Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Convexité
Convexité, concavité et points d'inflexion — étude via la dérivée seconde (programme Maths complémentaires Tle)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Convexité d'une fonction polynomiale
/ 4 pts- Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$. Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$.
- Dresser le tableau de signe de $f''(x)$.
- En déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$.
- Déterminer les coordonnées du point d'inflexion.
Exercice 2 — Convexité de $e^x$ et inégalité
/ 5 pts- Calculer $f''(x)$ pour $f(x) = e^x$. Conclure sur la convexité de $f$.
- Écrire l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a = 0$.
- En utilisant la propriété de convexité, démontrer que $e^x \geq x + 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
- Vérifier l'inégalité numériquement pour $x = 1$ et $x = -1$.
- Déduire que $e^x \gt 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Exercice 3 — Points d'inflexion et paramètre
/ 4 pts- Soit $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ avec $a, b \in \mathbb{R}$.
- Montrer que $f$ admet toujours exactement un point d'inflexion. Donner son abscisse en fonction de $a$.
- Déterminer $a$ et $b$ sachant que le point d'inflexion a pour abscisse $1$ et que $f(1) = 4$.
- Vérifier que $f''$ change bien de signe en $x=1$ pour la valeur de $a$ trouvée.
Exercice 4 — Tableau de convexité complet
/ 4 pts- Soit $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$. Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$.
- Résoudre $f''(x) = 0$ et dresser un tableau de convexité complet.
- Calculer les coordonnées du point d'inflexion $I$.
- Écrire l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $I$.
Exercice 5 — Étude complète et interprétation
/ 3 pts- Soit $g(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2$. Calculer $g''(x)$.
- Montrer que $g$ est convexe sur $\mathbb{R}$ (étudier le discriminant de $g''$).
- Conclure : la courbe de $g$ admet-elle un point d'inflexion ?
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Convexité d'une fonction polynomiale
Corrigé :
$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$.
$f''(x)=6x-12=6(x-2)$.
Tableau de signe : $f''(x) \lt 0$ sur $]-\infty;2[$ et $f''(x) \gt 0$ sur $]2;+\infty[$.
• $f$ est concave sur $]-\infty;2[$, convexe sur $]2;+\infty[$.
• $f''(2)=0$ et $f''$ change de signe en $x=2$ : point d'inflexion.
$f(2)=8-24+18+2=4$. Point d'inflexion : $I(2,4)$.
Exercice 2 — Convexité de $e^x$ et inégalité
Corrigé :
1. $f''(x)=e^x \gt 0$ pour tout $x$. Donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
2. Tangente en $a=0$ : $y = f(0) + f'(0)(x-0) = 1 + x$.
3. $f$ convexe $\Rightarrow$ courbe au-dessus de ses tangentes : $e^x \geq 1 + x$. ■
4. $x=1$ : $e \approx 2{,}718 \geq 2$. ✓ ; $x=-1$ : $e^{-1} \approx 0{,}368 \geq 0$. ✓
5. De $e^x \geq x+1$, en prenant $x \gt -1$ on a $x+1 \gt 0$ donc $e^x \gt 0$. Pour $x \leq -1$ : $e^x \gt 0$ car c'est une valeur de l'exponentielle.
Exercice 3 — Points d'inflexion et paramètre
Corrigé :
$f''(x) = 6x + 2a$. $f''(x)=0 \Leftrightarrow x_0 = -a/3$.
$f''$ est un polynôme du 1er degré, donc il change toujours de signe en $x_0$ : il y a toujours exactement un point d'inflexion d'abscisse $x_0 = -a/3$.
Condition $x_0=1$ : $-a/3=1 \Rightarrow a=-3$.
Condition $f(1)=4$ : $1 + a + b + 1 = 4 \Rightarrow a + b = 2 \Rightarrow -3 + b = 2 \Rightarrow b = 5$.
Vérification : $f''(x) = 6x - 6$. Pour $x \lt 1$ : $f'' \lt 0$ (concave). Pour $x \gt 1$ : $f'' \gt 0$ (convexe). ✓
Exercice 4 — Tableau de convexité complet
Corrigé :
$f'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.
$f''(x) = 2x - 4 = 2(x-2)$.
$f''(x) = 0 \Leftrightarrow x=2$. $f''\lt 0$ sur $]-\infty;2[$ (concave), $f''\gt 0$ sur $]2;+\infty[$ (convexe).
$f(2) = \frac{8}{3} - 8 + 6 + 1 = \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}$. Point $I\left(2 ; \frac{5}{3}\right)$.
$f'(2) = 4-8+3 = -1$. Tangente : $y = -(x-2) + \frac{5}{3} = -x + \frac{11}{3}$.
Exercice 5 — Étude complète et interprétation
Corrigé :
$g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x$.
$g''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x^2 - 2x + 1) = 12(x-1)^2$.
$(x-1)^2 \geq 0$ pour tout $x$, donc $g''(x) = 12(x-1)^2 \geq 0$ : $g$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
$g''(1) = 0$ mais $g''$ ne change pas de signe (elle reste $\geq 0$) : il n'y a pas de point d'inflexion.
Ce contrôle de maths complémentaires (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Convexité » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Convexité d'une fonction polynomiale/ 4 pts
- Exercice 2 — Convexité de $e^x$ et inégalité/ 5 pts
- Exercice 3 — Points d'inflexion et paramètre/ 4 pts
- Exercice 4 — Tableau de convexité complet/ 4 pts
- Exercice 5 — Étude complète et interprétation/ 3 pts
Notions évaluées
Rappels : dérivabilité et sens de variation, Définition géométrique de la convexité, Dérivée seconde et convexité, Points d'inflexion, Tableau de convexité, Exemples fondamentaux.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Convexité » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Convexité » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale, soit Rappels : dérivabilité et sens de variation, Définition géométrique de la convexité, Dérivée seconde et convexité, Points d'inflexion.
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