Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Dérivation : approfondissement

Rappels de 1re (dérivées usuelles, produit, quotient, tangente), dérivées de x ↦ f(ax + b), de u², de eᵘ et de ln u, signe de la dérivée, tableau de variations et extremums.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés et modélisés : la puissance reçue par une résistance, la concentration d’un médicament dans le sang, le bénéfice d’une coopérative agricole, la fonction ln(x)/x pour comparer 3⁴ et 4³, et la vitesse d’un véhicule d’essai avec un programme Python de seuil.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je traduis la situation : quelle grandeur dépend de quoi, sur quel intervalle (temps positif, quantité bornée…).
Je dérive en nommant la forme (produit, quotient, $f (a x + b)$ , $u^{2}$ , $e^{u}$ , $\ln u$ ) et je factorise $f' (x)$ .
J’étudie le signe en écartant les facteurs de signe connu, puis je dresse le tableau de variations.
Je réponds à la question posée : instant ou quantité optimale, valeur maximale, avec l’unité et l’arrondi demandés.
J’interprète : une dérivée est une vitesse de variation (mg/L par heure, euros par tonne, m·s⁻¹…).

Problème 1 · Puissance reçue par une résistance★★★Facile

Une pile alimente une résistance de

R

ohms, avec

0 ⩽ R ⩽ 20

. La puissance reçue par la résistance, en watts, est modélisée par

P (R) = \frac{144 R}{(R + 2)^{2}}

1. Puissance reçue par une résistance de $4$ ohms : $P (4) =$ W
$P (4)$ $= \frac{144 \times 4}{6^{2}}$ $= \frac{576}{36}$ $= 16$ W.
2. Démontrer que pour tout $R$ de $[0; 20]$ , $P' (R)$ $= \frac{144 (2 - R)}{(R + 2)^{3}}$ . Contrôle : $P' (0) =$
Rédaction attendue. Sur $[0; 20]$ , $R + 2 > 0$ : $P$ est dérivable comme quotient de $u (R) = 144 R$ , $u' (R) = 144$ , par $v (R) = (R + 2)^{2}$ , dont la dérivée est $v' (R) = 2 (R + 2)$ (forme $u^{2}$ ). Donc $P' (R)$ $= \frac{144 (R + 2)^{2} - 144 R \times 2 (R + 2)}{(R + 2)^{4}}$ $= \frac{144 (R + 2) [(R + 2) - 2 R]}{(R + 2)^{4}}$ $= \frac{144 (2 - R)}{(R + 2)^{3}}$ . Contrôle : $P' (0)$ $= \frac{144 \times 2}{8}$ $= 36$ .
3. Justifier les variations de $P$ : la puissance reçue est maximale pour $R =$ ohms
Rédaction attendue. Sur $[0; 20]$ , $144 > 0$ et $(R + 2)^{3} > 0$ : $P' (R)$ a le signe de $2 - R$ , positif sur $[0; 2 [$ , négatif sur $] 2; 20]$ . $P$ est strictement croissante sur $[0; 2]$ puis strictement décroissante sur $[2; 20]$ : elle est maximale pour $R = 2$ ohms.
4. Puissance maximale : W
$P (2) = \frac{288}{16} = 18$ W. Aux bornes, $P (0) = 0$ et $P (20)$ $= \frac{2 880}{484} \approx 5, 95$ W.

Problème 2 · Concentration d’un médicament dans le sang★★★Moyen

Après une injection, la concentration d’un principe actif dans le sang est modélisée, pour

t

en heures avec

0 ⩽ t ⩽ 12

, par

C (t) = 12 t e^{- \frac{t}{2}}

, en milligrammes par litre (mg/L). Le traitement est efficace tant que la concentration reste supérieure ou égale à

4

mg/L. Réponds avec une virgule.

1. Démontrer que $C' (t) = (12 - 6 t) e^{- \frac{t}{2}}$ . Contrôle : $C' (0) =$
Rédaction attendue. $C$ est un produit $u v$ avec $u (t) = 12 t$ , $u' (t) = 12$ , $v (t) = e^{- \frac{t}{2}}$ et $v' (t)$ $= - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}}$ (forme $e^{a t + b}$ avec $a = - \frac{1}{2}$ ). Donc $C' (t)$ $= 12 e^{- \frac{t}{2}} + 12 t \times (- \frac{1}{2}) e^{- \frac{t}{2}}$ $= (12 - 6 t) e^{- \frac{t}{2}}$ . Contrôle : $C' (0) = 12$ .
2. Dresser le tableau de variations de $C$ sur $[0; 12]$ . Le pic de concentration a lieu au bout de heures
Rédaction attendue. Pour tout $t$ , $e^{- \frac{t}{2}} > 0$ : $C' (t)$ a le signe de $12 - 6 t$ , positif pour $t < 2$ , négatif pour $t > 2$ . $C$ est strictement croissante sur $[0; 2]$ puis strictement décroissante sur $[2; 12]$ , avec $C (0) = 0$ et $C (12) = 144 e^{- 6} \approx 0, 36$ . Le maximum est atteint pour $t = 2$ heures.
3. Concentration maximale, arrondie au centième : mg/L
$C (2) = 24 e^{- 1} \approx 8, 83$ mg/L.
4. Vitesse de variation de la concentration au bout de $4$ heures, arrondie au centième : mg/L par heure
$C' (4)$ $= (12 - 24) e^{- 2}$ $= - 12 e^{- 2} \approx - 1, 62$ : à cet instant, la concentration diminue d’environ $1, 62$ mg/L par heure.
5. Concentration au bout de $6$ heures, arrondie au centième : mg/L
$C (6) = 72 e^{- 3} \approx 3, 58$ mg/L. Comme $3, 58 < 4$ , le traitement n’est plus efficace six heures après l’injection : une nouvelle prise est nécessaire avant.

Problème 3 · Bénéfice d’une coopérative agricole★★★Moyen

Une coopérative transforme

x

tonnes de fruits par semaine, avec

0 ⩽ x ⩽ 20

. Son bénéfice hebdomadaire, en milliers d’euros, est modélisé par

B (x) = 25 \ln (x + 1) - 2 x

. Réponds avec une virgule.

1. Démontrer que $B' (x) = \frac{23 - 2 x}{x + 1}$ . Contrôle : $B' (5)$ arrondi au centième vaut
Rédaction attendue. Sur $[0; 20]$ , $x + 1 > 0$ : $B$ est dérivable et, d’après $(\ln u)^{'} = \frac{u'}{u}$ avec $u (x) = x + 1$ : $B' (x) = \frac{25}{x + 1} - 2$ $= \frac{25 - 2 (x + 1)}{x + 1}$ $= \frac{23 - 2 x}{x + 1}$ . Contrôle : $B' (5)$ $= \frac{13}{6} \approx 2, 17$ : vers $5$ tonnes, une tonne de plus rapporte environ $2 170$ €.
2. Quantité hebdomadaire qui rend le bénéfice maximal : tonnes
Sur $[0; 20]$ , $x + 1 > 0$ : $B' (x)$ a le signe de $23 - 2 x$ , positif pour $x < 11, 5$ , négatif pour $x > 11, 5$ . $B$ croît sur $[0; 11, 5]$ puis décroît sur $[11, 5; 20]$ : maximum pour $x = 11, 5$ tonnes.
3. Bénéfice maximal, arrondi à l’euro : €
$B (11, 5)$ $= 25 \ln (12, 5) - 23 \approx 40, 143$ milliers d’euros, soit environ $40 143$ € par semaine.
4. Justifier que la coopérative ne travaille jamais à perte : le minimum de $B$ sur $[0; 20]$ vaut
Rédaction attendue. D’après le tableau, $B$ croît de $B (0) = 25 \ln 1 - 0 = 0$ jusqu’à $B (11, 5) \approx 40, 14$ , puis décroît jusqu’à $B (20)$ $= 25 \ln 21 - 40 \approx 36, 11$ . Le minimum sur $[0; 20]$ est donc le plus petit de $B (0)$ et $B (20)$ : c’est $0$ . Ainsi $B (x) ⩾ 0$ sur tout l’intervalle : pas de perte.

Problème 4 · La fonction ln(x)/x et une comparaison de puissances★★★Difficile

On considère la fonction

f

définie sur

] 0; + \infty [

par

f (x) = \frac{\ln x}{x}

. Réponds avec une virgule ; le nombre

e

s’écrit e.

1. Démontrer que $f' (x) = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$ . Contrôle : $f' (1) =$
Rédaction attendue. $f$ est le quotient de $u (x) = \ln x$ , $u' (x) = \frac{1}{x}$ , par $v (x) = x$ , $v' (x) = 1$ , qui ne s’annule pas sur $] 0; + \infty [$ : $f' (x)$ $= \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^{2}}$ $= \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$ . Contrôle : $f' (1) = \frac{1 - 0}{1} = 1$ .
2. Étudier le signe de $f' (x)$ : $f$ atteint son maximum en $x =$
$x^{2} > 0$ : $f' (x)$ a le signe de $1 - \ln x$ . Or $\ln$ est strictement croissante et $\ln e = 1$ : $1 - \ln x > 0$ pour $0 < x < e$ et $< 0$ pour $x > e$ . $f$ croît sur $] 0; e]$ et décroît sur $[e; + \infty [$ : maximum en $e$ .
3. Valeur approchée de ce maximum au millième :
$f (e)$ $= \frac{\ln e}{e}$ $= \frac{1}{e} \approx 0, 368$ .
4. En déduire que $\ln x ⩽ \frac{x}{e}$ pour tout $x > 0$ . Contrôle avec $x = e^{2}$ : le membre de droite vaut $e$ , le membre de gauche vaut
Rédaction attendue. D’après le tableau, pour tout $x > 0$ , $f (x) ⩽ f (e)$ , soit $\frac{\ln x}{x} ⩽ \frac{1}{e}$ . Comme $x > 0$ , on multiplie par $x$ sans changer le sens : $\ln x ⩽ \frac{x}{e}$ . Contrôle : $\ln (e^{2}) = 2$ (car $e^{2}$ est l’exponentielle de $2$ ) et $\frac{e^{2}}{e} = e \approx 2, 72$ : on a bien $2 ⩽ e$ .
5. On admet que $\ln (a^{n}) = n \ln a$ pour $a > 0$ . En comparant $f (3)$ et $f (4)$ , déterminer la plus grande des deux puissances $3^{4}$ et $4^{3}$ ; elle vaut
Rédaction attendue. On a $e < 3 < 4$ , et $f$ est strictement décroissante sur $[e; + \infty [$ : $f (3) > f (4)$ , soit $\frac{\ln 3}{3} > \frac{\ln 4}{4}$ . En multipliant par $12 > 0$ : $4 \ln 3 > 3 \ln 4$ , c’est-à-dire $\ln (3^{4}) > \ln (4^{3})$ . Comme $\ln$ est strictement croissante, $3^{4} > 4^{3}$ . Vérification : $3^{4} = 81$ et $4^{3} = 64$ .

Problème 5 · Vitesse et accélération d’un véhicule d’essai★★★Difficile

Lors d’un essai en ligne droite, la distance parcourue par un véhicule est modélisée, pour

t

en secondes avec

0 ⩽ t ⩽ 20

, par

d (t)

= 45 t + 180 e^{- \frac{t}{4}} - 180

, en mètres. On note

v = d'

la vitesse (en m·s⁻¹) et

a = v'

l’accélération (en m·s⁻²). Réponds avec une virgule.

1. Démontrer que $v (t)$ $= 45 (1 - e^{- \frac{t}{4}})$ . Contrôle : $v (0) =$
Rédaction attendue. $d$ est dérivable sur $[0; 20]$ et la dérivée de $e^{- \frac{t}{4}}$ est $- \frac{1}{4} e^{- \frac{t}{4}}$ (forme $e^{a t + b}$ ). Donc $v (t)$ $= d' (t)$ $= 45 + 180 \times (- \frac{1}{4}) e^{- \frac{t}{4}}$ $= 45 - 45 e^{- \frac{t}{4}}$ $= 45 (1 - e^{- \frac{t}{4}})$ . Contrôle : $v (0) = 45 (1 - e^{0}) = 0$ : le véhicule part de l’arrêt.
2. Calculer $a (t)$ et justifier que la vitesse est strictement croissante. Accélération au départ : $a (0) =$ m·s⁻²
Rédaction attendue. $a (t)$ $= v' (t)$ $= - 45 \times (- \frac{1}{4}) e^{- \frac{t}{4}}$ $= 11, 25 e^{- \frac{t}{4}}$ , strictement positive : $v$ est strictement croissante sur $[0; 20]$ . De plus $a' (t)$ $= - 2, 8125 e^{- \frac{t}{4}} < 0$ : l’accélération diminue, le véhicule accélère de moins en moins fort. Au départ, $a (0) = 11, 25$ m·s⁻².
3. Pour tout $t$ , $e^{- \frac{t}{4}} > 0$ , donc $v (t) < 45$ m·s⁻¹. Convertie, cette vitesse limite vaut km·h⁻¹
$1$ m·s⁻¹ $= 3, 6$ km·h⁻¹ : $45 \times 3, 6 = 162$ km·h⁻¹.
4. La vitesse atteint $40$ m·s⁻¹ à l’instant $t = 4 \ln k$ , avec $k =$
$45 (1 - e^{- \frac{t}{4}})$ $= 40 ⟺ e^{- \frac{t}{4}}$ $= \frac{1}{9} ⟺ e^{\frac{t}{4}}$ $= 9 ⟺ \frac{t}{4}$ $= \ln 9$ (définition de $\ln$ ). Donc $t = 4 \ln 9 \approx 8, 79$ s.
5. La fonction Python ci-dessous avance par pas jusqu’au premier instant où la vitesse atteint $40$ m·s⁻¹.
from math import exp def instant_seuil(pas): t = 0 while 45*(1 - exp(-t/4)) < 40: t = t + pas return t
Arrondie au centième, la valeur renvoyée par instant_seuil(0.01) est
La vitesse est croissante : la boucle s’arrête au premier multiple de $0, 01$ supérieur à $4 \ln 9 \approx 8, 7889$ . $v (8, 78) \approx 39, 99 < 40$ et $v (8, 79) \approx 40, 001$ : la fonction renvoie $8, 79$ (à l’affichage des flottants près).
6. Distance parcourue pendant les $20$ secondes, arrondie au mètre : m
$d (20)$ $= 900 + 180 e^{- 5} - 180$ $= 720 + 180 e^{- 5} \approx 720 + 1, 21 \approx 721$ m.

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