Convexité

1. a)$f$ est une fonction polynôme, deux fois dérivable sur $ℝ$ : $f\prime (x)=3x^2+12x-15$ et $f″(x)=6x+12$. (1)
2. b)$f″$ est une fonction affine de coefficient $6>0$ : $f″(x)⩾0⟺6x⩾-12⟺x⩾-2$. Donc $f″(x)⩽0$ sur $]-\infty ;-2]$ et $f″(x)⩾0$ sur $[-2;+\infty [$ : $f$ est concave sur $]-\infty ;-2]$ et convexe sur $[-2;+\infty [$. (1)
3. c)$f″$ s’annule en $-2$ en changeant de signe : la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse $-2$. $f(-2)=-8+24+30+4=50$, donc $I(-2;50)$. (1)
4. d)$f\prime (-2)=12-24-15=-27$, donc $T:y=-27(x+2)+50=-27x-4$. Ensuite $f(x)-(-27x-4)$ $=x^3+6x^2+12x+8$, et $(x+2{)}^3=x^3+6x^2+12x+8$ : les deux expressions sont égales. Le signe de $(x+2{)}^3$ est celui de $x+2$ : ${𝒞}_f$ est au-dessous de $T$ sur $]-\infty ;-2[$ et au-dessus sur $]-2;+\infty [$. Elle traverse sa tangente en $I$, ce qui confirme le point d’inflexion. (1)

Repère — Le point d’inflexion se lit sur f″, mais son ordonnée se calcule avec f.

1. a)La convexité se lit sur le signe de $g″$ : $g″(x)⩾0$ sur $[-1;3]$, donc $g$ est convexe sur $[-1;3]$ ; $g″(x)⩽0$ sur $[-4;-1]$ et sur $[3;6]$, donc $g$ est concave sur ces deux intervalles. (1)
2. b)$g″$ s’annule en $-1$ (de $-$ à $+$) et en $3$ (de $+$ à $-$), en changeant de signe à chaque fois : la courbe a deux points d’inflexion, d’abscisses $-1$ et $3$. (1)
3. c)$y=g\prime (-1)(x+1)+g(-1)$ $=-4(x+1)+2$ $=-4x-2$. Sur $[-4;-1]$, $g$ est concave : sa courbe est au-dessous de ses tangentes, donc au-dessous de celle-ci. Sur $[-1;3]$, $g$ est convexe : la courbe est au-dessus. Elle traverse donc sa tangente au point d’inflexion $(-1;2)$. (1)
4. d)Le signe de $g″$ renseigne sur la convexité, pas sur les variations. Sur $[3;6]$, $g$ est concave, donc $g\prime$ y est décroissante ; mais $g\prime$ peut rester positive, et $g$ croissante. Pour les variations de $g$, il faut le signe de $g\prime$. (1)

Repère — Signe de f′ : variations de f. Signe de f″ : convexité de f.

1. a)$g\prime (x)=1-{\displaystyle \frac{9}{x^2}}=1-9x^{-2}$, donc $g″(x)=18x^{-3}={\displaystyle \frac{18}{x^3}}$. Pour $x>0$, $x^3>0$ donc $g″(x)>0$ : $g$ est convexe sur $]0;+\infty [$. (1)
2. b)$g(3)=3+3=6$ et $g\prime (3)=1-1=0$ : la tangente est horizontale, $T:y=6$. Pour $x>0$, $g(x)-6$ $={\displaystyle \frac{x^2+9-6x}{x}}$ $={\displaystyle \frac{(x-3{)}^2}{x}}$. Le numérateur est positif ou nul et le dénominateur strictement positif : $g(x)⩾6$. ${𝒞}_g$ est au-dessus de $T$, avec un seul point de contact $(3;6)$, comme l’annonçait la convexité. (1)
3. c)$g(1)=1+9=10$ et $g(9)=9+1=10$. Les points $A(1;10)$ et $B(9;10)$ sont sur ${𝒞}_g$ et la corde $[AB]$ est portée par la droite $y=10$. Comme $g$ est convexe, sa courbe est au-dessous de la corde $[AB]$ entre $A$ et $B$ : pour tout $x\in [1;9]$, $g(x)⩽10$. (1)
4. d)Pour $x>0$, $10-g(x)$ $={\displaystyle \frac{10x-x^2-9}{x}}$ $={\displaystyle \frac{-(x^2-10x+9)}{x}}$ $=-{\displaystyle \frac{(x-1)(x-9)}{x}}$. Sur $[1;9]$, $x-1⩾0$, $x-9⩽0$ et $x>0$, donc $10-g(x)⩾0$ : on retrouve $g(x)⩽10$. Avec la question 2, $6⩽g(x)⩽10$ sur $[1;9]$. (1)

Repère — Convexe : la tangente donne un minorant, la corde un majorant.

1. a)$C\prime (q)=0,15q^2-3,6q+35$. Son discriminant vaut $\Delta$ $=12,96-4\times 0,15\times 35$ $=12,96-21$ $=-8,04<0$ : $C\prime$ ne s’annule pas et garde le signe de son coefficient dominant $0,15>0$. Donc $C\prime (q)>0$ et $C$ est croissante sur $[0;30]$. (1)
2. b)$C″(q)=0,3q-3,6$. $C″(q)⩾0⟺0,3q⩾3,6⟺q⩾12$ : $C″$ est négative sur $[0;12]$ et positive sur $[12;30]$. (1)
3. c)$C″$ s’annule en $12$ en changeant de signe : la courbe a un point d’inflexion d’abscisse $12$. $C(12)$ $=0,05\times 1728-1,8\times 144+35\times 12+80$ $=86,4-259,2+420+80$ $=327,2$, donc le point d’inflexion est $(12;327,2)$. (1)
4. d)Avant $12$ meubles, $C$ est concave : le coût marginal décroît, les rendements sont croissants. Après $12$, $C$ est convexe : le coût marginal croît, les rendements sont décroissants. Le coût marginal est minimal en $q=12$ : $C\prime (12)$ $=0,15\times 144-3,6\times 12+35$ $=21,6-43,2+35$ $=13,4$ centaines d’euros par meuble. (1)

Repère — Le point d’inflexion d’un coût sépare rendements croissants et décroissants.

1. a)$f\prime (x)=4x^3+12x^2$ puis $f″(x)=12x^2+24x=12x(x+2)$. C’est un trinôme de coefficient dominant $12>0$, de racines $-2$ et $0$ : il est positif sur $]-\infty ;-2]$ et sur $[0;+\infty [$, négatif sur $[-2;0]$. (1)
2. b)$f$ est convexe sur $]-\infty ;-2]$ et sur $[0;+\infty [$, concave sur $[-2;0]$. $f″$ change de signe en $-2$ et en $0$ : $f(-2)=16-32-2=-18$ et $f(0)=-2$. Les points d’inflexion sont $(-2;-18)$ et $(0;-2)$. (1)
3. c)L’affirmation est fausse : elle confond convexité et croissance. Contre-exemple : $h(x)=x^2-6x$. On a $h\prime (x)=2x-6$, fonction croissante ($h″(x)=2>0$) ; pourtant $h\prime (x)⩽0$ pour $x⩽3$, donc $h$ est décroissante sur $]-\infty ;3]$. (1)
4. d)$p\prime (x)=3x^2+2mx+4$ et $p″(x)=6x+2m$. Condition nécessaire : $p″(3)=0$, soit $18+2m=0$, donc $m=-9$. Réciproquement, avec $m=-9$, $p″(x)=6x-18$ est affine de coefficient $6>0$ : elle change de signe en $3$. La courbe admet bien un point d’inflexion d’abscisse $3$. (1)

Repère — Un point d’inflexion demande f″(a) = 0 ET un changement de signe : on vérifie toujours la réciproque.