = 2. La réciproque n'est pas l'inverse 1/f.
La courbe de la fonction réciproque de f est la symétrique de la courbe de f par rapport à :
- A. l'axe des abscisses
- B. l'axe des ordonnées
- C. l'origine O du repère orthonormé
- D. la droite d'équation y = x
Réponse
D. la droite d'équation y = x — Si le point (x ; y) est sur la courbe de f, le point (y ; x) est sur celle de sa réciproque : ces points sont symétriques par rapport à la droite y = x.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
La limite de (3x² − 7x)/(x² + 2) quand x tend vers +∞ est :
- A. 0
- B. −7
- C. 3
- D. +∞
Réponse
C. 3 — Quotient des termes dominants : 3x²/x² = 3. En factorisant : (3 − 7/x)/(1 + 2/x²) tend vers 3.
La limite de −x³ + 4x quand x tend vers −∞ est :
- A. +∞
- B. −∞
- C. 4
- D. on ne peut pas conclure
Réponse
A. +∞ — −x³ + 4x = x³(−1 + 4/x²) : la parenthèse tend vers −1 et x³ vers −∞, d'où +∞.
La limite de 5/(x − 2) quand x tend vers 2 avec x < 2 est :
- A. 0
- B. 5
- C. +∞
- D. −∞
Réponse
D. −∞ — Si x < 2, x − 2 tend vers 0⁻ ; 5 > 0 divisé par 0⁻ donne −∞.
Les asymptotes de la courbe de f(x) = (6x − 1)/(2x + 3) ont pour équations :
- A. y = 6 et x = −3
- B. y = 3 et x = −3/2
- C. y = −1/3 et x = 3/2
- D. y = 3 et x = 3/2
Réponse
B. y = 3 et x = −3/2 — En ±∞ : 6x/2x = 3. Le dénominateur s'annule en −3/2, où le numérateur vaut −10 ≠ 0 : asymptote verticale x = −3/2.
f(x) = x³ − 12x + 5 croît jusqu'à f(−2) = 21, décroît jusqu'à f(2) = −11, puis croît ; elle tend vers −∞ en −∞ et vers +∞ en +∞. Sur ℝ, l'équation f(x) = 0 a :
- A. une seule solution
- B. deux solutions
- C. trois solutions
- D. aucune solution
Réponse
C. trois solutions — f croît de −∞ à 21, décroît de 21 à −11, puis croît de −11 à +∞ : 0 est atteint une fois sur chacun des trois intervalles.
f est continue, f(1) = −3, f(2) = 4 et f(1,5) = 0,8. Après une étape de dichotomie, une solution de f(x) = 0 est dans :
- A. [1 ; 1,5]
- B. [1,5 ; 2]
- C. [1,25 ; 1,5]
- D. [1 ; 1,25]
Réponse
A. [1 ; 1,5] — f(1) et f(1,5) sont de signes contraires : on garde [1 ; 1,5].
On balaie [3 ; 4] au pas de 0,1 pour résoudre x² = 11. Le premier changement de signe de x² − 11 a lieu entre :
- A. 3,2 et 3,3
- B. 3,3 et 3,4
- C. 3,4 et 3,5
- D. 3,31 et 3,32
Réponse
B. 3,3 et 3,4 — 3,3² = 10,89 < 11 et 3,4² = 11,56 > 11. Le pas de 0,1 ne peut pas donner 3,31 et 3,32.
La limite de √x − x quand x tend vers +∞ est :
- A. 0
- B. +∞
- C. on ne peut pas conclure
- D. −∞
Réponse
D. −∞ — Forme ∞ − ∞ levée par factorisation : √x(1 − √x), produit de +∞ par −∞, donc −∞.
La limite de (6eˣ + 1)/(eˣ + 2) quand x tend vers −∞ est :
- A. 6
- B. 1/6
- C. 1/2
- D. +∞
Réponse
C. 1/2 — eˣ tend vers 0 en −∞ : le numérateur tend vers 1 et le dénominateur vers 2, donc la limite vaut 1/2. (C'est en +∞ que la limite vaut 6.)
La limite de (2x − 5)/(x − 1) quand x tend vers 1 avec x > 1 est :
- A. +∞
- B. −∞
- C. 2
- D. −3
Réponse
B. −∞ — Le numérateur tend vers −3 < 0 et x − 1 tend vers 0⁺ : par la règle des signes, le quotient tend vers −∞.
En 0, la fonction valeur absolue x ↦ |x| est :
- A. continue et dérivable
- B. ni continue ni dérivable
- C. dérivable mais pas continue
- D. continue mais pas dérivable
Réponse
D. continue mais pas dérivable — Sa courbe se trace sans lever le crayon mais forme un angle en 0 : elle est continue mais pas dérivable en 0. L'inverse est impossible, car une fonction dérivable est toujours continue.
La fonction réciproque de x ↦ x² sur [0 ; +∞[ est :
- A. x ↦ √x
- B. x ↦ 1/x²
- C. x ↦ 2x
- D. x ↦ x²/2
Réponse
A. x ↦ √x — Pour y ≥ 0, l'unique x ≥ 0 tel que x² = y est √y. Attention : 1/x² est l'inverse, pas la réciproque.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
f est continue sur [0 ; 3] avec f(0) = 2 et f(3) = −1. On peut affirmer que :
- A. f s'annule au moins une fois sur [0 ; 3]
- B. f s'annule exactement une fois sur [0 ; 3]
- C. f est décroissante sur [0 ; 3]
- D. f(x) reste entre −1 et 2 sur [0 ; 3]
Réponse
A. f s'annule au moins une fois sur [0 ; 3] — Le TVI donne l'existence. Sans monotonie, ni l'unicité, ni le sens de variation, ni un encadrement des valeurs ne sont garantis.
f est strictement croissante sur [−1 ; 4], f(−1) = −2 et f(4) = 6 ; on ne sait pas si f est continue. L'équation f(x) = 0 :
- A. a exactement une solution dans [−1 ; 4]
- B. a au moins une solution dans [−1 ; 4]
- C. a exactement deux solutions
- D. peut n'avoir aucune solution
Réponse
D. peut n'avoir aucune solution — Sans continuité, f peut sauter par-dessus 0. La stricte monotonie garantit seulement qu'il y a au plus une solution.
La limite de (x² − 5x³)/(2x³ + 1) quand x tend vers +∞ est :
- A. 1/2
- B. −5/2
- C. −∞
- D. pas de limite (forme indéterminée)
Réponse
B. −5/2 — Les termes dominants sont −5x³ et 2x³ ; attention à l'ordre des termes au numérateur. Limite : −5/2.
f(x) tend vers 1 quand x tend vers +∞, et f(x) < 1 pour tout réel x. Alors :
- A. la courbe est au-dessus de la droite y = 1 pour x grand
- B. la courbe coupe la droite y = 1 une fois
- C. y = 1 est asymptote et la courbe est en dessous
- D. la droite x = 1 est asymptote verticale
Réponse
C. y = 1 est asymptote et la courbe est en dessous — Limite finie 1 : asymptote horizontale y = 1 ; f(x) − 1 < 0 : la courbe est sous l'asymptote.
La courbe d'une fonction peut-elle couper son asymptote horizontale ?
- A. non, jamais
- B. oui, c'est possible
- C. seulement si f est croissante
- D. seulement si f est paire
Réponse
B. oui, c'est possible — Exemple : f(x) = 1 + (x − 2)/(x² + 3) tend vers 1 en ±∞ et vaut 1 en x = 2.
Quand x tend vers −1, 4/(x + 1)² tend vers :
- A. +∞ des deux côtés
- B. +∞ à droite, −∞ à gauche
- C. 0
- D. il n'y a pas de limite
Réponse
A. +∞ des deux côtés — Un carré est positif : (x + 1)² tend vers 0⁺ des deux côtés, donc la limite est +∞ à gauche comme à droite.
Par dichotomie sur [0 ; 1], combien d'étapes faut-il au minimum pour un encadrement d'amplitude au plus 10⁻⁴ ?
- A. 4
- B. 13
- C. 14
- D. 10 000
Réponse
C. 14 — Il faut 1/2ⁿ ≤ 10⁻⁴, soit 2ⁿ ≥ 10 000 : 2¹³ = 8 192 ne suffit pas, 2¹⁴ = 16 384 convient.
En +∞, f(x) tend vers 0 et g(x) tend vers +∞. La limite de f(x) × g(x) :
- A. vaut 0, car un produit par 0 est nul
- B. vaut +∞
- C. vaut 1
- D. on ne peut pas conclure en général
Réponse
D. on ne peut pas conclure en général — 0 × ∞ est une forme indéterminée : avec f(x) = 1/x et g(x) = x², on obtient +∞ ; avec g(x) = x, on obtient 1.
f est continue et strictement décroissante sur ]0 ; +∞[, tend vers +∞ en 0 et vers 2 en +∞. L'équation f(x) = 1 :
- A. a une unique solution sur ]0 ; +∞[
- B. a au moins une solution
- C. n'a aucune solution sur ]0 ; +∞[
- D. a exactement deux solutions
Réponse
C. n'a aucune solution sur ]0 ; +∞[ — f décroît strictement de +∞ vers 2 sans atteindre 2 : ses valeurs sont dans ]2 ; +∞[, et 1 n'en fait pas partie.
Par dichotomie sur [3 ; 5], l'amplitude de l'intervalle après 6 étapes vaut :
- A. 0,03125
- B. 0,0625
- C. 0,015625
- D. 0,3333
Réponse
A. 0,03125 — L'amplitude de départ vaut 2 ; elle est divisée par 2⁶ = 64 : 2/64 = 0,03125.
La limite de (x² − 4)/(x − 2) quand x tend vers 2 est :
- A. +∞
- B. 4
- C. 0
- D. pas de limite : x = 2 est asymptote
Réponse
B. 4 — Forme 0/0 : pour x ≠ 2, (x² − 4)/(x − 2) = x + 2, qui tend vers 4. Une valeur interdite ne donne pas toujours une asymptote.
g est la fonction réciproque de f(x) = x³ + 7x sur ℝ. g(22) vaut :
- A. 10 802
- B. 1/22
- C. 3
- D. 2
Réponse
D. 2 — g(22) est l'unique x tel que x³ + 7x = 22 ; f(2) = 8 + 14 = 22, donc g(22) = 2. (10 802 = f(22) et 3 donne f(3) = 48.)
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
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